Анализ влияния выбора количества электродов на результаты реконструкции распределения электрического потенциала на поверхности эпикарда

Исходными данными для обработки являются записи электрокардиосигналов многоканальных кардиоотведений. Электроды располагаются на поверхности торса с помощью надеваемого на торс «многоэлектродного жилета» (см., например, [4, 5]). Для получения КППЭ надо провести реконструкцию ЭЭГС, располагая записанными потенциалами с электродов на поверхности торса для сетки моментов времени кардиоцикла. После интерполяции записанных потенциалов в текущий момент времени на мелкой сетке на поверхности торса получаем вектор ф^ъ = [ф*,ф*,...,ф„_ь ], где Ы_ъ - количество точек дискретизации поверхности торса [11], Ы_ъ ~ 10³. Эквивалентный электрический генератор сердца поверхностного типа характеризуется распределениями электрического потенциала ф^к = [ф?,ф?,...,ф^к_щ ] и нормальной производной электрического потенциала g^h = [Эф?/Эп,Эф?/Эп,...,Эф^/Эп] на поверхности эпикарда [11, 12], N ~ 10³ - количество точек на мелкой сетке на поверхности эпикарда. Связь между этими распределениями и регистрируемым распределением потенциала на поверхности торса имеет интегральный характер и вытекает из уравнения Лапласа для области между поверхностями эпикарда и торса [8, 12]. Интегральные соотношения можно свести к системе матричных линейных алгебраических уравнений, в которых матрицы связывают ф^к и g^h с ф^ъ. Итерационная процедура решения этой системы уравнений [4] предполагает вычисление обратных матриц (обращение матриц) и в предлагаемом варианте обращение матрицы 0^№ с элементами о» =(к,)ду, где АБ^к - площадь элементов поверхности эпикарда; Я, - расстояние между элементами поверхностей торса и эпикарда с номерами г и,.

Матрица 0^№ является плохо обусловленной с коэффициентом обусловленности оопф ~ 10¹¹ --10¹⁴, поэтому прямое обращение матрицы О^кЪ порождает неустойчивость по отношению к погрешностям записи и оцифровки потенциалов, а также к погрешностям задания геометрии сеток на торсе и эпикарде.

Устойчивое решение может быть получено с использованием метода усеченного сингулярного разложения Т8УБ [9], когда регуляризованная обратная матрица представляется в виде

где и, V - ортогональные матрицы сингулярного разложения матрицы

р, - сингулярные числа матрицы G^м'; а - коэффициент регуляризации. При а = 0 обратная матрица будет нерегуляризованной. Для достаточно больших сингулярных чисел а<р² регуляризация практически не сказывается, для малых сингулярных чисел а>р², что ограничивает влияние неустойчивостей в формуле (2). Целью дальнейшего исследования был анализ влияния режима регуляризации на КППЭ, реконструированных по картам потенциала на поверхности торса при разном количестве измерительных электродов.

Результаты анализа влияния количества электродов

При малом количестве точек в матрицах принципиально нельзя описать верхние пространственные частоты в спектре потенциала на эпикарде. Поэтому ошибку в представлении спектра можно уменьшить, увеличив число точек дискретизации на торсе и эпикарде Nъ и N_h и проведя процедуру интерполяции распределения потенциала на торсе при неизменном количестве электродов [3]. Однако при этом возрастает вклад погрешности интерполяции потенциалов на торсе из-за неустойчивостей при обращении матриц в процедуре реконструкции карты потенциалов на эпикарде по потенциалам торса. Для снижения этого эффекта следует увеличивать количество электродов в технически разумных пределах. Рассмотрим влияние выбора количества электродов на результаты реконструкции.

Для контроля погрешности реконструкции карт электрического потенциала на поверхности эпикарда необходимо, строго говоря, располагать известным распределением потенциала на эпикарде. В этих условиях, при отсутствии баз данных с распределениями потенциала на торсе и эпикарде, для анализа алгоритма регуляризации мы провели математическое моделирование единичных неоднородностей на примере дипольной модели электрического источника внутри эпикарда [8]. Поскольку основным вопросом была оценка влияния количества электродов, были выбраны модельные представления поверхности торса в виде эллиптического цилиндра с полуосями а и Ь и поверхности эпикарда в виде сферы радиусом Я_к (сферический квазиэпикард, окружающий реальное сердце [5,8]). Размер неоднородности варьировался путем смещения центра дипольного источника в горизонтальном направлении относительно центра сферического квазиэпикарда при радиусе Я_н = 6 см: чем ближе модельный источник к поверхности эпикарда, тем меньше размер пятна. Для оценки размера неоднородности Яг рассчитывались пространственные спектры потенциала на поверхности квазиэпикарда [3]. При этом Яг = у,, где к_ЬпЯ - граничная пространственная частота / ^кЬпЯ в пространственном спектре потенциала, взятая по уровню 0,0у. Для снижения ошибок дискретизации распределений потенциала на торсе и эпикарде использовались количества точек N_Ь ~ N_h ~ 10³ в (1), (2).

Поскольку при изменении уровня погрешностей в представлении исходных данных изменяется величина оптимального коэффициента регуляризации [7, 9], для каждого значения количества электродов N проводился поиск оптимального коэффициента регуляризации а. При этом оптимум определялся из условия максимальной величины коэффициента корреляции между модельным и реконструированным распределениями электрического потенциала.

На рис. 1 показана зависимость нормированного коэффициента взаимной корреляции Си (коэффициент корреляции Пирсона) между модельным и реконструированным распределениями электрического потенциала на эпикарде от количества электродов на поверхности торса для разных размеров неоднородности. На рис. 2 представлена зависимость оптимального коэффициента регуляризации от количества электродов, полученная при этих же условиях.

Рис. 1. Зависимость коэффициента корреляции Си от количества электродов при разных размерах неоднородностей

Рис. 2. Зависимость оптимального коэффициента регуляризации от количества электродов при разных размерах неоднородностей

В соответствии с рис.1 в области N < 100 возрастает влияние погрешности интерполяции из-за ограниченного количества точек съема потенциала на торсе и значение выбора количества электродов становится существенным, особенно для неоднородностей с размерами 3 см и менее, когда для подавления неустойчивостей реконструкции из-за погрешности интерполяции приходится увеличивать коэффициент регуляризации (см. рис. 2). В области N > 100 на выбор коэффициента регуляризации уже влияет практически только размер неоднородности. В целом, ориентируясь на уменьшение коэффициента корреляции при уменьшении числа электродов, можно заключить, что для реконструкции неоднородностей размерами 3 см и более достаточно число электродов порядка 40, для более мелких - до 80 и более.

Отмеченные особенности согласуются с зависимостями граничной частоты в пространственных спектрах распределения потенциала на эпикарде от количества электродов (рис. 3). Так, при N = 40 граничная частота kb„_d в реконструированном распределении меньше граничной частоты.

Рис. 3. Зависимость граничной частоты в пространственном спектре реконструированной КППЭ при разных размерах неоднородностей

Обсуждение

В рамках проведенного исследования можно заключить, что для неоднородностей в распределении потенциала на эпикарде с размерами более 3 см при количестве электродов более 100 погрешность интерполяции потенциалов на торсе в целом перестает влиять на результаты реконструкции КППЭ. В этой области на первое место выходят погрешность дискретизации, погрешность оцифровки сигналов и шумы. Однако для снижения погрешности дискретизации необходимо увеличивать количество точек разбиения поверхностей торса и эпикарда с N_b ~ N_h ~ 10³ до N_b ~ N_h ~ 10⁴, что потребует при современной производительности ПК неприемлемых временных затрат на реконструкцию (десятки минут). Переход от 2-байтового представления чисел к 8-байтовому представлению снижает относительную погрешность квантования от 2-10^-10 (соизмеримо со степенью обусловленности матриц в процедуре реконструкции) до 5 * 10^-20, однако требует уже зачастую неприемлемых затрат оперативной памяти ПК.

Выводы

Рассмотрено влияние выбора количества электродов на поверхности торса на результаты реконструкции распределения электрического потенциала на поверхности эпикарда. Получены оценки количества электродов и оптимального коэффициента регуляризации при различных размерах неоднородностей в распределении потенциала.

В целом можно заключить, что рассматриваемая методика позволяет реконструировать неоднородности на поверхности эпикарда с размерами более 3 см при количестве электродов порядка 40. Для неоднородностей с меньшими размерами необходимо располагать электродами в количестве 60 и более.

Библиографический список

1. Амиров, Р. З. Электрокардиотопография / Р. З. Амиров. - Москва: Медицина, 1965. - 142 с.

2. Полякова, И. П. Поверхностное ЭКГ - картирование как метод диагностики нарушений сердечного ритма сердца / И. П. Полякова, А. В. Ардашев // Клиническая аритмология. - Москва: Медпрактика-М, 2009. - Гл. 6. - С. 157-175.

3. Крамм, М. Н. Анализ влияния выбора количества электродов на карты распределения электрического потенциала на поверхностях торса и квазиэпикарда / М. Н. Крамм // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2019. - № 3 (33). - С. 61-68.

4. Патент РФ № 2651068. Способ неинвазивного определения электрофизиологи- ческих характеристик сердца / Бодин О. Н., Жихарева Г. В., Крамм М. Н. и др. - 2018. - Бюл. № 11. - 7 с.

5. Титомир, Л. И. Неинвазивная электрокардиотопография / Л. И. Титомир, В. Г. Трунов, Э. А. И. Айду. - Москва: Наука, 2003. - 198 с.

6. Comprehensive Electrocardiology / P. W. Macfarlane, A. van Oosterom, O. Pahlm, P. Kligfield, M. Janse, J. Camm. - London: Springer, 2011. - Chapter 9. - P. 300-343.

7. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - Москва: Наука, 1979. - 285 с.

8. Титомир, Л. И. Математическое моделирование биоэлектрического генератора сердца / Л. И. Титомир, П. Кнеппо. - Москва: Наука. Физматлит, 1999. - 447 с.

9. Леонов, А. С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации / А. С. Леонов. - Москва: Либро- ком, 2010. - 336 с.

10. Throne, R. D. The effects of errors in assumed conductivities and geometry on numerical solutions to the inverse problem of electrocardiology / R. D. Throne, L. G. Olson // IEEE Trans Biomed Eng. - 1995. - Vol. 42 (12) - P. 1192-1200.

11. Reconstruction of equivalent electrical sources on heart surface / G. V. Zhikhareva,

M. N. Kramm, O. N. Bodin, R. Seepold, A. I. Chernikov, Y. A. Kupriyanova,

N. A. Zhuravleva // IWBBIO 2018: proceedings of 6th International Work- Conference (Granada, Spain, April 25-27, 2018). - 2018. - Part I.

12. Zhikhareva, G. Reconstruction of Current Sources of Heart in the ECG Inverse Problem / G. Zhikhareva, M. Kramm // LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbrьcken, 2012. - 148 p.

References

1. Amirov R. Z. Elektrokardiotopografiya [Electrocardiografia]. Moscow: Meditsina, 1965, 142 p. [In Russian]

2. Polyakova I. P., Ardashev A. V. Klinicheskaya aritmologiya [Clinical Arrhythmolo- gy]. Moscow: Medpraktika-M, 2009, chapter 6, pp. 157-175. [In Russian]

3. Kramm M. N. Izmerenie. Monitoring. Upravlenie. Kontrol' [Measurement. Monitoring. Management. Control]. 2019, no. 3 (33), pp. 61-68. [In Russian]

4. Patent RF № 2651068. Sposob neinvazivnogo opredeleniya elektrofiziologicheskikh kharakteristik serdtsa [Russian patent no. 2651068. Method for noninvasive determination of electrophysiological characteristics of the heart]. Bodin O. N., Zhikhareva G. V., Kramm M. N. et al. 2018, bull. no. 11, 7 p. [In Russian]

5. Titomir L. I., Trunov V. G., Aydu E. A. I. Neinvazivnaya elektrokardiotopografiya [Non-invasive electrocardiography]. Moscow: Nauka, 2003, 198 p. [In Russian]

6. Macfarlane P. W., van Oosterom A., Pahlm O., Kligfield P., Janse M., Camm J. Comprehensive Electrocardiology. London: Springer, 2011, chapter 9, pp. 300-343.

7. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for solving incorrect problems]. Moscow: Nauka, 1979, 285 p. [In Russian]

8. Titomir L. I., Kneppo P. Matematicheskoe modelirovanie bioelektricheskogo genera- tora serdtsa [Mathematical modeling of a bioelectric heart generator]. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1999, 447 p. [In Russian]

9. Leonov A. S. Reshenie nekorrektno postavlennykh obratnykh zadach: Ocherk teorii, prakticheskie algoritmy i demonstratsii [The solution of ill-posed inverse problems: an Essay on the theory, practical algorithms, and demonstrations]. Moscow: Librokom, 2010, 336 p. [In Russian]

10. Throne R. D., Olson L. G. IEEE Trans Biomed Eng. 1995, vol. 42 (12), pp. 11921200.

11. Zhikhareva G. V., Kramm M. N., Bodin O. N., Seepold R., Chernikov A. I., Kupriyanova Y. A., Zhuravleva N. A. IWBBIO 2018: proceedings of 6th International Work-Conference (Granada, Spain, April 25-27, 2018). 2018, part I.

12. Zhikhareva G., Kramm M. Reconstruction of Current Sources of Heart in the ECG Inverse Problem. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbrьcken, 2012, 148 p.

Размещено на Allbest.ru