Применение метода электрической аналогии при исследовании процесса прохождения пульсовой волны через нижнюю полую вену при наличии кава-фильтра на участке сосуда

Размещено на http://www.allbest.ru/

192

ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2014. Вып. 177

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОЦЕССА ПРОХОЖДЕНИЯ ПУЛЬСОВОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ НИЖНЮЮ ПОЛУЮ ВЕНУ ПРИ НАЛИЧИИ КАВА-ФИЛЬТРА НА УЧАСТКЕ СОСУДА

О.Г. АВРУНИН, д-р техн. наук, С.И. ВЛАДОВ

Введение

Одной из основных проблем современной медицины является создание эффективных методов лечения и профилактики сердечно-сосудистых заболеваний. Возрастающую роль в их разработке играют методы математического моделирования для количественного расчета параметров кровотока в сосудистой сети с целью изучения влияния на гемодинамику формы имплантатов и прогнозирования результатов хирургических вмешательств,.

Актуальность и постановка задачи исследований

Для профилактики тромбоэмболии легочной артерии в нижнюю полую вену устанавливают специальные имплантаты - так называемые кава-фильтры, улавливающие флотирующие тромбы. Исследование тока крови в окрестности устройства представляет большой интерес, как для оптимизации формы имплантатов, так и изучения их влияния на гемодинамику. Кава-фильтр представляет собой тонкую металлическую проволочную конструкцию.

В работе [1] воспроизводится кровоток при наличии кава-фильтра с тромбом в вене. Причем препятствие учитывается посредством уменьшения эффективного сечения сосуда, однако при этом не берется во внимание упругое воздействие имплантата на стенку сосуда. В работе [2] исследуется осесимметричная задача о течении крови вдоль артерии со стентом. Эластичные свойства стенки, полагаемой тонкостенной мембраной из нелинейного вязкоупругого материала, вычисляются через уравнение равновесия для такой оболочки. Описываемый метод приемлем только для осесимметричных задач, где толщиной стенки можно пренебречь. Таким образом, существующие методы учета влияния имплантатов на гемодинамику в модели глобального кровообращения, не использующие дополнительных численных моделей, имеют ряд ограничений и допущений [1, 2]. Указанные подходы не являются универсальными: их область применения включает только частные случаи возможных послеоперационных ситуаций. Для более точного описания влияния имплантатов на гемодинамику в данной работе предложено применить разработанную модель системы кровообращения человека в виде согласованной длинной линии с распределенными параметрами [3 - 5]. Математическая постановка задачи основывается на решении телеграфных уравнений длинной линии [4], что обеспечивает вычислительно-эффективную технологию. Данный метод позволяет изучать гемодинамику во всем организме при наличии как одной, так и нескольких патологий или имплантатов, а также не требует от них осесимметричности.

Цель работы - разработка и численная реализация методов, позволяющих представить модель системы кровообращения человека в виде согласованной длинной линии с распределенными параметрами [3 - 5] с учетом наличия патологий или имплантатов, в частности, кава-фильтра.

Материал и результаты исследований

кровообращение кава фильтр имплантат

Для математического описания гемодинамических процессов в кровеносном сосуде, содержащего кава-фильтр, модель кровеносного сосуда в виде длинной линии длиной l [3 - 5], разбивается на три участка: 0А₁ - участок до места крепления кава-фильтра длиной l_0А1; А₁А₂ - участок, содержащий кава-фильтр длиной l_А1А2; А₂А₃ - участок после кава-фильтра длиной l_А2А3 (рис. 1).

Рис. 1

Участки 0А₁ и А₂А₃ согласно разработанной модели кровеносного сосуда в виде длинной линии характеризуются известными передаточными функциями [4]:

(1)

(2)

где Н_0А1 и Н_А2А3 - коэффициенты передачи.

Рассмотрим подробнее участок кровеносного сосуда, содержащий кава-фильтр (А₁А₂).

Для обеспечения процесса кровообращения в данном сосуде необходимо, чтобы сопротивление нагрузки, представленное в общем виде как Z_H = R_H + jХ_Н, удовлетворяло двум условиям:

1. Активная часть нагрузки R_H должна равняться волновому сопротивлению линии Z_B (волновое сопротивление линии, представленное в общем виде) [6]:

R_H = Z_B. (3)

2. Реактивная часть нагрузки Х_Н должна равняться нулю [6]:

Х_Н = 0. (4)

Если сопротивление нагрузки удовлетворяет условиям (3) и (4), значит, участок линии согласован с нагрузкой.

Условия согласования (3) и (4) требуют, чтобы Z_BX(x₁) = Z_B, то есть Z_BX(x₂) · Z_B = .

Поскольку участок А₁А₂ неоднороден (в него входят как параметры кровеносного сосуда, так и параметры кава-фильтра), значит для математического описания гемодинамических процессов на данном участке модели длинных линий, в виде которых представлены как сам участок сосуда, так и кава-фильтр, необходимо представить в виде двух четырехполюсников с параллельным включением, так как при соединении кава-фильтра со стенкой сосуда включаются параллельно их входы и параллельно их выходы (рис. 2).

Рис. 2

Для параллельного соединения, как следует из схемы (рис. 2), удовлетворяют равенства:

(5)

Используя уравнения четырехполюсника для Y-параметров, получим:

(6)

где - матрица параметров модели кровеносного сосуда; - матрица параметров модели кава-фильтра.

Как известно, в режиме 2х2-полюсника матрица передачи отрезка линии представляется в виде

По формулам перехода из А-параметров к Y-параметрам найдем искомую матрицу Y-параметров:

(8)

,

Где

Рассмотрим отдельно модель кава-фильтра. В общем виде кава-фильтр представляет собой однопроводную линию передачи, покрытую диэлектриком (титаном, нитинолом и т.д.) (рис. 3).

Рис. 3

Волновое сопротивление однопроводной линии передачи рассчитывается по формуле [7, 8]

(9)

где r - радиус проводника; r₀ - граничный радиус, который определяется по графику зависимости от [8], где л - длина пульсовой волны, проходимой через данный кровеносный сосуд; у - толщина диэлектрика; е - диэлектрическая проницаемость материала диэлектрика.

Для составления матрицы Y-параметров модели кава-фильтра необходимо знать коэффициент передачи г_KF, который определяется соотношением и является комплексной величиной:

г_KF = б + jв; (10)

где б - коэффициент затухания, который определяется по формуле [8]

(11)

л_ф - длина волны вдоль однопроводной линии передачи, которая определяется по формуле [7, 8]:

(12)

где л - длина пульсовой волны, проходимая через данный кровеносный сосуд, которая зависит от скорости распространения пульсовой волны и частоты сердечных сокращений и определяется по формуле

(13)

где f_ЧСС - частота сердечных сокращений; v_ф - фазовая скорость (скорость распространения пульсовой волны), которая определяется по формуле Моэнса - Кортевега [9]:

(14)

где Е - модуль упругости стенки кровеносного сосуда, который определяется как тензор деформации [10, 11]; h - толщина стенки кровеносного сосуда; d - внешний диаметр кровеносного сосуда; с - плотность крови.

Коэффициент фазы (волновое число) в определяется по формуле

(15)

Тогда матрица Y-параметров модели кава-фильтра представляется в виде

(16)

поскольку

Результирующая матрица Y-параметров эквивалентного четырехполюсника имеет вид

(17)

Нахождение передаточной функции модели эквивалентного четырехполюсника осуществляется из уравнений четырехполюсников для Z-параметров (рис. 4):

(18)

Рис. 4

При однонаправленности кровотока токи и , то система уравнений (18) представляется в виде

(19)

Из системы уравнений (19) выражается передаточная функция H_А1А2:

(20)

где Z₁₁ и Z₂₁ - эквивалентные Z-параметры модели четырехполюсника.

По формулам перехода из Y-параметров к Z-параметрам найдем искомую матрицу Z-параметров:

(21)

Где

Таким образом, искомые коэффициенты матрицы [Z] Z₁₁ и Z₂₁ имеют вид:

Передаточная функция модели кровеносного сосуда, содержащего кава-фильтр, представляется выражением

(24)

Для исследования процесса прохождения пульсовой волны через нижнюю полую вену в частотной области применяем следующее соотношение:

- при нормальном кровотоке:

(25)

где U₁ - значение входного давления; R_0ЗВ, L_0ЗВ, C_0ЗВ - эквивалентные R₀, L₀, C₀ - параметры модели нижней полой вены в виде длинной линии, определяемые согласно [4]:

- при наличии кава-фильтра на участке сосуда:

(26)

Восстановление выходного сигнала пульсовой волны во временной области происходит согласно выражению:

- при нормальном кровотоке:

(27)

- при наличии кава-фильтра на участке сосуда:

Рассмотрим участок нижней полой вены длиной 4,5 см с диаметром сечения 2 см. Кава-фильтр, выполненный их нитинола (TiNi) с диэлектрической проницаемостью 1200 [12], крепится на расстоянии 0,5 см от границы втекания (l_0А1 = 0,5 см, l_А1А2 = 2 см, l_А2А3 = 2 см), его длина 2 см, диаметр каждой из 12 ножек 0,5 мм, а толщина - 0,1 мм. Кровь считается вязкой несжимаемой неньютоновской жидкостью с динамической вязкостью з = 4,5•10^-3 кг/м•с и плотностью с = 1,062•10³ кг/м³. В исследованиях принимается частота сердечных сокращений здорового человека в спокойном состоянии f_ЧСС = 1 Гц. Значение входного давления U₁ принимается равным -1,5 мм рт. ст. (-200 Па), что отвечает среднему давлению в нижней полой вене.

В табл. 1 приведены результаты расчетов основных параметров моделей нижней полой вены и кава-фильтра. На рис. 5 приведены графики АЧХ спектра пульсовой волны после прохождения участка нижней полой вены: а - при нормальном кровотоке , построенном согласно выражению (25), б - при наличии кава-фильтра , построенного согласно выражению (26). На рис. 6 приведены графики пульсовой волны после прохож-дения участка нижней полой вены: а - при нормальном кровотоке U₂(t), построенном согласно выражению (27), б - при наличии кава-фильтра , построенного согласно выражению (28).

Таблица 1

Рис. 5

Рис. 6

Результаты статистической проверки адекватности проведенного исследования

Для подтверждения адекватности проведенного исследования вычислим двухсторонний критерий Стьюдента, рассчитанное значение t_емп которого должно быть большим критического значения t_кр(б; r) при выбранном уровне значимости б = 0,05 и количестве степеней свободы r = n₁ + n₂ - 2, где n₁ - количество экспериментальных точек на кривой 1 (рис. 6), n₂ - количество экспериментальных точек на кривой 2 (рис. 6).

Если t_емп > t_кр(б; r), то различия между средними значениями экспериментальной группы 1 и экспериментальной группы 2 существенны на данном уровне значимости, что означает изменения движения крови в сосуде с наличием кава-фильтра на участке сосуда.

Эмпирическое (расчетное) значение двустороннего критерия Стьюдента t_эмп определяется по формуле [13]

(29)

где M₁, M₂ - математическое ожидание первой и второй выборок соответственно (то есть экспериментальных значений с кривых 1 и 2 (рис. 6)) и вычисляются по формулам [13]:

S_d - стандартная ошибка разности, которая при n₁ = n₂ = n определяется по формуле [13]

 (30)

S₁, S₂ - дисперсии первой и второй выборок соответственно, которые вычисляются по формулам [13]:

где P_1i и P_2i - экспериментальные значения с кривых 1 и 2 (рис. 6).

В табл. 2 занесены основные экспериментальные значения с кривых 1 и 2 P_1i и P_2i при одном и том же значении времени t, результаты расчетов M₁, M₂, S₁, S₂, S_d, t_эмп, а также значение критического значения критерия Стьюдента t_кр(б; r) при n₁ = n₂ = n = 10, r = 18 и б = 0,05.

Таблица 2

Поскольку t_эмп > t_кр(б; r), значит различия между средними экспериментальными значениями, взятыми с кривых 1 и 2 (рис. 6) существенны на данном уровне значимости б, т.е. вероятность ошибки меньше б, что является подтверждением адекватности проведенного исследования и влияния наличия кава-фильтра на участке сосуда стенки сосуда на характер кровотока.

Выводы

При нормальном кровообращении АЧХ спектра сигнала пульсовой волны практически не изменяется и являет собой плавно спадающую прямую линию, а при наличии на участке сосуда кава-фильтра идет значительное снижение значения амплитуды спектра сигнала пульсовой волны на частотах от 0 и до 2 Гц, а на частотах выше 2 Гц изменения не происходит. При этом график АЧХ представляет собой прямую линию (см. рис. 5). Наличие кава-фильтра на участке сосуда не приводит к существенному изменения формы пульсовой волны и значений кровяного давления во временной области на исследуемом участке нижней полой вены. Это объясняется тем, что давление в нижней полой вене находится в районе 0 мм рт. ст. (см. рис. 6). Однако при проведении диагностики системы кровообращения человека необходимо учитывать наличие на участке сосуда кава-фильтра, поскольку его влияние сказывается на выходном сигнале пульсовой волны, который поступает в правое предсердие после прохождения большого круга кровообращения. Перспективой работы является повышение достоверности диагностики и клиническая апробация разработанного метода.

Список литературы

1. Математическое моделирование течения крови с кава-фильтрами / Н.Б. Есикова, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, А.П. Фаворский, А.Б. Хруленко. Препринт. М.: МАКС Пресс, 2004. 22 с.

2. Pontrelli G. Numerical modelling of blood flow in a stented artery / G. Pontrelli, G. Pedrizzetti // Wall-fluid interactions in physiological flows. WIT Press, 2004. Pр. 173-188.

3. Владов С.І. Модель кровоносної системи у вигляді узгодженої довгої лінії / С.І. Владов, В.О. Мосьпан, О.О. Юрко // Матеріали VІI Міжнар. наук.-практ. конф. «Перспективні розробки науки і техніки - 2011», Польща, Пшемисль, т. 43. Біологічні науки. С. 69-74.

4. Владов С.І. Модель системи кровообігу людини у вигляді неоднорідної узгодженої довгої лінії з розподіленими параметрами / С.І. Владов, В.О. Мосьпан // Вісник Кременчуцького нац. ун-ту імені Михайла Остроградського. Кременчук: КрНУ, 2012. Вип. 2/2012 (73). С. 56-59.

5. Владов С.І. Комплекс діагностування та вимірювання гемодинамічних показників системи кровообігу людини / С.І. Владов // Матеріали ХІ Міжнар. наук.-техн. конф. «Фізичні процеси та поля технічних і біологічних об'єктів», Кременчук, 9 - 12 лист. 2012 р. Кременчук: КрНУ, 2012. С. 124-125.

6. Максимов В.М. Линии передачи СВЧ-диапазона: конспект лекций / В.М. Максимов. М.: Сайнс-Пресс, 2002. С. 10-19.

7. Маненков В.И. Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства: Конспект лекций / В.И. Маненков. Астрахань: АГТУ, 2004. 50 с.

8. Мосьпан В.О. Основи радіозв'язку та антенно-фідерні пристрої / В.О. Мосьпан, С.М. Якимець. Кременчук: КДПУ, 2004. 273 с.

9. Биофизика / Ю.А. Владимиров, Д.И. Рощупкин, А.Я. Потапенко, А.И. Деев. М.: Медицина, 1983. С. 234.

10. Владов С.І. Визначення вектора радикального переміщення за схемою циліндричної оболонки кровоносної судини при симетричному навантаженні / С.І. Владов, В.О. Мосьпан, О.О. Юрко // Матеріали VІIІ Міжнар. наук.-практ. конф. «Наукова індустрія європейського континенту - 2012», Чехія, Прага, т. 20. Біологічні науки. С. 22-29.

11. Vladov S. Design of the deformed state of blood vessels / S. Vladov, V. Mospan, O. Yurko // Nauka i studia. Przemysl: Sp. z o. o. «Nauka i studia», 2013. NR 7(75), 2013. Pp. 72-77.

12. Доброседова Т.К. Численное моделирование кровотока при наличии сосудистых имплантатов или патологий: дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Доброседова Татьяна Константиновна. М., 2013. 102 с.

13. Лакин Г.Д. Биометрия / Г.Д. Лакин. М.: Высш. шк., 1980. 293 с.

Размещено на Allbest.ru