Профессиональная направленность преподавания математического анализа на экономическом факультете

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Профессиональная направленность преподавания математического анализа на экономическом факультете

Развитие качества профессиональной подготовки экономистов является центральной проблемой высшего образования. М. Носков и В. Шершнева выделяют три основных аспекта проблемы профессионально-направленного обучения математике в университете. Первый состоит в определении содержания профессионально-направленного обучения математике, второй связан с повышением мотивации изучения математики, а третий заключается в поиске средств реализации профессионально-ориентированного обучения и разработке методик их использования [3, с. 37].

С.И. Абакумова пишет, что реализация и обучение математике на основе принципа профессиональной направленности формирует математический аспект готовности будущего специалиста к профессиональной деятельности, что включает в себя развитие мышления и формирования профессионально-значимых приемов умственной деятельности, обеспечение математического апарата для изучения специальных дисциплин и профессиональной подготовки в области математики и ее приложений. Перечисленые задачи требуют решения на содержательном (отбор и построение содержания курса математики) и методическом уровнях организации процесса обучения с учетом специфики математики как науки и учебного предмета [1, с. 157].

Последние исследования показали, что обучение, ориентированное на развитие мыслительных умений, имеет результатом более успешную учебную деятельность студентов. Мышление является основой познавательной деятельности, осуществляющей переход от окружающей действительности к знанию, от одних элементов знания к другим, и опять же от знания к действительности к действию.

Развитие логического мышления студентов должно являться одним из актуальных направлений работы преподавателя. Под развитием мышления студентов в процессе обучения понимают формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработку умений и навыков применения законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другую.

Весь учебный процесс математики ощутимо воздействует на совершенствование логического мышления. Логическое мышление достигает высокого уровня тогда, когда в течении процесса учения наряду с другими, студент учится присваивать полученные знания по математике, рассматривая их с разных точек зрения.

Математика способствует развитию творческого мышления, заставляя искать решения нестандартных задач, анализировать содержание условий теорем и суть их доказательств, изучать специфику работы творческой мысли выдающихся ученых.

Я.И. Груденов, говоря о развитии мышления, пишет о том, что в методической литературе постоянно подчеркивается необходимость развития мышления учащихся на уроках математики. Некоторые авторы отмечают: сам по себе процесс изучения математики приводит к умению логически, доказательно мыслить. Очевидно, развитие мышления учащихся многократно ускоряется и усиливается, если учитель, обучая математике, одновременно учит умелому применению различных мыслительных примеров. Действительно, мышление учащегося (да и не только его) проявляется в умении анализировать и синтезировать, обобщать, конкретизировать и так далее, то есть в умении применять различные приемы мыслительной деятельности к изучаемому материалу, к решению задачи, к любой жизненной ситуации [2, с. 195]. Это важно не только для учеников, но и для студентов.

Чаще авторы разбирают и предлагают пути и методы мыслительного и логического развития школьников и мало пишут о студентах. Мы думаем, что весь учебный процесс математики, включая и процесс обучения в вузе, ощутимо воздействует на совершенствование логического мышления.

Примеры из психологии показывают, что мозг человека работает, периодически разделяя объекты то в одном логическом плане, то в другом, что мышление вообще направлено к непознанному, так как человек от природы любознателен и стремится все познать. На наш взгляд, эту способность необходимо учитывать в ходе обучения математике: студент несомненно попытается рассмотреть теорию и упражнения со всех точек зрения. Объясним подробнее изложенную идею.

В учебниках математического анализа концепты часто рассматриваются в их двойственности [5, с. 165]. Этот довольно положительный факт встречаем при формулировке определений и теорем. Приводимые ниже примеры подтверждают данное положение.

1. Число К называется верхней гранью множества А, если для каждого числа х в А выполняется условие: х не больше К.

Аналогично: число К называется нижней гранью множества А, если для каждого числа х в А выполняется: х не меньше К.

2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует К из Я такое, что для каждого числа п выполняется: х_п не больше, чем число К.

Аналогично: последовательность называется ограниченной снизу, если существует К из Я такое, что для каждого числа п, х_п не меньше, чем число К.

3. Последовательность называется монотонно возрастающей с ростом п, если для каждого числа п, число х_п+1 больше чем число х_п.

Аналогично: последовательность называется монотонно убывающей с ростом п, если для каждого числа п, число х_п+1 меньше чем число х_п.

В этих примерах «аналогичность» существует только в наружной форме (в их оформлении), сами концепции, которые оформляются, различны.

Также часто теоремы (там, где есть возможность) формулируются в их двойственности. В некоторых случаях после доказательства даются примечания, где разъясняется, что происходит в случаях, когда условия теоремы выполняются частично. Приведем примеры.

Теорема 1. Если последовательность х_п монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел, равный значению точной верхней грани.

Аналогично: если последовательность х_п монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет предел, равный значению точной нижней грани.

Теорема 2 (Вайерштрасса). Пусть функция Д(х) определена и непрерывна в [а, Ь], тогда Д(х) имеет минимум и максимум в этом промежутке.

После доказательства теоремы приводятся часто два случая нарушения теоремы Вайерштрасса. В первом случае показывается конкретная функция, которая является неограниченной (отсутствует ограничение снизу или сверху), так как пример непрерывен в незамкнутом промежутке. Во втором случае сохраняется ограниченность в показанной функции, но она выбрана так, чтобы не достигала значения точной верхней грани или значения точной нижней грани, вследствие разрыва первого рода на конце промежутка [а, Ь].

Во многих случаях двойственнность не проявляется видимой в теоремах или в математических упражнениях в то время, как она существует в них. Думаем, что в этих случаях преподаватель обязан научить студентов при изучении теорем и решении упражнений отмечать и другую сторону двойственности.

Остановимся на интересном примере. Вспомним теорему Ролля и теорему Лагранжа. В учебниках вообще не пишется о существовании связи между этими теоремами. Студенты должны различать, что в этих теоремах являются общими следующие условия: функция Д(х) определена и непрерывна в [а, b] и функция Д(х) имеет конечную производную в (а, b). Данные положения различаются условием Д(а) = Д(b) теоремы Ролля.

Рассмотрим подробнее данную проблему. В. Кедхи, автор учебника экономического факультета, рассуждает: «Если теорему Лагранжа выполнить, когда действительно имеет место равенство Да) = Д b), что означает выполнение условий теоремы Ролля, тогда f'(c) принимает вид f'(c) = 0, что утверждает сама теорема Ролля. Итак, можно сказать, что теорема Ролля есть следствие теоремы Лагранжа. Одновременно из способа доказательства теоремы Лагранжа видно, что она есть единственное следствие теоремы Ролля. Из этих фактов следует, что эти теоремы являются эквивалентными» [6, с. 144 145].

Мы не согласны с этим рассуждением. Действительно, при доказательстве теоремы Лагранжа используется теорема Ролля, и если в теореме Лагранжа применяем случай Да) = ДЬ), то следуем теореме Ролля. Однако из этих фактов не вытекает эквивалентность теорем. Из условия, что теорема Лагранжа верна для каждого Да) и для каждого Д b), в том числе и для Да) = Д b), следует, что она является обобщением теоремы Ролля или теорема Ролля является особым случаем теоремы Лагранжа.

Интересно рассуждение П.М. Эрдниева и Б.П. Эрдниева: «На студентов оказывает неизменно сильнейшее впечатление геометрический способ получения теоремы Лагранжа (одной из основных теорем анализа) из теоремы Ролля. Чтобы получить геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа, достаточно повернуть рисунок дуги кривой для теоремы Ролля на некоторый угол относительно осей координат» [5, с. 179].

Это объяснение дает интересную интерпретацию перехода одной теоремы в другую, но мы думаем, что эта модель имеет некоторые недостатки, поэтому ее надо заменить другой моделью. Назовем причины.

Во-первых, это вращение не во всех случаях может осуществить переход от одной теоремы к другой. Рассмотрим простые примеры:

1. График полуокружности с диаметром АВ, параллельным оси Ох. Если график функции у = Дх) повернем на некоторый угол относительно осей координат, чтобы получить теорему Лагранжа, он не останется графиком функции.

2. График параболы, где ось параболы параллельна оси Оу, в то время как хорда АВ не параллельна оси Оу. Если рисунок графика этой функции повернем на некоторый угол относительно осей координат, чтобы получить теорему Ролля, он не останется графиком функции.

Следовательно, не всегда возможно получить вращением теорему Ролля из теоремы Лагранжа, а теорему Лагранжа из теоремы Ролля.

Во-вторых, необходимо взять одну и ту же функцию y = f(x) для двух теорем, так как вращение, показанное авторами (П.М. Эрдниев и Б.П. Эрдниев), изменяет аналитический вид функции, то есть в двух теоремах функция не является одной и той же.

Мы рекомендуем на рисунке, который отвечает геометрической интерпретации теоремы Ролля, передвинуть немного точку B хорды АВ, оставив эту точку на графике. После этого переходим на f(b) * f(a) и опять существует касательная, параллельная AB. Итак, существует точка с, которая нужна для выполнения теоремы Лагранжа.

На умственное логическое формирование ощутимо влияет практика решения упражнений с требованиями, дающими возможность изучить концепции, рассматриваемые в своей двойственности. Так, например, одновременно с упражнениями, требующими изучения непрерывности, когда функция дается в аналитическом виде, можно дать больше материала, в котором изучается непрерывность функции, когда она дана в виде графика. В этих упражнениях «аналогичность» существует в содержании проблем, но они различаются по форме (аналитический вид, графический вид).

Литература

математика профессиональный специалист факультет

1. Абакумова С.И. Профессиональная направленность преподавания математики в инженерно-техническом вузе // Вестник Университета Российской академии образования. 2009. №1.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Книга для учителя. Москва, 1990.

3. Носков М., Шершнева В. Компетентностью подход к обучению математике // Высшее образование в России. 2005. №4.

4. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. М., 1999.

5. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе: Книга для учителя. М., 1996.

6. Kedhi V. Matematika per ekonomistet: Analiza dhe Algjebra. Tirane, 2006.

Размещено на Allbest.ru