Решение задач при помощи квадратных уравнений. Теорема Виета
Систематизация знаний учащихся по теме "Теорема Виета" и "Квадратные уравнения". Закрепление у школьников умений применять изученные правила при решении уравнений и задач. Изучение сборника материалов "Поэзия в математике" и решение задач в стихах.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | разработка урока |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.03.2013 |
| Размер файла | 17,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение задач при помощи квадратных уравнений. Теорема Виета
Цели:
· Систематизировать знания учащихся по теме "Теорема Виета" и "Квадратные уравнения".
· Закрепить умение применять изученные правила при решении уравнений и задач.
Содержание урока.
I. Целеполагание. Актуализация опорных знаний.
Учитель: В этом году учащиеся вашего класса закончили работу над проектом "Поэзия в математике". Собранный материал оформили в сборник материалов, куда включены задачи в стихах, математические правила, понятия в стихах, стихи о математике и математиках. Сегодня на уроке мы решим несколько задач из данного сборника. Фронтальный опрос учащихся.
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. Виды квадратных уравнений.
3. Формула корней квадратного уравнения.
4. Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением?
5. Формула корней приведенного квадратного уравнения при р - четном.
квадратный уравнение теорема виет
х2 + рх + q = 0. .
Формула запомнится надолго, если выучить ее в стихотворной форме:
Р со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим
И от корня аккуратно
Плюсом, минусом отделим,
А под корнем, очень кстати,
Половина Р в квадрате,
Минус "ку" - и вот решенье
Небольшого уравненья.
6. Как читается теорема Виета? Прочитать теорему, обратную теореме Виета.
7.Записать теорему Виета для уравнения ах2 + bх + c = 0.
х1 + х2 =; х1 • х2 =.
ТЕОРЕМА ВИЕТА
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта,
Что за беда -
В числителе b , знаменателе а.
И. Дырченко.
II. Немного истории. Для квадратного уравнения Виет формулировал свою теорему так: "Если В + D, умноженное на А минус А2 , равно В • D, то А равно В и равно D". Виет прописными гласными буквами обозначал неизвестные величины (то, что мы обозначаем через х, у него - А), а коэффициенты уравнения прописными согласными буквами В и D. (В + D) • А - А2 = В • D. Проверим:
(2 + 3) • А - А2 = 2 • 3;
А2 - 5А + 6 = 0.
А = В = 2
А = D = 3.
Сформулируем утверждение Виета в современных обозначениях.
(b + d) • x - x2 = b • d.
Обозначим b + d = - p; b • d = q получим - х2 - рх - q = 0 или х2 + рх + q = 0.
Это теорема, обратная теореме Виета.
Решим задачу на теорему Виета.
Найдите коэффициент q квадратного уравнения х2 + 5х + q = 0, если известно, что корни х1 и х2 связаны соотношением х12 +х22 = 7.
Решение. х1 +х2 = -5. Возведем в квадрат:
х12 +х22 + 2 х1х2 = 25;
7 + 2 х1х2 = 25;
2 х1х2 = 18;
х1х2 = 9; q = 9.
III. Решение задач.
1. ЗАДАЧА БХАСКАРЫ (1114 г)
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглушали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Решение.
Количество обезьян выразим через х. По условию задачи получим уравнение
; ; ;
х1 = 16; х2 = 48.
Оба ответа удовлетворяют условия задачи.
2. ДВА ПУТНИКА
/По задаче Л. Керрола/
Из пунктов А и В примерно
Два путника навстречу шли;
И при движеньи равномерном
Они друг друга обошли.
А после встречи, продвигаясь,
Один часов шестнадцать шел,
Второй же, к пункту В шагая,
За девять часиков дошел.
Теперь же, юный математик,
Подумать надо и найти:
Какое время каждый путник
Затратил на своем пути?
Решение. х(ч.) - время до встречи.
(х + 16) ч. - время, затраченное первым путником;
(х + 9) ч. - время, затраченное вторым путником;
Принимая путь за единицу, имеем:
(км/ч.) - скорость первого путника;
(км/ч.) - скорость второго путника.
После встречи первым путником пройден путь (км.).
А вторым - (км.).
Сумма путей приравнивается к единице.
;
16х + 144 + 9х + 144 = х2 + 25х + 144;
х2 = 144;
х = 12;
Ответ: 12 + 16 = 28 (ч.) - время первого путника;
12 +9 = 21 (ч.) - время второго путника.
3. СКОЛЬКО СТРАНИЦ В КНИГЕ?
Середина книги. "С" и "Д" - так я назвал ее страницы.
"Е" и "F" - страницы после "Д"
А перед "С" - "А" и "В" страницы.
Когда я "А" на "В" умножил
Ответ отметил буквой N.
"Е" и "F" страницы перемножил
И обозначил буквой М
От М отнял я N, и вот
Какая разность получилась:
Та разность - тысяча семьсот,
Она то нам и пригодилась.
Теперь же, юный математик,
Путем решения пойди,
И сколько всех страничек в книге,
По этой разности найди.
Решение. (Наблюдения показали, что учащиеся при анализе задачи вдумываются в смысл предложений, улавливая связь с неизвестными значениями величин. Большинство пришли к выводу выражения страницы через х.)
Итак, страницу "С" обозначают через х, а страницы "Д", "Е", "F" последовательно обозначили: х + 1, х + 2, х + 3, а страницы "А" и "В" - х - 2, х - 1. Составляется уравнение по условию задачи:
(х + 2) (х + 3) - (х - 2) (х - 2) = 1700;
х2 + 3х + 2х + 6 - х2 + х + 2х - 2 = 1700;
8х = 1700 - 4 = 1696; .
Значит, середина книги страница "С" обозначена числом 212, стало быть, всего страниц в книге 212 • 2 = 424.
IV. Итог урока.
1. Самоанализ учащимися знаний, умений и навыков.
2. Выставление оценок.
3. Домашнее задание.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Введение понятия задачи с параметрическими данными на материале линейных уравнений. Система упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами. Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрам. Задачи на использование теоремы Виета.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 18.04.2012Деятельность учащихся по комплексному применению знаний, умений и способов действий при решении задач на пропорции и масштаб. Межпредметная связь математики с химией, географией, литературой. Быстрая актуализация и практическое применение знаний.
презентация [1,5 M], добавлен 15.02.2011Место темы "Решение алгебраических задач геометрическим способом" в курсе математики в школе. Скалярное произведение векторов и его свойства. Составление плана-конспекта трех уроков. Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений.
курсовая работа [376,8 K], добавлен 20.03.2017Возрастные особенности учащихся основной школы. Организация исследовательской деятельности школьников при решении планиметрических задач. Разработка методических подходов к обучению решению задач по геометрии и повышению качества знаний по математике.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 13.12.2017Формирование у учащихся основных навыков в области решения уравнений. Решение задач, в которых нет ни одного известного количественного параметра, но имеются данные о сумме этих компонентов. Упражнения на составление выражений с буквенными величинами.
контрольная работа [40,4 K], добавлен 07.02.2009Методы закрепления умений младших школьников решать задачи и примеры на нахождение суммы и остатка в пределах 6. Анализ образовательной и коррекционно-развивающей задачи урока: развивать логическое мышление и долговременную память через решение задач.
конспект урока [16,3 K], добавлен 13.06.2010Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.
дипломная работа [387,1 K], добавлен 24.02.2010Подбор комплекса олимпиадных задач по математике для детей младшего школьного возраста. Структура и виды олимпиадных задач, способы их решения. Обучение детей умению и навыкам выполнять семантический, логический и математический анализ текстовых задач.
курсовая работа [36,0 K], добавлен 01.10.2014Организация самостоятельной деятельности младших школьников в учебном процессе. Обучение школьников самостоятельному решению текстовых задач по математике. Практическая апробация методов и приёмов, развития самостоятельности при решении текстовых задач.
дипломная работа [169,3 K], добавлен 15.08.2014Понятие, задачи, виды и этапы решения задач. Сущность эвристического подхода в решении задач по физике. Понятие эвристики и эвристического обучения. Выявление различных эвристических методов в решении задач и подбор задач к этим методам.
курсовая работа [29,6 K], добавлен 08.02.2011Психолого-педагогические основы формирования приёмов учебной деятельности школьников в практике обучения математике. Содержание и структура учебно-познавательных приемов при решении стереометрических задач на построение по теме "Прямая и плоскость".
дипломная работа [500,8 K], добавлен 11.11.2014Значение слова "корень", используемого в таких предметных областях, как математика, русский язык, окружающий мир. Понятие значения корня в слове, в жизни растения, при решении уравнений. Решение задач составлением уравнений и нахождением их корней.
конспект урока [446,3 K], добавлен 28.01.2011Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.
курсовая работа [231,8 K], добавлен 20.08.2010Физическая задача как объект познавательной деятельности учащихся. Уровни сложности физических задач. Этапы решения. Психологическая основа сборника. Содержание выделенных структурных элементов физических знаний. Содержание электронного сборника.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 12.01.2014Понятие задачи и ее решения. Решение задач выделением этапов математического моделирования. Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать алгебраическим способом. Задания по формированию умений составления математических моделей.
дипломная работа [164,3 K], добавлен 23.04.2011Формирование у школьников способности распознавать практические проблемы, которые можно решить с применением сюжетных задач. Примеры задач со сказочным содержанием для 1-4 классов начальной школы в соответствии с новой учебной программой по математике.
курсовая работа [43,7 K], добавлен 15.06.2013Роль и основные функции задач в обучении математике. Основные понятия теории графов. Роль факультативных занятий как формы обучения математике. Методика проведения занятий по решению задач на факультативных занятиях по теме "Элементы теории графов".
курсовая работа [752,1 K], добавлен 08.06.2014Психолого-педагогические основы эвристической деятельности при решении задач. Учебная задача как предмет эвристической деятельности. Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач по геометрии в 7-9 классе.
дипломная работа [254,5 K], добавлен 23.07.2011История возникновения координат на плоскости. Этапы решения задач методом координат. Два вида задач, решаемых методом координат. Контрольная работа по теме "Метод координат" для учащихся 9 класса. Умения, необходимые для решения задач методом координат.
курсовая работа [706,7 K], добавлен 30.03.2015Математические задачи: понятие, структура, решение. Роль подготовительных упражнений перед введением нового понятия, доказательством теоремы, решением сложной задачи. Методика использования задач на готовых чертежах в курсе геометрии основной школы.
контрольная работа [213,5 K], добавлен 25.03.2016
