Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Нетерові крайові задачі для імпульсних систем диференціальних рівнянь

1.ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

диференціальний рівняння імпульсний

Актуальність теми. Теорія крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, систем із запізненням аргументу, систем з імпульсною дією, інтегро-диференціальних систем має широке практичне застосування і становить великий інтерес для дослідження. Різним аспектам теорії крайових задач присвячені роботи Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, О. А. Бойчука, М. Й. Ронто, І. Г. Малкіна, О. П. Проскурякова, В. А. Якубови-ча, В. М. Старжинського, Д. І. Мартинюка, Є. О. Гребенікова, Ю. О. Рябова та багатьох інших вчених. Серед іноземних вчених теорії крайових задач присвячені роботи таких науковців як G. D. Birkhoff, G. A. Bliss, D. Bainov, R. Conti, J. Hale, W. T. Reid, S. Schwabik, O. Veivoda, D. Wexler та ін.

Слабконелінійні і слабкозбурені крайові задачі аналізуються і досліджуються за допомогою ефективних методів теорії збурень: методу малого параметру Ляпунова-Пуанкаре, асимптотичних методів нелінійної механіки Крилова -Боголюбова -Митропольського, методу Вішика-Люстерника. Методи теорії збурень використовуються при дослідженні задач в таких галузях науки та техніки, як радіотехніка, суднобудування, біологія та ін.

Ці методи застосовуються при аналізі крайових задач для різних класів систем: крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією, для автономних диференціальних систем, для операторних рівнянь у функціональних просторах, лінійна частина яких визначена фредгольмовим оператором.

Ефективними методами дослідження крайових задач є чисельно- аналітичні методи. Застосування чисельно-аналітичного методу А. М. Самойленка до двоточкових крайових задач, крайових задач з малим параметром, періодичних крайових задач, крайових задач з нефіксованою правою межею, двоточкових крайових задач з імпульсною дією, многоточкових крайових задач із скінченним числом імпульсів розглянуто в монографіях А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, М. Й. Ронто, С. І. Трофімчука та ін.

Зазначимо, що у більшості вищезгаданих наукових праць розглянуто випадок, коли оператор лінійної частини крайової задачі має обернений (фредгольмів некритичний випадок). В останні роки значна увага приділяється дослідженню крайових задач, лінійна частина яких не є оборотним оператором, і, зокрема, тому випадку, коли число крайових умов не збігається з розмірністю розв'язку. Зауважимо, що у науковій літературі цей клас крайових задач дістав назву нетерових. Дослідженню різних аспектів теорії лінійних і слабконелінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, систем із запізненням аргументу, з імпульсною дією, інтегро-диференціальних систем, матричних диференціальних рівнянь з допомогою апарату узагальнено-обернених операторів присвячені роботи А. М. Самойленка, О. А. Бойчука, В. Ф. Журавльова, С. М. Чуйко, С. А. Кривошеї, Л. Каранджулова та інших авторів.

При дослідженні та аналізі крайових задач для диференціальних рівнянь як з імпульсною дією так і без неї ефективно використовується апарат функцій і операторів Гріна.

Незважаючи на те, що існує багато публікацій, присвячених вивченню різних аспектів теорії крайових задач, залишається ще багато питань, які потребують вивчення. Значний інтерес для вивчення представляють нетерові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією. В дисертаційній роботі теорія нетерових крайових задач переноситься на випадок систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.

Зв'язок з науковими програмами, темами Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Тематика дисертації пов'язана із науковими дослідженнями кафедри диференціальних і інтегральних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, зокрема, із виконанням завдань державних тем за номерами № 97502 та № 01 ДФ 038 - 08.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є отримання необхідних та достатніх умов розв'язності нетерових лінійних, слабконелінійних і слабкозбурених крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї, вивчення структур множин розв'язків таких задач.

Задачами дослідження є побудова операторів Гріна, узагальнених операторів і матриць Гріна, вивчення їх властивостей і застосування до побудови розв'язків вказаних крайових задач.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є нетерові лінійні, слабконелінійні, слабкозбурені крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є нетерові лінійні та слабкозбурені (лінійні та нелінійні) крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та без неї.

Методи дослідження. Методи дослідження грунтуються на загальній теорії диференціальних рівнянь, теорії систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією, методах теорії збурень: методі малого параметру Ляпунова-Пуанкаре, методі Вішика-Люстерника, методах узагальнених операторів і функцій Гріна, ітераційних методах, теорії псевдообернених (за Муром-Пенроузом) матриць.

Наукова новизна одержаних результатів.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає у тому, що в ній теорія лінійних і слабконелінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь перенесена на випадок систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї.

1. Розроблена теорія лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку у некритичному і критичному випадках. Знайдено умови розв'язності, побудовані узагальнені оператор і функція Гріна таких задач, досліджено їх властивості і структура множини розв'язків.

2. Розроблена теорія лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу. Запроваджено поняття фундаментальної матриці відповідної лінійної однорідної системи з імпульсною дією. Встановлено зв'язок між фундаментальними матрицями лінійної однорідної системи з імпульсною дією та лінійної однорідної системи без імпульсної дії. Знайдено умови розв'язності, побудовані узагальнені оператор і функція Гріна, досліджено властивості узагальненої функції Гріна. Показано, зокрема, що похідна узагальненої функції Гріна у точках імпульсної дії має стрибок, параметри якого визначені коефіцієнтами вихідної імпульсної системи. За допомогою фундаментальної матриці лінійної однорідної системи з імпульсною дією у некритичному випадку побудовано функцію Гріна лінійної двоточкової задачі.

3. Встановлені необхідна, а також достатня умови розв'язності слабконелінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у критичному випадку. Для слабконелінійної двоточкової крайової задачі з розщепленими крайовими умовами у некритичному випадку з допомогою функції Гріна і методу простих ітерацій знайдено розв'язок і доведено його єдиність.

4. Розв'язана задача регуляризації не скрізь розв'язної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку з допомогою слабких збурень коефіцієнтів імпульсної системи і крайових умов. Отримано умову існування розв'язку збуреної лінійної крайової задачі у вигляді частини ряду Лорана за параметром .

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати мають як теоретичне так і практичне значення. Вони доповнюють та розширюють існуючі результати з теорії нетерових крайових задач для різних типів диференціальних рівнянь і можуть бути застосовані в задачах нелінійної механіки при дослідженні коливних процесів у системах з імпульсним збуренням.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. Окремі дослідження велися спільно з науковим керівником. Зокрема, в спільній з науковим керівником роботі [7] С.А. Кривошеї належить постановка задачі та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на семінарах кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на міжвузівському семінарі Національного технічного університету “Київський політехнічний інститут”, а також на:

- Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998 р. );

П'ятій Кримській Міжнародній Математичній школі: “Метод функций Ляпунова и его приложения ” (Крим, Алушта, Сімферополь, 5-13 вересня 2000 р.);

- Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (Одеса, 12-14 вересня 2000 р.);

- Міжнародній конференції присвяченій 100-річчю від дня народження академіка М. О. Лаврентьєва (Київ, 31 жовтня - 3 листопада 2000 р.);

- Українському математичному конгресі, Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Київ, 27-29 серпня 2001 р.);

- Міжнародній конференції “П'яті Боголюбовські читання.” (Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.);

- Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, 26-30 серпня 2003 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 14 працях, з яких 7 статей - в наукових математичних журналах і збірниках наукових праць, 7 - у матеріалах та тезах міжнародних конференцій. Серед публікацій 7 праць у фахових наукових виданнях з переліку ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел (понад сто найменувань). Загальний обсяг дисертації становить 150 сторінок, основний зміст викладено на 135 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність розглядуваної теми, проведено огляд літератури, вказано мету і задачі дослідження, а також об'єкт та предмет дослідження, окрім того, подані методи дослідження, вказано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, кількість публікацій, структуру та обсяг роботи. У вступному параграфі наведені необхідні відомості з теорії псевдообернених матриць та теорії лінійних алгебраїчних систем з прямокутною матрицею.

Перший розділ дисертації присвячено розгляду лінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку виду:, , , ,

де, , , - дійсні - вимірні матриці-функції; елементи матриці - , неперервно диференційовні на відрізку функції:, ,; елементи матриці - неперервні на відрізку функції:. - вимірна неперервна на вектор-функція:; - вимірна неперервна вектор-функція:. лінійний обмежений вимірний векторний функціонал, визначений на просторі - вимірних, неперервних на відрізку вектор-функцій:;,.

Розв'язок нетерової крайової задачі шукається в класі - вимірних неперервних на вектор-функцій, таких, що.

Проаналізована структура множини розв'язків однорідної крайової задачі. Отримана умова розв'язності лінійної неоднорідної задачі і знайдена її параметрична сім'я розв'язків у некритичному і критичному випадках. Показано, що у критичному випадку розв'язки задачі виражаються з допомогою узагальненого оператора Гріна. Введено поняття узагальненої функції Гріна. Сформульовані і доведені її властивості. Підсумком вищезазначених результатів є:

Теорема 1.1. Нехай виконується умова.

Тоді однорідна крайова задача має і лише лінійно незалежних розв'язків. Неоднорідна крайова задача розв'язна тоді і тільки тоді, коли вектор-функція і векторна стала задовольняють умову розв'язності,.

При виконанні цих умов крайова задача має - параметричну сім'ю розв'язків виду, , , де вимірна фундаментальна матриця однорідної системи, вимірна матриця, стовпчики якої утворюють повну систему лінійно незалежних розв'язків однорідної крайової задачі, , вимірна матриця, яка складається з лінійно незалежних стовпчиків вимірної матриці-ортопроектора, яка проектує простір на нуль-простір:,;, , - узагальнений оператор Гріна, який діє на вектор-функцію з простору таким чином:, вимірна матриця, псевдообернена за Муром-Пенроузом до матриці, яка визначена формулою:; вимірна матриця-ортопроектор, яка проектує простір на нуль-простір:,; матриця Коші відповідної системи диференціальних рівнянь.

Побудована узагальнена функція Гріна, сформульовані і доведені її властивості. Як приклади, розглянуті загальна двоточкова крайова задача та задача з крайовими умовами.

У другому розділі розглянута нетерова лінійна імпульсна крайова задача , , , , -деякий відрізок, , - точки імпульсної дії:,;, - вимірні дійсні матриці - функції, ,; елементи матриці неперервно диференційовні з розривами першого роду в точках імпульсної дії:; елементи матриці кусково неперервні:; матриці вимірні, елементи, яких належать полю дійсних чисел; вимірна неперервна вектор-функція і належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій:; вимірна неперервна вектор-функція, яка належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій:;, - вимірні вектори, елементи яких належать полю дійсних чисел; - лінійний обмежений векторний функціонал, визначений на просторі - вимірних, кусково-неперервних на відрізку вектор-функцій:.

Розв'язок нетерової імпульсної крайової задачі шукається в класі - вимірних неперервних на вектор-функцій, таких, що. Функції , , , вважаються неперервними зліва у точках розриву.

Введено поняття фундаментальної матриці відповідної лінійної однорідної імпульсної системи.

Зв'язок між фундаментальною матрицею однорідної імпульсної системи і фундаментальною матрицею однорідної системи без імпульсів, виражено за допомогою леми:

Лема 2.2. Нехай відома вимірна фундаментальна матриця однорідної системи без імпульсів.

Тоді, при виконанні вказаних вище умов, на кожному проміжку, , вимірна фундаментальна матриця однорідної системи з імпульсами виражається через вимірну фундаментальну матрицю однорідної системи без імпульсів таким чином: .

Проаналізована структура множини розв'язків однорідної крайової задачі, отримана умова розв'язності лінійної неоднорідної імпульсної крайової задачі і знайдена її параметрична сім'я розв'язків, яка виражається за допомогою узагальненого оператора Гріна,. Розглянуто некритичний і критичний випадки. Підсумком вказаних результатів є твердження:

Теорема 2.1. (Критичний випадок).

Нехай виконується умова.

Тоді однорідна імпульсна крайова задача має і лише лінійно незалежних розв'язків.

Неоднорідна імпульсна крайова задача розв'язна тоді і лише тоді, коли вектор-функція, вектори, , і вектор задовольняють умову розв'язності , (),

і мають параметричну сім'ю розв'язків виду , ,

де вимірна матриця, стовпчики якої утворюють повну систему лінійно незалежних розв'язків однорідної імпульсної системи другого порядку;; вимірна матриця, яка складається з лінійно незалежних стовпчиків матриці; - довільний вектор-стовпчик з простору;, , ,- узагальнений оператор Гріна, який діє на вектор-функцію та вектори, , таким чином: ,.

Побудована узагальнена функція Гріна:, де фунда-ментальна матриця однорідної імпульсної системи; сформульовані та доведені її властивості.

Теорема 2.2. Узагальнена - вимірна матриця Гріна імпульсної крайової задачі має властивості:

1. При, як функція від є розв'язком однорідної матричної імпульсної диференціальної системи другого порядку :

2. При матриця Гріна задовольняє умовам

3. В точках імпульсної дії функція Гріна є неперервною ,а її похідна по задовольняє умовам:

4. Матриця Гріна задовольняє крайову умову .

Як приклади, розглянуті крайова задача з крайовими умовами та двоточкова крайова задача з розщепленими крайовими умовами вигляду , ,

де вимірні матриці. У некритичному випадку (відповідна лінійна однорідна задача має лише тривіальний розв'язок) за допомогою властивостей функції Гріна, встановлених у другому розділі і фундаментальної матриці відповідної однорідної імпульсної системи побудовано функцію Гріна крайової задачі з розщепленими крайовими умовами і її єдиний розв'язок, який виражається через функцію Гріна.

У третьому розділі розглянута імпульсна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку з малим невід'ємним параметром

розглядуваний відрізок точки імпульсної дії - вимірні дійсні матриці-функції, ,; елементи матриці - неперервно диференційовні з розривами першого роду в точках імпульсної дії функції:; елементи матриці кусково неперервні:; вимірна неперервна вектор-функція, яка належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій:; вимірна вектор-функція з простору кусково-неперервних по вектор-функцій - вимірні матриці, елементами яких є дійсні числа;, матриці, - невироджені; лінійний обмежений - вимірний векторний функціонал, визначений на просторі кусково-неперервних - вимірних векторних функцій:. Розв'язок нетерової імпульсної крайової задачі шукається в класі - вимірних неперервних вектор-функцій, таких що. малий невід'ємний параметр. Функціївважаються неперервними зліва у точках розриву.

Припускається, що в околі розв'язків породжуючої задачі нелінійна векторна функція неперервно диференційовна за першими двома аргументами і належить класу по змінній, векторні функціонали, , неперервно диференційовні (у розумінні Фреше) за першими двома аргументами. Крім того, функція і функціонали, , та вважаються неперервними по.

Розв'язана задача про знаходження необхідних умов існування розв'язків нетерової імпульсної крайової задачі таких, що, , які при перетворюються в один із розв'язків, породжуючої імпульсної крайової задачі. Побудовано аналог рівняння для породжуючих амплітуд.

Теорема 3.1. Нехай породжуюча крайова задача розв'язна, тобто виконується умова, а збурена нелінійна нетерова крайова задача з імпульсною дією має розв'язок, , , який при перетворюється у розв'язок породжуючої крайової задачі з векторною сталою .

Тоді вектор задовольняє рівняння .

У випадку, коли справедливі тотожності, , , та, отримана достатня умова існування розв'язків розглядуваної задачі.

У випадку, коли породжуюча крайова задача нерозв'язна, розглянута лінійна неоднорідна крайова задача для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та малим збуренням лінійних членів (слабкозбурена лінійна крайова задача): , , , , ,

де та вимірні вектор-функції;, , , - - вимірні матриці-функції; елементи матриці - дійсні, неперервно диференційовні з розривами першого роду в точках імпульсної дії функції:, ,; елементи матриці -дійсні, кусково-неперервні функції:;, - - вимірні матриці, елементами яких є дійсні числа;,; лінійні обмежені вимірні векторні функціонали:; малий невід'ємний параметр.

Припускається, що у породжуючої крайової задачі не існує розв'язків при довільних неоднорідностях, , , та, тобто, незбурена крайова задача є нерозв'язною. Це означає, що має місце критичний випадок. Розглянута і розв'язана задача регуляризації: чи можна за допомогою лінійних збурень, , , зробити слабкозбурену імпульсну крайову задачу скрізь розв'язною. Якими мають бути збурюючі доданки, щоб слабкозбурена імпульсна крайова задача була розв'язною скрізь при неоднорідностях, , , та.

Встановлено умови, за яких слабкозбурена імпульсна крайова задача має єдиний розв'язок, який при має вигляд збіжного ряду Лорана. Коефіцієнти цього ряду шукаються з допомогою методу Вішика-Люстерніка.

У третьому розділі також розглядається нелінійна імпульсна крайова задача з розщепленими крайовими умовами, ,

вимірна вектор-функція, розглядуваний відрізок, точки імпульсної дії:,;, , , , ,- сталі вимірні матриці;, ,;.

Припускається, що для вектор-функцій, та, , де, виконуються умови:

1) вектор - функція неперервна по;

2) для кожного вектор - функція як функція змінних, неперервна на множині:;

3) для всіх і вектор - функція обмежена за нормою і задовольняє умові Ліпшиця:, ,

де, , - сталі Ліпшиця;

4) для всіх вектор - функції, , обмежені за нормою та справджують умову Ліпшиця: , , , ,

де, , , -сталі Ліпшиця, ,.

Сталі величини достатньо малі і задовольняють такі нерівності.

Розв'язок нелінійної імпульсної крайової задачі шукається у класі функцій таких, що,.

За умови, що однорідна крайова задача з імпульсною дією має лише тривіальний розв'язок, з допомогою функції Гріна і переходу до еквівалентного інтегро-суматорного рівняння методом простих ітерацій показано, що нелінійна імпульсна крайова задача з розщепленими крайовими умовами має єдиний розв'язок, який є границею рівномірно збіжної послідовності вектор-функцій.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена актуальним питанням конструктивного аналізу загальних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією. В роботі поставлена і розв'язана задача отримання конструктивних умов розв'язності крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу. Загальні крайові умови задаються з допомогою обмежених (лінійних і слабконелінійних) векторних функціоналів.

У роботі:

-встановлено необхідні і достатні умови розв'язності загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку і систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією;

-побудовано узагальнені матричні функції Гріна лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку і систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та досліджено їх властивості. За допомогою узагальнених матриць Гріна побудовані множини розв'язків відповідних крайових задач;

-визначено коефіцієнтну умову виникнення розв'язку слабкозбуреної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку, коли відповідна породжуюча задача не має розв'язків;

-знайдено необхідну умову розв'язності слабкозбуреної нелінійної імпульсної крайової задачі у критичному випадку;

отримано аналог рівняння для породжуючих амплітуд;

-встановлено достатню умову існування розв'язку слабкозбуреної імпульсної нелінійної крайової задачі у критичному випадку;

-з допомогою фундаментальної матриці лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь другого порядку побудована матриця Гріна крайової задачі з розщепленими двоточковими крайовими умовами у некритичному випадку і побудовано розв'язок крайової задачі у лінійному і нелінійному випадках.

Результати дисертації мають теоретичний характер і узагальнюють теорію нетерових лінійних і слабконелінійних крайових задач на випадок крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Шовкопляс Т. В. Необхідні та достатні умови існування розв'язку крайової задачі // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб-к науч. трудов. - Киев: Ин-т м-ки НАН Украины. - 1999. - С. 280-282.

2. Шовкопляс Т. В. Некритична квазілінійна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. Зб-к наук. пр. Чернівецький держ. ун-т ім. Ю. Федьковича. - 1999. - Вип. 4. - С. 202-213.

3. Шовкопляс Т. В. Критерій розв'язності лінійної крайової задачі для системи другого порядку // Укр. Мат. Журн. -2000 . - Том 52, № 6. - С. 861-864.

4. Шовкопляс Т. В. Лінійні крайові задачі для імпульсних систем другого порядку // Нелінійні коливання. - Наук. ж-л. - Київ: Ін-т м-ки НАН України. - 2000. - Том 3, № 4. - С. 571-578.

5. Шовкопляс Т. В. Про розв'язність лінійних двоточкових крайових задач з імпульсною дією // Вісн. Київ-го ун-ту. Сер. Математика. Механіка. - 1999. - Вип 3. - С. 48-53.

6. Шовкопляс Т. В. Слабкозбурені лінійні крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку // Доп. НАН України. - 2002. - № 4. С. 31-36.

7. Кривошея С. А., Шовкопляс Т. В. Необхідна умова розв'язності нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку // Вісн. Київ-го ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. - 2003. - Вип. 1. - С. 86-95.

Размещено на Allbest.ru