Профессиональная подготовка учителя математики к преподаванию геометрических преобразований в средней школе

Л. В. Тимшина

Идея преобразования геометрических образов способствует созданию у будущих учителей полного и единого представления о предмете геометрии вообще и школьной в частности; объясняет, как школьная геометрия вписывается в изучаемые в педвузе геометрии; показывает ряд новых методов решения школьных задач. Более глубокое понимание геометрии создает большие возможности для учителя в выборе способов изложения материала, а следовательно, в выборе из них наилучшего.

Задача всесторонней подготовки учителя по геометрическим преобразованиям очень широка. Она предполагает, во-первых, осознание места и роли этой темы в структуре геометрической науки и практике преподавания, во-вторых, изложение на современном научном уровне различных видов преобразований плоскости и пространства, в-третьих, привитие прочных навыков в решении задач на применение геометрических преобразований. Специальная геометрическая подготовка студентов кроме обеспечения знаниями, умениями и навыками по предмету должна способствовать овладению основными приемами мыслительной деятельности и их дальнейшему развитию.

Рассматривая роль различных видов преобразований в обосновании геометрии, заметим, что «элементарная геометрия содержит две большие общие идеи, которые легли в основу всего дальнейшего развития геометрии и значение которых далеко выходит даже за эти достаточно широкие рамки. Речь идет о дедуктивном методе и аксиоматическом обосновании геометрии, во-первых, и о геометрических преобразованиях и теоретико-групповом обосновании геометрии, во-вторых» [1].

Изучение геометрических преобразований позволяет осуществить знакомство будущих учителей математики с групповой точкой зрения на геометрию.

Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. Геометрия такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Например, евклидова геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная геометрия -- свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология -- свойства фигур, сохраняющихся при любых взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского и проективная геометрия.

Начало теоретико-групповому подходу в геометрии было положено Эрлангенской программой Ф. Клейна. Хотя точка зрения Ф. Клейна на построение геометрии не исчерпывает всего богатства современной геометрии, его теоретико-групповой подход к построению геометрии охватывает практически все геометрические теории, изучаемые сейчас в качестве учебного предмета в высшей школе.

Приобщая студентов к дедуктивному методу, можно сообщить им, что разные системы обоснования евклидовой геометрии были предложены несколькими учеными, из числа которых особо заслуживают быть отмеченными итальянский математик М. Пиери, профессор прославленного Геттингенского университета Д. Гильберт и приват-доцент Новороссийского университета В.Ф. Каган.

В чисто математическом отношении предложенные системы аксиом равносильны: приняв за основу любую из них, можно на этой базе доказать все предложения, рассматриваемые как аксиомы в двух других системах. Главное различие между тремя рассматриваемыми аксиоматиками заключается в путях реализации метрической структуры евклидова пространства, отличающей его от аффинного пространства. Гильберт учитывал эту структуру, аксиоматизируя понятие равенства отрезков и углов, М. Пиери считал основным понятием движение, а Каган исходил из понятия расстояния между точками. Пиери с самого начала вводит в геометрию понятие движения.

Вопросы структурной точки зрения на геометрию раскрываются при подготовке будущих учителей в разделе оснований геометрии.

В современных учебных вузовских пособиях для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов [2] геометрические преобразования излагаются на базе тех геометрических представлений, которые сложились у студентов при изучении школьного курса геометрии. Такой подход предполагает повторение, обобщение и систематизацию базовых геометрических знаний, полученных в школе.

С этой точки зрения целесообразно сообщить студентам, что основная идея в школьной геометрии состояла в том, что фигуры, полученные друг из друга преобразованиями движения и подобия, имели одни и те же свойства и, следовательно, считались равными или подобными. Метод преобразований сводился лишь к изменению местоположения и размеров фигуры.

В курсе вузовской геометрии изучаются и другие геометрии, прежде всего, аффинная геометрия и аффинные свойства фигур. Эта геометрия отличается от школьной тем, что в ней кроме преобразований движения и подобия будут выполняться с фигурами другие преобразования -- аффинные, которые могут изменять форму фигуры. При этом включаются в рассмотрение новые линии, устанавливается своего рода родство между, казалось бы, совершенно различными линиями. Например, тот факт, что окружность переходит в эллипс при аффинном преобразовании, указывает на наличие каких-то общих свойств этих линий. Здесь возникают для нас новые возможности. Аффинные преобразования, благодаря своим инвариантам, являются мощным средством для вывода новых геометрических теорем и решения разнообразных задач.

Проективная геометрия дает возможность еще более обобщить изучение линий или других геометрических образов, используя проективное преобразование. Топологические, или взаимно однозначные и взаимно непрерывные, преобразования позволят установить еще более глубоко скрытые свойства геометрических фигур.

Такая вводная беседа перед изучением геометрических преобразований актуализирует ранее сложившиеся знания и способствует более осознанному изучению новых математических теорий.

Изучение существующей системы профессиональной подготовки будущего учителя математики по геометрическим преобразованиям показывает, что учебный материал по геометрическим преобразованиям является вполне сложившимся, устоявшимся. Однако «малые», но не менее важные фрагменты учебного знания и методика их изучения разработаны крайне слабо. Так же слабо разработаны конкретные формы и методы усвоения содержания вузовских курсов, формы организации учебно-познавательной деятельности студентов: они представлены в имеющихся разработках общо и безотносительно к тому или иному конкретному содержанию.

Таким «малым» фрагментом в общей линии геометрических преобразований являются проективные преобразования. На наш взгляд, можно выделить следующие цели изучения проективных преобразований: обобщение имеющихся у студентов знаний; усвоение новых приемов решения геометрических задач школьного типа; развитие творческих способностей, привитие навыков самостоятельной работы; развитие абстрактного и логического мышления.

1. Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, две ее вершины A и C недоступны. Постройте прямую AC.

2. Постройте прямую, проходящую через данную точку и недоступную точку пересечения двух данных прямых.

3. На чертеже ограниченных размеров даны прямые а и b, пересекающиеся в недоступной точке A, и прямые m и п, пересекающиеся в недоступной точке B. Постройте прямую AB.

По своим параметрам последняя задача является более общей, чем вторая, а вторая задача более общей, чем первая. Таким образом, первую задачу можно считать ключевой задачей, наводящей на идею решения остальных задач. Рассмотрим один из возможных вариантов решения этой задачи. На расширенной евклидовой плоскости зададим гомологию с осью AC, парой соответственных точек B и D и центром в точке

S, принадлежащей прямой BD. Произвольно возьмем точку M, принадлежащую AB. Построим ее образ M' при заданной гомологии. Произвольно возьмем еще одну точку N, принадлежащую BC. Построим ее образ N'. По свойству гомологии точка P пересечения прямых MN и M'N' лежит на оси AC. Аналогично строим еще одну точку Q, также лежащую на прямой AC. Через точки P и Q проводим прямую AC.

В толковом словаре русского языка С. И. Ожегова дается такое определение эвристики: «Эвристика. 1. Совокупность исследовательских методов, способствующих обнаружению ранее неизвестного. 2. Основанный на беседах, диалогах метод обучения, стимулирующий у учеников развитие активного поиска решений» [3].Согласно модели творческой математической деятельности, предложенной Т. А. Ивановой, «процесс познания в математике начинается с накопления фактов и выдвижения гипотез. В науке искусство изобретения, метод нахождения нового называется эвристикой. Поэтому методы, с помощью которых осуществляется накопление фактов и выдвижение гипотез, т. е. методы, способствующие открытиям, называются эвристическими методами деятельности» [4]. Эвристическая составляющая математической деятельности рассматривается Т. А. Ивановой в качестве одного из компонентов культуры мышления в системе гуманитарно-ориентированного математического образования.

Г. И. Саранцев [5] выделяет три группы эвристик. К первой группе относятся эвристические приемы: прием опорных задач; прием вспомогательных задач; прием достраивания фигуры; прием рассмотрения предельных случаев; прием введения вспомогательной неизвестной и т. д.

Специальные эвристики обусловливаются такими положениями: для доказательства равенства отрезков можно воспользоваться доказательством равенства треугольников, содержащих отрезки, либо одним из видов движений, либо доказательством того, что четырехугольник, боковыми сторонами которого являются данные отрезки, есть равнобедренная трапеция, и т. д.

Следующую, наиболее сложную группу эвристик образуют методы научного познания: наблюдение и сравнение, эксперимент, анализ и синтез, неполная индукция и аналогия, обобщение, специализация и т. д.

Таким образом, методы, с помощью которых человек открывает новые способы решения, строит нестереотипные планы и программы, называют эвристическими. Эвристические методы и приемы являются лишь предварительными моментами в процессе решения задач; часто они наводят на правильное решение, но существует вероятность и ошибочных действий.

Метод геометрических преобразований имеет объективные предпосылки для обучения учащихся эвристическим приемам, а также специальным эвристикам, обусловленным содержанием теоретического материала данной темы. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Особое значение на этапе выбора геометрического преобразования имеет переформулирование задачи. Оно позволяет облегчить поиск нужного преобразования. Сущность переформулирования состоит в преобразовании систем исходных данных и требования задачи, в замене данного утверждения формулировкой, облегчающей решение. В результате переформулирований элементы задачи включаются в новые связи и отношения, выступают в новом качестве, в новых понятийных характеристиках. Здесь можно выделить следующие основные приемы переформулирования: равносильное преобразование требования задачи; получение следствия; переосмысление элементов фигуры в плане другого понятия; перевод содержания задачи на язык специальной теории.

Рассмотрим, как применяется прием равносильного преобразования требования задачи.

Пример 1. На отрезках AB и BC (AB + BC = = AC) как на сторонах построены равносторонние треугольники ABM и BCP (рис. 1), вершины M и P которых лежат по одну сторону от прямой AC. Доказать, что треугольник BEK правильный, где E и K -- середины отрезков AP и MC.

Рис. 1

Решение. Требование задачи равносильно двум условиям: BE = BK и IKBE = 60°. Одновременное выполнение этих условий означает, что одна из точек есть образ другой при повороте вокруг точки В на угол 60°.

Прием получения следствий состоит в том, что из данных условий задачи получают некоторые выводы, а из полученных промежуточных результатов новые выводы и т. д. Нередко таким путем удается решить предложенную задачу.

Пример 2. Внутри треугольника ABC выбрана точка M. Если построить PMAB = PCAP (рис. 2) и отложить AP = AM, если далее построить PMBC = PABQ, BQ = BM и PMCA = PBCR, CR = CM, то точки M, Р, Q, R лежат на одной окружности.

Puc. 2