Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

Размещено на http://www.allbest.ru/

35

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

функция математический обучение

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу.

Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений.

Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии. Аппарат использования производной обладает уникальными возможностями формирования поликультурных и информационных компетентностей обучающихся. Человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. С помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. Целью изучения курса является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Для решения поставленной цели необходимо решить задачи:

- систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

- усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Данные изученные в курсовой работе повысят уровень математической подготовки, позволят решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.

Курсовая работа состоит из введения, трех глав и списка использованных источников.

1. Развитие понятия функции

Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ - ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания - появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа - одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения - формулы.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца - И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.

2. Основные свойства функции

2.1 Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический - с помощью формул.

Табличный - с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

Пример 1. Найти область определения функции y=lg (2x-3)

y=lg(2x-3)

D(y): 2x-3>0

2x>3

x>1,5

Ответ: D(y)=(1,5; +? ).

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функции - это точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y=x²-5x.

y=x²-5x

D(y)=R

По определению :

y=0, тогда

x²-5x=0

x(x-5)=0

x=0 или x=5

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) - четная.

Пример 5. Определить вид функции y=x⁴-2x²+2.

y=x⁴-2x²+2, D(y)=R.

y(-x)=(-x)⁴-2(-x)²+2=x⁴-2x²+2=y(x) - четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) - нечетная.

Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

y=3x+1/3x

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) - нечетная.

Пример 4. Пример 5.

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т? 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

Пример 8. Определить период функции y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2р, т.е. Т=р.

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.

f(x)=sin2x,

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2р, т.е. Т=р.

Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂>х₁ , выполнено неравенство f(x₂)>f(x₁).

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂>х₁ , выполнено неравенство f(x₂)<f(x₁).

Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (x_min) и максимума (x_max).

Точка х₀ называется точкой максимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство f(x) ?f(x₀).

Точка х₀ называется точкой минимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство f(x)? f(x₀).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.

Пример 10. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x²+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

y=x²+2x, D(y)=R

y'=(x²+2x)'=2x+2

y'=0, т.е. 2х+2=0

2х=-2

х=-1

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

- +

-1

min

x=-2, y'=-4+2<0

x=0, y'=0+2>0

Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+?] и убывает на [-?;-1].

Точки экстремума: x_min= -1

Экстремумы функции: y_min=y(-1)=1-2= -1

2.2 Исследование функций

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

D(y) - область определения (область изменения переменной х)

E(y) - область значения х (область изменения переменной у)

Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности).

Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение : f(x)>0

б) отрицательное значение : f(x)<0.

Промежутки монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства ( f=const).

Точки экстремума (точки минимума и максимума)

Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума)

Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.

Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.

Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.

Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы.

Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х₁ и х₂ этого интервала из условия х₁<х₂ следует, что f(x₁)<f(x₂). Если же из условия х₁<х₂ следует, что f(x₁)>f(x₂), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f '(x)=tgб, б - это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ` (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ` (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

Определение точек экстремума функции. Пусть х₀ - внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая д - окрестность ] x₀- д, x₀+ д [ точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)?f(x₀) (неравенство f(x)?f(x₀)), точка х₀ называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции.

Теорема Ферма.

Если х₀ есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f '(x₀)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х₀ производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х₀ функция имеет экстремум.

Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, f `(x)>0 на интервале [a, x<sub>0</sub>] и f `(x)<0 на интервале [x₀, b], то х₀ является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, f `(x)<0 на интервале [a, x<sub>0</sub>] и f `(x)>0 на интервале [x₀, b], то х₀ является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

3. Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

3.1 Применение общей схемы к исследованию функций

В соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике раздел «Функции» включает следующие вопросы:

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Учащиеся должны уметь:

- определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

- строить графики изученных функций;

- описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

- решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы;

- исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа.

Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений - важнейший раздел темы «Производная и ее применение». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и др. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).

Приведем тематическое планирование раздела: «Применения производной» в соответствии с учебником Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.

Тематическое планирование

№ урока	Содержание учебного материала
1,2	Касательная к графику функции. Уравнение касательной
3,4	Производная в физике и технике. Механический смысл производной
5-7	Признак возрастания (убывания) функции
8-10	Критические точки функции, максимумы и минимумы
11-13	Примеры применения производной к исследованию функции
14-16	Наибольшее и наименьшее значения функции
17	Контрольная работа

Изучение темы «Применение производной к исследованию функций» требует знания некоторых определений и теорем, которые изучались ранее. Эти сведения следует повторить до изучения темы: понятия возрастания и убывания функции на множестве, определение производной, ее геометрический смысл, в связи с этим - понятия касательной, углового коэффициента прямой, условие параллельных прямых.

В ходе решения задач ученикам понадобится находить производные функций, пользоваться известными графиками для построения графиков других функций. Повторить нужно и метод интервалов. Наконец, для усвоения понятия экстремума функции и доказательства соответствующих теорем надо вспомнить определение предела функции. Поскольку в дальнейшем обучении будет идти речь о необходимых и достаточных условиях, и эти понятия должны быть усвоены учащимися.

Признак возрастания (убывания) функции.

Одно из основных применений производной в школьном курсе алгебры и начал анализа ? это исследование функций, в частности нахождение промежутков возрастания и убывания. Программой по математике сформулированы требования к усвоению этого материала ? учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания (убывания) функций.

Для подготовки к сознательному усвоению формулируемого в теме достаточного признака возрастания (убывания) функции (до его введения) полезно рассмотреть учащимся геометрические иллюстрации, на которых показаны графики функций, имеющих разный характер изменения, а также касательные в точках, принадлежащих к промежуткам возрастания и промежуткам убывания функций. Анализируя расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определяя тем самым знаки значений производной, учащиеся подводятся к самостоятельному формулированию требуемых признаков.

Достаточный признак возрастания функции. Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на .

Достаточный признак убывания функции. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на .

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа.

Учащимся необходимо разъяснить наглядный смысл признаков, который приводится из физических рассуждений.

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени имеет ординату . Тогда скорость этой точки в момент времени равна . Если в каждый момент времени из промежутка , то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если , то . Это означает, что функция возрастает на промежутке .

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции.

Решение: найдем производную функции (заметим, что она существует для всех ):

.

Приравняем производную к нулю: , откуда .

При , следовательно, при , функция возрастает, а при , следовательно, при , функция убывает [3].

После рассмотрения темы на возрастание (убывание) функции, вводится понятие критической точки или экстремумов функции.

Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.

Теоретический материал этой темы составляет основу получения общего метода решения большого класса задач ? задач на нахождение экстремумов функций. На этапе, где рассматривается общая схема исследования функции, у учащихся еще не было метода нахождения точек экстремума. В данной теме рассматривается необходимый признак экстремума (Теорема Ферма) и достаточный признак максимума и минимума. После изучения темы каждый учащийся должен уметь находить экстремумы функций.

1. Для активного восприятия учащимся нового материала целесообразно повторить понятие точек экстремума и понятие экстремума.

2. Используя таблицу с рисунками (графиками функций), с помощью системы наводящих вопросов можно подвести учащихся к самостоятельному формулированию (к упрощенной формулировке) признаков максимума и минимума функции:

1) Укажите точки максимума и минимума функции.

2) Определите знак значений производной функции в промежутке слева от точки максимума (минимума).

3) Определите знак значений производной функции в промежутке справа от точки максимума (минимума).

4) Как меняется знак производной при прохождении через точку максимума (минимума)?

Доказательство признаков максимума и минимума функции необходимо проводить с привлечением учащихся.

Рассмотрим определение критической точки:

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых она равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции. Рассмотрим соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма.

Необходимое условие экстремума. Если точка является точкой экстремума функции , то она равна нулю: .

Важно отметить, что теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке не имеет.

Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует.

Пример 1. Рассмотрим функцию . Эта функция не имеет производной в точке 0. Значит, 0 ? критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Пример 2. Точка 0 для функции не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция непрерывна в точке , а на интервале и на интервале , то точка является точкой максимума функции .

Учащимся удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция непрерывна в точке , на интервале и на интервале , то точка является точкой минимума функции .

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка минимума [2].

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение: область определения заданной функции есть множество всех действительных чисел. Найдем критические точки функции, для чего решим уравнение .

Так как , то имеем , откуда .

Исследуем знак производной функции на всех промежутках, на которые стационарные точки разбили множество . При , при , а при . Итак, - точка максимума функции, а - точка минимума функции.

С учащимися необходимо рассмотреть тему на наибольшее и наименьшее значение функции, обращая особое внимание на тот факт, что наибольшее (наименьшее) значение функции не является максимумом (минимумом) функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т. е. существуют точки отрезка , в которых принимает наибольшее и наименьшее на значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

 на отрезке .

Решение: запишем выражение для функции в более удобном виде, воспользовавшись для этого свойством четности функции косинуса

Найдем

Найдем значения аргумента, при которых , для чего решим уравнения и . Имеем следующую совокупность решений

Отрезку принадлежит только три решения уравнения .

Действительно, длина заданного в условии задачи отрезка меньше , то есть меньше разности каждой из трех арифметических прогрессий, записанной выше совокупности решений, поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждого семейства.

Так как функция возрастает на своей области определения, то , то есть , откуда следует, что . То есть отрезку принадлежат и .

Находя значения и сравнив их , находим, что на отрезке функции имеет наибольшее значение , а наименьшее значение

Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.

В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:

1) находят ее область определения;

2) выясняют, является ли функция четной или нечетной, является ли периодической;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значения в этих точках;

7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю ;

На основании такого исследования строится график функции.

Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Пример 1. Исследуем функцию и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме.

1) , так как - многочлен.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной

3) График пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение , один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.

4) Найдем производную функции :

, поэтому критических точек, для которых не существует, нет.

Заметим, что , если , т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Пример 2. Исследовать функцию

1)

2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке .

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т.е. решим уравнение . Пусть тогда уравнение примет вид: или , т.е. или , не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс . График пересекает ось ординат в точке .

4) Найдем производную функции

5) Найдем критические точки функции:

а) , если , , или , или

б) определена на всей

Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций.

Исследуйте функцию и постройте ее график:

1)

2)

3)

4)

5)

После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Производная и ее применение»

I вариант

1. Дана функция . Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Постройте график функции .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

II вариант

1. Дана функция . Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Постройте график функции .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [10].

3.2 Типичные ошибки учащихся при исследовании функций

При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое число ошибок допускается при построении графиков функции с использованием производной.

а) Пусть требуется исследовать с помощью производной функцию и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1).

Таблица 1

				0
	+	0	?	0	+		?
				0
	Max		min		max

Покажем ошибочные эскизы графиков, которые учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)



На каждом из этих рисунков допущены грубые математические ошибки и происходят они из-за того, что учащиеся используют из таблицы лишь сведения о том, где функция возрастает и где убывает, и совершенно не берут во внимание существование производной функции в критических точках. В таблице 1 отмечено, что в точках, производная функции существует, а это означает, что в точках с этими абсциссами можно провести касательную. Тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю, означает, что в точках с этими абсциссами касательные к кривой должны быть параллельны оси Ox. Анализ рисунков 3,4,5,6 показывает, что указанное выше требование нарушено, а именно, на рисунке 3 нельзя провести касательную к кривой с абсциссой ; на рисунках 4 и 5 - в точках с абсциссами ; на рисунке 6 - в точках с абсциссами .

Правильный график функции показан на рисунке 7.

Рис.7

б) При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают точек, в которых функция неопределенна. Приведем пример такой ошибки.

Исследовать функцию на монотонность.

Часто учащиеся поступают так: ; находят точки, в которых производная равна нулю: ; затем, множество всех действительных чисел разбивают точкой на два промежутка находят знаки производной на каждом промежутке и делают затем ошибочный вывод о монотонности функции на каждом из этих двух промежутков.

Поступать же надо было так. Множество всех действительных чисел следовало бы разбить на промежутки точками, в которых функция не определена и точками в которых производная равна либо нулю, либо равна бесконечности, либо не существует. В данном случае мы получим три промежутка: . Знак производной функции на каждом из них отмечен на рисунке 8.

Ответ должен быть записан в следующем виде:

на промежутке функция возрастает;

на промежутке функция убывает;

на промежутке функция возрастает.

По поводу записи ответа отметим следующее: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку. Так, в нашем случае, в точке функция непрерывна, а значит промежутки могли бы быть записаны так: .

в) Ряд ошибок связан с решением текстовых задач на экстремум. Проанализируем эти ошибки.

Очень часто учащиеся в процессе решения задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают такой вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». Такое утверждение содержит ошибки, разберем суть этих ошибок.

На рисунке 9 показан график такой функции, которая на промежутке имеет одну точку максимума, но максимальное значение не является наибольшим; наибольшее значение функция достигает в точке .

Рис.9

Учащиеся были бы почти правы, если бы они записали вывод в таком виде: «Функция на промежутке имеет один экстремум, который максимум, тогда максимальное значение будет и наибольшим на данном промежутке». Этому утверждению соответствует рисунок 10.



Рис. 10

Но и последнее утверждение содержит ошибку. На рисунке 9 показан график функции, которая на отрезке имеет одну точку экстремума, которая является точкой максимума, но максимальное значение не является на этом промежутке наибольшим; наибольшее значение достигается при .

Рис.11

Обобщая проведенные рассуждения, вывод, сделанный учащимися, должен быть таким: «Непрерывная функция имеет на промежутке одну точку экстремума, которая является точкой максимума, тогда это максимальное значение и будет наибольшим на указанном промежутке».

Приведенных в работе примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися при изучении Алгебры и начал анализа, вполне достаточно, чтобы показать учителю насколько важно учить учеников, а им самим учиться, рефлексивно- оценочной деятельности, которая позволит устранить и предупредить подобного рода ошибки.

План-конспект урока по теме «Производная и ее применение к исследованию функций»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Производная и ее применение».

Тип урока: обобщения и систематизация знаний

Структура урока:

1. Постановка цели урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

3. Самостоятельная работа.

4. Подведение итогов работы на уроке.

Оборудование урока: 1. Рисунки. 2. Кодоскоп. Кодопозитивы.

Выбор методов обучения. Основные методы ? эвристические и репродуктивные.

Ход урока:

1. Постановка цели урока.

Учитель сообщает учащимся цель урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

На данном этапе урока учащиеся сидят по группам, соответствующим ими выбранной тематике домашнего задания (количество учащихся в группе корректируется учителем по 5-6 человек). Столы стоят таким образом, чтобы учащиеся могли видеть доску. Четыре представителя от каждой группы излагают у доски одну из задач, подобранных из различных пособий, и отвечают на вопросы:

1. Геометрический смысл производной.

2. Физический смысл производной.

3. Роль знака производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке.

4. Дать определение (в широком смысле) касательной, проведенной к графику данной функции через точку . Записать уравнение касательной.

Пока они готовятся, все учащиеся слушают историческую справку, делая соответствующие записи в тетрадях.

Заслушав план решения каждой задачи, записанной на доске, учащиеся делают вывод о том, что наиболее емкое применение производная находит при решении различных задач и построении графиков функций.

3. Самостоятельная работа.

Учащимся дается задание: «Исследовать функцию и построить ее график»

При фронтальной беседе с группами вырисовывается алгоритм решения задачи и чертеж к ней.

4.Урок заканчивается подведением итогов Учащимся дается домашнее задание: найти в дополнительной литературе задачи на применение производной в других науках.

Заключение

Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад появилась функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Я выбрал эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировал свои навыки, пополнил свой запас знаний об этой теме.

Производная (функции в точке) -- основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс -- нахождение первообразной -- интегрирование.

Список использованных источников

Андронов, И.К. Математика действительных и комплексных чисел / И. К. Андронов. - М.: Просвещение, 2005. - 155 с.

Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М. Гольховой; Под ред. К. Фаддеева. - М.: Наука, 2002. - 192 с.

Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе: учебное пособие для студентов педагогических ВУЗов / В.М. Брадис. - М.: Учпедгиз, 2001. - 504 с.

Виленкин, Н.Я. Гибрид из мира идей, или как комплексные числа стали прилагательными / Н.Я. Виленкин // Знание-сила. - 1969. - № 1. - С. 19.

Демидов, В.П. Методика преподавания математики: пособие для студентов пед. институтов / В. П. Девидом Г. И. Саранцев - Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарева - 1976. - 192 с.

Киселев, А.П. Алгебра: в 2 ч. Ч. II / А.П. Киселев. - М.: Физматлит, 2005. - 248 с.

Колмогоров, А.Н. Проект программы средней школы по математике / А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, В.Г. Болтянский и др. // Математика в школе. - 2007. - № 1. - С. 12

Крутецкий, В.А. Психология: учебник для учащихся пед. училищ / А. В. Крутецкий. - М.: Просвещение, 2000. - 352 с.: ил.

Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников: книга для учителей и классных руководителей / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 2006. - 303 с.

Кухарь, В.М. Развитие понятия о числе: Автореф. дисс. на соискание учен. степени, к. пед. наук / В.М. Кухарь. - Киев, 2005 - 31 с.

Метельский, Н.В. Дидактика математики: лекции по общим вопросам для математических факультетов ВУЗов / Н.В. Метельский - Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 2002. - 256 с.

Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Ю.М. Коляги, Л.В. Оганесян, В.Я. Санинский, и др. - М.: Просвещение, 2000. - 368 с.

Немов, Р.С. Психология. Общие основы психологии: Кн. 1: учеб. для студентов высших учебных заведений / Р.С. Немов - 4-е изд. - М.: Владос, 2003. - 688 с.

Немов, Р.С. Психология. Психология образования Кн. 2: учеб. для студентов высших учебных заведений / Р.С. Немов - 2-е изд. - М.: Владос, 2005. - 469 с.

Петровский, А.В. Психология: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский. - М.: Академия, 2008. - 512 с.

Пичурин, Л.Ф. Вопросы общей методики преподавания математики: учеб. пособие для студ.-заочников III-IV курсов физ.-мат. фак-тов пед. институтов / Л.Ф. Пичурин, В.В. Репьев. - М.: Просвещение, 2009. - 80 с.

Подласый, И.П. Педагогика: учеб. пособие для вузов / И.П. Подласый. - М.: Владос-пресс, 2004. - 365 с.

Поспелов, Н.Н. Формирование мыслительных операций у учеников млдадших классов / Н.Н. Поспелов, И.Н. Поспелов. - М.: Педагогика, 2000. - 157 с.

Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика: для сред. и ст. шк. Возраста / А.П. Савин. - М.: Педагогика, 2010. - 351 с.: ил.

Сластенин, В.А. Педагогика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, Е.Н. Шиянов; Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Академия, 2002. - 576 с.

Хинчин, А.Я. Педагогические статьи / А.Я. Хинчин. - М.: Академия пед. наук РФ, 2011. - 204 с.

Размещено на Allbest.ru

...