Тригонометричні рівняння в шкільному курсі математики
Класифікація тригонометричних рівнянь. Основні та нестандартні методи (графічний, функціональний, підстановки) їх розв’язування. Розробка методичних вказівок щодо вивчення тригонометричних рівнянь з параметрами. Розробка план-конспекта уроків по цій темі.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 15.12.2013 |
| Размер файла | 1,5 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ (МОНУ)
КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені Володимира Винниченка (КДПУ)
Кафедра математики
Курсова робота
з методики вивчення математики
на тему: Тригонометричні рівняння в шкільноми курсі математики
студента 45-ї групи
фізико-математичного факультету
Неленя Андрія Ігорвича
Кіровоград 2008
Анотація
Тригонометрія, рівняння, графік, функція, періодичність, множина.
Тригонометричні рівняння, в яких невідома входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають здебільшого безліч їх внаслідок властивості періодичності тригонометричних функцій.
Реферат може бути використаний у системі довузівської підготовки, школах або класах з поглибленим теоретичним та практичним вивченням математики, ліцеях та гімназіях та для самостійної підготовки до вступних іспитів.
План
- Вступ
- I. Класифікація тригонометричних рівнянь за методами їх розв'зування
- 1. Прості тригонометричні рівняння
- 2. Двочленні рівняння
- 3. Розкладання на множники
- 4. Спосіб підстановки
- 5.Однорідні рівняння
- 6. Рівняння вигляду а sinx + b cosx = с
- 7. Дробово-раціональні тригонометричні рівняння
- 8. Ірраціональні тригонометричні рівняння
- 9. Тригонометричні рівняння, в яких під знаком тригонометричної функції знаходиться функція
- 10. Рівняння, які розв'язуються за допомогою формул пониження степення
- 11. Рівняння, які розв'язуються за допомогою формул подвійного та потрійного аргументів
- 12. Рівняння, які розв'язуються перетвореннями суми тригонометричних функцій у добуток або добутку в суму
- II. Нестандартні методи ров'язування тригонометричних рівнянь
- 1. Графічний метод
- 2. Функціональний метод
- 3. Метод функціональної підстановки
- III. Приклади розв`язування тригонометричних рівняннь нестандартними методами
- IV. Тригонометричні рівняння з параметрами
- V. Методичні вказівки щодо розробки факультативних занять по темі «Тригонометричні рівняння з параметрами»
- VI. Розробки план-конспектів уроків до теми «Тригонометричні рівняння»
- 1. Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь (10-й клас)
- 2. Семінарське заняття в 10 класі
- Висновки
- Бібліографічний список
- Додатки
- Додаток 1
- Додаток 2
- Вступ
- Розв'язування математичних задач є найважливішим видом учбової діяльності, в процесі якої учнями засвоюється математична теорія і розвиваються логічне мислення і творчі здібності. Розвиток творчих здібностей старших класів, що вивчаються, при навчанні математиці здійснюється ефективніше при залученні їх в творчу діяльність, яка включає:
- 1. Усвідомлення, що дане конкретне завдання є представник класу однорідних завдань.
- 2. Відшукання різних варіантів рішення, їх зіставлення, виявлення сильних і слабких сторін кожного способу рішення з метою вибору з них найбільш раціонального, простого, «витонченого». Порівняння і аналіз різних рішень однієї задачі робить знання міцнішими і усвідомленими. Встановлено, що рішення однієї і тієї ж задачі декількома способами приносить більше користі, чим вирішення підряд такого ж числа стереотипних завдань.
- 3. Самостійне комбінування відомих способів діяльності.
- 4. Винахід, принаймні, для даного завдання принципово нового прийому рішення.
- Для розвитку творчих здібностей учнів найбільш цінними є складні і нестандартні завдання. Вирішення складних завдань по математиці багато в чому залежить від досвіду їх рішення, від ступеня оволодіння методами їх рішення і технікою перетворень. Нестандартні завдання - це завдання, для вирішення яких у учнів немає готового алгоритму і потрібний самостійний пошук ключової ідеї. При вирішенні нестандартних завдань формується математична культура, виховується гнучкість розуму і здійснюється збагнення єдності математики.
- Мета роботи: Подати методи, що найчастіше використовуються при розв'язуванні тригонометричних рівнянь .
- Об'єкт дослідження: розв'язування тригонометричних рівнянь.
- Предмет дослідження: тригонометричні рівняння в шкільному курсі математики(ШКМ).
- При дослідженні виходимо з гіпотези, що застосування методики, розробленої на основі порівняльного аналізу вирішення великого числа завдань, дозволить розвинути творчі здібності учнів і підготує їх до вступних іспитів до серйозних вузів.
- Для досягнення поставленої мети і перевірки гіпотези необхідно вирішити наступні завдання:
- 1. Показати основні та нестандартні методи розв'язування тригонометричних рівнянь.
- 2. Розробити методичні вказівки щодо вивчення тригонометричних рівнянь з параметром.
- 3. На основі приведених методів ров'язування рівнянь розробити план-конспекти уроків.
I. Класифікація тригонометричних рівнянь за методами їх розв'зування
1. Прості тригонометричні рівняння
Тригонометричними рівняннями називаються рівняння, в яких невідома (змінна) входить лише під знак тригонометричної функції.
Тригонометричні рівняння, в яких невідома входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають здебільшого безліч їх внаслідок властивості періодичності тригонометричних функцій.
Не існує загального способу розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння. Однак деякі способи розв'язування окремих видів тригонометричних рівнянь можна вказати. Як правило, розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розв'язування найпростыших рывнянь виду , , tg x=a. Рівняння ctgx=a рівносильне рівнянню tgx=, тому немає потреби розглядати його окремо. Розглянемо розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
Розглянемо розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь
Рівняння
Розв'яжемо це рівняння спочатку графічно, побудувавши в одній системі координат графіки функцій і .
Якщо , тобто при , пряма і синусоїда не перетинаються. Тому рівняння не має розв'язкі.
Рис. 1
Знайдемо розв'язки, якщо , тобто коли , на відрізку , а потім скористаємося періодичністю функції синус.
Нехай . Як видно з малюнка, пряма у=а за цієї умови перетинає синусоїду у двох точках Р1 і Р2, абсциси яких належать проміжку (0; ).
Оскільки розв'язування рівняння зводиться до знаходження числа (геометрично кута чи дуги), синус якого дорівнює а, то цим числом є агс, якщо воно належить проміжку . Отже, абсцисою точки Р1, є агс. Абсцису точки Р2 запишемо як різницю .
Якщо додати до знайдених розв'язків період , то при 0 < а < 1 дістанемо всі розв'язки рівняння у вигляді двох множин:
(1)
(2)
Ці множини можна об'єднати в одну:
(3)
діставши загальну формулу розв'язків рівняння . Якщо к парне, тобто к = 2п, дістанемо множину (1), а якщо непарне, тобто к = 2п + +1, дістанемо множину (2).
Рис. 2
Нехай -1< а < 0. З малюнка видно, що за цієї умови пряма у = а перетинає синусоїду також у двох точках Р1 і Р2 абсциси яких належать проміжку . Абсциса першої точки належить проміжку , тому є . Абсцису точки Р2, можна записати як різницю . Якщо до знайдених розв'язків додати період функції синуса, то дістанемо всі розв'язки рівняння , якщо -1< а < 0, у вигляді двох множин:
,
Об'єднуючи ці дві формули в одну, запишемо:
.
Дістали ту саму загальну формулу розв'язків рівняння.
Рівняння
Розв'язування його графічним способом показує, що при рівняння не має розв'язків. Знайдемо розв'язки рівняння на проміжку [; ], довжина якого дорівнює періоду .
Рис. 3
Нехай 0 < а < 1. Проведемо пряму у = а. Вона перетне графік функції на відрізку [; ] у двох точках Р1 і Р2. Оскільки треба знайти число (кут або дугу), косинус якого дорівнює а, то таких чисел, яким відповідають точки Р1 і Р2 виявилося два. Перше з них належить проміжку і є , а друге -- протилежне йому і дорівнює внаслідок парності функції косинус. Враховуючи періодичність функції косинус, дістанемо дві множини розв'язків рівняння , якщо :
. (4)
Нехай . З малюнка видно, що пряма у = а перетинає графік косинуса у двох точках Р1 і P2
Рис. 4
Абсциса точки Р1 належить проміжку (0;) і тому дорівнює , абсциса другої точки Р2 дорівнює . Додаючи до знайдених розв'язків період , дістанемо дві множини розв'язків, які можна записати у вигляді однієї формули
х = ± + , п є Z.
Отже, дістали ту саму загальну формулу (4) розв'язків рівняння , якщо .
Рівняння
Оскільки областю значень функції є множина всіх дійсних чисел, то знайдемо розв'язки рівняння при будь-якому а на проміжку довжина якого дорівнює періоду , а потім скористаємося періодичністю функції тангенса.
Рис. 5
Графічний спосіб розв'язування рівняння показує, що на інтервалі пряма у = а перетинає графік тангенса лише в одній точці, абсцисою якої є . Враховуючи періодичність функції , дістанемо загальну формулу розв'язків рівняння , тобто множину
.
Приклад 1. 2sin(3x - /4)-1 = 0.
Розв'язання. Вирішимо рівняння відносно sin(3x - /4).
sin(3x - /4)= 1/2, звідси по формулі вирішення рівняння sinx = а знаходимо
3х - /4 = (-1)n arcsin 1/2 + n, nZ.
Зх - /4 = (-1)n /6 + n, nZ; 3x = (-1)n /6 + /4 + n, nZ;
x = (-1)n /18 + /12 + n/3, nZ
Якщо k = 2n (парне), то х = /18 + /12 + 2n/3, nZ.
Якщо k = 2n + 1 (непарне число), х = -/18 + /12 + ((2n + 1))/3 =
= /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2n/3, nz
Відповідь: х1 = 5/6 + 2n/3,nZ, x2 = 13/36 + 2n/3, nZ,
або в градусах: х = 25° + 120 n, nZ; x = 65° + 120° n, nZ.
Приклад 2. sinx + з cosx = 1.
Розв'язання. Підставимо замість із значення ctg /6, тоді рівняння прийме вигляд
sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos/6)/sin/6 cosx = 1;
sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2.
По формулі для рівняння cosx = а знаходимо
х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, nZ; x = ± /3 + /6 + 2n, nZ;
x1 = /3 + /6 + 2n, nZ; x1 = /2 + 2n, nZ;
x2 = - /3 + /6 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ;
Відповідь: x1 = /2 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ.
2. Двочленні рівняння
Приклад 1. sin3x = sinx.
Розв'язання. Перенесемо sinx в ліву частину рівняння і отриману різницю перетворимо в добуток. sin3x - sinx == 0; 2sinxcos2x = 0.
З умови рівності нулю добутоку отримаємо два прості рівняння.
sinx = 0 або cos2x = 0.
x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ.
Відповідь: x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ.
3. Розкладання на множники
Приклад 1. sinx + tgx = sin2x / cosx
Розв'язання. cosx 0; x /2 + n, nZ.
sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Помножимо обидві частини рівняння на cosx.
x1 = n, nZ; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4 sin(/4 - x) = -1;
2 sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/2 + n, nZ;
x2 = /4 - (-1) n+1 /4 - n, nZ; x2 = /4 + (-1) n /4 + n, nZ.
Якщо n = 2n (парне), то x = /2 + n, якщо n = 2n + l (непарне), то x = n.
Відповідь: x1 = n, nZ; x2 = /4 + (-I)n /4 + n, nZ
Приклад 2. 2cos x*cos 3x=cos x
Розв'язання:
2cos x cos2x-cosx=0; cos x(2cos 3x-1)=0; cos x=0 або cos 3x=1/2;
x=/2+n, nЄZ; x=±/9+(2k)/3, kЄZ.
Відповідь: x=/2+n, nЄZ; x=±/9+(2k)/3, kЄZ.
Приклад 3.
За формулами зведення маємо:
Згрупуємо доданки: . За формулою різниці косинусів дістанемо:
. Звідси і за формулою маємо . Розв'язками рівнянь є множини . Множина розв'язків є підмножиною множини при n=5k, тому відкидаємо її, щоб не дублювати розв'язки.
Відповідь: .
4. Спосіб підстановки
Приклад 1. 2 sin2x = 3cosx.
Розв'язання.2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx -2=0.
Хай z = cosx, |z| 1. 2z2 + 32z - 2=0.
D = 9+16 = 25; D = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2
-не задовольняють умові для z. Тоді вирішимо одне просте рівняння:
cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, nZ.
Відповідь: х = ± /3 + 2n, nZ.
Приклад 2. sin x +2cos2x-1=0
Розв'язання: sin x+2(1-sin2x)-1=0; 2sin2x-sin x-1=0
Нехай sin x=t, |t|?1, тоді маємо: 2t2-t-1=0, t1=1 або t2=-1/2.
Отже, sin x=1 або sin x=-1/2,
x=/2+2n, nЄZ або (-1)k+1/6+k, kЄZ
Відповідь:x=/2+2n, nЄZ ; (-1)k+1/6+k, kЄZ
5.Однорідні рівняння
Однорідні тригонометричні рівняння мають такий вид:
a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0
(однорідне рівняння 2-го степеня) або
a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 і т.д.
В цих рівняннях sinx 0, cosx 0. Рішаються вони діленням обох частин на sin2x або на cos2x і зводяться до рівнянь відносно tgx або ctgx.
Приклад 1. 3sin2 2x - 2sin4x + 3cos22x = 0.
Рішення. Розкладемо sin4x по формулі синуса подвійного кута.
Отримаємо рівняння 3sin22x - 4sin2xcos2x + 3cos22x = 0.
Розділимо на cos22x. Рівняння прийме вид 3 tg22x - 4tg2x + 3 = 0.
Пусть z = tg2x, тоді 3z2 - 4z + 3 = 0; Д = 4; Д = 2.
z1 = (4 +2)/23 = 6/23 = 3; z2 = (4 - 2)/23 = 1/3
tg2x = 3 або tg2x = 1/3
2x = /3 + n, nZ; 2x = /6 + n, nZ;
x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.
Відповідь: x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.
Приклад 2.=0.
Розв'язки рівняння не є коренями даного рівняння (інакше дістали б , що одночасно неможливо), тому поділимо рівняння на Дістанемо рівняння -5=0 з якого , (інший множник лівої частини, тобто рівняння +5=0 дійсних коренів не має).
Відповідь: .
6. Рівняння вигляду а sinx + b cosx = с
Розглянемо кілька способів розв'язування таких рівнянь.
І спосіб. Введення допоміжного кута.
Очевидно, що . Покладемо . Тоді рівняння подамо у вигляді , або . Отже, дістали просте рівняння, яке має розв'язки за умови .
ІІ спосіб. Застосування універсальної підстановки.
Позначемо і вираземо та через тангенс половинного кута:
,
Дістанемо квадратне рівняння.
Зауважемо, що функція не визначена при . Якщо ця множина є розв'язком даного рівняння, що рівносильно умові b=-c то використання універсальної підстановки може призвести до втрати цієї множини. Тому обов'язково треба робити перевірку, чи будуть розв'язки задовольняти рівняння.
ІІІ спосіб. Зведення рівняння до квадратного.
Піднесемо обидві частини рівності до квадрата і скористаємося підстановкою , дістанемо
.
Приклад 1. 3sinx + 4cosx = 5.
Розв'язання: Розділимо обидві частини рівняння на 5, тоді 3/5sinx+4/5cosx=1.
sin = 4/5; cos = 3/5; sin(x+) = 1, x + = /2 + 2n, nZ.
Відповідь: x = /2 - arcsin 4/5 + 2n, nZ.
7. Дробово-раціональні тригонометричні рівняння
Рівняння, що містять тригонометричні дроби, називаються дробово-раціональними рівняннями. У цих рівняннях потрібно стежити за областю допустимих значень.
Приклад 1. 1/(3-tgx) - 1/(3 +tgx)= sin2x
Розв'язання: Область допустимих значень вирішень цього рівняння
tgx ± 3, х ± /8 + n, nZ и х ± /2 + n, nZ.
Ліву частину рівняння звидем до спільного знаменника, а праву перетворимо за допомогою формули вираження синуса через тангенс половинного кута.
(3 + tgx - 3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)
x1 = n, nZ
Друге рівняння має вид
2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± /4 + n, nZ.
Відповідь: x1 = n, nZ; х2 = ± /4 + n, nZ.
8. Ірраціональні тригонометричні рівняння
Якщо в рівнянні тригонометрична функція знаходиться під знаком радикала, то таке тригонометричне рівняння буде ірраціональним. У таких рівняннях слід дотримувати всі правила, якими користуються при вирішенні звичайних ірраціональних рівнянь (враховується область допустимих значень як самого рівняння, так і при звільненні від кореня парного степеня).
Приклад 1. ( cos2x + Ѕ) + ( sin2x + Ѕ) = 2.
Розв'язання. Рівняння має зміст при будь-якому х. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.
cos2x + Ѕ + 2 (( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) + sin2x + Ѕ = 4
(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) = 1; ( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ) = 1
( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ - Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 - Ѕ cos2x) = 1;
1 - ј cos22x = 1; cos2x=0; x = /4 + n/2, nz
Відповідь: x = /4 + n/2, nz.
9. Тригонометричні рівняння, в яких під знаком тригонометричної функції знаходиться функція
Особливої уваги заслуговують тригонометричні рівняння з складною залежністю, коли під знаком тригонометричної функції знаходиться яка-небудь інша функція. Ці рівняння вимагають додаткового дослідження множини рішень.
Приклад 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.
Розв'язання. Запишемо рівняння у вигляді tg(x2+5x)=tg 6. Враховуючи, що аргументи рівних тангенсів відрізняються на свої періоди теп, маємо
х2 + 5х = 6 + n, nZ; х2 + 5х - (6+n) = 0, nz;
D = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4n, nZ; х1,2 = (-5 (49 + 4n))/2, nz
Розв'язок має зміст, якщо 49 + 4n > 0, т.е. n -49/4; n -3.
10. Рівняння, які розв'язуються за допомогою формул пониження степення
Приклад 1. .
Застосувавши формулу , зведемо рівняння до вигляду
звідки . Згрупуємо доданки і суму косинусів перетворимо в добуток за формулою
, Звідки , , , або
Відповідь: .
11. Рівняння, які розв'язуються за допомогою формул подвійного та потрійного аргументів
Приклад 1. та вказати кількість коренів, що належать відрізку .
Скористаємося формулами
і :
Рівняння має розв'язки , та . Відрізку належать п'ять розв'язків: .
Відповідь: , 5.
12. Рівняння, які розв'язуються перетвореннями суми тригонометричних функцій у добуток або добутку в суму
Приклад 1. .
Запишемо рівняння у вигляді i скористаємося формулами i , дістанемо або . Звідси або , , .
Відповідь: .
тригонометричний рівняння урок
II. Нестандартні методи ров'язування тригонометричних рівнянь
Хай X і Y - дві довільні чисельні множини. Елементи цих множин позначатимемо х і у відповідно і називатимемо змінними.
Означення. Числовою функцією, визначеною на множині Х і яка приймає значення в множині Y, називається відповідність (правило, закон), яка кожному х з множини Х зіставляє одне і лише одне значення у з безлічі Y.
Змінну х називають незалежною змінною або аргументом, а змінну у - залежною змінною. Говорять також, що змінна у є функцією від змінній х. Значення залежної змінної називають значеннями функції.
Введене поняття числової функції є окремим випадком загального поняття функції як відповідності між елементами двох або більш довільних множин.
Хай Х і Y - дві довільні множини.
Означення. Функцією, визначеною на множині Х і яка приймає значення в множині Y, називається відповідність, що співвідносить з кожним елементом множини Х один і лише один елемент з множини Y.
Означення. Задати функцію - це означає вказати область її визначення і відповідність (правило), за допомогою якої по даному значенню незалежної змінної знаходяться відповідні йому значення функції.
З поняттям функції пов'язано два способи вирішення рівнянь: графічний і функціональний. Окремим випадком функціонального методу є метод функціональної, або універсальної підстановки.
Означення. Вирішити дане рівняння - означає знайти безліч всіх його коренів (рішень). Безліч коренів (рішень) може бути порожньою, скінченною або нескінченною.
1. Графічний метод
На практиці для побудови графіка деяких функцій складають таблицю значень функції для деяких значень аргументу, потім наносять відповідні точки на координатну площину і послідовно сполучають їх лінією. При цьому передбачається, що точки досить точно показують хід зміни функції.
Означення. Графіком функції у = f(x) називається безліч всіх точок
{x, f(x)| x D (f)} координатній площині.
Відмітимо, що оскільки функція f зіставляє кожному x D(f) одне число f(x), то графік функції f перетинається будь-якою прямою, паралельній осі ординат, не більш, ніж в одній точці. І навпаки: всяка непорожня множина точок площини, що має зі всякої прямої, паралельної осі ординат, не більш за одну спільну точку, є графіком деякої функції. Не всяка множина точок координатної площини є графіком якої-небудь функції. Наприклад, безліч точок кола не може бути графіком функції, оскільки значенню абсциси усередині кола, відповідає два значення ординати.
У загальному випадку рівняння з однією зміною х можна записати у вигляді
f(x)=g(x),
де f(x) і g(x) - деякі функції. Функція f(x) є лівою частиною, а g(x) - правою частиною рівняння. Тоді для вирішення рівняння необхідно побудувати в одній системі координат графіки функцій f(x) і g(x). Абсциси точок перетину будуть рішеннями даного рівняння.
Відмітимо, що оскільки функція f зіставляє кожному x D(f) одне число f(x), то графік функції f перетинається будь-якою прямою, паралельній осі ординат, не більш, ніж в одній точці. І навпаки: всяка непорожня множина точок площини, що має зі всякою прямою, паралельної осі ординат, не більш за одну спільну точку, є графіком деякої функції.
Даний метод може використовуватися не тільки для одиночних рівнянь, але і для їх систем, а також нерівностей. У випадку з системами необхідно знаходити не тільки абсциси, але і ординати (якщо графіки функцій f(x) і g(x) перетинаються в точці А, те рішенням системи буде х=х1, у=у1). При вирішенні нерівностей відповіддю буде сукупність абсцис, при яких графік функції f(x) знаходиться вищим або нижчим (залежно від умови) за графік функції g(x).
2. Функціональний метод
Не всяке рівняння виду f(x)=g(x) в результаті перетворень може бути приведено до рівняння того або іншого стандартного вигляду, для якого підходять звичайні методи рішення. У таких випадках має сенс використовувати такі властивості функцій f(x) і g(x) як монотонність, обмеженість, парність, періодичність і ін. Так, якщо одна з функцій зростає, а інша убуває на певному проміжку, то рівняння f(x)= g(x) не може мати більш за один корінь, який, в принципі, можна знайти підбором. Далі, якщо функція f(x) обмежена зверху, а функція g(x) - знизу так, що f(x)мах=А g(x)мin=A, то рівняння f(x)=g(x) рівносильно системі рівнянь
Також при використанні функціонального методу раціонально використовувати деякі теореми, приведені нижче. Для їх доведення і використання необхідні наступні рівняння загального вигляду:
f(x)=x (1)
(2)
Теорема 1. Корені рівняння (1) є коренями рівняння (2).
Теорема 2. Якщо f(x) - зростаюча функція на інтервалі a<f(x)<b, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f(x) - убуваюча функція на інтервалі a<f(x)<b, n - непарне, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.
З останньої теореми випливає наслідок, також використовуваний в рішеннях:
Наслідок 1. Якщо f(x) зростає на всій своїй області визначення, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f(x) убуває на всій своїй області визначення, n - непарне, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.
Теорема 3. Якщо в рівнянні f(x)=g(x) при будь-якому допустимому х виконуються умови f(x)=a, g(x)=a, де а - деяке дійсне число, то дано рівняння рівносильно системі
Наслідок 2. Якщо в рівнянні f(x)+g(x)=a+b при будь-якому допустимому х f(x)?a, g(x)?a, то дане рівняння рівносильне системі
Функціональний метод вирішення рівнянь часто використовується в комбінації з графічним, оскільки обидва ці методу засновані на одних властивостях функцій. Іноді комбінацію цих методів називають графоаналітичним методом.
3. Метод функціональної підстановки
Окремим випадком функціонального методу є метод функціональної підстановки - самий, мабуть, поширений метод вирішення складних завдань математики. Суть методу полягає у введенні нової змінної y=ѓ(x), застосування якої приводить до простішого виразу. Окремим випадком функціональної підстановки є тригонометрична підстановка.
Тригонометричне рівняння вигляду
R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0 (3)
де R - раціональна функція, к,n,m,lZ, за допомогою тригонометричних формул подвійного і потрійного аргументу, а також формул складання можна звести до раціонального рівняння рівнянню щодо аргументів sinx, cosx, tgx, ctgx, після чого рівняння (3) може бути зведене до раціонального рівняння відносно t=tg(x/2) за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки
(4)
Слід зазначити, що застосування формул (4) може приводити до звуження ОДЗ початкового рівняння, оскільки tg(x/2) не визначений в точках x=р+2рk, kZ, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути x=р+2рk, kZ коренями початкового рівняння.
III. Приклади розв`язування тригонометричних рівняннь нестандартними методами
Приклад 1.sinx +v(2-sinІx) + sinxv(2-sinІx) = 3
Дане рівняння раціональне вирішувати методом функціональної підстановки.
Хай u=sinx і v=+v(2-sinІx) . Оскільки -1?u?1 и v?1, то u+v?0. Крім того, маємо u2 + v2 =2.
У такому разі з рівняння отримуємо систему рівнянь
u + v + uv = 3
u2 + v2 =2
Хай тепер r = u+v і s=uv, тоді з системи рівнянь виходить
r + s = 3
r2 - 2s = 2
Звідси з урахуванням того, що r?0, отримуємо r = 2 і s = 1. Отже, має місце
u + v = 2
uv = 1
u = v = 1
Оскільки, u = sinx і u = 1, то sinx = 1 і x = р/2+2рk, kZ
Відповідь: x = р/2+2рk, kZ
Приклад 2.cos=x2+1
Дане рівняння раціональне вирішувати функціональним методом.
cos?1
x2+1?1 =>
cos=1
x2+1=1 x=0
Відповідь: х=0
Приклад 3 (5sinx-5tgx)/(sinx+tgx) +4(1-cosx)=0
Дане рівнянні раціонально вирішувати методом фунциональной підстановки.
Оскільки tgx не визначений при x = р/2+рk, kZ, а sinx+tgx=0 при x = рk, kZ, то кути x = рk/2, kZ не входять в ОДЗ рівняння.
Використаємо формули тангенса половинного кута і позначимо t=tg(x/2), при цьому по умові завдання t?0;±1, тоді отримаємо
Оскільки t?0;±1, то дане рівняння рівносильне рівнянню
-5tІ + 8tІ / (1+tІ)= 0 -5-5tІ + 8 = 0
звідки t = ±v3/5,. Отже, , x = ±2arctgv3/5 +2рk, kZ
Відповідь: , x = ±2arctgv3/5 +2рk, kZ
Приклад 4.tgx+ctgx+tgІx+ctgІx+tgіx+ctgіx=6
Дане рівняння раціональне вирішувати методом функціональної підстановки.
Хай y=tgx+ctgx, тоді tgІx+ctgІx=yІ-2, tgіx+ctgіx=yі-3y
yі+yІ-2y-8=0
y=2
Оскільки tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Звідси витікає, що tgx=1 і x = р/4+рk, kZ
Відповідь: x = р/4+рk, kZ
Приклад 5.2cos рx=2x-1
Рис. 1
Дане рівняння раціонально розвязувати графічним методом. Точка перетину графіків має координати (0,5; 0). Отже, х=0,5
Відповідь: х=0,5
Приклад 6.3+(х-р)2=1-2cosx
Дане рівняння раціональне вирішувати функціональним методом.
(х-р)2+2=-2cosx
(х-р)2+2?2 -2cosx?2
=> x=р, при k=0
Відповідь: x=р
Приклад 7.10|sinx|=10|cosx|-1
Дане рівняння раціональне вирішувати графоаналітичним методом.
Оскільки 10>1, то дане рівняння рівносильне наступному: |sinx|=|cosx|-1
Рис. 2
Точки перетину графіків мають координати ();. Отже, х=.
Відповідь: х=
Приклад 8.sinx+cosx=1
Побудуємо графіки функцій y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 1) З графіка видно, що рівняння має 2 рішення: х=2n,де nЄZ
і х=/2+2k, где kЄZ.
Рисунок 3.
Приклад 9.tg2x+tgx=0
Вирішувати це рівняння будемо за принципом вирішення попереднього. Спочатку побудуємо графіки(Див. Рисунок 1) функцій: y=tg2x u y=-tgx. По графіку видно що рівняння має 2 рішення: х=n, nЄZ u x=2k/3, де kЄZ.
Рисунок 4.
IV. Тригонометричні рівняння з параметрами
Розглянемо рівняння
F(х, у, ..., z; б,в, ..., г) =0 (F)
з невідомими х, у ..., z і з параметрами б,в, ..., г ;при всякій допустимій системі значень параметрів б0,в0, ..., г0 рівняння (F) звертається в рівняння
F(х, у, ..., z; б0,в0, ..., г0) =0 (F0)
з невідомими х, у..., z, що не містить параметрів. Рівняння (Fo) має деяка цілком певна множина (може бути порожня) рішень.
Аналогічно розглядаються системи рівнянь, що містять параметри. Допустимими системами значень параметрів вважаються системи, допустимі для кожного рівняння окремо.
Означення. Вирішити рівняння (або систему), що містить параметри, це означає, для кожної допустимої системи значень параметрів знайти множину всіх вирішень даного рівняння (системи).
Поняття еквівалентності стосовно рівняння, що містить параметри, встановлюється таким чином.
Означення. Два рівняння (системи)
F(х, у, ..., z; б,в, ..., г) =0 (F),
Ф (х, у, ..., z; б,в, ..., г) =0 (Ф)
з невідомим х, у..., z і з параметрами б,в, ..., г називаються еквівалентними, якщо для обох рівнянь (систем) множина допустимих систем значень параметрів одне і те ж і при всякій допустимій системі значень, параметрів обидва рівняння (системи рівнянь) еквівалентні.
Отже, еквівалентні рівняння при всякій допустимій системі значень параметрів мають одну і ту ж безліч рішень.
Перетворення рівняння, що змінює множину допустимих систем значень параметрів, приводить до рівняння, не еквівалентного даного рівняння.
Припустимо, що кожне з невідомих, таких, що містяться в рівнянні
F(x, у,,z; б,в, ..., г)=0 (F)
задано у вигляді деякої функції від параметрів:
х = х(б,в,...,г); у = у(б,в, ...,г);…. z=z (б,в,... г). (Х)
Говорять, що система функцій (Х), заданих спільно, задовольняє рівнянню (F), якщо при підстановці цих функцій замість невідомих х, у..., z в рівняння (F) ліва його частина звертається в нуль тотожно при всіх допустимих значеннях параметрів:
F (x(б,в,... г), y(б,в,...,г),…,z(б,в,...,г)?0.
При всякій допустимій системі чисельних значень параметрів б=б0,в=в0, ..., г= г0 відповідні значення функцій (Х) утворюють вирішення рівняння
F(х, у, ..., z; б0,в0, ..., г0) =0
Більшість тригонометричних рівнянь з параметрами зводяться до вирішення простих тригонометричних рівнянь трьох типів. При вирішенні таких рівнянь необхідно враховувати обмеженість тригонометричних функцій у = sin x і у = cos x. Розглянемо приклади.
Приклад 1. Вирішити рівняння: cos =2а.
Розв'язання: Оскільки Е(соs t)=[-1; 1], то маємо два випадки.
1. При |a| > 0,5 рівняння не має рішень.
2. При |a| ?0,5 маємо:
а) =arccos2a+2рn. Оскільки рівняння має рішення, якщо arccos2а+2рn?0, то n може приймати значення n=0, 1, 2, 3.... Вирішенням рівняння є х = 1+(2рn+аrссоs2а)2
б) =-аrссоs2а+рn. Оскільки рівняння має рішення за умови, що -аrссоs2а+2рn>0, то n=1, 2, 3..., і вирішення рівняння. х=1+(2рn-arccos2a)2 .
Відповідь: якщо |a| > 0,5, рішень немає;
якщо |a| ?0,5, х = 1+(2рn+аrссоs2а)2при n = 0, 1, 2... і х=1+(2рn-arccos2a)2 при n N.
Приклад 2 . Вирішити рівняння: tg ax2 =
Розв'язання:.
ах2 = +рn, n Z
Якщо коефіцієнт при невідомому залежить від параметра, то з'являється особливе значення параметра. В даному випадку:
1. Якщо а=0, то рівняння не має рішень.
2. Якщо а 0, то х2 =, n Z
Рівняння має рішення, якщо ?0. З'ясуємо, при яких значеннях n
і а виконується ця умова:
?0
звідки n ? і а > 0 або n ? і а < 0.
Отже, рівняння має вирішення х = ±, якщо
1) а > 0 і n = 1,2,3. або
2) а < 0 і n Z.
Відповідь: при а = 0 рішень немає;
при а > 0 і n = 1,2,3. або а < 0 і n Z х = ± .
Приклад 3. Вирішити рівняння: а sin bx = 1
Розв'язання: Особливе значення параметра а : а = 0.
1. При а = 0 рішень немає.
2. При а 0 sin bx = . Маємо 2 випадки:
2.1. Якщо > 1, то рішень немає.
2.2. Якщо ? 1, то особливе значення b = 0:
2.2.1. Якщо b = 0, то рішень немає.
2.2.2. Якщо b 0, то х =
Відповідь: при а = 0 або > 1 і а 0 або а 0 b = 0 рішень немає;
при а 0 і ?1 і b 0 х =
V. Методичні вказівки щодо розробки факультативних занять по темі «Тригонометричні рівняння з параметрами»
У загальноосвітніх класах дана тема не береться в явному вигляді. Вона розглядається в завданнях складнішого характеру. Наприклад, при вивченні теми "Квадратні рівняння", можна зустріти наступні завдання:
1) При якому р рівняння х2 - 2х + 1 = р має один корінь ?
2) При яких значеннях параметра р сума коренів квадратного рівняння х2 + ( р 2 + 4р - 5 ) х - р = 0 рівна нулю ?
У класах з поглибленим вивченням математики рівняння з параметрами цілеспрямовано починають вивчати з 8 класу. Саме у цей період вводиться поняття "параметр". Основне завдання - навчити що вчаться вирішувати рівняння з одним параметром.
Учні повинні з'ясувати, що рівняння з параметром - це сімейство рівнянь, визначуваних параметром. Звідси і витікає спосіб розв'язання залежно від структури рівняння виділяються підмножини множини допустимих значень параметра і для кожного такої підмножини знаходиться відповідна множина коренів рівняння. Потрібно звернути увагу на запис відповіді. У нім повинно бути вказано для кожного значення параметра (або множини його значень), скільки розв'язків має це рівняння і якого вигляду.
На факультативних заняттях слід розібрати наступні види завдань:
1) на вирішення: визначити параметри, при яких завдання має хоч би одне рішення або не має рішень зовсім.
2) на вирішення на множині: визначити всі параметри, при яких завдання має m рішень на множині М або не має рішень на множині М.
3) на дослідження: для кожного параметра знайти всі рішення заданої задачі.
VI. Розробки план-конспектів уроків до теми «Тригонометричні рівняння»
1. Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь (10-й клас)
Тема уроку: «Розв'зування найпростіших тригонометричних рівнянь».
Мета:засвоєння учнями виведення й застосування формули для визначення коренів рівняння ; виховати увагу, старанність, культуру математичного мовлення; розвивати пам'ять учнів.
Обладнання: мультимедійна система, модель одиничного кола.
Хід уроку
1. Перевірка домашнього завдання.
Запрошуємо чотирьох учнів за планом відповіді на відкидній дошці(1.Обгрунтування існування. 2.Ознайомлення. 3.Основні властивості.) розказати про: 1)арксинус; 2)арккосинус; 3)арктангенс; 4)арккотангенс відповідно.
Математичний диктант
Обчисліть:
Відповіді:
2.Актуалізація опорних знань.
Пропонуємо учням на моделі одиничного числового кола, з позначеною на ньому точкою, вказати значення косинуса, що відповідає цій точці. Потім задаємо на осі абсцис значення косинуса і пропонуємо позначити на числовому колі точки. Що йому відповідають.
3.Мотивація навчання.
Розв'язуючи квадратні рівняння, ми користувалися заздалегіть вивченими формулами їх коренів, що значно спрощувало роботу. Виведемо формули тригоноиетричних рівнянь для спрощення їх розв'язування.
4.Сприйняття та виведення формул коренів
Тригонометричним називається рівняння зі змінною під знаком тригонометричної функції.
До найпростіших належать , де а- дане число.
Розглянемо розв'зання кожного з цих рівнянь. Увага на екран! (Формули вчитель пише на дошці. Запис формул учнями в зошити є обов'язковим).
1. (Див.Розділ 1.П.1.1; Д.2.1).
Приклад. Розв'яжіть рівняння:
Розв'язання. За формулою маємо:
2. (Див.Розділ 1.П.1.2; Д.2.2)
Приклад. Розв'яжіть рівняння:
Розв'язання. За формулою маємо:
3. (Див. Розділ 1.П.1.3; Д.2.3)
Приклад. Розв'яжіть рівняння:
Розв'язання. За формулою маємо:
4. (Див. Д.2.4)
Приклад. Розв'яжіть рівняння:
Розв'язання. За формулою маємо:
5. Формування вмінь та навичок
Розв'язання.
8)
Відповідь.
10)
Відповідь.
Коментоване виконання вправ
Розв'яжіть рівняння:
6. Підбиття підсумків уроку.
(Разом з учнями методом невизначиних речень; рефлексія)
Ознайомилися з поняттям тригонометричного рівняння. Вивели формулу коренів . Навчились застосовувати ці формули при розв'язуванні конкретних рівнянь, ознайомилися з розв'язуванням складніших рівнянь, які зводяться до вивчених найпростіших.
7. Домашнє завдання.
Запитання та завдання для повторення розділу 2, №13-15,№1(6, 9, 12,14).
Розв'язати рівняння:
2. Семінарське заняття в 10 класі
Мета уроку -семінару --поглибити знання з теми. Його можна провести після вивчення теми «Тригонометричні рівняння і нерівності». За тиждень до проведення семінару окремі учні отримують індивідуальні завдання, які вони повинні виконати до початку заняття і виступити перед класом зі своїм доробком. Кожен із цих учнів на уроці-семінарі є консультантом для інших під час ров'язування тих завдань, що пропонуються для самостійної роботи. До наступного уроку учні класу виконують домашнє завдання, що складається із завдань. Запропонованих консультантами.
Оцінюючи ці роботи, треба враховувати і якість, і кількість розв'язаних задач (кожне завдання оцінюється в 6 балів). Семінарське заняття розраховано на 90 хв. Учні можуть запропонувати свої завдання, які вони знайшли в додатковій літературі, та способи їх розв'язання.
Тема: Розв'язування деяких тригонометричних рівнянь.
Мета: поглибити знання з теми «Тригонометричні рівняння».
ХІД УРОКУ-СЕМІНАРУ
Вступне слово вчителя
Звичні для нас рівняння здебільшго розв'я зуємо за допомогою перетворень даного рівняння доти, поки не дійдемо до рівняння, ров'язки якого очевидні. Процес утворення такого рівняння може бути простим або складним, залежно від того , які перетворення доводиться виконувати. Проте можна навести ряд прикладів , коли для розв'язування рівнянь не треба виконувати такі перетворення, а досить,наприклад, скористатися певними властивостями функцій. Що входять в рівняння. Такі способи часто називаються нестандартними. З деякими ми ознайомимося, послухавши доповідачів з відповідними повідомленнями.
Повідомлення 1
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Розв'язання
Запишемо дане рівняння у вигляді
Це рівняння розв'яжемо, оцінивши значення виразів у лівій і правій частинах
Оскільки значення виразу у лівій частині рівняння не більше або рівне 2, а у правій частині менше або дорівнює 2, то рівність виконується при значенні лівої і правої частини дорівнює 2. так наше рівняння рівносильне системі:
Отже,
Відповідь.
Приклад 2.Розв'язати рівняння
Розв'язання
Оцінюємо значення виразу у лівій частині рівняння
;
Отже,
Оцінюємо значення у правій частині:
Щоб виконувалася рівність, необхідно і достатньо, щоб вирази у лівій і правій частинах рівняння дорівнювали 6. Тоді рівняння рівносильне системі:
Відповідь:,
Вправи для самостійного розв'язування
Розв'язати рівняння:
1.
2.
Повідомлення 2
Приклад 1. Знайти всі дійсні розв'язки рівняння
Розв'язання
Дане рівняння можна записати у вигляді:
Сума невід'ємних чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли кожне з них рівне нулю, тобто
Оскільки , то з тотожності
Дістанемо що . Тоді з другого рівняння системи знаходимо:
Відповідь.
Приклад 2. Знайти всі х та у, які задовольняють рівняння
Розв'язання
Оскільки значення функції не перевищують , то дане рівняння рівносильне системі:
Звідки х/у=1, х=у.
Тоді 2х2=1 . Отже .
Відповідь.
Вправи для самостійного розв'язування
1. Знайти всі дійсні х і у, що задовольняють рівняння
2. Розв'язати рівняння
Повідомлення 3
Приклад 1. Довести, що коли , то рівняння не має розв'язків.
Розв'язання
Запишемо дане рівняння у вигляді
Поділимо обидві частини рівняння на с, де .
Оскільки то . Одержимо:
Нехай ю
Оскільки, , то рівняння
Розв'язку не має, що й потрібно було довести.
Вправи для самостійного розв'язування
1. Довести, що коли а<6, то рівняння
розв'язку не має.
2. Розв'язати рівняння
Повідомлення 4
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Розв'язання
Введемо заміну,, звідки
Одержимо систему:
Отже,
Відповідь. ;.
Вправи для самостійного розв'язування
Розв'язати рівняння:
1.
2.
Повідомлення 5
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Оскільки
,,,,.
Тому маємо систему:
Отже рівняннярозв'зків не має.
Вправи для самостійного розв'язування
Розв'язати рівняння
1.
2.
3.
4.
Повідомлення 6
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Розв'язання
Введемо заміну
Одержимо:
Звідси
Відповідь.
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Де
Розв'язання
Оскільки в чисельнику і знаменнику лівої частини рівняння записано суму членів нескінченної спадної геометричної прогресії, то використовуючи формулу її суми, запишемо дане ріівняння у вигляді системи
Відповідь.
Вправи для самостійного розв'язування
Розв'язати рівняння:
1.
2.
Зауваження. Вправи для самостійного розв'язування заздалегіть записуються на окремих картках і роздаються учням на початку заняття.
Укінці заняття вчитель наголошує що розглянуті тільки деякі способи розв'язування тригонометричних рівнянь і спонукає учнів до пошуку інших.
Висновки
1. Тригонометричні рівняння, в яких невідома входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають здебільшого безліч їх внаслідок властивості періодичності тригонометричних функцій. Не існує загального способу розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння. Однак деякі способи розв'язування окремих видів тригонометричних рівнянь можна вказати. Як правило, розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розв'язування найпростыших рывнянь виду , , tg x=a. Рівняння ctgx=a рівносильне рівнянню tgx=, тому немає потреби розглядати його окремо. Розглянемо розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
2. При розв'язуванні тригонометричних рівнянь форма запису множини розв'язків не однозначна, проте тотожними перетвореннями завжди можна довести їх ідентичність. Якщо множина розв'язків рівняння частково перетинаються, то у відповіді ці повторення доцільно вилучити. Їх неважко виявити, якщо зобразити на колі множини всіх розв'язків. У рефераті розглянуто основні типи тригонометричних рівнянь та методи їх розвязування.
3. Реферат може бути використаний у системі довузівської підготовки, школах або класах з поглибленим теоретичним та практичним вивченням математики, ліцеях та гімназіях та для самостійної підготовки до вступних іспитів.
Бібліографічний список
1. Барановська Г.Г., Ясінський В.В. Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота №2.--К.: НТУУ «КПІ», 2001.-- 108 с. -- (Серія «На допомогу абітурієнту»)
2. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів.-- 2-ге вид.-- Зодіак-ЕКО, 2001.-- 656 с.
3. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти.-- К.:Освіта, 2000.-- 318 с.
4. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник.-- М.: 1992.-212с.
Додаток 1
Тригонометричні формули
Д.1.1 Основні тригонометричні тотожності
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x/cos x
ctg x = cos x/sin x
1 + ctg2 x = 1/sin2 x
1 + tg2 x = 1/cos2 x
tg x ctg x = 1
Д.1.2 Формули додавання і віднімання
sin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos sin sin
tg ( ) = (tg tg)/(1 + tg tg)
ctg ( ) = (ctg ctg 1)/(ctg ctg)
sin + sin = 2 sin (( + )/2) cos (( )/2)
sin sin = 2 cos (( + )/2) sin (( )/2)
cos + cos = 2 cos (( + )/2) cos (( )/2)
cos cos = 2 sin ( + ) sin ( )
tg tg = sin ( )/cos cos
ctg ctg = sin ( )/sin sin
sin2 sin2 = cos2 cos2 =sin ( + ) sin ( )
cos2 sin2 = cos2 sin2 =cos ( + ) cos ( )
Д.1.3 Зв'язок між тригонометричними формулами
sin = 1 cos2
sin = tg/ 1 + tg2
sin = 1/ 1 + ctg2
cos = 1 sin2
cos = 1/ 1 + tg2
cos = ctg/ 1 + ctg2
tg = sin/ 1 sin2
tg = 1 cos2/cos
tg = 1/ctg
ctg = 1 sin2/sin
ctg = cos/ 1 cos2
ctg = 1/tg
Д.1.4 Формули перетворення добутку
sin sin = Ѕ*(cos ( ) cos ( + ))
cos cos = Ѕ*(cos ( ) + cos ( + ))
sin cos = Ѕ*(sin ( + ) + sin ( ))
tg tg = (tg + tg)/(ctg + ctg)
ctg tg = (ctg + tg)/(tg + ctg)
ctg ctg = (ctg + ctg)/(tg + tg)
Д.1.5 Формули подвійних кутів
sin2 = 2 sin cos
sin = 2 sin () cos ()
cos2 = cos2 sin2 = 1 2sin2 = 2cos2 1
tg2 = 2 tg
1 tg2= 2/(ctg tg)
tg = 2 tg (/2)/(1 tg2 (/2))
ctg2 = (ctg2 1)/2 ctg= (ctg tg)/2
ctg = (ctg2 (/2) 1)/2 ctg (/2)
sin x = a
x = (-1)n arksin a + n
cos x = a
x = arkcos a + 2n
tg x = a
x = arktg a + n
ctg x = a
x = arkctg a + n
Д.1.6 Формули зведення
sin ( /2 ) = + cos
sin ( /2 + ) = + cos
sin ( ) = + sin
sin ( + ) = sin
sin (3/2 ) = cos
sin (3 /2 + ) = cos
sin (2 ) = sin
sin (2 + ) = + sin
----------------
cos (/2 ) = + sin
cos (/2 + ) = sin
cos ( ) = cos
cos ( + ) = cos
cos (3/2 ) = sin
cos (3/2 + ) = + sin
cos (2 ) = + cos
cos (2 + ) = + cos
-----------------
tg (/2 ) = + ctg
tg (/2 + ) = ctg
tg ( ) = tg
tg ( + ) = + tg
tg (3/2 ) = + ctg
tg (3/2 + ) = ctg
tg (2 ) = tg
tg (2 + ) = + tg
-------------
ctg (/2 ) = + tg
ctg (/2 + ) = tg
ctg ( ) = ctg
ctg ( + ) = + ctg
ctg (3/2 ) = + tg
ctg (/2 + ) = tg
ctg (2 ) = ctg
ctg (2 + ) = + ctg
sin ( ) = sin
cos ( ) = cos
tg ( ) = tg
Д.1.7 Значення кутів
0 /6 /4 /3 /2
sin 0 Ѕ 2/2 3/2 1 0
cos 1 3/2 2/2 Ѕ 0 -1
tg 0 1/3 1 3 - 0
ctg - 3 1 1/3 0 -
Додаток 2
Д.2.1.Рівняння вигляду .
Якщо, то рівняння розв'язків не має.
Якщо , то
Рис. 1
Особливі випадки:
1) Якщо то
2) Якщо то
3) Якщо то
Загальна формула:
Д.2.2. Рівняння вигляду .
Якщо, то рівняння розв'язків не має.
Якщо , то
Особливі випадки:
1) Якщо то
2) Якщо то
3) Якщо то
Загальна формула:
Д.2.3.Рівняння вигляду .
Загальна формула:
Д.2.4.Рівняння вигляду .
Загальна формула:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Визначення тригонометричних функцій і їх властивостей. Основні формули тригонометрії. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння з оберненими функціями. Системи тригонометричних рівнянь і нерівності.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 20.06.2012Аналіз програми вивчення рівнянь та нерівностей в основній школі, методика їх розв'язування. Теоретичні основи дослідження. Види рівнянь (лінійні, квадратні та зведені до квадратних). Теорема Вієта: приклади розв'язування вправ з використанням теореми.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 09.04.2015- Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах
Педагогічні основи і методи навчання диференціальних рівнянь, його цілі, зміст і форми. Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах. Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів за темою.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 15.10.2013 Задачі економічного змісту. Розв’язування квадратних рівнянь. Застосування формули коренів квадратного рівняння та теореми Вієта. Праця учнів за алгоритмом. Завдання на кмітливість та нестандартне мислення. Обчислення кількості можливих комбінацій.
конспект урока [42,1 K], добавлен 21.02.2011Загальні питання та методичні аспекти використання мультимедійних засобів в навчальному процесі вивчення математики. Методика навчання розв'язанню логарифмічних рівнянь та нерівностей. Фрагменти уроків з використанням мультимедійної дошки та проектора.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.06.2010Загальні питання та методичні аспекти використання мультимедійних засобів в навчальному процесі вивчення математики. Методика вивчення тригонометричних функцій і їх властивостей в школі. Фрагменти уроків з використанням мультимедійної дошки та проектора.
курсовая работа [901,6 K], добавлен 14.06.2010Загальні відомості про раціональні нерівності. Ознайомлення з різноманітними методами та прийомами їх розв’язування, а також з методикою викладання цього курсу у старших класах. Розробка уроку "Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів".
курсовая работа [179,7 K], добавлен 11.09.2012Методологічна роль законів збереження енергії, імпульсу, заряду. Особливості вивчення законів збереження в середній та старшій школі. Аналіз вікових особливостей учнів. Розкриття можливостей вдосконалення навчання фізики, розробка методичних вказівок.
курсовая работа [155,3 K], добавлен 18.03.2013Місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та вимоги до його засвоєння. Аналіз методів вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу за новими підручниками з геометрії. Методичні рекомендації. Методика розв’язування.
контрольная работа [37,2 K], добавлен 29.03.2014Поняття похідної, її механічний і геометричний зміст. Застосування похідної для доведення нерівностей. Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей. Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 20.06.2012Застосування інтерактивних методів навчання при вивченні рівнянь та нерівностей у курсі алгебри 7 класу. Сучасний стан використання інтерактивних методів на уроках алгебри у школі. Інтерактивні групові методи навчання та рекомендації щодо їх застосування.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 21.11.2011- Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах
Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах. Рівняння з відокремлюючими змінними. Педагогічна культура вчителя математики. Дидактичні вимоги до академічної лекції. Функції контролю знань студентів.
дипломная работа [810,0 K], добавлен 17.09.2013 Елементи прикладної математики у курсі шкільної алгебри, основи компетентнісного підходу до навчання. Роль моделювання у розв’язуванні задач та у пізнанні навколишнього світу. Розробка уроків на теми "Відсоткові розрахунки" та "Математичне моделювання".
курсовая работа [111,6 K], добавлен 08.07.2012Поняття величин в математиці, їх класифікація та різновиди: скалярні та векторні. Різні підходи до поняття скалярної та векторної величини в математиці, принципи його формування та наукове обґрунтування. Відображення в шкільному курсі математики.
курсовая работа [48,1 K], добавлен 13.04.2016Психолого-педагогічні основи формування вмінь розв'язувати задачі. Види простих задач. Формування вмінь розв'язувати задачі на знаходження невідомого компонента. Задачі на знаходження невідомого, доданка, зменшуваного та від'ємника за допомогою рівнянь.
дипломная работа [3,7 M], добавлен 12.11.2009Використання прикладного змісту іменних теорем для вивчення шкільного курсу математики - інструмент розв’язання проблем модернізації особистісно-орієнтованої педагогічної освіти. Формування поняття "функція" у молодших школярів на уроках математики.
учебное пособие [2,1 M], добавлен 25.05.2019Теореми та ознаки подільності натуральних чисел. Обґрунтування вимог до математичної підготовки учнів, розробка методики викладу теми "Подільність чисел". Приклади розв’язування вправ, а також задачі без розв’язання для самостійного розв’язування.
курсовая работа [239,2 K], добавлен 02.09.2011Основні задачі на побудову. Вивчення геометричних місць точок у 7 класі. Поетапне розв'язування задач та пошук способу побудови. Методичні розробки конспектів уроків геометрії в 7-8 класах з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов.
курсовая работа [413,1 K], добавлен 14.10.2014Етапи математичного моделювання. Роль і місце моделювання та наочності у формуванні евристичної діяльності учнів. Текстові задачі виробничого, фізичного змісту та методи їх розв'язування. Методи розв'язування екстремальних завдань в курсі геометрії.
курсовая работа [219,7 K], добавлен 13.04.2012Методичний аналіз теми. Тематичне планування. Основні завдання теми. Методи вивчення теми. Особливості формування понять і уявлень в темі. Основні форми навчання під час вивчення теми "Гідросфера". Комбінований урок. Урок вивчення нового матеріалу.
курсовая работа [71,0 K], добавлен 28.02.2007
