Методика навчання побудови перерізів фігур

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

"Методика навчання побудови перерізів фігур."

підготувала

студентка 52-МІАм групи

Бондаренко Олександра



План

1. Значення малюнка при вивченні геометрії

2. Побудова перерізів многогранників площинами. Обґрунтування форми перерізу

3. Побудова перерізу многогранника площиною, що задана трьома точками

4. Побудова перерізу многогранника площиною, що задана прямою та точкою поза нею, або двома паралельними прямими

5. Побудова перерізу многогранника площиною, що проходить через задану на грані точку під заданим кутом а до площини основи, або через задану сторону основи під кутом а до площини основи



1. Значення малюнка при вивченні геометрії

Значення малюнка при вивченні геометрії дуже велике, особливо при розв'язуванні задачі із взаємозв'язаними між собою елементами фігури, в тому числі з додатковими побудовами.

Малюнкам просторових фігур належить першорядна роль у розвитку просторової уяви, просторового мислення, такого необхідного в умовах науково-технічного прогресу.

При розв'язанні задач на переріз многогранника площиною малюнок і є розв'язком і відповіддю на поставлене в задачі питання.

Малюнок при цьому буде розглядатися як ілюстрація, як наочна графічна модель, яка допомагає з'ясовувати особливості даної просторової фігури. При цьому спотворення, зумовлені проекцією на площину, ми перестаємо помічати.

Побудова перерізів многогранників здійснюється методом зовнішніх або внутрішніх слідів і базується на використанні понять слідів прямої в площині та слід січної площини в даній площині, правил паралельного і центрального проектування, а також тверджень:

1. Якщо дві точки прямої належать даній площині, то всі точки цієї прямої належать даній площині.

2. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

3. Лінія перетину двох площин відома, коли відомі дві спільні точки цих площин.

4. Коли пряма, що лежить поза площиною, паралельна якій-небудь прямій, що лежить в площині, то ця пряма паралельна самій площині.

5. Коли через дану пряму, яка паралельна даній площині, провести площину, що перетинає дану площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій.

6. Коли паралельні площини перетинають третьою площиною, то лінії їх перетину паралельні.

7. Площини паралельні, коли дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини.

8. Пряма перпендикулярна до площини, коли вона перпендикулярна до двох прямих, що лежать у цій площині й проходить через точку перетину даної прямої і площини.

9. Якщо площина перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

10. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні між собою.

11. Якщо дві площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони паралельні між собою.

12. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.

13. Відрізки паралельних прямих, що лежать між двома паралельними площинами, які перетинають зазначені прямі, рівні між собою.

14. Якщо деякі прямі належать січній площині, то слід останньої в площині грані многокутника проходить через сліди зазначених прямих у цій площині.

При вивченні теми "Перерізи многогранників площиною" особливу увагу потрібно приділити вмінню будувати точку перетину (слід) прямої з площиною та пряму (слід) перетину двох площин, одна з яких задана трьома точками. Тому доцільно розпочати викладання теми з вивчення двох базових задач.

ЗАДАЧА 1. Побудувати слід перетину прямої АВ з площиною а, якщо пряма задана точками А і В.

Побудова: Побудову почнемо з зображення площини б у вигляді паралелограма (мал.1) Якщо умова задачі передбачає, що АВ не паралельна до б, то точки А і В розташуємо на різній відстані від площини.



Мал.1.

Проведемо додаткову побудову: знайдемо проекції точок А і В на площину б (А 1, В 1). Для цього проведемо умовні перпендикуляри з точок А і В на площину б (один з них має бути коротшим за другий). Отже, основи цих перпендикулярів і будуть проекціями точок А і В на площину б. Тоді пряма A1B1 є проекцією прямої АВ на дану площину. Тому спільна точка прямої АВ і площини б має лежати на прямій A1B1. Отже, досить лише знайти точку перетину прямих АВ і A1B1 і вона буде шуканою точкою (слідом) перетину прямої АВ і площини б.

ЗАДАЧА 2. Побудувати слід перетину площини (ABC),що задана точками А, В, і С з площиною б.

Побудова: Зображуємо площину б як паралелограм (мал.2) і три точки А, В і С на різній відстані від б. Проводимо міркування: Дві площини перетинаються по прямій. Для побудови цієї прямої досить знайти дві її точки, що належать обом даним площинам. Як їх знайти? Площина (ABC) задана трьома точками А,В і С, отже, можна вважати, що на ній задано дві прямі АВ і АС. Спільні точки прямих АВ і АС з площиною б будуть шуканими точками. Використовуємо міркування задачі 1, щоб побудувати ці точки (Е і F відповідно).



Мал.2.

Пряма EF і є шукана пряма (слід) перетину площин (ABC) і б.

2. Побудова перерізів многогранників площинами. Обґрунтування форми перерізу

В стереометрії часто доводиться розглядати перерізи тіл, зокрема многогранників, різними площинами. Переріз опуклого многогранника є опуклий плоский многокутник. Його вершини в загальному випадку є точками перетину січної площини з ребрами многогранника, а сторони - відрізками, по яких січна площина перетинає грані многогранника.

Задачі на перерізи многогранника площиною зазвичай полягають в тому, щоб побудувати паралельну проекцію самого многогранника і умови, за допомогою яких задається січна площина, і обчислити площу одержаного перерізу або відношення, в якому січна площина поділяє об'єм многогранника. Розв'язання кожної з двох частин такої задачі має бути переконливо обґрунтовано.

В залежності від взаємного розташування многогранника і січної площини переріз може бути трикутником, чотирикутником, тощо, одначе число сторін многокутника-перерізу не може перебільшувати числа всіх граней даного многогранника. Наприклад, перерізи куба площиною можуть мати форму трикутника, чотирикутника, п'ятикутника, шестикутника, при чому кожен з цих видів перерізів може утворитися в різних варіантах (наприклад, трикутник правильний, рівнобедрений, різносторонній).

При побудові перерізу многогранника площиною, незалежно від методу побудови, потрібно розв'язати дві задачі: будувати точку перетину прямої (ребра) січною площиною і лінію перетину двох площин (січної площини і площини грані). Обидві ці задачі було розглянуто детально раніше, лишається домогтися від кожного глибокого та міцного засвоєння цих елементарних побудов.

3. Побудова перерізу многогранника площиною, що задана трьома точками

ЗАДАЧА 3. Побудувати переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, що проходить через три точки на ребрах, що виходять з даної вершини.

Побудова: Нехай дано зображення прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1. В умові задачі січна площина задана трьома точками на ребрах, що виходять з однієї вершини (мал.3). Для зручності візьмемо за таку вершину точку В 1. Отже, точки МА 1В 1, NB1C1, KBB1 є даними. Оскільки кожні дві з них належать до однієї з граней даного многогранника, їх можна сполучити відрізками MN, МК і NK. Утворився трикутник MNK, який с шуканим перерізом.



Мал.3.

ЗАДАЧА 4. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точки М, N та К на бічних ребрах.

Побудова: Нехай маємо зображення даної призми ABCDA1B1C1D1 (мал.4) з даними точками на ребрах: М АА 1, N ВВ 1, К СС 1. Щоб побудувати шуканий переріз, потрібно знайти точку, що належить ребру DD1. Для цього спочатку з'єднаємо відрізками точки М і N, N і К, що лежать на бічних ребрах даного тіла та точки М і К, оскільки вони належать до площини діагонального перерізу АСС 1А 1. Проведемо також другий діагональний переріз BDD1B1, який перетинається з площиною по прямій ОО 1 де точки О і О 1 - спільні точки діагоналей основ АС та BD, A1C1 та B1D1 відповідно. Відрізок МК перетинає цю пряму у точці F. Отже, пряма NF належить січній площині за теоремою про належність прямої до площини. Ця пряма (NF) перетинає ребро DD1 у точці Р. Тоді точка Р лежить в одній площині з точкою М, а також з точкою К.



Мал.4.

Утворилися відрізки МР і КР, що також є сторонами перерізу. Отже, перерізом є чотирикутник MNKP.

На малюнку 5 розв'язано подібну задачу для п'ятикутної призми.

Мал.5.

ЗАДАЧА 5. Побудувати переріз призми площиною, що задана точками на трьох різних гранях.

Побудова: Нехай на мал.6 маємо зображення призми ABCDA1В 1C1D1 з точками М, N і Р на бічних гранях. Для побудови перерізу, що проходить через точки М, N і Р скористуємося методом побудови сліду перетину площини (MNP) з площиною основи призми, одержимо точки М 1, N1 і Р 1 відповідно. Знайдемо точку Е - точку перетину прямих NP та N1P1 і точку F - спільну точку прямих NM та N1M1. Пряма EF - слід перетину січної площини з площиною основи призми. Пряма CD, що є проекцією прямої, яка проходить через точку М і належить грані DCC1D1, перетинається з прямою EF у точці Н, отже, це пряма МН. Вона перетинає ребра призми у точках S і L. Аналогічно знаходимо точки К і Т на ребрах АА 1 і ВВ 1.

Мал.6.

Отже, чотирикутник SLKT - шуканий переріз, сторони якого проходять через задані точки М, N і Р.

ЗАДАЧА 6. Побудувати переріз призми площиною, що задана двома точками на бічних гранях і точкою на верхній грані.

Побудова: Нехай на мал.7 зображено дану призму ABCDA1B1C1D1 з точками N і Р на бічних гранях і точкою М на верхній грані призми. Щоб побудувати шуканий переріз, знайдемо проекції даних точок на площину основи. Точки Р 1 і N1 - проекції точок Р і N відповідно. Щоб знайти проекцію точки М, проведемо прямі С 1М і В 1М у верхній площині і паралельні їм відповідні СС 3 і ВВ 3, спільна точка яких М 1 і є проекцією точки М. Прямі M1P1 і МР перетинаються у точці Е, прямі M1N1 і MN - у точці F. Отже, пряма EF - спільна пряма січної площини і площини основи. На мал.7 вона перетинає сторону основи у точках G і Н. Відрізки HS (що проходить через точку Р) і GL (що проходить через точку N) є сторонами шуканого перерізу. Січна площина перетинає площини основи по паралельних прямих, тому проведемо через точку М пряму КТ, паралельну прямій EF. З'єднаємо точки S і Т, L і К.

Мал.7.

Шестикутник GLKTSH - шуканий переріз.

ЗАДАЧА 7. Побудувати переріз призми площиною, що задана точками на основах призми та точкою на бічній грані.

Побудова: Нехай на мал.8 зображено дану призму ABCDA1B1C1D1 задані точки М і Р, належать площинам основи, точка N - площині бічної грані. Точка N1 - проекція точки N на площину основи. Знайдемо проекцію точки М. У площині A1B1C1D1 через точку М проведемо прямі С 1С 2 і D1D2, a y площині ABCD - паралельні їм прямі СС 3 і DD3, спільна точка яких М 1 і є шуканою проекцією точки М. Прямі MN і M1N1 перетинаються у точці Е, отже пряма РЕ - спільна пряма площини основи і січної площини, вона перетинає сторони основи у точках F і G. Пряма, що проходить через точку М і паралельна прямій GF - перетинає сторони верхньої основи у точках К і L. Пряма, що проходить через точки G і N, перетинає ребро СС 1 у точці Т, отже, відрізок ТК - сторона шуканого перерізу, а точку S на ребрі АА 1 одержимо, якщо сполучемо точку L з точкою О (спільною точкою прямих PF і ВА).



Мал.8.

При розв'язанні задач на побудову точки перетину прямої з площиною, ми кожного разу шукали зручну для цього допоміжну площину, лінія перетину якої з даною площиною нам відома або легко може бути побудована.

Ці пошуки спрощуються, якщо користуватися методом внутрішнього проектування. Обмежимося розглядом задачі на побудову цим методом перерізу призми площиною, оскільки в цьому випадку застосовується знайоме нам паралельне проектування. Для побудови перерізу піраміди застосовується внутрішнє проектування з центром у вершиш піраміди. Розглянемо кілька задач, що розв'язуються за допомогою внутрішнього центрального проектування.

ЗАДАЧА 8. Побудувати переріз піраміди площиною, що задана трьома точками на бічних гранях.

Побудова: Нехай на мал.9 дано зображення правильної чотирикутної піраміди SABCD з точками М, N і Р на бічних гранях, через які проходить січна площина. Для того, щоб побудувати переріз піраміди цією площиною, потрібно знайти відповідні точки на бічних ребрах піраміди. При центральному внутрішньому проектуванні з центром у вершиш піраміди S точка М переходить у точку M1 на ребрі основи AD, точка N - у точку N1 на ребрі основи ВА і точка Р - у точку P1 на ребрі ВС. Отже, при такому проектуванні площина MNP перетинає площину основи піраміди по прямій EF, де Е = N1M1 NM; F = N1P1 NP. Ця пряма перетинає основу піраміди по відрізку KL. У площині ADS проведемо пряму KM, яка перетинає ребро SA у точці R; пряма RN перетинає ребро SB у точці G, пряма GP перетинає ребро SC у точці Н.

Мал.9.

Отже, п'ятикутник KRGHL є шуканим перерізом.

ЗАДАЧА 9. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через три точки на її бічних ребрах.

Побудова: Нехай на мал. 10 дано зображення піраміди SABCD з точками М, N і Р на її бічних ребрах SA, SB і SC відповідно. Через ці точки проходить січна площина, отже, вона перетинає бічні грані SAB і SBC по відрізках MN і NP відповідно.



Мал.10.

При внутрішньому центральному проектуванні з центром у вершині піраміди S точка М переходить у точку А, точка N - у точку В, точка Р - у точку С. Тоді січна площина перетинає площину основи піраміди по прямій EF, де точка F - спільна точка прямих MN і АВ, точка Е - спільна точка прямих NP і ВС. Ця площина перетинає основу піраміди по відрізку KR. Отже, п'ятикутник KMNPR - шуканий переріз.

На мал.11 показано побудову перерізу піраміди площиною, що проходить через три точки на бічних гранях, який є чотирикутником.

Мал.11.



ЗАДАЧА 10. Побудувати переріз трикутної піраміди площиною, що проходить через дві точки, що лежать на сторонах основи та точку, взяту на висоті піраміди.

Побудова: Нехай на мал. 12 дано зображення трикутної піраміди SABC з висотою SO. Дано три точки: М АВ, N AC, K SO. Переріз піраміди площиною буде мати спільні точки з ребрами BS та CS. Треба відшукати їх. Площина МОК перетинає грань BSC по відрізку SP, а пряма МК площини МОК - у точці Н (Н = SP MK). Площина NOK перетинає грань ВSС по відрізку SL, пряма NK цієї площини - точці G (G = SL NK). Отже, пряма GH, що лежить одночасно у січній площині та у грані BCS, перетинає ребра BS і CS у точках F і Е відповідно.

Мал.12.

Тому чотирикутник MNEF є шуканим перерізом.



4. Побудова перерізу многогранника площиною, що задана прямою та точкою поза нею, або двома паралельними прямими

геометрія графічний площина многогранник

Задання січної площини прямою і точкою поза нею, двома прямими, що перетинаються, або двома паралельними прямими рівносильне визначенню цієї площини трьома точками, що не лежать на одній прямій. При цьому, у ряді випадків побудова перерізу полегшується, тому, що ми одразу отримуємо 2-4 вершини многокутника - перерізу.

Розглянемо кілька задач.

ЗАДАЧА 11. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точку М на бічному ребрі і має слід на площині основи пряму р, яка не перетинає основу призми.

Побудова: Нехай маємо (мал.13) зображення призми ABCDA1B1C1D1, а також задану точку М на ребрі ВВ 1 та пряму р на площині A1B1C1D1 причому вона не перетинає ребра основи.

Для побудови перерізу потрібно знайти точки, що належать ребрам АА 1 СС 1 і DD1. У цих точках січна площина має перетинати дані ребра. Міркуємо так: пряма A1B1 є проекцією сторони перерізу на основу. Продовжимо A1B1 до перетину з прямою р у точці Р 1. Пряма МР 1 перетинає ребро АА 1 у точці R. MR - сторона, шуканого перерізу.

Аналогічно будуємо точку N на ребрі СС 1 (Р 2 = В 1С 1 р) (N = ВР 2 МР 2). Продовжимо ребро C1D1 до перетину з прямою р у точці Р 3, а потім проведемо пряму NP3, яка перетинає ребро DD1 у точці К. Отже, точки М, N, К і R належать січній площині і ребрам даної призми.

Таким чином чотирикутник MNKR і є шуканим перерізом.



Мал.13.

ЗАДАЧА 12. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точку М на бічній грані і має слід - пряму р з площиною основи, причому р не перетинає сторін основи призми.

Побудова: Нехай маємо (мал.14) зображення даної призми ABCDA1B1C1D1, а також точку М, що належить грані BB1C1C і пряму р у площині основи, пряма р не має спільних точок із сторонами основи. Шуканий переріз буде перетинати грань BB1C1C по прямій, що проходить через точку М. Знайдемо дві точки цієї прямої на ребрах ВВ 1 та СС 1. Ребро В 1С 1 є проекцією шуканої прямої на площину основи, пряма B1C1 перетинає слід р у точці Р 1, а пряма MP1 має з ребрами BB1 і СС 1 спільні точки - N і К відповідно. Отже, NK - одна із шуканих сторін перерізу. Далі проводимо прямі B1A1 і C1D1 у площині основи до перетину з прямою р у точках Р 2 і Р 3 відповідно. Прямі NP2 та КР 3 перетинають ребра АА 1 та DD1 у точках Т і S відповідно. Таким чином, січна площина перетинає бічні ребра призми по точках N, K, S і Т. Тоді чотирикутник NKST - шуканий переріз.



Мал.14.

ЗАДАЧА 13. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точку М на верхній основі та має слід з нижньою основою - пряму р, яка не перетинає основи призми.

Побудова: Нехай маємо (мал.15) зображення даної призми ABCDA1B1C1D1, яку січна площина перетинає у точці М на верхній основі і по прямій р у площині нижньої основи. Ми повинні знайти всі точки, по яких ця січна площина перетинає ребра призми. Оскільки площини ABCD (яка містить М) і A1B1C1D1 - паралельні грані даної призми, бо є основами призми, то пряма, по якій січна площина перетинає грань ABCD, має проходити через точку М і бути паралельною прямій р (за властивістю паралельних площин). Проведемо її. Вона перетинає ребра АВ і ВС у точках R і К відповідно. Пряма A1B1 є проекцією прямої січної площини, яка проходить через точку R і перетинає ребро АА 1. Продовжимо A1B1 до перетину з слідом р у точці Р 2 і з'єднаємо точки R і Р 2 . Пряма P2R перетинає АА 1 у точці S. Аналогічно одержимо точку N на ребрі СС 1. Отже, RS та KN - ще дві сторони шуканого перерізу.

Оскільки січна площина перетинає ребро DD1 у точці, яку ми назвемо Т, то її знайти дуже легко: продовжимо ребро C1D1 до перетину з прямою р у точці Р 3, а потім з'єднаємо точки N і Р 3 Пряма NP3 що лежить у площині грані DCC1D1 перетинає ребро DD1 у шуканій точці Т. Лишилося з'єднати точку Т з точками S і N. Таким чином, п'ятикутник KNTSR - є шуканим перерізом.

Мал.15.

ЗАДАЧА 14. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через середини двох сусідніх ребер основи та середину бічного ребра, яке не перетинає прямі, що містять ці ребра основи.

Побудова: Нехай маємо (мал.16) зображення даного куба ABCDA1B1C1D1, січна площина перетинає основу по прямій, що проходить через точки N і М на ребрах АВ і AD відповідно, а ребро СС 1 містить точку К січної площини, яка поділяє ребро навпіл.

Побудову перерізу почнемо з пошуків точок, по яких січна площина перетинає ребра В 1В і D1D: Проведемо пряму MN у площині нижньої основи. Бачимо, що площина NKM перетинає ребро B1B у точці R (R=KP2 В 1В, а Р 2 =MN ВС) і ребро DD1, у точці L (CD NM = P1, КР 1 DD1 = L). Отже, п'ятикутник MNRKL - шуканий переріз.



Мал.16.

ЗАДАЧА 15. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точку М на бічній грані і має слід з площиною основи - пряму р у площині основи, яка не перетинає сторони основи.

Побудова: Нехай на мал.17 дано зображення піраміди SABC, яку січна площина перетинає у точці М на грані ASB . Відомо також, що січна площина проходить через пряму р на площині основи піраміди, пряма р не має з основою спільних точок.

Міркуємо так: якщо січна площина має спільну точку з гранню ASB, то вона перетинає її по прямій, що проходить через цю точку. А при центральному проектуванні з центром S ця пряма матиме проекцією пряму АВ на площині основи. Тому продовжимо АВ до перетину з слідом р у точці P1 і проведемо пряму MP1, яка перетинає ребра SB і SA у точках К і N відповідно. Аналогічно будуємо точку D на ребрі SC (D = КР 2 SC1, а Р 2 =ВС р). Точки N, К і D є вершинами трикутника NKD - який і є шуканим перерізом.



Мал.17.

ЗАДАЧА 16. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точку М на бічному ребрі та має слід з площиною основи - пряму р, що не перетинає сторін основи.

Побудова: Нехай на мал.18 дано зображення чотирикутної піраміди SABCD, точка М на ребрі SA та пряма р на площині основи піраміди, яка не перетинає сторони основи. Для побудови шуканого перерізу, знайдемо точки на ребрах SB, SC та SD. Якщо точка N належить ребру SD, то при внутрішньому центральному проектуванні AD є проекцією MN на площину основи, а точка Р 1, у якій перетинаються пряма AD і слід р, - є спільною точкою прямої MN і площини основи. З'єднаємо точки Р 1 і М, пряма Р 1М перетинає ребро у точці N. Аналогічно знайдемо точку R на ребрі SC і точку Т на ребрі SB. Чотирикутник MNRT - шуканий переріз.

Мал.18.



Якщо січна площина задана двома паралельними прямими, то її побудова схожа на побудову діагонального перерізу призми (мал.19). Діагоналі основ призми ВС і AD задають площину, що перетинає призму по бічних ребрах АВ і CD, отже, чотирикутник ABCD - паралелограм і є шуканим перерізом.

Мал.19.

5. Побудова перерізу многогранника площиною, що проходить через задану на грані точку під заданим кутом а до площини основи, або через задану сторону основи під кутом а до площини основи

При побудові таких перерізів многогранників потрібно враховувати метричну визначенність кута. Якщо ж кут метрично не визначений, то побудову обґрунтовуємо, спираючись на означення кута між площинами.

ЗАДАЧА 17. Побудувати переріз трикутної призми площиною, що проходить через сторону основи під кутом б до площини основи.

Побудова: Нехай маємо призму ABCA1B1C1 (мал.20), січна площина проходить через сторону основи АС під кутом б до площини основи. Отже, ця площина обов'язково матиме спільну точку з ребром ВВ 1 або з його продовженням, в залежності від величини кута. Якщо кут б метрично не визначений, обґрунтуємо його побудову таким чином: точка В є горизонтальною проекцією шуканої точки на основі призми, опустимо ВК АС, потім у площині КВВ 1 будуємо довільну пряму КР, перпендикулярну до сторони АС. Ця пряма перетинає ребро ВВ 1 у точці М. Трикутник АМС - шуканий переріз.

Мал.20.

Размещено на Allbest.ru

...