Этапы формирования понятий математического анализа на основе физических моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЭТАПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НА ОСНОВЕ ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Ё. В. Ончукова

Понятие является одной из важнейших составляющих любой науки, в том числе физики и математики. На основе понятий излагаются как школьные, так и вузовские курсы учебных дисциплин. Однако анализ контрольных работ, зачётных заданий, ответов на экзаменах зачастую показывает формализм усвоения знаний студентами-физиками младших курсов: они воспроизводят определения понятий математического анализа, но зачастую не могут применить их при решении задач.

Формирование абстрактных математических понятий требует особого подхода. Например, Г. И. Саранцевым предлагается методическая концепция формирования математических понятий у школьников, содержащая 6 основных этапов [1].

1. Начальным этапом формирования понятия является мотивация, сущность которой заключается в подчёркивании важности изучения понятия, в побуждении учащихся к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории.

2. Выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Этот этап реализуется в основном посредством упражнений, направленных на выделение существенных свойств изучаемого понятия и акцентирование на них внимания учащихся.

3. Формулировка определения понятия, посредством которой понятие облекается в словесную форму, имеющую чёткую логическую структуру.

4. Усвоение определения понятия, когда каждое существенное свойство, используемое в определении, делается специальным объектом изучения с помощью системы упражнений.

5. Применение понятия в конкретных ситуациях, во время которого осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия; с его определениями, эквивалентными принятому; используются изученные свойства и признаки понятия. При этом важную роль играет использование блоков задач, объединённых какой-либо общей идеей.

6. Систематизация материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

а) через установление связей между отдельными понятиями, теоремами; б) путём разноплановой систематизации материала по различным основаниям; в) обобщением понятия; г) конкретизацией понятия.

Каждому этапу соответствует система упражнений, и автор отмечает, что процесс формирования понятий отличается динамикой: в зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий внимание к этапам формирования понятия может быть различным, некоторые из них могут отсутствовать.

Таким образом, концепция формирования понятий, используемых как в математике, так и в физике, подразумевает, что этот процесс, имея ряд общих тенденций, не является статичным, раз и навсегда принятым. В зависимости от целей и задач обучения, уровня развития образования и науки в целом, возрастных особенностей учащихся он может варьироваться, творчески переосмысливаться, включать в себя новые черты.

Между тем анализ школьных учебников по началам анализа, по математическому анализу и высшей математике в вузе показывает, что изучение понятий математического анализа ведётся в основном в соответствии со стандартной схемой конструирования понятий. В начале приводятся одна или две задачи, приводящие к понятию (производной, дифференциала, определённого интеграла, простейшего дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и т. д.). Вычленяется общая математическая суть рассмотренных примеров, делается обобщение. Далее даётся определение, которое раскрывает содержание понятия. Затем рассматриваются свойства, выраженные в теоремах, показывающие роль и место рассматриваемого понятия в системе других понятий. После этого приводится ряд примеров тренировочного характера и рассматривается несколько задач прикладного характера. Часто после нескольких вступительных слов сразу даётся формулировка определения понятия, а в конце рассматриваются задачи, показывающие, как используется понятие при решении задач.

Ясно, что практика формирования понятий математического анализа в вузе должна отличаться от работы с понятием в школе, так как, во-первых, студенты знакомы с некоторыми понятиями из курса средней школы и их усвоение должно проходить на другом, более высоком уровне. Во-вторых, больше внимания следует уделять месту рассматриваемого понятия как в системе других математических понятий, так и его роли в других науках при решении задач прикладного характера, требующих элементов математического моделирования. Следует больше внимания уделять работе с формально-логической структурой определения понятия, направленной на формирование математического языка.

В настоящее время нет единого мнения также в понимании термина «усвоение», в частности «усвоение понятий». Объясняется это, во-первых, разным уровнем обучаемых (как школьников, так и студентов) и, во-вторых, разными целями обучения. Действительно, курсы математического анализа изучают как студенты математических специальностей университетов, готовящиеся в своей будущей профессиональной деятельности проводить теоретические исследования в области математики, так и студенты инженерно-технических вузов, подготавливаемые к практической работе. Но усвоение теми и другими математических знаний должно осуществляться не только на разных уровнях, а иметь принципиально различный характер.

Многие авторы под усвоением в общем смысле понимают а) изучение теорий, научных фактов и понятий, а также свободное владение ими, умение использовать в различных ситуациях, в частности для самостоятельного получения знаний; б) знания считаются усвоенными, если учащиеся осознают объём и структуру своих знаний, а также умеют ими оперировать в учебных и практических операциях [5].

Оба этих положения представляются нам далеко не полными. Первое из них требует определения характера и уровней изучения, необходимых для свободного владения теориями, научными фактами и понятиями. Кроме того, не определено, что понимается под «свободным владением теорией»? Имеется ли в виду мыслительная деятельность субъекта внутри теории с целью самостоятельного получения новых знаний о данной теории, ранее неизвестных субъекту, но известных в науке, или речь идёт о дальнейшем развитии самой теории? Ничего не говорится о соотношениях и связях различных теорий между собой в процессе изучения субъектом. Также не указывается характер ситуаций, в которых субъект должен уметь использовать полученные знания, в частности не упоминается о том, что исследователь может сам создавать (моделировать) подобные ситуации. Не указывается также на возможность выхода за рамки изучаемой теории.

Вторая формулировка, больше характеризующая знания школьников и студентов, также представляется неполной. Осознание объёма и структуры собственных знаний ещё не означает, что учащиеся смогут применить их к дальнейшему самообразованию и саморазвитию с целью получения новых знаний на более высоком познавательном уровне. Здесь играет роль целый комплекс причин -- волевых, социальных, возрастных, психологических, мотивационных. Применение знаний в учебных и практических операциях не определяет самого характера этих операций: имеется ли в виду применение в стандартных, хорошо известных и заранее определённых преподавателем ситуациях, или речь идёт о совершенно нестандартной для ученика или студента ситуации, для разрешения которой необходимо самостоятельно определить и изучить известные, а, может быть, и разработать новые средства?

Как видно, термин «усвоение знаний» носит общий характер и требует конкретизации и уточнения для каждой отдельной учебной ситуации в зависимости от целей и задач обучения, а также образовательного, возрастного, социального уровней самих обучаемых. Обычно выделяют репродуктивный и творческий уровни усвоения, которые конкретизируются различными авторами.

А. А. Столяр выделяет три уровня усвоения: воспроизведение; понимание; перенос [2].

А. П. Беспалько указывает на четыре уровня познавательной деятельности: 1) знания-знакомства, включающие узнавание, распознавание, различение; 2) знания-копии, воспроизводящие информацию на уровне памяти или понимания; 3) знания-умения, заключающиеся в применении в знакомой, типичной ситуации; 4) знания-трансформации, состоящие в переносе знаний в новую ситуацию.

Широкое распространение среди методистов получила схема усвоения знаний И. Я. Лернера, включающая следующие уровни:

— восприятие, понимание, запоминание материала и готовность к опознанию объекта и воспроизведению знаний о нём;

— готовность к применению знаний по образцу и в сходных ситуациях;

— готовность к творческому применению знаний в новых, незнакомых ситуациях.

А. В. Усовой определены сущность процесса усвоения, выделены критерии усвоения, условия усвоения применительно к понятиям. К условиям усвоения относятся следующие факторы:

1) согласованное во времени изучение отдельных предметов, при котором каждый учебный предмет опирается на предшествующую понятийную базу и готовит учащихся к успешному усвоению понятий последующего учебного предмета;

2) обеспечение преемственности и непрерывности в развитии понятий, заключающееся в непрерывном развитии понятий, общих для разных учебных дисциплин;

3) обеспечение единства в интерпретации общенаучных понятий, которые должны однозначно определяться по всем предметам, где приходится ими оперировать;

4) исключение дублирования в формировании одних и тех же понятий в процессе изучения различных предметов;

5) осуществление единого подхода к раскрытию одинаковых классов понятий на основе учебных планов обобщённого характера;

6) систематизация и обобщение понятий [3].

Данные положения лежат в основе всех концепций формирования научных понятий в процессе обучения школьников и студентов. В настоящее время они получили развитие в работах как методистов-физиков, так и математиков. Так, Н. И. Резник выделяет следующие педагогические, общедидактические и психологические условия формирования понятий:

- согласованное по времени изучение отдельных учебных предметов, при котором каждый из них опирается на предшествующую понятийную базу и готовит обучаемых к успешному усвоению понятий последующего учебного предмета, отражённое в построении учебных планов и учебных программ, в содержании учебников и учебных пособий;

- обеспечение преемственности и непрерывности в развитии понятий, являющихся общими для ряда предметов, которые должны от предмета к предмету непрерывно развиваться, наполняться новым содержанием, обогащаться новыми связями, а не дублироваться разными преподавателями при чтении различных курсов;

- обеспечение единства в интерпретации общенаучных понятий, одно и то же понятие не должно нести различное содержание в различных курсах;

- исключение дублирования в формировании одних и тех же понятий в процессе изучения различных предметов, что не потеряло своей актуальности для высшей школы до настоящего времени;

- осуществление единого подхода к раскрытию одинаковых классов понятий, для чего необходимо определить объём и содержание сведений из специальных дисциплин, включаемых в дисциплины общенаучные [6].

Как видно, эта схема, приводимая автором применительно к высшей школе, восходит к положениям, сформулированным В. А. Усовой, почти дословно их повторяя.

В то же время отмечается, что виды деятельности, которые должны выполнять учащиеся и студенты с опорой на знание, никем из исследователей специально не выделялись [5].

Также получила известность разработанная американцами классификация уровней усвоения, так называемая таксономия Б. Блума. Она определяет следующие уровни усвоения понятия: знание; понимание; применение в стандартных ситуациях; анализ; синтез; оценка.

Как показывает практика работы в вузе, у большей части студентов-физиков усвоение понятий математического анализа сразу после завершения изучения темы в лучшем случае соответствует первым трём уровням, его нельзя назвать высоким. Для их осмысления требуется время, возможность использования понятия в дальнейшем обучении, при изучении смежных дисциплин. Большинство не может применить полученные знания при решении нестандартных задач, перенести математические методы в простейшие ситуации дисциплин естественнонаучного цикла. У студентов-физиков складывается убеждение, что физика решает свои задачи «по-своему», физическими методами, в основном опираясь на закон сохранения энергии. Неумение применить математические методы к решению физических задач, которые эти методы и породили, увидеть в физических процессах прообразы знакомых из курса математики понятий остаётся одной из наболевших проблем преподавания математических дисциплин на физических факультетах педвуза. Поэтому возникла необходимость пересмотреть традиционную методику преподавания математических дисциплин и, в частности, математического анализа для студентов-физиков. Предлагаемая нами методика формирования понятий математического анализа включает следующие этапы:

физический объект

+ математическое понятие

Данная схема содержит ряд черт, присущих формированию понятий в физике, в то же время подчиняясь основной задаче формирования абстрактного математического понятия.

1. Выделяются физические законы различной природы, известные студентам первого курса из школьного курса физики, в которых одна переменная величина(сила тока, полная энергия спутника, сила взаимодействия двух электрических зарядов и др.) зависит от другой переменной величины (сопротивления, радиуса орбиты, расстояния между зарядами и т. д.). Физические объекты подбираются так, чтобы с точки зрения математики они имели некое общее свойство. Например, с ростом одной переменной величины значение другой приближается к нулю.

2. Строятся графики соответствующих процессов, записываются формулы, выражающие физические законы. Отмечается, что для математика каждое из записанных соотношений является функцией одной переменной.

4. Поскольку графики рассматриваемых функций известны из школьного курса физики, то вначале формируются наглядные представления о понятии. Далее формулируется определение понятия для конкретных физических процессов, причем сами студенты активно участвуют в его конструировании. Затем полученное определение «переводится» на язык математических символов, абстракций с помощью кванторов, знаков логических операций, обозначений, общепринятых в теории множеств.После этого проводится обобщение о том, что рассмотренным зависимостям подчиняются физические процессы, имеющие совершенно различную природу, поэтому свойства реальных процессов можно изучать как свойства функций. Теперь можно приступать к рассмотрению свойств понятия, его места в структуре других математических понятий, приступить к разработке математического аппарата с использованием полученного понятия. Тем самым строится математическая модель, абстрагированная от физического содержания и отражающая общие свойства и закономерности.

5. Полученное абстрактное математическое понятие с разработанным математическим аппаратом используется для изучения свойств реальных процессов.

С другой стороны, при формировании понятий математического анализа мы отвлекаемся от физического содержания, рассматривая общую математическую сущность, присущую явлениям различной природы. На первом этапе формирования представлений о понятии основная роль принадлежит использованию серии рисунков. При этом рассматриваются графические зависимости, в основе которых лежат процессы и явления совершенно различной природы, выделяются их общие свойства, которые можно изучать как свойства функций, отвлекаясь от конкретного физического содержания. При таком подходе чётко прослеживается одна из основных содержательных линий как школьного, так и вузовского курсов математики -- функциональная линия. Например, на рис. 1 показана зависимость числа )N распавшихся ядер от времени t при радиоактивном распаде. Она выражается равенством )N = N0(1 -- e-8t), где N0 -- первоначальное количество радиоактивного вещества, 8 -- постоянная радиоактивного распада, которая пропорциональна периоду полураспада. Аналогичный вид имеет график зависимости коэффициента полезного действия от сопротивления нагрузки в цепи с сопротивлением R, внутренним сопротивлением r и э.д.с. Е источника тока (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Коэффициент полезного действия определяется как отношение полезной мощности к полной:

абстрактный математический понятие анализ

В подобных примерах проявляется общая сущность, заключающаяся в стремлении одной физической характеристики к некоторой фиксированной величине при неограниченном увеличении другой. Формируется математический образ, позволяющий перейти от содержательно-прикладной линии обучения к формально-оперативной [4].

При переходе на операторный уровень усвоения понятия одних рисунков, схем уже недостаточно. Студенты учатся распознавать понятие, отвлекаясь от физической сути процесса, у них вырабатывается алгоритм использования понятия не только для каждой конкретной физической зависимости, но и для общего случая, абстрагированного от конкретного содержания. На формально-логическом уровне усвоения понятия его свойства могут быть строго доказаны, формируется математический аппарат использования понятия, что обеспечивает алгоритмическую линию обучения математике. При этом возможно усложнение модели с целью более полного её исследования, выявления с помощью математического аппарата новых свойств, которые было затруднительно обнаружить при первоначальном рассмотрении модели на уровне наглядных представлений о понятии. В этом проявляется принцип динамичности моделей, их усложнение и сменяемость в процессе усвоения понятия.

При таком подходе наряду с наглядностью выстраивается логическая структура определения математического понятия. При этом параллельно с введением и изучением математического понятия формируется и математический язык. Кроме того, в процесс построения понятия активно включены сами студенты, что позволяет рассматривать формирование понятий как вид учебно-исследовательской деятельности. Сущность деятельностного подхода как раз и состоит в соединении формирования знаний с деятельностью.

Предлагаемая методика изучения математических понятий включает индуктивно-эвристический метод, предполагающий самостоятельное открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Этот метод близок и к методам физической науки. Кроме того, применяется эвристический метод, в котором студент приходит к обобщению с помощью преподавателя или самостоятельно. В дальнейшем используются также индуктивно-исследовательский и дедуктивно-исследовательский методы.

Использование физических моделей при формировании понятий математического анализа не является единственной целью построения курса, а рассматривается как один из приемов обучения, способствующий формированию у студентов-физиков философской идеи единства материи. Создаются условия для их подготовки к решению задач, требующих синтезированных знаний, усиливается мотивационная составляющая познавательной деятельности студентов.

Примечания

абстрактный математический понятие анализ

1. Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математике [Текст] / Г. И. Саранцев. Саранск, 2001. 144 с.

2. Столяр, А. А. Педагогика математики [Текст] / А. А. Столяр. Минск: Выш. шк., 1969. 362 с.

3. Усова, А. В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения [Текст] / А. В. Усова. М.: Педагогика, 1986. 173 с.

4. Ончукова, Л. В. Особенности построения математических моделей при формировании понятий математического анализа [Текст] / Л. В. Ончукова // Формирование математических понятий в контексте гуманитаризации образования: межвуз. сб. науч. тр. Саранск, С. 169-173.

5. Иванчук, О. В. Методика формирования у учащихся обобщённых видов деятельности по усвоению понятий о физических объектах [Текст] : дис. ... канд. пед. наук / О. В. Иванчук. Астрахань, 1999. 146 с.

6. Резник, Н. И. Концепция инвариантности в системе преподавания дисциплин естественнонаучного цикла [Текст]: дис. ... д-ра пед. наук / Н. И. Резник. Владивосток, 1996. 326 с.

Размещено на Allbest.ru