Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

К 2018 году в мире насчитывается более 70 миллионов [2] человек, страдающих от различных форм одного из самых распространенных неврологических заболеваний - эпилепсии. В настоящий момент под эпилепсией понимают внезапное чрезмерное возбуждение нейронов в коре головного мозга, внешнее проявление которого состоит в повторяющихся судорожных приступах, проявляющихся в нарушениях со стороны нервной и сердечно-сосудистой систем пациента, потере сознания, частичной или полной потере контроля над собственными движениями и, как результат, невозможности контролировать свое состояние во время приступа. Что еще важнее, согласно статистике, опубликованной ВОЗ, с каждым годом количество новых случаев заболевания увеличивается: в странах с высоким уровнем дохода этот показатель составляет от 30 до 50 на 100 тыс. человек. В странах с низким и средним уровнем дохода, на которые приходятся 80% всех случаев эпилепсии, - вдвое больше.[45]

Учитывая свою сложную природу, данное заболевание почти не поддается полному лечению. Спазмолитические препараты, целью которых является уменьшение вероятности наступлении эпилепсии, часто приводят к сильным побочным эффектам таким, как нарушение работы поджелудочной системы, системы органов кровообращения и т.п. И даже в тех случаях, когда для устранения приступов используется хирургическая операция по удалению части головного мозга, провоцирующей припадки, 30% людей продолжают испытывать непредсказуемые судороги. В результате люди, страдающие этим заболеваниям, постоянно находятся в состоянии тревоги из-за возможности оказаться в состоянии припадка в неправильное с медицинской и социальной точек зрения время.

В связи с тем, что лечение не всегда является доступным и подходящим способом для помощи больным, другим не менее значимым подходом к оказанию поддержки жизненного цикла пациента является детектирование наличия эпилептического приступа. Положительным аспектом такого метода считается своевременное уведомление окружающих с целью создания необходимых условий в момент наступления судорог.В качестве источника данных для детектирования приступа могут использоваться:

· ЭЭГ - электроэнцефалограмма, анализ активности нейронов головного мозга

· ЭКГ - электрокардиограмма, исследование систематики работы сердца

· Внешние показатели- контроль за непроизвольными действиями, судорогами, дыханием, температурой.

Используя эти данные, за последние 20 лет было созданобольшое количество различных носимых устройств: от обычных часов, браслетов и поясов до диагностических устройств, установленных операбельным путем, и приспособлений таких, как анти-удушающие подушки и видеокамеры, реагирующие на движения пациента. Отдельно пунктом стоит отметить ряд исследований [23,44],по результатам которых было установлено, что собаки, находящиеся рядом с пациентом, могут не только детектировать припадок у пациента, но и предупреждать его за 7 минут до наступления пика негативного состояния.

Однако даже при таком наборе подходов остается проблема, которую практически никто из них не решает. В современных исследованиях учеными выделяются 4 периода в рамках существования патологии:

· Межприступный период (интериктальный) - стабильная активность мозга, в пределах нормы

· Подготовительный период (преиктальный) - незначительное увеличение активности мозга, называемое также аурой. Может проявляться в виде головокружения, визуальных или слуховых галлюцинаций.

· Приступ (иктальный) - эпилептический припадок, сопровождаемый судорогами и другими вышеперечисленными симптомами

· Послеприпадочный период (постиктальный) - восстановление после приступа, слабость, уменьшенная мозговая и физическая активность

На рисунке 1 продемонстрировано характерная динамика электрических сигналов для первых трех стадий.

Рисунок 1

эпилептический приступ фрактальный аритмия

Браслеты, подушки и другие методы направлены на выявление иктальной фазы, основной целью которого является уведомление окружающих, а не самого пациента, в связи с чем возникает новая цель, которая и будет решаться в рамках данной работы- прогнозирование наступления приступа, или другими словами - разделение преиктальной и интериктальной фаз. Для людей, страдающих этим заболеванием, возможность обнаружения наступления припадка является гораздо более выгодным решением в отличие от непосредственного уведомления по факту свершения сразу по нескольким причинам:

· Своевременное уведомление пациентов поможет им восстановить нормальный образ жизни, не отказываясь от повседневных занятий, в процессе которых наступление приступа может приводить к дополнительным рискам, связанным с угрозой своей и чужих жизней, например, плавание в бассейне или вождение автомобиля.

· При некоторых видах эпилепсии возможно использование электрической стимуляции с целью снижения активности мозга и вероятности наступления эпилептических судорог

Учитывая тот факт, что патология имеет неврологический характер,и основной характеристикой исследуемого объекта должна стать чувствительность к самым незначительным, первичным признакам начала приступа, в качестве источника данных, была выбрана ЭЭГ. Ключевыми достоинствами данного показателя можно считать: отражение самых малых внутренних и внешних проявлений организма, поддержка высокого разрешения - вплоть до миллисекунд, и сравнительную устойчивость к движению исследуемого объекта в отличие от, например, ЭКГ.

Поскольку ЭЭГ представляет собой временной ряд, то для решения поставленной цели можно рассмотреть спектр методов, применяемых для работы с данными по времени. Все методы, используемые в современном мире на текущий момент для анализа такого рода данных, можно разделить на следующие категории:

· Эконометрический подход -статистические модели анализа временных рядов:ARIMA, GARCHи т.п.

· Машинное обучение (Machinelearning) - использование различных алгоритмов классификации для анализа слабоуловимых зависимостей: логистической регрессии, решающих деревьев, нейронных сетей и др.

· Обработка сигналов (SignalProcessing) - численные методы: фильтрация, спектральный анализ, wavelet подходы и т.п.

Каждая группа методов смогла закрепить за собой набор задач, с которым она справляется лучше всего. Однако, используя любой из этих подходов при анализе ЭЭГ, приходится сталкиваться сважными допущениями. Так, эконометрические модели, используемые для структурного анализа временного ряда, способы работать преимущественно с низкочастотными данными и более того, ориентированы на данные с короткой памятью. Алгоритмы машинного обучения, основанные на «обучении» модели, обрабатывая имеющиеся данные, предполагают их репрезентативность для генерализации подхода и, как результат, плохо работают с данными, которых не было в первоначальной выборке. Также оба способа предполагают большие вычислительные мощности, рост которых существенно увеличивается по мере увеличения частотности данных.Именно поэтому наибольшее распространение в медицине получила третья категория, рассматривающая данные именно с точки зрения, сигналов, вводя такие понятия, как частота, амплитуда, фаза и т.п. Однакоосновное применение методов этой группы направлено именно на детектирование, а не прогнозирование. Как это часто бывает, самым правильным решением становится комбинация имеющихся способов. Так последние достижения в области прогнозирования [33] связаны именно с анализом временных рядов посредством спектрального анализа и обучении нейронной сети на полученных данных.

Среди альтернативных подходов для обработки сигналов, которые на текущий момент не используются напрямую в медицине, выделяют теорию хаоса, занимающуюся исследованием поведения нелинейных динамических систем. Достоинством такого подхода является рассмотрение данных с точки зрения одновременно детерминированной и непредсказуемой системы или системы с длинной памятью. К таким системам относят атмосферу, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяциии др. Согласно исследованию [37], данные электроэнцефалограмм, а точнее, активность нейронов головного мозга, также относится к нелинейной динамической системе, что дает ученым возможность переосмысления подхода к анализу ЭЭГ и расширения существующих методов прогнозирования за счет фрактального анализа природы этих данных.

Основные задачи, которые ставятся в рамках данной работы:

· Проверка гипотезы о соответствии данных природе нелинейных динамических систем

· Анализ реальных ЭЭГ с целью выявления характерных зависимостей с применением методов теории хаоса

· Расширение существующих моделей прогнозирования за счет полученных статистик

Актуальность данной работы состоит в рассмотрении объекта исследования в рамках концептуально нестандартной для него математической модели, набора предпосылок, обеспечивающих высокие ожидания от результата и возможности внедрения такого решения в существующие системы при наличии качественного улучшения результата.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

1.1 Актуальность рассматриваемого подхода

За последние десять лет в мире наметился существенный тренд на увеличение интереса к анализу ЭЭГ (см.рис. 2).

Рисунок 2

Точных причин, благодаря которым наблюдается экспоненциальный рост, установить не удается, хотя и можно предположить. Начало 21 века ознаменовано массовой интервенцией в индустрию новых технологий, позволяющих пересмотреть устоявшиеся подходы к сбору и анализу различного рода данных. К таким инновациям можно отнести: значимый прирост дискового пространства, позволяющего хранить большие массивы данных, различные технологии параллельной обработки, развитие BigDataподходов и алгоритмов глубинного обучения. Все это позволяет ученым, накапливая гигантские объемы данных, уходить все дальше и дальше в изучении строения нейронных сетей головного мозга, извлекая более значимую информацию из этих данных. «"Теперь, когда нейробиологи начинают всерьез задумываться о более высоких уровнях функционирования мозга с точки зрения нейрональных сетей и реверберационных цепей, электроэнцефалографы могут почувствовать удовлетворение от того, что через некоторое время их специальность снова начинает быть востребованной. Как они и подозревали все это время, по-видимому, важная информация о том, как работает мозг, действительно содержится в эмпирически полезных, но до сегодняшнего дня непостижимых колебаниях ЭЭГ [18].»

В качестве примера таких новых исследований можно привести:

· Использование совмещенных данных функциональной магнитно-резонансной томографии и электроэнцефалограммы, в которой авторы комбинируют результаты анализа методами компьютерного зрения и анализа временных рядов[8]

· применение wavelet трансформаций [38], позволяющих получить новые признаки из временных рядов, основанные на частотных компонентах, используя интегральные преобразования сигнала

· анализ временных рядов с использованием сверточных нейронных сетей, получивших широкое распространение только с 2012 года.[11,12,41]

Другим примером нового подхода, и, возможно, одной из самых амбициозных попыток является применение теории нелинейных динамических систем или теории хаоса, хорошо себя зарекомендовавшей при анализе финансовых рядов, к данным ЭЭГ.

1.2 Медицинская постановка задачи

Перед тем как проанализировать применение теории хаоса в медицине, стоит описать современные мировые практики проведения электроэнцефалографии. С середины 19 века людям стало очевидно, что мозг, как и любая мышечная ткань в организме может генерировать электрические импульсы. В 1913 году ученым впервые удалось снять электроэнцефалограмму с мозга лягушки, в которой четко прослеживалось наличие синхронных ритмов в нейронной активности. Спустя 15 лет миру была также была продемонстрирована первая ЭЭГ, снятая с человека. По прошествии почти 100 лет в науке закрепился целый раздел электрофизиологии, занимающийся исследованиями электрических свойств различных клеток и тканей в организме человека.

На сегодняшний день ЭЭГ представляет собой процедуру измерения нейроактивности головного мозга, используя для этого маленькие электрические проводники - электроды, равномерно распределенные на коже головы. Каналы, получаемые при проведении ЭЭГ формируются взятием разности между потенциалами, измеренными в двух точках, получая в итоге суммарный потенциал миллионов нейронов. Для стандартизации подхода снятия данных, обеспечения воспроизводимости результатов сбора, анализа и восстановления данных на разных пациентах в мире существует международная система размещения электродов “10-20”. Согласно данному подходу, число 10 или 20 отвечает за процентную величину расстояний, на которых необходимо размещать соседние электроды на кожном покрове. Например, измерение производится в верхней части головы, от назиона (верхненосовая точка) до иниона (затылка). Аналогичные измерения проводятся справа налево, от уха до уха) и вокруг черепа. Подход основан на метрической системе, и измеряется, в частности, в сантиметрах.



Рисунок 3

Как можно увидеть на рисунке 3 каждый электрод, расположенный по стандарту 10-20 имеет численное и буквенное описание для указания доли или зоны головного мозга:

· Префронтальная кора - PF

· Лобная доля - F

· Височная доля - T

· Теменная доля - P

· Затылочная доля - O

· Центральная доля - C

Стоит отметить, что термина «центральная доля» на самом деле не существует и в зависимости от поставленной задачи данный тип электродов может считывать данные из других областей мозга. Буква Zотносится к электроду, расположенному на средней линии и существует в основном дляформирования симметричной картины.Aили M,также иногда появляющаяся в ЭЭГ, отвечает за формирование костного процесса.

Что касается цифр, то основным отличием является четность/нечетность используемых значений. Так четные цифры (2,4,6,8) относятся к электродам, расположенным на правой стороне головы, тогда как нечетные номера (1,3,5,7) ссылаются на левую сторону.

Конечно, существуют более высокоточные системы, в которых используется значительно большее количество электродов, помещаемых между теми, которые указаны в системе «10-20». При формировании такого набора электродов вводятся дополнительные обозначения такие, как

· AF - между Fp и F

· FC - междуF и C

· FT - междуF и T

· CP - междуC и P

· TP - междуT и P

· PO - междуP и O

Поскольку ЭЭГ отражает разницу напряжений между двумя электродами, то на полученных данных обозначения будут выглядеть, как «X-Y», где Xи Y-электроды, расположенные в определённом порядке согласно монтажу (последовательный, относительный и т.п.), между которыми и будет посчитана разница.

С точки зрения эпилептических приступов важно отметить, что идентичность используемых каналов ЭЭГ и структура ритмической активности различаются у разных людей. Например, на рис. 1 и рис. 2 показаны приступы у разных пациентов. У пациента приступ на рис. 1 начинается на 2994 секунде и характеризуется появлением ритмической активности, наиболее выраженной на каналах FP2-F4 и T8-P8.



Рисунок 4

У пациента Bприступ происходит с 1723 секунды и в отличие от пациента А, у которого наблюдалась меньшая активность при припадке, выражается резким выбросом с низкой амплитудой и уменьшением частотности.

Рисунок 5

Хотя природа приступов и разнится между пациентами, при анализе динамики конкретного человека наблюдается стабильное однотипное поведение активности нейронной сети в одной и той же области головного мозга. На рисунке 3 продемонстрирован второй приступ у пациента B, проанализировав который можно сделать вывод о спектральной и пространственной схожести двух приступов.

Рисунок 6

Также стоит отметить, что не вся активность такого типа гарантированно дает основания полагать, что у человека в выбранный момент времени происходит приступ. Так, например, динамика между 2989-2992 секундами на рисунке 1являетсятипичным признаком сна, известным как сигма-ритм, который не стоит путать с активностью во время приступа на том же рисунке

1.3 Теория нелинейных динамических систем

Прежде чем переходить к практической части исследования, необходимо дать ряд важных определений и описаний, оперируя которыми, будет проведено дальнейшее исследование.

Как уже было упомянуто ранее, фрактальная теория рассматривает нелинейные динамические системы. Динамической системой называют модель, которая определяет жизненный цикл системы, учитывая только ее начальное состояние, что говорит о наличии памяти у такой модели: текущее состояние представляет собой конкретную функцию предыдущего состояния. В связи с этим динамическая система характеризует сразу две вещи: состояние и динамику.

Состояние динамической системы определяется текущими значениями всех переменных, которые описывают состояние системы в конкретный момент времени. Следовательно, состояние такой системы описывается mпеременными, которые в момент времени tмогут быть представлены в виде точки в m-мерном пространстве. Такое пространство в терминах теории хаоса носит название - фазовое.

Динамика системы представляет собой набор законов или уравнений, описывающих, как изменяется состояние системы с течением времени. Как правило, набор таким правил состоит из системы связанных дифференциальных уравнений, где каждое уравнение описывает зависимость одной из mпеременных. Фактически динамика системы соответствует набору определенных состояний в своем фазовом пространстве. Линия, последовательно соединяющая все возможные состояния системы в таком пространстве, называется траекторией системы.

В природе большое количество явлений может быть описано с использованием такого подхода. Например, количество процентов, которые вы получаете с ваших накопленных средств в банке или рост численности населения Земли. Такие явления, как погода, солнце, планеты, химические реакции также могут быть представлены, как динамическая система. Даже не смотря на то, эти процессы и объекты по своей природе очень различны, все они могут быть представлены, как система, подчиняющаяся определенному набору правил, определяющих ее состояние и динамику с течением времени.

С точки зрения комплексности динамические системы можно разделить на линейные и нелинейные, стохастические и детерминистские, а также диссипативные и консервативные системы. Динамическая система называется линейной, если все уравнения, описывающие ее динамику линейны, в ином случае - нелинейные. Если в линейной системе можно наблюдать линейные зависимости между причинами и следствиями, то для нелинейных систем характерно наличие резких глобальных изменений, предпосылками для которых могут выступать сравнительно незначимые катализаторы. Что касается альтернативного деления, то главное отличие между ними заключается в наличии консервации основных показателей среды, например, если происходит обмен энергией с окружающей средой, то имеет место диссипативная система. Наконец, если система содержит некоторое количество шумов, то процесс называется стохастическим, в ином случае - детерминистским.

Используя данные определения, можно охарактеризовать и непосредственно объект исследования данной работы - нейронную сеть головного мозга, которая наиболее вероятно является примером нелинейной стохастической диссипативной системы.

Важным свойством нелинейных диссипативных систем является тот факт, что если мы исследуем эту систему на протяжении длительного промежутка времени, то траектория в имеющемся фазовом пространстве будет сходиться в конкретное подпространство. Такое подпространство представляет собой геометрическую фигуру, которая называется аттрактором системы. Аттрактором такая фигуру называется по причине того, что она притягивает (от англ. - attract) траектории из всех возможных начальных состояний. Примером такой фигуры может служить аттрактор Лоренца, который был обнаружен в 1963 году Эдвардом Лоренцом в результате анализа системы трех нелинейных дифференциальных уравнений, отражающих упрощенную модель атмосферы. По своей сути аттрактор представляет собой фрактальную форму, состоящую из бесконечного количества траекторий динамической системы. Из-за особенностей фрактальной геометрии близлежащие траектории будут расположены бесконечно близко к друг другу, но никогда не пересекутся (см. рис. 7).



Рисунок 7

В линейной диссипативной системе может существовать только один тип аттрактора: точка в фазовом пространстве или точечный аттрактор (pointattractor). Это означает, что такая система будет сходиться к устойчивому состоянию, после которого никаких дальнейших изменений происходить не будет, пока на систему не будет оказано воздействие извне. Напротив, нелинейные диссипативные системы могут отражать гораздо более интересные формы аттракторов. Помимо точечных аттракторов, в природе существуют еще три типа(см. рис. 8):

· Предельные циклы

· Nt-тор

· Хаотические (странные) аттракторы

Предельные циклы представляют из себя конечный набор итераций в фазовом пространстве, в которых имеет место периодическая динамика. Аттракторы типа Nt-тор имеют большее сложную «пончиковую» структуру и подразумевают квазипериодическую динамику. Такой тип динамики является суперпозицией различных периодических динамик с несоизмеримыми частотами. Что же касается странного аттрактора, то свое название получил именно благодаря своей комплексности с так называемой фрактальной геометрией. Динамика, которая описывается таким аттрактором является детерминированным хаосом, что говорит о его определенности с одной стороны и кажущейся случайности с другой.

Несмотря на кажущуюся детерминированность процессов, хаотические системы прогнозируются лишь на короткие промежутки времени. Динамика в таких системах даже с учетом ее полной определенности никогда не повторяет одного и того же состояния. Данный парадокс возникает благодаря фрактальной структуре аттрактора.

Рисунок 8

Для данной работы ключевым выводом является то, что аттракторы являются важной частью описания динамической системы, поскольку они дают представление о динамике, сформированной внутри такой системы.

Но одними картинками ограничиваться не стоит. Чтобы охарактеризовать свойства аттрактора, и, как следствие, свойства соответствующей динамической системы в современных исследованиях используется несколько метрик. Одной из таких метрик является размерность аттрактора, которая с точки зрения геометрии характеризует меру его пространственной экстенсивности. Размерность аттрактора может быть представлена, как мера количества степеней свободы или сложности системы. У точечного аттрактора такая величина будет равна 0, у предельного цикла - 1, у тора количество степеней свободы будет целым числом, определяемым количеством накладываемых периодических осцилляций, а у странного аттрактора это значение будет характеризоваться фрактальной размерностью, которая может быть представлена нецелым числом, например, 2.16, что как раз и отражает фрактальную геометрию и комплексность такого вида аттракторов.

К недостаткам такой характеристики можно отнести ее статичность, то есть отсутствие какой-либо информации об изменении траекторий с течением времени. В таком случае выходом из ситуации могут послужить другие статистики: коэффициент Ляпунова и мера энтропии.

Коэффициент Ляпунова отражает экспоненциальную дивергенцию или конвергенцию (в зависимости от знака) ближайших траекторий аттрактора, отражая скорость разделения бесконечно близких траекторий. Количество экспонент Ляпунова в системе отражает количество направлений, которые присутствуют в фазовом пространстве.

С этим показателем тесно связана другая характеристическая мера - энтропия, которая определяется, как уровень утраты информации с течением времени, и равен сумме всех положительных экспонент Ляпунова.

Расширяя уже введённые понятия за счет новых метрик, к консервативным системам относятся такие, у которых не происходит утрата энергии или информации во времени. Для примера можно представить себе маятник без учета трения в вакууме. Динамика такой системы будет иметь нулевую энтропию, и сумма всех экспонент Ляпунова также будет равна нулю.

Диссипативная система, примером которой может послужить такой же маятник, находящийся уже не в вакууме, а в воздухе, оказывающим сопротивление движению маятника, теряет энергию и информацию во времени. В таких системах сумма экспонент Ляпунова отрицательна.

В конечном счете хаотичные системы в терминах энтропии и экспоненты Ляпунова могут быть заданы следующим образом:

· Наличие хотя бы одной положительной экспоненты Ляпунова

· Положительная энтропия

Все эти признаки отражают возможность трансформации небольших флуктуаций в сильные искажения, что как раз и является ситуацией, при которой «предпосылками резких глобальных изменений могут выступать сравнительно незначимые катализаторы».

Последними, но не менее важными понятиями, которыми будут использованы в работе являются мультистабильность, контрольные парпметры и фазовые переходы, они же - бифуркации. К контрольным параметрам относят такие свойства системы, изменение которых может повлиять на динамику системы, и которые в рамках рассматриваемого периода остаются неизменными. Здесь стоит не путать параметры и переменные, поскольку переменные могут быть изменены в процессе реконструкции.

Для фиксированного набора параметров количество аттракторов может быть больше одного. Такой феномен получил название - мультистабильность. В этом случае каждый аттрактор занимает свою область в фазовом пространстве заданной системы. Вокруг таких аттракторов формируются области, называемые бассейном аттрактора, при попадании в которые динамика системы со временем сходилась к устойчивому состоянию аттрактора. Дополнительные пертурбации, воздействующие на систему, могут перевести состояние системы из бассейна одного аттрактора в другой. В мультистабильной системе одновременное сосуществование нескольких аттракторов и их бассейнов формирует так называемый рельеф аттрактора, который обычно задается набором контрольных параметров. [37] Как правило, при изменении контрольных параметров, рельеф аттрактора может быть незначительно изменен. Однако, при критических значения этих параметров форма аттрактора может быть существенно деформирована. Такие фазовые переходы, при которых старый аттрактор может быть полностью заменен на новый, в теории хаоса и называются бифуркациями.

На первый взгляд вся эта теория может показаться предельно абстрактной и эзотерической, но именно она поможет понять природу приступов и их появления в неожиданных ситуациях.

Первые попытки применения теории нелинейной динамики к ЭЭГ были сделаны еще в 1985, когда две группы исследователей опубликовали свои первые результаты.[32, 34, 35] Первая группа, возглавляемая Rapp, P. E., описала свой анализ спонтанной нейронной активности в моторной коре обезьяны, используя «хаос-анализ». Другая группа под руководством A. Babloyantz представила доклад о нахождении корреляционной размерности ЭЭГ человека во время сна. В те времена ситуация осложнялась тем, что даже для самых незначительных расчетов в анализе нелинейных систем требовались суперкомпьютеры, что безусловно тормозило прогресс. Кроме того, академическая среда была ограничена уровнем развития смежных сфер таких, как компьютерные науки, поскольку только в 1983 году были разработаны алгоритмы численного интегрирования, позволяющие существенно ускорить изучение нелинейных динамических систем для случаев, когда полное решение уравнений, описывающих систему не может быть вычислено напрямую.

Ранняя фаза развития нелинейного анализа ЭЭГ, продолжавшаяся примерно с 1985 по 1990, была преимущественно ориентирована на поиск низко-размерных хаотических динамик в различных типах ЭЭГ. Примерно в 1990 годах стали очевидно проблемы, возникающие при использовании такого подхода, связанные с проверкой валидности результатов. Так появился метод «тестирования суррогатных данных», основанный на использовании методов Монте-Карло для нахождения нелинейности во временных рядах.[6,17, 30]

Следующие десять лет были посвящены развитию новых метрик оценки нелинейных динамических систем, которые по своей сути должны были стать более подходящими для применения к шумным, нестационарным и высокоразмерным временным рядам, в том числе и ЭЭГ. Результатом этой серии исследований стал обновленный набор метрик, основанный на фазовой синхронизации, обобщенной синхронизации, а также ряд новых применений в мониторинге сна, анестезии и судорог. «Иронично, что чем более люди убеждались в наличии хаоса в мозге, тем сильнее людям хотелось его исследовать.»[19]

Первые исследования, направленные на различные состояния человека, ставили перед собой вопрос о том, к какому типу динамики принадлежит нормальное ЭЭГ. Несмотря на диаметрально противоположные гипотезы, основным выводом большинства исследований было отсутствие доказательства наличия низкоразмерного хаоса в ЭЭГ. Одновременно с этим стало понятно, что ЭЭГ здорового человека относится к слабой, но значимой нелинейной структуре.[1, 13, 14] С течением времени было выпущено еще несколько статей, анализирующих альфа, бэта ритмы в рамках ЭЭГ, и подводящих их динамику под типовые формы аттракторов: точечный, предельный цикл и т.п.

Также было установлено, что такие ритмы могут находиться в критическом состоянии, близком к бифуркации между упомянутыми типами аттракторов.

Параллельным вопросом, на который необходимо было искать ответ был установление статистической взаимосвязи между сигналами ЭЭГ, записанных из разных частей головного мозга. Первые исследования [9, 22], использующие для анализа многомерные временные ряды, полученные с нескольких электродов, используемых для ЭЭГ, продемонстрировали наличие такой взаимосвязи между различными каналами активности нейронной сети.

Еще меньше было известно о взаимосвязи возраста с данными ЭЭГ. В 1996 году Meyer-Lindenberg с коллегами исследовали электроэнцефалограмму 54 здоровых детей и 12 взрослых в состоянии покоя [1]. Используя, тестирование суррогатных данных, было установлено наличие схожих нелинейных структур в 70% случаев. Было также установлена положительная корреляция между возрастом и корреляционной размерностью рассматриваемой динамической системы. Более поздние исследования, направленные на анализ зависимости сложности устройства головного мозга и возраста, лишь подтвердили рост размерности с увеличением возраста, особенно во фронтальном отделе головы, связывая это в первую очередь с увеличением количества независимых нейронных сетей в мозге.

Пожалуй, самым важным приложением исследования ЭЭГ головного мозга в контексте данной работы является анализ природы эпилептических приступов. В отличие от нормальной активности головного мозга, приступы представляют собой гораздо более обширную нелинейную систему. Первыми, кто взялся за анализ такого рода данных, были Babloyantz и Destexhe[4], взяв для исследования абсанс или малый припадок. В результате исследования было установлено, что корреляционная размерность приступа была существенно ниже чем размерность ЭЭГ в состоянии покоя, что объяснялось уменьшением сложности или информации системы. На рисунке 9, где слева отражена межприпадочная фаза, а справа -припадок, можно заметить, что аттрактор, относящийся к интериктальной фазе, имеет более высокую размерность и низкий уровень синхронизации. В отличие от спокойного состояния, аттрактор, восстановленный по фазе эпилептического приступа, характеризуется детерминированной структурой более низкой размерности и более высоким уровнем синхронизации.



Рисунок 9

Двумя годами позже Iasemidis с коллегами расширили эту гипотезу [20], получив значимое уменьшение экспоненты Ляпунова при переходе к состоянию припадка. Однако в 1995, используя этот же набор данных, Theilerу сомневался в хаотичности данной системы и, реконструировав надлежащим образом суррогатные данные, пришел к выводу, что динамика припадков имеет тип зашумленного предельного цикла. Идея о том, что динамика припадков принадлежит к предельным циклам была тут же подхвачена академическим сообществом и неоднократно подтверждена позднее. [21]

Но важным вопросом, ответ на который еще предстояло выяснить, был переход и его происхождение между двумя типами динамик иктальной и интериктальной фаз. Рассматривая такой переход, стоит учитывать:

· Изменения в локальной динамике

· Изменения в переходных состояниях между разными отделами головного мозга

С точки зрения локальной динамики в теории нелинейных динамических систем предполагается, что природа такого перехода обусловлена наличием одной или нескольких бифуркаций, происходящий из-за критических значений контрольных параметров. возникающих при переходах нейронной сети из состояния покоя в состояние возбуждения и наоборот .В 2003 году Lopes da Silva et al предложили 3 различных возможных сценария перехода между состояниями:

· Внезапное появление приступа из нормальной активности. Пример: малый приступ

· Рефлекторная эпилепсия: переход к другому аттрактору под воздействием внешним факторов (триггеров)

· Плавный переход от нормального состояния к эксцессу через серию бифуркаций или преиктальную стадию.

Помимо изменений в локальной динамике, как уже было сказано, приступ можно характеризовать с точки зрения синхронизации активности в различных отделах головного мозга. Здесь стоит учитывать, что все исследования на указанную тему используют в качестве данных разные группы пациентов, что может отражаться на общее синхронизации и конечных результатах. Помимо классических исследований об общем однонаправленном изменении активности нейронов разных долей мозга, в 2004 исследователями из команды Ferriбыла продемонстрирована связь между наличием приступа ночной лобной эпилепсиии ранним ростом альфа ритмов и бета ритмов [25]. Несмотря на то, что обычно эпилепсия характеризуется возрастанием активности мозга, существуют примеры, когда при некоторых типах эпилепсии напротив наблюдается спад активности нейронной системы. Данный феномен позже был успешно продемонстрирован в результате экспериментов [27].На сегодняшний день ученым пока не удалось установить, как именно влияет синхронизация в долях мозга на изменение в их активности в переходной стадии.

Как уже можно было догадаться, важным этапом на пути к рассмотрению природы данных является восстановление аттрактора в фазовом пространстве на основе собранных данных. Проблема, которая кроется в данной задаче, заключается в том, что наши значения, как правило, напрямую не соответствие набору системных переменных по ряду причин, одной из которых является сильная зашумленность. Более того, имея систему, например, с 10 ключевыми фазовыми состояниями, в качестве данных у нас присутствуют лишь 2 временных ряда, наличие которых совсем не может гарантировать описание всех имеющихся состояний системы. На первый взгляд проблема кажется довольно безнадежной, но, воспользовавшись подходом на основе вложений (embedding), появляется возможность восстановить примерный аттрактор существующей системы. Используя такие вложения, один или несколько временных рядов трансформируются в последовательность векторов в m-мерномвложенном пространстве. Если система, на основе которой были получены временные ряды и эмбединги имеет аттрактор, и размерность аттрактора вложений mсущественно выше (более чем в 2 раза) размерности аттрактора системы, ряд, восстановленный из таких векторов, принимает за эквивалентный аттрактор. В 1981 Флорис Такенс доказал [40], что у такого эквивалентного аттрактора сохраняются все динамические свойства - размерность, спектр экспонент Ляпунова, энтропия. Данное утверждение получило название «теорема Такенса», которая на сегодняшний день является «квинтэссенцией» анализа нелинейных временных рядов. Полученная Такенсом теорема позволяет утверждать, что можно получить большое количество ценной информации об имеющейся системе, даже не взаимодействуя напрямую с набором уравнений, описывающих динамику системы. Для реконструкции аттрактора существуют два способа:

1. Time-delay embedding

2. Spatial embedding

В первом случае необходимо для одного временной ряда брать по mпоследовательных значений набора, формируя m-мерныйвектор, повторяя эту процедуру раз, где N - длина временного ряда. Тогда связь между полученными соседними векторами определяет траекторию системы. На практике для формирования корректного результата необходимо ввести дополнительный параметр l- лаг, который позволит нам формировать вектора на основе значений на определенном интервале l. В итоге time-delayembeddingхарактеризуется двумя параметрами: m-размерность вектора, l- лаг, подбор которых является наиболее сложным, и при этом самым важным шагом в реконструкции аттрактора. Одним из подходов для подбора лагового оператора является взятие первого лага автокорреляционной функции или взаимной информации, значение которого уменьшилось в 1/eраз от своего первоначального значения, и пересчета реконструированного аттрактора, увеличивая при этом длину вектора. Сильное замедление изменения высчитываемого параметра, например, корреляционной размерности, будет свидетельствовать о нахождении истинного значения параметра. Принято считать, что обычно это значение достигается при m>2d, где d-реальная размерность аттрактора. Конечно, существуют [24] и другие более изощренные варианты нахождения обоих параметров, которые не будут рассмотрены в контексте данной работы.

Какой бы подход не был выбран, важно понимать, что параметры l и mнезависимы. Произведение этих двух параметров, называемое окно вложения, есть длина сегмента временного ряда, используемого для реконструкции отдельного состояния системы. Еще одной эвристикой, предложенной Albanoи Rapp [32], является подбор значения размера окна на основе первого лага автокорреляционной функции, который обратится в ноль. На рисунке 10 схематично изображен процесс построения time-delayembedding для реконструкции трехмерного аттрактора.



Рисунок 10

Ситуация несколько осложняется, если имеются несколько временных рядов. В таком случае на помощь приходит spatialembedding, суть которого заключается в том, что координаты m-мерного вектора берутся параллельно с нескольких временных рядов. Повторяя эту процедуру несколько раз, мы получим серии векторов. При этом размерность вложений mбудет определяться, как количество каналов, использованных для реконструкции аттрактора, а лаговый оператор l, как межэлектродная дистанция. Альтернативным подходом для многомерных временных рядов выступает взятие отдельныхtime-delayembedding для каждого из имеющихся наборов данных. Достоинством spatialembedding подхода является существенное снижение размерности данных, поскольку полученные вектора являются частью одного фазового пространства. Недостатком же в данном случае можно считать лаговый параметр, определяемый как расстояние между электродами, который, как правило, уже дан и не может быть изменен в целях оптимизации.

Какой из этих методов выбрать, зависит от того, какая задача стоит перед исследователем, и какими данными он располагает. К примеру, если суть работы сводится к анализу взаимодействий между различными частями головного мозга, то часто необходимо посчитать отдельные time-delay embeddings для разных участков головы с целью сравнения.

Теперь, когд аттрактор восстановлен, используя time-delayembedding или spatialembedding, следующим шагом является его характеристика. Самый простой сделать это - визуализировать его через фазовый портрет или отображение Пуанкаре. Фазовый портрет представляет собой 2х или 3х мерное изображений восстановленного фазового пространства и аттрактора. Примерытаких2х-мерныхпортретовможноувидетьнарисунке 8. Для аттракторов высокой размерности визуальное отображение в указанные выше пространства может привести к неточной интерпретации, зависящей от выбранной проекции. Для этих целей на помощь приходит сечение Пуанкаре (см. рис. 11), которое имеет вид 2мерного сечения в m-мерном фазовом пространстве.

Рисунок 11

Такое сечения предназначено для отображения точки, в которой сегменты траектории пересекает плоскость сечения. Например, в случае 3х мерного фазового пространства с тремя переменными x,y,zсечение Пуанкаре может быть получено, отображая все точки xи y, при которых z=c, где c-любая константа.

1.4 Количественный анализ на основе ReccurencePlot

Чуть более сложный, но гораздо более информативная способ отображения восстановленных траекторий является RecurrencePlot(см. рис. 12). Данный график представляет из себя 2х-мерное изображение, осями которого выступает время. Каждая точка в таком графе отвечает за комбинацию двух точек (Xи Y-координаты графика), отнесенных к определенным моментам времени.

Рисунок 12

Когда векторы фазового пространства, отнесенные к указанным моментами времени, находятся ближе к друг другу чем ?, являющийся гиперпараметром, точка на графике помечается черным цветом, иначе - остается белой.Формальная постановка алгоритма выглядит следующим образом:

Данный тип графиков дает большое количество информации, как о стационарности динамики, так и о деталях структуры восстановленного аттрактора и его периодических компонентах.Как и в случае с восстановлением аттрактора, у recurrenceplotесть расширение для многомерных временных рядов, называемое CrossRecurrencePlot, позволяющее проследить нелинейные зависимости между несколькими наборами данных.

С учетом характерного поведения траекторий в фазовом пространстве, Recurrenceplotсодержит типичный набор небольших структур таких, как точки, диагональные/вертикальные/горизонтальные линии, или их смесь, образуя при этом кластеры. Структуры больших размеров также могут быть визуально выведены и охарактеризованы такими параметрами, как гомогенность, периодичность, наличие смещения и дизраптивность. Что же касается небольших структур, то на их основе можно проводить разного рода количественный анализ, который получил название Recurrence Quantification Analysis (RQA).RQAпозволяет описывать Recurrence Plotс математической точки зрения, исследуя при этом переходы между состояним и системы, изменениями в ее динамике или исследованиям ее нелинейных параметров. Широкое распространение RQAполучил в физиологии, но также успешно применяется в инженерном деле, химии и науках о Земле.

· Самой простой метрикой, которую можно посчитать,выступает Recurrence Rate (RR):

Метрика Recurrence Rate соответствует вероятности того, что определенное состояние будет повторяться во времени.

· Следующая метрика Determinism (DET) считает процент точек, формирующих диагональные линии минимальной длины l.



Где P(l) - частотное распределение диагональный линий длины l. Данную метрику можно интерпретировать, как предсказуемость динамической системы, поскольку временной ряд типа белый шум, имеет график, в котором почти нету диагональных линий в то время, как детерминистский процесс напротив имеет большое количество диагональных линий на reccurenceplot.

· Количество точек, формирующих вертикальные линии может быть рассчитано, как:

Где P(v) - частотное распределение вертикальных линий длины v.Метриканосит название Laminarity (LAM) и соотносится с количеством ламинарных фаз в системе.

· Длина таких линий также может выступать характеристикой построенного графика. Средняя длина диагональных линий (L), посчитанная, как:

показывает предсказуемость каждого момента времени динамической системы.

· Аналогичная метрика для вертикальных линий - Trappingtime(TT):



отображает периоды ламинарности динамической системы, или как долго система может оставаться в определенном состоянии.

· Из-за того, что длина линий напрямую связана с тем, как долго сегменты фазового пространства (траектории) двигаются параллельно, или другими словами демонстрируют дивергенцию, считается, что обратная величина к максимальной длине линий выступает оценкой для максимальной положительной экспоненты Ляпунова.

Как результат, максимальная длина диагональной линии или дивергенция, рассчитанная как:

также является одной из метрик RQA. Однако, на самом деле взаимосвязь между DIVи максимальной положительной экспонентой Ляпунова гораздо более сложная чем описывалось до этого. Отличительной особенностью показателя DIVможно считать схожую динамику изменения относительно этой экспоненты, но не более.

· Показатель энтропия Шеннона (ENTR):

где

Отражает сложность детерминистской структуры в системе. Данная метрика очень чувствительна к количеству категорий, и как следствие, может выдавать сильно разнящиеся результаты.

· Последний, но не менее важный показатель - тренд (TREND):

где RRk- reccurencerateна заданной диагонали

По факту тренд является коэффициентом регрессии линейной связи между RR на линии параллельной линии инцидентности и расстоянию до линии инцидентности. Такая метрика дает возможность оценить стационарность системы.

· Как и RR, такие метрики, как DET, L и ENTR также могут быть посчитаны для конкретных диагоналей. Такой подход может быть использован с целью сравнения различных состояния системы.

Еще одним важным достоинством такого вида графиков является тот факт, что они в отличие от альтернативных методов предоставляют большое количество информации для нестационарных временных рядов, яркими представителями которых и являются данные ЭЭГ.

С учетом всех перечисленных выше предпосылок, демонстрирующих связь изменения аттрактора и наличия приступа, в качестве основного подхода для анализа реальных данных будет использован RQA, поскольку именно количественный анализ состояний системы предположительно может дать больший набор информации для прогнозирования вероятности наступления приступа на раннем этапе.

1.5 Современные практики анализа ЭЭГ и прогнозирования эпилептических приступов

Последним шагом на пути к применению изученной теориистанет краткий обзор современных подходов к анализу ЭЭГ и, в частности, к детектированию выбросов на ее основе.

Первым источником, который является хорошей отправной точкой на пути к исследованию особенностей ЭЭГ является [42]. В книге довольно подробно описывается природа ЭЭГ человека, рассматривается фрактальная теория, как наиболее удачная для применения к такому виду данных. Основная академическая ценность данного исследования заключается в наличии большого количества результатов клинических испытаний, в рамках которых группой ученых были обработаны данные людей с заболеваниями аутизма, каротидной эндартерэктомией, а также находившихся в состоянии наркоза, под анестезией. К важным результатам исследования можно отнести характеристику макро-структур ЭЭГ детей с заболеваниями аутизма. Благодаря теории фрактального анализа было установлено, что сложность системы во время пробуждения после анестезии значительно выше для людей с отставанием в умственном развитии. НелинейныйR\S анализ также выявил апостериорныйсдвиг сниженной активности между фазами сна и пробуждения от правого полушария к левому, что может быть связано с ослабленной возможностью к обработке информации и запоминанию. Более того, было установлено, что у пациентов с аутизмом наблюдается повышенная гамма-активность. Важно отметить, что в разделе дальнейших исследований авторы предполагают, что формальный количественный анализ такой, как, например, RQAможет дать гораздо больше ответов на поставленные вопросы.

Другим интересным исследованием, опубликованным в 2015 году, является [30]. Помимо нетривиального подхода с использованием waveletтрансформаций данных ЭЭГ, авторы предлагают рассмотреть задачу предсказания приступа, как задачу бинарной классификации по временному ряду. Такой подход позволяет использовать полученное интегральное преобразование, как новый набор признаков для алгоритмов классификации, применяемых в машинном обучении. Ключевым достоинством данной статьи является комбинирование методов, применяемых для обработки сигналов и базовых алгоритмов классификации для задач машинного обучения, что дает значительный прирост при детектировании приступов.

Поскольку предыдущая статья показала, что алгоритмы машинного обучения прекрасно взаимодействуют с такого рода данными, то следующим очевидным этапом в развитии этого подхода служит применение более сложных моделей глубокого обучения, комбинируя их с теми же данными. Пример такого подхода приводится в статье [16], опубликованной всего за 3 месяца до написания текущей работы. Суть статьи сводится к применению различных архитектур искусственных сверхточных нейронных сетей к временному ряду ЭЭГ. Результат работы представлен в виде модели, которая показывает сравнительно неплохие результаты при детектировании преиктальной фазы у 3х пациентов, принадлежащих одной возрастной группе.

Анализируя результаты, полученные в выбранных исследованиях, можно сделать вывод, что алгоритмы машинного обучения в сочетании с дополнительными трансформациями временного ряда на основе теории хаоса и выделением новых признаков демонстрируют довольно высокую точность классификации преиктальной фазы у пациентов, что дополнительно мотивирует рассмотреть природу эпилептических приступов в разрезе теории хаоса и обогатить существующие алгоритмы детектирования приступов, используя теорию нелинейных динамических систем

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

2.1 Описание исследуемого набора данных

В данном разделе будет рассмотрена практическая реализация изученных подходов теории хаоса применимо к данным ЭЭГ, записанным с людей, страдающих приступами эпилепсии.

В качестве набора данных для поставленных задач работы был выбран CHB-MIT Scalp EEG Database[15, 36].Данные, собранные в детской больнице Бостона, состоят из записей ЭЭГ пациентов с резистентной эпилепсией. За каждым из пациентов велось наблюдение в течение 1-3 дней, в некоторые из которых больным выдавались противосудорожные препараты с целью установления типа эпилепсии и оценки кандидата на хирургическое вмешательство с целью удаления части мозга, провоцирующей приступ.

Распределение данных по людям выглядит следующим образом:

· 5 мужчин в возрасте от 3 до 22 лет

· 17 женщин в возрасте от 1.5 до 19 лет.

Из-за особенностей устройств, записывающих ЭЭГ, данные в наборе разбиты на 30-42 непрерывных файла для каждого пациента, в каждом из которых записан примерно один час реального времени. Между файлами, как правило, есть небольшой технический интервал, длительностью не более 10 секунд. С целью защиты приватности пациентов данные полностью обезличены, даты изменены на суррогатные таким образом, чтобы отличались только абсолютные значения. Все сигналы записывались на стандартной для этой области частоте 256 hzc 16-ти битным разрешением.

...