Доведення теорем зі шкільного курсу геометрії

Размещено на http://allbest.ru/

Вступ

Дана науково-дослідницька робота присвячена шкільному курсу геометрії, а саме доведення одного з наслідків з теореми про пропорційні відрізки. В цій роботі поставлена така задача: чи можливо знайти координати точки , якщо відомо точки і , з своїми координатами і відомо співвідношення . (мал.1).

Размещено на http://allbest.ru/

Мал.1

Розв'язання даної задачі буле ґрунтуватися на теоремі Фалеса і теоремі про пропорційні відрізки.

Розділ 1. Додаткова інформація

1.1 Видатний давньогрецький вчений Фалес Мілетський

Фалеса (близько 624--548 pp. до н. е.) за давньою традицією відносять до так званих «семи мудреців» світу: він був одним з найвидатніших математиків свого часу. Історичних документів чи будь-яких першоджерел про життя вченого немає, бо його праці до нас не дійшли. Про діяльність Фалеса Мілетського ми дізнаємося лише з коментарів і переказів учених та авторів наукових праць пізнішого часу -- Евдема Родоського, Діогена Лаердія, Прокла та ін. За цими переказами допитливий юнак ще в молоді роки вирушив у подорож до Єгипту, щоб ознайомитися з єгипетською культурою і вивчити природничі науки. Здібний та обдарований, Фалес не тільки швидко оволодів знаннями, що нагромадили єгипетські вчені, а й зробив ряд відкриттів у науці. Він самостійно обчислив висоту єгипетських пірамід за їхньою тінню, чим немало здивував єгипетського фараона Амазіса.

Повернувшись на батьківщину, Фалес заснував так звану Іонійську філософську школу, в якій ознайомлював учнів із своїми філософськими поглядами і передавав знання, здобуті в Єгипті. Фалес за своїми поглядами був матеріалістом. Він учив, що все суще не створене богом, а само виникло з початкової стихії -- води. Учні і послідовники Фалеса Мілетського розвивали і поглиблювали його науково-філософське вчення. Анаксімен доводив, що жива та нежива природа розвинулась з повітря внаслідок згущення виникли тверді і рідкі тіла, а в результаті розрідження -- вогонь. Анаксімандр учив, що першоосновою світу є безконечна матерія. Він висував теорію розвитку з цієї матерії живих істот. Фрідріх Енгельс про це писав: «Отже, тут перед нами вже повністю вирисовується первісний, стихійний матеріалізм...» (К. Маркс і Ф. Енгельс. Твори, т. 20, К., Політвидав України, 1965, стор. 468). Фалес спрямовував зусилля своїх учнів на спостереження явищ природи, на розробку нових важливих питань математики і астрономії. Історики вважають, що Фалесу належить доведення теореми про рівність вертикальних кутів, теорем про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, про рівність двох трикутників за стороною і двома прилеглими кутами. Він довів теорему про те, що вписаний у коло трикутник, одна із сторін якого є діаметром, прямокутний.

Фалес знайшов також розв'язання задачі на визначення відстані від корабля, що перебуває в морі, до гавані без безпосереднього вимірювання цієї відстані.

Можливо, Фалес уже знав властивості подібних фігур, принаймні рівнобедрених прямокутних трикутників. Найбільшим досягненням його в математиці було введення у геометрію ідеї доведення. Геометрія як наука, в якій усі твердження доводились на основі аксіом, починає розвиватися саме в Іонійській школі.

У галузі астрономії Фалесу і його учням приписують визначення тривалості року (365 днів), думку про те, що Земля є серединою Всесвіту і має кулясту форму. Як гадають історики, Фалес встановив, що поперечник Сонця становить 1/720 частину його шляху, тобто відношення діаметра Сонця до довжини екліптики дорівнює 1/720. На той час цей результат був досить точним. Фалес передбачив сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н. е. Цей факт справив велике враження на його сучасників.

Один з талановитих послідовників Фалеса Анаксагор (V ст. до н. е.) висловив думку, що небесні тіла складаються з каміння і не падають на Землю тому, що перебувають у постійному коловому швидкому русі. Закони руху небесних тіл через дві тисячі років встановив великий німецький математик Йоганн Кеплер, а математично обґрунтував їх великий англійський учений Ісаак Ньютон. і Наукові дослідження у галузі математики, астрономії та інших наук Фалес поєднував з широкою державно-політичною діяльністю. Він був людиною високоосвіченою, мудрою й енергійною. Особливо цінними були його поради, що стосувалися військової справи. Гадають, що Фалес трагічно загинув на стадіоні під час великих олімпійських ігор, коли йому було майже 80 років. Про причини його загибелі існує кілька версій. Одна з них свідчить про те, що смерть сталася від сонячного удару, інша, Ідо людський натовп, виходячи із стадіону, мимоволі заподіяв смерть старому мудрецеві. На пам'ятнику Фалесу, що стоїть серед широких ланів, вирізьблено: «Наскільки мала ця гробниця, настільки велика слава цього царя астрономії в галузі зірок».

Історичне значення філософів Іонійської школи полягає в тому, що вони не тільки зробили важливі відкриття в математиці, а й сформували нову матеріалістичну ідеологію, спрямовану проти релігійних поглядів реакційної землевласницької верхівки. Найяскравіше погляди прогресивних філософів витлумачив філософ Геракліт Ефеський (кінець VI ст. до н. е.), який твердив: «Усе тече... Не можна двічі ввійти в той самий струмок -- вода не та, і ми не ті»... І ще: «Цей світовий порядок -- однаковий для всіх речей -- не створив ніхто з богів, ніхто з людей; він завжди був і буде вічно живим вогнем, який точною мірою загоряється і точною мірою згасає». В. І. Ленін підкреслив це висловлення і написав: «Дуже добрий виклад начал діалектичного матеріалізму» (твори, т. 14, стор. 678).

Філософські і наукові надбання Іонійської школи стали тим сприятливим ґрунтом, на якому почала бурхливо зростати і розвиватися в наступні епохи славнозвісна еллінська культура.

фалес теорема пропорційний кутовий

1.1.1 Знаходження відстані між точками

Твердження 1. Нехай в Декартові системі координат задано дві точки і з своїми координатами та тоді відстань між ними буде визначатись за формулою:

(1)

Доведення: Нехай на площині дано дві точки: з координатами і з координатами Виразимо відстань між точками і через координати цих точок. Розглянемо спочатку випадок, коли і . Проведемо через координати цих точок і прямі, паралельні осі координат, і позначимо через точку їх перетину (мал..2). Відстань між точками і дорівнює , а відстань між точками і дорівнює . За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику маємо:

(*)

де -- відстань між точками і

Хоча формула (*) для відстані між точками виведена у припущені що , , вона залишається правильною і для інших випадків. Справді, якщо , , то дорівнює . Такий самий результат дістанемо і за формулою (*). Аналогічно розглядаємо випадок, коли , . Якщо , , то точка і збігаються і за формулою (*) дістаємо що .

Мал.2

1.1.2 Теорема про пропорційні відрізки

Теорема про порційні відрізки: паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Мал. 3

Доведення. Нехай сторони кута перетинають паралельні прямі -- у точках відповідно до (мал.. 3).

Теорема стверджує, що

. (*)

Доведемо спочатку рівність (*) для випадку коли, існує відрізок такої довжини в, який можна відкласти ціле число разів і на відрізку і на відрізку . Нехай і . Розіб'ємо відрізок на цілих частин (довжиною в). При цьому точка буде однією з точок поділу. Проведемо через ці прямі, паралельні прямій . За теоремою Фалеса ці прямі розбивають відрізок на рівні відрізки деякої довжини. Маємо:

і .

Бачимо що

Отже

Що і тре ба було довести.

1.1.3Теорема Фалеса

Теорема. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні. (Мал.6)

1.1.4 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай задано прямокутну систему координат і деяку пряму . Позначимо через б кут на який потрібно повернути вісь , щоб надати їй одного з напрямків цієї прямої. Куту надамо знак «+» або «-» в залежності від того, буде цей поворот додатній (проти годинникової стрілки) чи від'ємний. Цей кут назвемо кутом нахилу прямої до осі Зрозуміло, що цей кут нахилу визначається з точністю до . Тому за кут б беремо найменше додатне значення, а у випадку коли вважають, що кут нахилу дорівнює нулю (мал.4,5).

Означення. Тангенс кута нахилу прямої до осі називається кутовим коефіцієнтом цієї прямої.

Мал.4 Мал.5

Позначимо кутовий коефіцієнт буквою k. Відповідно до означення . Причому, . Якщо , то якщо , то -- існує . В цьому випадку пряма .

Розглянемо довільну пряму задану двома точками і . Полярний кут відрізка дорівнює куту нахилу прямої до осі , тобто мал. Очевидно, що

Таким чином, для кутового коефіцієнта маємо формули:

, (1)

. (2)

Припустимо, що величина відрізка і кутовий коефіцієнт прямої (1). Тоді формула (2) набуває вигляду , () -- довільна точка), звідки

. (3)

Рівняння (3) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Легко помітити, що і навпаки: кожне рівняння (3) визначає пряму, яка має кутовий коефіцієнт і відтинає на осі відрізок, величиною

Покажемо, як скласти рівняння прямої, якщо відомо одну точку цієї прямої і кутовий коефіцієнт . Підставивши координати точки в рівнянняя (3), одержимо, що . Отже шукане рівняння буде мати вигляд:

(4)

Якщо відомо дві точки прямої і , то підставивши значення кутового коефіцієнта, обчислене за формулою (2), в рівняння (4), одержимо

або

(5)

Рівняння (5) називається рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Позначмо тоді отримаємо загальне рівняння прямої: .

Розділ 2. Основна частина

2.1 Теорема про поділ відрізка у заданому співвідношенні

Теорема. Нехай на координатній площині задано точки і М, з своїми координатними і , відомо також відношення відрізків . Тоді координати точки будуть визначатися за формулами:

Мал.(5)

Доведення. Спочатку припустимо що точки і , задані на координатній прямій з своїми координатами : . припустимо, що відомо число , тобто відношення, в якому точка ділить відрізок . (мал. 1).

Оскільки , , тоді підставимо у формулу (1) величини відрізків і отримаємо що:

Тоді з рівняння (2) визначаємо і ми отримуємо що:

(3)

Формула (3) визначає координати точки , яка ділить відрізок у заданому відношенні л. Зокрема, якщо , то

(4)

Формула (4) визначає середину відрізка

Нехай на координатній площині задано точки і , деякої прямої з своїми координатами . (мал.6)

Мал.5

Припустимо, що відомо число , тобто відношення в якому точка ділить відрізок . Якщо скористатись теоремою про пропорційні відрізки, то легко одержати, що . Отже, згідно з формулою (3) будемо мати

Аналогічно одержуємо, що

Таким чином, координати точки , яка ділить відрізок . У заданому співвідношенні л, обчислюється за формулами:

(5)

Зокрема , якщо , то

Звідси отримуємо координати середини відрізка :

За формулою (5) визначаються координати середини відрізка . Зауваження 1. Формули (3, 5) справедливі для будь яких крім . Тоді знаменник перетворюється в 0.

Зауваження 2. Ми розглянули випадок, коли точка є внутрішньою точкою відрізка . Такий поділ називається внутрішнім. Можна розглянути і зовнішній поділ, тобто вважати, що точка не належить відрізку . У цьому випадку число л -- від'ємне, але формули (3) і (5) залишаються вірними.

Висновки

Пошукові і проблемні підходи у процесі вивчення теоретичного матеріалу (доведення теорем, виведення формул, пошук методів розв'язування того чи іншого виду задач) сприяють розвитку логічного мислення, якісному засвоєнню програмового матеріалу. Крім того розвиваються такі навички науково теоретичного мислення, як уміння здійснювати доведення і спростування, аналізувати, узагальнювати й критично оцінювати здобуті результати.

Пошуки нових способів доведень теореми спонукають учня до творчого застосування знань, умінь та навичок, виявляють варіативність його мислення, здатність самостійно орієнтуватися у нестандартній ситуації.

Дана робота може бути корисною для учнів старших класів та вчителів математики.

Список використаних джерел

1. Конет І.М., Мойко В.В., Сорич В.А. Алгебра та геометрія -- Кам'янець-Подільський: Абетка-Нова, 2003. -- 64-65с.

2. Погорєлов О.В. Геометрія 7-9 -- Київ: Школяр, 2004. --115с.

3. Конет І.М., Мойко В.В. Прямі (n,m,k) в геометрії трикутника -- Кам'янець-Подільський Абетка-Світ, 2007. -- 29-30с.

4. Бурда М.І., Тараенкова Н.А. Геометрія 9: Київ Зодіак-ЕКО, 2009. -- 101с.

Размещено на Allbest.ru