Исследование функций с помощью производной

Записать ответ.

Задание 5. Найти производные следующих функций

1.

2. у=(2х-3)(2х+3)

3.

4.

5.

Задание 6. Построить графики следующих функций

1..

2.

Задание 7. Представлен нерациональный способ нахождения производной, функции сделать его рациональным.

Уровень 3. Задания - творческие

Задание8. Исследовать функции и построить графики (двумя способами).

у = ln (x - 5);

у =(х + 2)2 - 4;

у = 2х - 3.

Задание 9. Найти производную следующей функции

.

§ 3. Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач по теме «Исследование функций с помощью производной»

Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или обхода препятствия, - это процесс достижения цели. Умение делать правильный, оптимальный выбор в различных ситуациях это есть рациональный способ решения задач, т. е. наиболее простой, красивый способ решения.

Цель обучения учащихся рациональным способам решения задач - это научить учащихся жить, т. е. научить учащихся рационально мыслить, рационально подходить к решению жизненных проблем, подготовить к практической деятельности.

Известный методист Д. Пойа писал: «Разумно решая задачу, человек, прежде всего старается, возможно, полнее и легче уяснить ее себе» [22], т. е. необходимо научить учащихся из различных вариантов решения задачи, найти именно тот, который и будет рациональным для него.

При нахождении рациональных способов решения задач у учащихся развивается логическое мышление (анализ, синтез, индукция, дедукция), развиваются творческие способности, формируется познавательный интерес, вырабатываются исследовательские навыки.

Требование, не просто решить задачу, а решить ее рационально, должно сопровождаться соответствующим обучением. Это обучение в основном основывается на связи с ранее изученным материалом, на алгебраическом методе решения геометрических задач, на применение различных формул, которые значительно упрощают решения задач, на применении вспомогательных утверждений.

Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач, предполагает использование таких методов обучения, как объснительно-иллюстративных (беседа, объяснение), проблемных (постановка проблемных вопросов), стимулирующих (методы стимулирования и мотивации учебной деятельности).

Существует ряд приемов для нахождения рациональных способов решения задач, рассмотрим некоторые из них.

1. Прием отыскания рациональных способов решения задач при выполнении устных упражнений. Учащимся предлагаются задания на распознавание, т. е. даны два способа решения одной задачи, необходимо из предложенных решений выбрать рациональный.

Методическая схема:

1. провести анализ предложенных решений, и выяснить какой из способов:

а) содержит наименьшее количество действий;

б) не требует дополнительных вычислений и является наиболее простым и наглядным.

2. сделать вывод о том, какой из способов является рациональным.

Фрагмент урока №2. Тема «Построение графиков функций».

Цель: ввести понятие рациональности, выяснить какой из способов исследования функции является наиболее рациональным.

Задание. Даны два способа построения графика функции у=х2 - 2х+1. Какой из способов является наиболее рациональным? [см. задание 1, уровень 1 из системы задач].

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Беседа. Какое решение задачи называется рациональным? 2. Постановка проблемных вопросов. На доске представлены два способа построения графика. Какой из них рациональный и почему? А еще почему? Как эта парабола получается? Дана функция у=х3 - 4х +5. Можно сразу построить график? А преобразовать данную функцию к более простому виду? Значит, какой вывод можно сделать? 3. Вывод. Таким образом, первый способ является рациональным, т. к. решение содержит наименьшее количество действий и не требует дополнительных вычислений.	Отвечают: Это наиболее простое и короткое решение. Анализируют: Первый, т. к. решение более короткое. Т. к. дана функция графиком, которой является парабола. Сдвигом вершины на 1 по оси ох. Нет Нет Делают вывод. Если дана функция график, которой известен, нет необходимости исследовать функцию с помощью производной.

2. Прием отыскания рациональных способов решения задач при выполнении устных упражнений. Учащимся предлагаются нерациональные способы решения задач, которые необходимо представить в рациональном виде.

Методическая схема:

1. провести анализ условия задачи;

2. выяснить, как выполнить рациональное решение, т. е. найти план решения;

3. реализовать план решения;

4. сделать вывод.

Фрагмент урока №6. Тема «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Цель: актуализировать знания учащихся, найти наиболее рациональный способ вычисления производной.

Задание. Найти производную функции .

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? Прежде, чем находить производную, что необходимо сделать? Т. е. представить функцию в рациональном виде 2. Постановка проблемных вопросов. Что можно сделать? Что тогда получим? В начале какая была дана функция? В каком виде ее представили? Чему равна производная этой функции? 4. Вывод Рационально ли сначала преобразовывать функцию, а затем найти производную?	Отвечают: Дробно-рациональная функция Найти производную Преобразовать данную функцию Анализируют: вынести за скобку, а затем раскрыть скобки Дробно-рациональная В виде разности Делают вывод. Конечно, рационально

Фрагмент урока №8. Тема «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Цель: актуализировать знания учащихся, найти наиболее рациональный способ вычисления производной.

Задание. Найти производные функций.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? 2. Постановка проблемных вопросов. Посмотрите на вид 1-й функции. Что записано в правой части? Можно преобразовать данную функцию, т. е. представить ее в рациональном виде? Как это сделать? 3. Чему равна производная? 4. Вывод Для чего мы используем рациональность? 5. Постановка проблемных вопросов. Рассмотрим вторую функцию. Как найти производную? Какой вид примет функция, после преобразований? Чему равна производная? В третьем примере, чему равна производная? Как получили? 6. Общий вывод. Обобщим все вышесказанное. Для чего преобразовывали функции? К какому виду приводили функции? Если в следующий раз будут даны подобные примеры, что вы сделаете?	Отвечают. Функции Найти производные Анализируют Произведение. Да Это формула разности квадратов, т. е. можно свернуть и получим у=4х2-9. 8х Делают вывод Чтобы было легче найти производную Анализируют. Можно сначала преобразовать используя формулу разности квадратов. у=х-4 y`=1 8х Преобразовали функцию к виду у=2х4-1 Делают вывод. Чтобы проще найти производные функций К рациональному Приведем функции к рациональному виду.	Найти производные функций. 1. у=(2х-3)(2х+3) 2. 3. 1. у=4х2-9 у`=8x 2. у=х-4 y`=1 3. у=2х4-1 у`=8x

3. Прием отыскания рациональных способов решения задач при решении упражнений. Учащимся предлагались нерациональные способы решения задач, которые необходимо представить в рациональном виде.

Методическая схема:

1. провести анализ условия задачи;

2. выяснить, как выполнить рациональное решение, т. е. найти план решения;

3. реализовать план решения;

4. сделать вывод.

Фрагмент урока №3. Тема «Построение графиков функций».

Цель: научить учащихся находить наиболее рациональные пути решения задач.

Задание. Построить график функции .

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? Чтобы построить график, что необходимо найти? Производную, от какой функции, необходимо найти? 2.Постановка проблемных вопросов. Как преобразовать данную функцию, чтобы находить производную от суммы, а не от частного? Что еще можно сделать? 3. Выносим 1/х за скобку и раскрываем скобки. Итак, функция упростилась? Функция представлена в виде чего? Проще найти производную от данной функции? 4. Вывод. Если дана функция, то прежде чем находить производную от этой функции, необходимо преобразовать данную функцию к более простому виду и затем находить производную. А теперь строим график.	Отвечают Дробно-рациональная функция. Построить график функции Производную. От дроби Анализируют Записывают Вынести 1/х за скобку Раскрыть скобки Да Разности Да Делают вывод. Строят график.	Проводится исследование функции с помощью производной и строится график.

Фрагмент урока №4. Тема «Построение графиков функций»

Цель: научить учащихся находить наиболее рациональные способы решения задач.

Задание. Построить график функции

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Беседа Что нам дано? Что необходимо сделать? 2. Постановка проблемных вопросов Прежде чем строить можно преобразовать данную функцию? Какая дана функция? Можно привести ее к виду, чтобы в правой части была сумма или разность выражений? 3.Как это сделать? Вызывает ученика к доске. Объясни, что делаем Что можно еще сделать? К какому виду преобразовали функцию? 4. Теперь проще проводить исследовать функцию? Почему? 5. Эвристическая беседа Проведем исследование данной функции. Находим производную. Что делаем дальше? Что для этого необходимо сделать? Наносим точки на числовую прямую. Где функция возрастает, а где убывает? Что делаем дальше? Строим график. Как будем строить? Если функция возрастает, то как проходит график? 6. Вывод. Верно, запомните это и не торопитесь сразу строить график.	Отвечают Дробно-рациональная функция Найти производную Анализируют Да Дробно-рациональная Записывают Отвечают Да Вынести за скобку Выходит к доске. Выносим за скобку Раскрыть скобки Разности Делают вывод Да Т. к. дана степенная функция, легче найти производную и построить график. Записывают. Область определения R Находим стационарные точки. Отвечает. Находим значения функции в точках экстремумах. Нанесем точки пересечения с осями. Поднимается вверх, убывание аналогично. Делают вывод При построении графика функции необходимо сначала преобразовать функцию, если это возможно, а затем строить график.	1. D(y)=R 2. 3. , 4х3 - 16х=0 х=0 или х=±2 4. 5. f(-2)=-16 f(0)=0 f(2)=-16 6. , (0;0), - с ох 7.

Фрагмент урока №10. Тема «Подготовка к контрольной работе» Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Задание. Найти производную функции.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? 2. Постановка проблемных вопросов. Какая дана функция? Какой вид функции? Что необходимо сделать? 3. Что можно сделать? Как будем преобразовывать? 4. Дает задание преобразовать функцию Можно найти производную? Находим. 5. Вывод. Зачем мы приводили функцию к рациональному виду? Способствует ли рациональность облегчению решения?	Отвечают Функция Найти производную Анализируют Сложная Нерациональный Привести функцию к рациональному виду. Преобразовать функцию, затем найти производную. Используя тождественные преобразования. Выполняют преобразования Да Делают вывод Чтобы проще было находить производную. Да.	=

4. Прием отыскания рациональных способов решения задач при решении упражнений. Учащимся предлагаются задания вариативного уровня, т. е. задания на нахождение различных способов решения задачи и выбора рационального из них.

Методическая схема:

1. провести анализ условия задачи;

2. выяснить, какими способами можно решить данную задачу;

3. решить задачу несколькими способами;

4. сделать вывод о том, какой из способов является рациональным.

Фрагмент урока №7. Тема «Исследование функций с помощью производной»

Цель: проверить умения учащихся находить наиболее рациональные способы построения графиков функций.

Задание. Дана функция . Построить график функции двумя способами и найти наиболее рациональный.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Беседа Что дано? Что необходимо сделать? 2. Какими способами можно построить график данной функции. Решаем самостоятельно. Запишите на доске решение 1-м способом. 3. Постановка проблемных вопросов. Каким способом решали? Обратите внимание, здесь нет стационарных точек, т. е. производная ни при каких х не обращается в ноль. Какая дана функция? Эта функция всегда? 4. Запишите другой способ решения. Объясни решение. Поясняет: обратите внимание на график, необходимо было просто вспомнить свойства показательной функции и вид графика. 5. Вывод. Какой из способов является рациональным? Делает обобщение: 2-й способ легче, т. к. решение более короткое и простое. Исследовать функцию с помощью производной в данном случае не рационально.	Отвечают Функция Построить график С помощью производной и аналитически. Решают Выходит к доске и записывает. Анализируют. С помощью производной Показательная Возрастает. Выходит к доске и записывает. Объясняет: построим график показательной функции: известно, что показательная функция возрастает и проходит через точку (0;1), а затем сместим график на 3 единицы вниз по оси у до точки (0;-2) Делают вывод. Второй, т. к. содержит меньшее количество действий и не надо производить дополнительных вычислений.	1 способ. 1. D(y)=R 2. 3. , Ш нет стационарных точек. 4. х=0, у=-2, (0;-2)- с оу у=0, х=log23, (log23;0)- с ох

5. Прием отыскания рациональных способов решения задач при выполнении самостоятельной работы. Учащимся предлагаются задания на нахождение различных способов решения задачи или выбора рационального способа.

Методическая схема:

1.Учащимся предлагаются варианты заданий.

2. Предлагается прочитать, и выясняются, какие вопросы возникают по тексту заданий.

3. Определяется время на выполнение.

4. Предлагаются критерии оценивания.

5. Выполняется проверка.

Самостоятельная работа №1. Тема «Построение графиков функций»

Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Самостоятельнаяработа по двум вариантам, в каждом варианте по 3 задания и одно дополнительное задание для обоих вариантов, на нахождение рационального способа решения задач [см. приложение 4].

Дополнительное задание. Построить график функции у =(х + 2)2 - 4 двумя способами и найти наиболее рациональный.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания - «4» и одно задание - «3». Дополнительное задание на оценку «5».

Самостоятельная работа №2. Тема «Исследование функций с помощью производной»

Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Самостоятельная работа №2 по двум вариантам, в каждом варианте по 8 заданий [см. приложение 5]. Восьмое задание одинаковое для обоих вариантов.

Представлен нерациональный способ нахождения производной функции , привести решение к рациональному виду: Критерии оценивания: 8 заданий на оценку «5»; 6, 7 заданий на оценку «4»; 4, 5 заданий - «3».

Самостоятельная работа №3. Тема «Наибольшее и наименьшее значение функции».

Цель: проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Самостоятельная работа по двум вариантам, в каждом варианте по 3 задания, последнее задание одинаковое для обоих вариантов, на нахождение рационального способа решения задач [см. приложение 6].

Пример. Найти производную функции.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания - «4» и одно задание - «3».

Самостоятельные работы предполагают проверку умений учащихся решать задачи рациональными способами, и предназначены для отработки основных приемов нахождения рациональных способов решения задач.

Рассмотренные примеры обучения учащихся рациональным способам решения задач способствуют овладению основными приемами нахождения рациональных решений задач. Разработанная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач может быть использована в работах учителей математики.

Глава 3. Эксперимент

§1. Введение

Цель эксперимента: установить воздействие рациональных способов решения задач на качество обучения.

Задачи.

Разработать контрольные задания и способы оценивания уровня сформированности умений решать задачи рациональными способами,

Провести экспериментальное обучение.

Провести измерение уровня сформированности умений находить рациональный способ решения математических задач с помощью контрольных работ.

Сравнить уровень умений сформированных под воздействием обучения рациональным способам решения задач с аналогичными умениями без воздействия.

Проанализировать результаты и сделать выводы.

Этапы эксперимента.

Констатирующий.

Диагностирующий.

Формирующий.

Диагностирующий.

Гипотеза. Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач повышает качество усвоения математики.

Объект исследования. Деятельность по формированию умений решать задачи рациональными способами.

Предмет. Умение решать задачи рациональными способами.

§2. Программа эксперимента

№	Этапы	Цель	Виды групп	Требования комплектования групп	Измерительные величины	Перечень эксперим. действий	Методы	Средства и материалы
1.	констатирующий	определить наличие проблемы обучения учащихся рациональным способам решения математических задач.	Константная организация эксперимента	Наличие 1 группы (класса)	Уровень умений рационально решать задачи.	Изучение и анализ школьной документации, разработка анкеты, интервью	Теоретические методы: анализ, обобщение, интерпр. методы.	контр. задания, листы опроса, протоколы наблюдений
2.	диагностирующий	Установить уровень умений учащихся решать задачи рац. способами	Константная организация эксперимента	Наличие 1 группы (класса)	Уровень умений рац. решать задачи	Проведение контрольного среза, анкеты, интервью	Теоретические методы: анализ, обобщение. Эмперич. методы: метод контроля измерения	контр. задания, листы опроса, протоколы наблюдений
3.	Формирую-щий	Формирование умений находить рац. способы решения математических задач	Константная организация эксперимента	Наличие 1 группы (класса)	уровень умений рац. решать задачи	Система задач, система упражнений, контрольные срезы.	Теоретические методы: анализ, обобщение. Эмперич. методы: метод контроля измерения, проблемные ситуации	контр. задания, листы опроса, тесты
4.	диагностирующий	Установить измение уровня сформированности находить рац. способы решения задач под воздействием экспер. обучения и определить результаты экспер. обучения.	Константная организация эксперимента	Наличие 1 группы (класса)	Уровень сформированности умений рац. решать задачи	Проведение контрольного среза, анкеты	Теоретические методы: анализ, обобщение. Эмперич. методы: метод контроля измерения.	контр. задания, листы опроса.

§3. Описание эксперимента

1. Констатирующий этап.

Цель: определить наличие проблемы обучения учащихся рациональным способам решения математических задач.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: изучение и анализ школьной документации, разработка анкеты, интервью.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение, интерпретационные методы).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса, протоколы наблюдений.

На данном этапе осуществлялось наблюдение за методикой работы учителя при обучении учащихся рациональным способам решения задач на уроках математики.

Наблюдение проводилось за работой двух учителей: Латыповой З. Г. и Репиной А. Б. [см. приложение 8.]

Критерии, по которым проводилось наблюдение: использование учителем рациональных способов решения задач; рациональные способы предлагаются учителем; рациональные способы предлагаются учащимися.

Было организовано наблюдение 8 уроков математики, из них рассмотрено решение задач в рациональном виде 10 раз, все эти решения предлагались учителями в готовом виде. При решении задач рациональные способы не предлагаются, т. е. учащиеся не обучаются делать выбор. Учащиеся не предлагают рациональные способы решения задач.

Проанализировав уроки учителей, можно заметить, что на отдельных этапах урока прослеживаются некоторые элементы рациональности: оформление решения задачи, составление алгоритмов, переход от словесной формулировки определения к буквенной.

Таким образом, можно сделать вывод, что учащиеся не обучаются выбору рациональных способов решение. При решении задач необходимо учитывать, то, что каждый ученик индивидуален и то решение, которое для одного ученика является простым, для другого может быть сложным и непонятным, поэтому необходимо предлагать различные варианты решения одной и той же задачи и пусть учащиеся сами выбирают, то решение какое наиболее приемлемо для них. Многие учителя это не учитывают, что приводит к снижению успеваемости.

На данном этапе эксперимента изучалась школьная документация, разрабатывались анкеты для учащихся и вопросы для интервью с учителем.

Цель констатирующего этапа эксперимента достигнута. Учащиеся не обучаются рациональным способам решения задач на уроках математики.

2. Диагностирующий этап.

Цель: установить уровень умений учащихся решать задачи рациональными способами.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: проведение контрольного среза, анкеты, интервью.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение), эмпирические методы (метод контроля, измерения).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса.

Анкета

Цель: установить, что известно учащимся о понятии рациональный способ решения задач.

Анкета состоит из 10 вопросов, из них 7 вопросов по проблеме исследования [см. приложение 9]. Анкету выполняли 20 учеников.

На вопрос: «Для чего вы изучаете математику», 15 учеников ответили, что она пригодится в будущем, 3 ученика - математику должен знать каждый уважающий себя человек и 2 ученика ответили, что их заставляют ее изучать.

На вопрос: «Что вам больше всего нравится на уроках математики», 17 человек ответили - самостоятельно решать задачи, 2 ученика - решать задачи у доски и 2 ученика - изучать теоретический материал.

При выполнении домашней работы учащиеся выполняют только то, что задали, так ответили 14 учащихся класса, частично выполняют домашнюю работу - 6 учеников, при этом никто из учащихся не подбирает дополнительный материал по теме и не решает никакие дополнительные задачи по теме.

При ответе на вопрос, что такое рациональность мнения учащихся разделились: 15 учеников ответили, что это нахождение наиболее простого решения задач, 4 ученика ответили, что это быстрое решение задачи, с наиболее короткой записью решения. И один ученик из класса не знает, что такое рациональные способы решения задач.

Половина учащихся в классе предпочитает решать несколько однотипных задач, чем одну задачу несколькими способами, при этом 2 ученика ответили, что вообще решать не будут.

14 человек из класса ответили, что особого интереса они не испытывают при решении задач различными способами, 3ученика любят находить новые способы решения задач и 3-х человек из класса раздражает решать одну и ту же задачу различными способами.

Большая часть класса, т. е. 17 человек ответили, что рациональные способы решения задач необходимо использовать на уроках и 3 человека не знают ответ на этот вопрос.

Учащиеся очень редко пытаются самостоятельно отыскать другие способы решения задач.

При этом 14 человек считают, что умение решать задачи рациональными способами поможет при написании ЕГЭ, 3 человека считают, что эти умения им не пригодятся, и 3 ученика не знают ответ на данный вопрос.

И на последний вопрос, где необходимо было привести пример из жизни, где применяется рациональность, учащиеся привели следующие примеры: рациональность применяется в питании и трате денег, а также при постройке теплицы.

Вывод. По итогам анкетирования можно сделать вывод, что большинство учащихся класса знают, что такое рациональность, они часто сталкиваются с этим понятием. В жизни они не любят решать задачи различными способами и предпочитают решать однотипные задачи, практически никогда не пытаются найти другой путь решения, а руководствуются лишь тем, что дает учитель.

Интервью.

Цель: выяснить обучает ли учитель учащихся рациональным способам решения задач [см. приложение 10].

Из интервью следует, что учитель работает над данной проблемой, т. е. обучает учащихся рациональным способам решения задач. При этом он рассматривает различные способы решения задач на уроках геометрии. Учитель поощряет учащихся положительными оценками при нахождении нового способа решения задач. У учащихся появляется стимул и интерес находить другие способы решения, при этом учитель акцентирует внимание учащихся на то, какой более рациональный способ в данной задаче. Учитель считает, что рациональные способы решения задач способствуют повышению уровня успеваемости учащихся.

Самостоятельная работа №1.

Цель: выяснить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Было предложено 3 задания на повторение и одно дополнительное задание на нахождение рационального способа решения задачи [см. приложение 4].

Дополнительное задание. Построить график функции у =(х + 2)2 - 4 двумя способами и найти наиболее рациональный.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания - «4» и одно задание - «3». Дополнительное задание на оценку «5».

Работу выполняли 20 учащихся. Из них только 2 ученика выполнили дополнительное задание. При этом у одного ученика представлен только один способ решения наиболее рациональный, т. е. учащийся сразу заметил рациональный способ решения задачи, и другой способ не рассматривал.Второй ученик представил оба способа решения: один - это исследование функции с помощью производной, а второй - аналитический (по точкам). Так же был представлен вывод, о том какой из данных способов рациональный и почему.

Представим результаты по умениям учащихся находить рациональные способы решения задач в виде диаграммы.

Итак, из диаграммы видно, что учащиеся в основном не умеют решать задачи рациональными способами.

Таким образом, цель диагностирующего этапа эксперимента достигнута.

3. Формирующий этап.

Цель: формирование умений находить рациональные способы решения математических задач.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: система задач и упражнений, проведение контрольного среза.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение), эмпирические методы (метод контроля, проблемные ситуации).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса.

На данном этапе формировались умения учащихся решать задачи рациональными способами, фрагменты уроков представлены в приложении 7, и проводился промежуточный контрольный срез.

При выполнении устных упражнений учащимся были предложены два способа решения задачи и необходимо было найти рациональный.

Наблюдения показали, что практически все учащиеся класса сразу заметили, что 1-й способ является рациональным. И на вопрос: «Почему?», ответили, что в 1-м способе решение более короткое. Да с одной стороны это верный ответ, но он не полный и точного обоснования учащиеся дать не смогли. Один ученик из класса сказал, что графиком является парабола, и нет необходимости проводить исследование функции с помощью производной.

При решении устных упражнений применялись реконструктивные задания, т. е. предлагались нерациональные способы решения задач и необходимо было представить данные решения в рациональном виде.

Пример 1. Найти производную функции . С данным заданием все учащиеся справились успешно. Учащиеся сразу заметили, что можно упростить данную функцию, свести ее к более простому виду и только потом находить производную.

Для развития навыков учащихся приводить функции к рациональному виду предлагалось следующее задание.

Пример 2. Найти производные функций: а) у = (2х - 3)(2х+3); б) ; в) . При нахождении производной первой функции не все учащиеся класса заметили, что сначала можно упростить данную функцию, а затем находить производную. В данном случае применяется формула разности квадратов для упрощения функции. При нахождении производных следующих функций, учащиеся сразу увидели рациональный способ решения, благодаря которому функции свелись к простейшему виду.

При письменном решении упражнений учащимся предлагались реконструктивные и вариативные задания.

Учащимся предлагались готовые нерациональные решения задач и необходимо представить их в рациональном виде.

Пример 3. Построить график функции . При выполнении данного задания, никто из учащихся не заметил, что данную функцию сначала можно упростить. Учащиеся сразу начали проводить исследование функции и строить график. Учитель обратил внимание на вид функции и предложил, упростить данную функцию. Проблема в данном задании возникла в том, что многие из учащихся класса не поняли для чего упрощать функцию. Но, проанализировав вид функции, был сделан вывод, что благодаря приведению функции к простому виду проводить исследование функции с помощью производной гораздо проще.

Пример 4. Построить график функции . Решается аналогично, здесь в отличие от предыдущего задания учащиеся заметили, что вид функции можно привести к простому виду, т. е. упростить. Вопрос: «Для чего это?», ни у кого не возникал, так как после упрощения функции, проводить исследование и строить график стало проще. После выполнения данного задания был сделан вывод, что большинство учащихся в классе видят рациональные пути решения.

Пример 5. Найти производную . Функция кажется «огромной» и «сложной», но после преобразования функция имеет простой вид. Затруднений у учащихся при выполнении данного задания не возникло, так как подобные задания уже решались не однократно. Так как это задание было дополнительное, то большинство из учащихся его выполнять не стали. Решение данного задания разбиралось у доски, после чего выяснилось, что если сразу находить производную функции, то решение получится громоздким и можно допустить ошибки, а после преобразования функции находить производную проще.

Пример 6. Дана функция . Построить график функции двумя способами и найти наиболее рациональный. Первым способом, т. е. исследование функции с помощью производной решили 10 учеников класса, а вторым, т. е. аналитическим - 2 ученика.

После самостоятельного решения, построение графиков двумя способами рассматривалось у доски, у учащихся была возможность проверить свои решения.

Два человека из класса заметили рациональный способ решения данной задачи, т. е. они сместили график функции у=2х на 3 единицы вниз по оси оу. При разборе решения 2-м способом, рассматривались основные случаи смещения графиков, и учащиеся сразу заметили, что данную функцию не рационально исследовать с помощью производной. После представления на доске обоих способов решения, был сделан вывод о том, что не всегда исследование функции с помощью производной является рациональным способом построения графика.

Рассмотренные примеры способствовали формированию умений учащихся рационально решать задачи. Чтобы проверить данные умения проводился промежуточный контроль, цель которого - проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

В работе было 8 заданий по пройденной теме, в основном вопросы теоретического характера. И последнее задание на нахождение рационального способа решения задачи [см. приложение 5].

Пример 7. Представлен нерациональный способ нахождения производной функции , привести решение к рациональному виду:

Критерии оценивания: 8 заданий на оценку «5», 6, 7 заданий на оценку «4», 4, 5 заданий - «3».

Выполняли работу 20 учащихся. Из них 5 человек нашли рациональный способ решения, но допустив при этом некоторые недочеты и только один ученик из класса выполнил это задание правильно, т. е. он сразу увидел, что это тригонометрическое тождество и преобразовал функцию к простому виду и нашел производную.

4 человека, также заметили, что это тригонометрическое тождество, но при преобразовании потеряли общий множитель, следовательно, при нахождении производной были допущены ошибки.

Если сравнивать данную работу с предыдущей, то можно заметить, что уже больше учащихся умеют находить рациональные способы решения задач.

Таким образом, цель формирующего этапа эксперимента достигнута, умения решать задачи рациональными способами у учащихся сформированы.

4. Диагностирующий этап.

Цель: установить изменения уровня сформированности умений находить рациональные способы решения задач под воздействием экспериментального обучения и определить результаты экспериментального обучения.

Виды групп: константная организация эксперимента.

Требования комплектования групп: наличие 1 группы (класса).

Измерительные величины: уровень сформированности умений рационально решать задачи.

Перечень экспериментальных действий: проведение контрольного среза, анкеты.

Методы: теоретические методы (анализ, обобщение), эмпирические методы (метод контроля, измерения).

Средства и материалы: контрольные задания, листы опроса.

Самостоятельная работа №3.

Цель. Проверить умения учащихся решать задачи рациональными способами.

Работа состоит из 3-х заданий: 2 задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции и 1 задание на нахождение рационального способа решения [см. приложение 6].

Пример. Найти производную функции.

Работу выполняли 17 учащихся.

Критерии оценивания: 3 задания на оценку «5», 2 задания - «4» и одно задание - «3».

Из 17 человек попытались найти рациональный способ решения задачи 5 человек, и все с этим заданием успешно справились, но при нахождении производной все допустили ошибку, т. е. данное задание никто верно не решил.

Остальные учащиеся даже не дошли до этого задания и остановились на нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.

Из тех, кто пытался решить задание с рациональностью на оценку «4» решили 2 ученика и на оценку «3» - 3 ученика.

Вся сложность и проблема в том, что учащиеся не умеют находить производную, т. е. они видят и находят рациональные способы решения задач, но допускают ошибки по ходу решения: при вычислении, при нахождении производной.

Результаты самостоятельной работы можно представить на следующей диаграмме.

Таким образом, 29 % учащихся умеют находить рациональные способы решения задач. Если сравнить данный контрольный срез с первым, который проводился на 2-м этапе экспериментального исследования, можно сделать вывод, что процент учащихся, которые научились находить рациональные способы решения задач, увеличился на 19%, при этом и увеличилась успеваемость данных учеников.

Анкета.

Цель: выяснить изменилось ли отношение учащихся к математике, что понравилось на уроках математики, какое представление у них сложилось о рациональных способах решения задач и как понимают, что такое рациональные способы решения задач.

Анкета состоит из 10 вопросов, из них 6 вопросов по проблеме исследования [см. приложение 11]. Анкету выполняли 18 учащихся.

У 11 человек из класса отношение к математике за последний месяц осталось прежним, при этом из них 6 человек ответили, что их знания по математике улучшились, и у 5-ти человек - осталось прежним.

У 5 человек из класса отношение к математике улучшилось, и качество знаний по математике повысилось. 2 человек из класса ответили, что отношение и знания по математике ухудшились.

Для более наглядного представления результатов ответов на первые два вопроса анкеты рассмотрим диаграмму:

10 человек из класса считают, что математика и рациональность это одно целое, что в математике все должно быть рационально и 8 человек считают, что математика и рациональность связаны, но рациональность не всегда приемлема и без нее можно обойтись. Более наглядное представление данных показаны на следующей диаграмме:

Знания рациональных способов решения задач помогли 11 учащимся при написании самостоятельных работ; двум - при написании контрольных работ, одному ученику при написании и контрольных и самостоятельных работ. И 4 человека из класса ответили, что никогда на уроках не использовали рациональность.

8 учащихся при решении задач сначала попытаются найти наиболее простой путь решения, 7 человек - начнут сразу решать задачу, не взирая ни на что, и 3 человека вообще решать не будут.

12 учащихся считают, что рациональность при решении алгебраических задач может применяться практически везде, 4 человека ответили, что только при решении уравнений и 2 человека считают, что рациональность нигде не применяется, что она абсолютно не нужна в математике.

13 человек, прежде чем строить график сложной функции сначала приведут ее к более простому виду, и только потом будут строить график, 4 же учащихся будут пытаться построить, пока хватит терпения и один ученик испугается «страшной функции» и строить не будет.

При проведении нестандартного урока 8 человек ответили, что он им не понравился, т. к. они получили не ту оценку, которую хотели, и 7 ученикам понравился урок, т. к. работа была организована по группам и 2 человека ответили, что на данном уроке у них была возможность показать себя.

И в последнем вопросе необходимо было написать пожелания и предложения по организации и проведения уроков математики.

4 учащихся написали, что хотят, чтобы уроки чаще проводились в нестандартной форме, работа организовывалась по группам.

3 учащихся считают, что на уроках проводится слишком много самостоятельных работ, и они хотели бы, чтобы их вообще не было, и математика проводилась 1 раз в неделю.

Одна девочка из класса написала, что ей очень понравились уроки математики в последнее время.

Из данной анкеты, можно сделать вывод, что за период исследования качество знаний по математике у учащихся повысилось. У учащихся были выработаны навыки выбора рациональных способов решения задач. И учащиеся, прежде чем решать какую-то задачу, сначала попытаются найти рациональный способ решения.

Внедренная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач дала положительные результаты, т. е. учащиеся научились находить рациональные способы решения задач. Это можно увидеть, проанализировав и сравнив результаты первого и последнего контрольного среза. Эти результаты представлены на следующих диаграммах.

Количество учащихся нашедших рациональный способ решения задач.

Изменение уровня сформированности умений учащихся решать задачи рациональными способами представлено в журнале оценивания учащихся [см. приложение 12].

Рассмотрим сравнительную характеристику ответов учащихся, на основе проведенных анкет.

Из диаграммы видно, что количество учащихся, которые попытаются найти рациональный способ решения задачи, увеличилось на 33%. Отсюда можно заключить, что количество учащихся овладевших приемами рациональных способов решения задач возросло с 11% до 44%.

§ 4. Заключение по эксперименту

Разработанная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач была успешно реализована на практике и дала положительные результаты.

За период исследования было разработано и проведено: две анкеты, три контрольных среза, интервью с учителем математики, проведено наблюдение уроков математики 8 раз, разработана система задач, состоящая из 17 заданий.

На уроках учащиеся обучались рациональным способам решения задач, при этом некоторые ученики класса пытались самостоятельно отыскать рациональные способы решения. При нахождении рационального способа решения задач у учащихся развивается мышление, повышается интерес, вырабатываются исследовательские навыки.

Таким образом, методика обучения учащихся рациональным способам решения задач способствует повышению успеваемости учащихся с 10 - 29%, развитию интереса к математике. Обучение учащихся рациональным способам решения задач готовит их к практической деятельности.

Заключение

Цели работы достигнуты, т. е. разработана методика обучения учащихся рациональным способам решения задач при изучении темы «Исследование функций с помощью производной».

Была проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература в количестве 31 источник, подобрана система задач по теме «Исследование функций с помощью производной» и разработана методика обучения учащихся решению задач представленной системы, используя различные приемы отыскания рациональных способов. Разработанная методика была экспериментально проверена и дала положительные результаты.

Рассмотренная тема имеет огромное значение в школьном курсе изучения математики. Но она не всегда имеет широкое применение на уроках, так как часто самым распространенным методом обучения решению задач является показ способов решения определенных видов задач. В школьных учебниках и пособиях для учащихся, задачи распределены по группам в соответствии с используемым для их решения математическим аппаратом. Такие задачи учащиеся, как правило, решают неплохо, если указывается, какая теория необходима для их решения. Если же учащиеся лишены такого ориентира, то испытывают затруднения при решении даже несложных задач. Поэтому учителю необходимо научить учащихся при решении задач рассматривать разные позиции, показать, что практически все задачи имеют несколько способов решений. Учитель должен организовывать деятельность учащихся таким образом, чтобы они сами исследовали задачи и пытались находить другие способы решения, тем самым развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Глоссарий

Анализ - метод научного познания, при котором объект, предмет разбиваются на части, составляющие.

Индукция - метод научного познания, при котором умозаключение делается на основе рассмотрения определенного или неопределенного количества частных случаев.

Дедукция - метод научного познания, при котором умозаключения, выводы выполняются на основе рассуждений построенных по правилам логики.

Методика обучения - совокупность упорядоченных знаний о принципах, содержании, методах, средствах и формах организации учебно-воспитательного процесса по отдельным дисциплинам, обеспечивающих решение поставленных задач.

Методы обучения - система последовательных, взаимосвязанных действий учителя и учащихся, обеспечивающих усвоение содержания образования, развитие умственных сил и способностей учащихся, овладение ими средствами самообразования и самообучения.

Математическая задача - это математический вопрос, ответ на который не является непосредственным и не может быть получен путем прямого применения известных схем

Приемы - 1) относительно законченный элемент воспитательной технологии, зафиксированный в общей или личной пед. культуре; способ пед. действий в определенных условиях; 2) элемент метода, его составная часть, отдельный шаг в реализации метода.

Рациональность - разумный, отправляющийся от разума, осуществляющий благодаря разуму, целесообразный, практический, вполне осмысленный.

Рациональные способы решения задач - наиболее простые, красивые способы решения задачи.

Литература

Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс. Под ред. Алимова Ш. А. М.: Просвещение, 1992.

Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс. Под ред. Колмогорова А. Н. М.: Просвещение, 1991.

Бонтянский В. Г. Груденов Я. И. Как учить поиску решения задач// Математика в школе. - №1. - 1988, С. 35.

Готман Э. Г. Поиск рационального решения задачи на экстремум// Математика в школе. - №6. - 1997. - С. 40 - 41.

Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Вербум - М, 2003. - С. 168 - 169.

Далингер В. А. Обучение учащихся доказательству теорем: Учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. - С. 196 - 198.

Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. Тобольск: ТГПИ, 1997. - С. 90 - 102.

Ерамаков Д. С. Учить школьников разрешать проблемы//Педагогика. Научно-теоретический журнал. - №10. - 2005. - С. 33 - 38.

Зайцева Г. Д. О решении задач различными методами// Математика в школе. - №5. - 1982. - С. 50 - 52.

Коджасперова Г. М., Коджасперов А. Ю. Педагогический словарь. - М.: Академа, 2000. - 173 С.

Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Часть I: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвешение, 1997. - 110 С.

Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Часть II: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвешение, 1997. - 144 С.

Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В. Я., Луканкин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. М: Просвещение, 1975. - С. 325 - 328.

Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 - 9 классов. М: Просвещение, 1991. - С. 5 - 19, 24 - 26.

Крайзман М. Л. Решение задач различными способами// Математика в школе. - №1. - 1983. С. 17.

Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению задач школьной математики. - М.: Просвещение, 1981. - 124 С.

Мазиник А. А. Рациональное решение задач и примеров по математике: Пособие для учителя. Минск: Изд-во Народная Асвета, 1968. - 138 С.

Мишин В. И. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1987. - С. 35 - 37.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: Часть 1. - М.: Изд-во Мнемозина, 2005. - С. 182 - 209.

Нуркова Н. В., Березанская Н. Б. Психология: Учебник. - М.: Юрайт, 2004. - С. 337, 374.

Пак И. И. Приемы рационализации вычислений как средство развития мышления учащихся// Математика в школе. - №5. - 1984. - С. 35.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1959. - 207 С.

Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. - М.: Изд. Наука, 1970. - С. 143 - 150, 276 - 277.

Программы по математике/ Под ред. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. - М.: Просвещение, 1998. - С. 14 - 15, 21.

Рощина Н. Л. Решение задач различными способами - первый шаг к эстетическому восприятию геометрии// Математика в школе. - №3. - 1996. - С. 17 - 19.

Рузин Н. К. Задача как цель и средство обучения математике// Математика в школе. - №4. - 1980. - С. 13 - 15.

Саранцев Г. И. Методика обучения математики в средней школе. М.: Просвещение, 2002. - С. 126 - 128.

Темербекова А. А. Методика преподавания математики. М: Владос, 2003. - С. 73 - 83.

Философский энциклопедический словарь/ Под ред. Е. Ф. Губский, Г. В. Кораблева, В. А. Лутченко. - М.: Инфа-М, 1998. - С. 386.

Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе: Учителю математики о пед. Психологии. - Минск: Изд. ОАО Экономика, 2005. - С. 147 - 155.

Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике: История, теория, методика. - М.: Школьная пресса, 2002 - С. 3.

Размещено на Allbest.ru

...