Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

Научный руководитель

Александрова Т.А.

Студент

Фомина А.Ю.

Лесосибирск 2013



Содержание

Введение

Глава I. Теоретический аспект

1.1 Понятие прямой и обратной пропорциональности

1.2 Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

Глава II. Практический аспект

2.1 Методика обучения решению задач с пропорциональными величинами в программе «Школа 2100»

2.2 Фрагменты уроков

Введение

Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. В математике часто приходится рассматривать три величины, одна из которых равна произведению двух других. Тройки таких величин постоянно встречаются при решении практических задач. Напомним некоторые из них:

1) Нахождение пути при равномерном движении, если известны скорость и время;

2) Определение стоимости товара, если известны его цена и количество;

3) Вычисление объёма работ, если известны производительность труда и время работы, и т.д. пропорциональность школа урок

Все перечисленные виды задач решаются уже в начальной школе. Поэтому учитель начальных классов должен быть подготовлен к рассмотрению различных зависимостей между величинами.

Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости является важным шагом на пути к введению понятия функциональной зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций. Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученные учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Цель: Описание методики изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе.

Объект: Организация учебной деятельности в процессе изучения прямой и обратной пропорциональности.

Предмет: Понятия прямой и обратной пропорциональности.

Задачи:

1) Дать характеристику понятиям прямой и обратной пропорциональности при решении задач по математики в начальной школе;

2) Описать методику изучения прямой и обратной пропорциональности.

3) Проанализировать содержание учебных программ для начальной школы и материал учебников по математике на предмет содержания в них задач на прямую и обратную пропорциональность.

4) Разработать методические рекомендации по использованию задач на прямую и обратную пропорциональность в начальной школе.

Методы исследования: анализ научной, научно-методической и психолого-педагогической литературы; описательный и опытно-экспериментальный.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении определяются объект и предмет исследования, формулируются цель, задачи, методы исследования.

В первой главе - рассматриваются основные понятия, теоретическая основа данной работы.

Во второй главе - рассматривается практический аспект курсовой работы. Здесь представлены фрагменты уроков с использованием задач на прямую и обратную пропорциональность.

В заключении подводятся итоги проделанной работы.

Глава I. Теоретический аспект

1.1 Понятие прямой и обратной пропорциональности

Прямая пропорциональность.

Математическая запись зависимостей между величинами выражается равенством y=z•x. Если одна из переменных x или y постоянна (пусть z=k=const), то получается равенство вида y=k•x. В этом случае говорят, что величина y прямо пропорциональна величине x.

Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана с помощью формулы вида

y=k•x

где x-независимая переменная, а k- действительное число, неравное нулю.

Число k при этом называют коэффициентом пропорциональности.

Пусть x₁ и x₂ ? 0 - два различных значения переменной x, тогда y₁ = k x₁, y₂ = k x₂ . Так как x₂ ? 0 и k ? 0, то y₂ ? 0. Тогда y₁ / y₂ = x₁ / x₂ .

Установленное свойство называют основным свойством прямой пропорциональности.

Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так: во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной у.

Областью определения функции у = kх является множество всех действительных чисел R.

При k > 0 функция у = kx монотонно возрастает на всей области определения, а при k < 0 монотонно убывает. Функция является нечетной, значит, график ее симметричен относительно начала координат. Известно, что графиком уравнения у = kx является прямая линия, проходящая через начало координат и имеющая угловой коэффициент k (Рис.1). Таким образом, коэффициент пропорциональности k совпадает с угловым коэффициентом графика функции у = kx.

Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно знать одну пару (x₀ , y₀ ) ( x₀ ? 0 , y₀ ? 0) соответствующих значений. Тогда из равенства y₀ = k x₀ легко находим k = y₀ / x_{0 .}

Знание прямой пропорциональной зависимости позволяет использовать ее при решении задач в начальной школе. Так, при постоянной скорости пройденный путь у прямо пропорционален времени движения x, причем коэффициентом пропорциональности k является скорость. Аналогично, при постоянной цене товара его стоимость у прямо пропорциональна количеству товара x, а коэффициентом пропорциональности k является цена.

Более общей, чем прямая пропорциональность, является линейная зависимость между величинами.

Рассмотрим следующую задачу: «До перерыва работница упаковала вручную 20 коробок карандашей, а потом перешла на автомат, выпускающий 50 коробок в час. Сколько коробок выпустит упаковщица за смену, если проработает на автомате 2 ч? 3 ч? 4 ч?».

Очевидно, что зависимость между выполненным объемом работы у и временем работы упаковщицы на автомате х выражается формулой



у = kх + Ь

где b = 20 кор., а k = 50 кор./ч.

Свойства прямой пропорциональности:

1) Областью определения функции y=kx является множество действительных чисел R;

2) График прямой пропорциональности - прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

3) При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения (при k<0, соответственно, убывает на всей области определения).

4) Если функция f - прямая пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) - пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y1/y2.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее ему положительное значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Обратная пропорциональность.

Возвращаясь к равенству y=zx, выражающему зависимость между тройками величин, зафиксируем теперь y, положив его равным k=const. Тогда z и x будут связаны соотношением k=z·x, или z=k/x . В этом случае говорят, что величины x и z находятся в обратно пропорциональной зависимости.

Примерами величин, находящихся в обратно пропорциональной зависимости, являются: скорость и время при постоянном расстоянии; цена и количество товара при постоянной стоимости; производительность труда и время при постоянном объёме работы; длина и ширина при постоянной площади прямоугольника и т.д.

Обратная пропорциональность - это функция, которая может быть задана при помощи формулы

y=k/x

где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = k/x связано с переменными x и y, произведение которых равно некоторому действительному числу, не равному нулю.

Пусть x₁ и x₂ ? 0 - два различных значения переменной x, тогда y₁ = k/ x_1, y₂ = k/ x₂ . Так как y₁ ? 0 и y₂ ? 0, то можем записать y₂ / y₁₌ k / x₂ :k / x₁₌ k x₁ / k x₂ = x₁ / x₂ . Итак, y₂ / y₁ = x₁ / x_2. Это свойство называют основным свойством обратной пропорциональности.

Если значениями переменных x и y являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так:

Во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз уменьшается (увеличивается) значение переменной y .

Функция является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Если купили 12 кг муки и разложили её в x банок по y кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде x·y = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k =12.

Свойства обратной пропорциональности:

1) Областью определения и областью значений функции y=k/x является множество действительных чисел R, отличных от нуля.

2) График прямой пропорциональности - гипербола.

3) При k<0 функция y=k/x возрастает на всей области определения и ветви параболы направлены вверх (при k>0, соответственно, убывает на всей области определения, ветви - вниз). (Рис.2).

4) Если функция f - обратная пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) - пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y2/y1.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа, то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно воспользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.

1.2 Методика изучения прямой и обратной пропорциональности.

Учащиеся начальных классов не изучают в общем виде ни прямую пропорциональность, ни обратную. Однако при решении текстовых задач они встречаются с конкретными случаями таких зависимостей. Обучая детей, учитель не только использует их представления о зависимостях между конкретными величинами, но и уточняет и углубляет эти представления. Поэтому сам учитель должен владеть общим подходом к решению задач с пропорциональными величинами, а он основан на определении прямой и обратной пропорциональности и их свойствах.

В курс математики начальных классов включены составные задачи (составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других) , которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями.

Процесс решения составной задачи проходит в несколько этапов:

- ознакомление с содержанием задачи,

- анализ условия задачи,

- поиск плана решения задачи,

- составление плана решения задачи,

- запись решения и ответа,

- работа над задачей после ее решения .

В начальной школе практикуются следующие формы записи решения составной задачи: по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением, уравнением, с помощью графической или схематической модели. Для более полного понимания школьниками составной задачи учитель может использовать и комбинированную форму записи решения.

Анализируя специальную литературу различных авторов, удалось выделить следующие методические приемы формирования умения решать задачи - фронтальная беседа; преобразование простой задачи в составную; составление условия по данному решению; решение задач с недостающими и избыточными условиями; изменение одного из данных задачи; интерпретация задачи в виде схемы или таблицы и др.

Этапы обучения решению составных задач можно отразить в следующей структуре:

- подготовительный (решение простых задач с недостающими данными; решение пар простых задач; постановка вопроса к данному условию; выработка умений решать простые задачи, входящие в составную),

- ознакомительный (решение задач в два действия, включающих простые задачи на нахождение суммы и на нахождение остатка или на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы; решение задач в два действия, включающих простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы и т.д.),

- закрепление (задания на решение и преобразование задач).

Составные задачи можно попытаться классифицировать по количеству арифметических действий необходимых для ее решения (в два, в три действия и т.п.), по конкретному содержанию задачи (на производительность, на движение и т.п.), по алгоритму решения (на простое тройное правило, на пропорциональное деление и т.п.) и др.

Составные задачи с пропорциональными величинами, среди которых особо можно выделить 3 типа составных задач: на нахождение четвёртого пропорционального; на пропорциональное деление; на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.

В задачах на нахождение четвёртого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две - переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений второй переменной величины. Второе значение величины является искомым. С каждым из групп пропорциональных величин можно составить 6 видов задач на четвёртое пропорциональное. 4 вида с прямопропорциональной зависимостью и 2 вида с обратной.

Задачи на пропорциональное деление.

В задачах на пропорциональное деление даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две - переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и сумма соответствующих значений другой переменной величины. Слагаемые этой суммы являются искомыми. С каждой из групп можно составить 6 видов задач на пропорциональное деление. В начальной школе изучаются только 4 из них, с прямопропорциональной зависимостью. Все задачи на пропорциональное деление решаются способом нахождения постоянной величины.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.

В задачах на нахождение неизвестных по двум разностям даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две - переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и разность соответствующих значений другой переменной величины. Компоненты этой разности являются искомыми. С каждой из троек величин можно составить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям. В начальной школе изучаются 2 из них с прямопропорциональной зависимостью.

В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращённая запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значениями величин записываются с помощью математических выражений, значительно облегчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.

Рассмотрим методику изучения данных задач:

1)Методика обучения решению составных задач на нахождение четвертого пропорционального.

Задача на нахождение четвертого пропорционального - это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым .

Особое внимание необходимо уделить классификации задач на нахождение четвертого пропорционального. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Основным способом решения задач такого вида в начальной школе - арифметический (нахождение значения постоянной величины и нахождением отношения двух значений одной величины), также практикуется и алгебраический способ решения (уравнением).

Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального аналогичны как и в работе с другими задачами - подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин:

- цена, количество, стоимость;

- масса одного предмета, число предметов, общая масса;

- емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;

- выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка;

- расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.

2)Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление.

Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Классификация задач на пропорциональное деление. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

Способ решения - арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной суммы величин к сумме двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением).

Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи.

В начале рассматривают преимущественно задачи на пропорциональное деление первого вида с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость и др. После этого вводятся задачи второго вида, а несколько позднее третьего и четвертого видов. Следует отметить, что в начальной школе в основном решаются задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин.

3) Методика обучения решению составных задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задача на нахождение неизвестного по двум разностям включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми .

Применительно к каждой тройке величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

Способ решения - арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной разности значений величин к разности значений двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением).

Этапы обучения решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям - подготовительный, ознакомительный, закрепление. Подготовкой к решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям является твердое умение школьников решать простые задачи на установление соответствия между двумя разностями и простых задач с различными группами пропорциональных величин. При ознакомлении с задачами на нахождение неизвестного по двум разностям следует учитывать опыт учащихся, полученный в процессе решения задач на пропорциональное деление. Задачи нового типа могут быть получены из решенных задач на пропорциональное деление. Сначала рассматривают задачи на нахождение неизвестного по двум разностям первого вида с различными группами пропорциональных величин. При этом обязательна проверка решения способом установления соответствия между искомыми, полученными в ответе и данными из условия задачи. После этого вводятся задачи второго вида. Задачи других видов в начальном курсе математики обычно не рассматриваются. В процессе закрепления школьникам предлагают к решению задачи 1-2 видов с различными группами пропорциональных величин и упражнения творческого характера на преобразование условия задач.

4) Методика обучения решению задач на движение.

Задача на движение включает три величины: скорость, время, расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.

Рассматривая классификацию задач на движение, необходимо отметить следующее. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на удаление объектов, задачи на движение по реке. Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как задачи на нахождение четвертого пропорционального, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям, задачи на пропорциональное деление.

В виду специфичности задач на движение для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость - время - расстояние) и использовать схемы, которые отражают процесс движения, а не отношения между величинами.

Подготовкой к решению задач на движение является обобщение представлений учащихся о движении как некотором процессе (анализ наблюдений за движением различных видов транспорта и пешеходов на экскурсии), введение понятия «скорость движения» и характеристики скорости движения как расстояния, пройденного за единицу времени, повторение единиц измерения длины и времени, знакомство с различными единицами измерения скорости, формирование четкого представления школьников о существующей зависимости между скоростью, временем и пройденным расстоянием .

В процессе решения задач на движение формируется представление учащихся о некоторых средних скоростях движения пешехода, велосипедиста, теплохода, автомобиля и др., и представление о равномерном и неравномерном движении. Сначала рассматривают простые задачи на равномерное движение.

Следует помнить, что при ознакомлении с задачами на движение недопустимо заучивание приемов решения задач с прямо и обратно пропорциональной зависимостью. Затем вводятся составные задачи на встречное движение объектов, на удаление объектов, на движение в одном направлении, на движение по реке. Кроме того, учащиеся работают над задачами на движение, которые по способу решения можно отнести к задачам на нахождение четвертого пропорционального, на нахождение неизвестного по двум разностям, на пропорциональное деление.

Закрепление осуществляется посредством включения в содержание уроков задач на различные виды движения и решения их различными способами с последующим отбором наиболее рационального из них.

Отдельное внимание уделим решению составных задач на встречное движение и на противоположное движение.

Методика обучения решения задач «на встречное движение» основывается на четких представлениях учащихся о скорости равномерного движения, которые уточняются и обобщаются на специально отведенных этому вопросу уроках. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных направлениях», «выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…» и т.п.

После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач «в отрезках». Причем стараться соблюдать отношения их длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности «до встречи») расстояний.

Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсценировке, что «встречное движение» - тоже движение в «противоположных направлениях», что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут «удаляться» друг от друга с той же скоростью, с какой «сближались». Поэтому скорость удаления тоже равна сумме скоростей движущихся тел.

В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.

При работе с этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.

Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовать задачу на нахождение четвертого пропорционального, в задачу на пропорциональное деление, и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения .

Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера.

Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим их решением, а также упражнения по преобразованию задач. Это прежде всего составление задач аналогичных решению. Или составление и решение задач по их краткой схематической записи.

Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние .

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.

На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.

Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?

Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.

На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.

Выводы по первой главе: Дана характеристика понятий прямой и обратной пропорциональности. Данные понятия в начальных классах специально не изучаются , но при решении текстовых задач учащиеся встречаются с пропорциональными величинами.

Описана методика изучения текстовых задач с пропорциональными величинами в начальной школе. При ознакомлении с текстовыми составными задачами ученики должны уяснить основное отличие составной задачи от простой - ее нельзя решить сразу, т. е. одним действием, а для ее решения надо выделить простые задачи, установив соответствующую систему связей между данными и искомым. Причем при работе над изучением составных задач нового вида необходимо использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего характера, которые повышают интерес у учащихся, способствуют осознанному приобретению знаний, умений и навыков, развивают память, речь и мышление.

В заключение необходимо отметить, что методика обучения решению составных задач будет эффективна только тогда, если в результате ее применения происходит повышение уровня умения решать задачи. Выработке умения решать составные задачи помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.



Глава II. Практический аспект

2.1 Методика обучения решению задач с пропорциональными величинами в программе «Школа 2100»

Задачи с пропорциональными величинами в учебнике Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой, А. П. Тонких не выделены в отдельную группу задач, и не рассматривается в отдельности каждый тип задач. В данном учебнике предусмотрен другой подход к решению составных задач. В течение 2 уроков проводится большая подготовительная работа на отработку зависимости между изучаемыми величинами. Учебник направлен на то, что при проведении хорошей подготовительной работы и грамотного разбора задачи, учащиеся всегда смогут решить задачу любого типа.

На уроках учащиеся выявляют общие свойства зависимостей таких величин, как скорость - время - расстояние, стоимость - цена - количество товара, объём выполненной работы - производительность - время работы.

Особенностями изучения задач на движение, на нахождение стоимости, на нахождение производительности в данном курсе являются:

1) соотношение зависимостей между величинами с графическими моделями;

2) систематическое использование таблиц для фиксации и анализа условия текстовых задач;

3) введение в задачи буквенных данных.

В 3 классе сначала вводятся задачи на движение, дальше вводятся задачи на вычисление стоимости и задачи на вычисление работы.

Изучение задач на движение, на вычисление стоимости и на вычисление работы строится по следующему плану:

1) формирование представлений учащихся об изучаемых величинах;

2) выявление зависимости между величинами;

3) построение вспомогательной модели;

4) использование модели при решении задач.

Рассмотрим методику работы над задачами на движение. Учащимся предлагается выполнить задание из учебника: «Реши задачи по формуле пути:

а) Всадник едет на лошади со скоростью 8 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 4 часа?

б) Чему равна скорость почтового голубя, если за 2 ч он пролетает 120 км?

в) Пчела летит со скоростью 6 м/с. За сколько времени она долетит до улья, если находится на расстоянии 360 м от него?»

По тексту учебника учащиеся выделяют и записывают в таблице известные значения величин и вопрос задачи, далее выполняют вычисления. Задание (а) можно выполнить фронтально, а задания (б) и (в) предложить для работы в парах или группах:

а) 8 4 = 32 (км)

б) 120 : 2 = 60 (км/ч)

в) 360 : 60 = 6 (с)

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального вводятся на 3 уроке изучения задач на движение в общей системе составных задач. Особое внимание уделяется обучению детей табличному способу записи условия задач и их самостоятельному анализу. Предлагается задача: «Поезд проходит 320 км за 5 ч. Какое расстояние он пройдёт за 8 часов, двигаясь с этой же скоростью?» Учащиеся составляют краткую запись задачи в виде таблицы и анализируют:

«Чтобы найти расстояние, пройденное поездом, надо его скорость умножить на время движения. Время известно по условию - 8 ч. Скорость движения поезда можем найти, зная, что за 5 ч он прошёл 320 км. Поэтому по формуле пути скорость поезда равна (320: 5) км/ч.

1) 320: 5 = 64 (км/ч) - скорость поезда;

2) 64 8 = 512 (км/ч).

Ответ: за 8 ч поезд прошёл 512 км.»

В течение многих уроков отрабатывается зависимость между величинами. Аналогичная работа проводится при изучении формул на нахождение стоимости и работы.

«Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо узнать, сколько было кустов красной и чёрной смородины и из большего числа вычесть меньшее. Количество кустов каждого вида можно найти, разделив их стоимость кустов на их общее количество».

1) 250 + 450 = 700 (руб.) - общая стоимость кустов;

2) 700: 14 = 50 (руб.) - цена 1 куста смородины;

3) 250: 50 = 5 (к.) - купили красной смородины;

4) 450: 50 = 9 (к.) - купили чёрной смородины;

5) 9 - 5 = 4 (к.).

Ответ: купили на 4 куста чёрной смородины больше, чем красной.»

В 4 классе систематически проводится работа с «типовыми» задачами на пропорциональные величины, в целях формирования у детей устойчивых представлений о взаимосвязи троек величин, характеризующих процессы купли-продажи, движения и впоследствии - работы, а также продолжать учить детей анализировать текст и вспомогательную модель задач.

Таким образом, данные уроки направлены на систематизацию знаний детей о текстовых задачах и знакомство с общим способом действий при построении алгоритма решения. Задача учителя на этих уроках - создать условия для того, чтобы дети поверили в свои силы, осознали, что у каждого из них есть все необходимые знания для решения любой задачи, вопрос лишь в трудолюбии, терпении, целеустремлённости и т. д., т. е. в качествах, которые зависят от самого ребёнка. Это чрезвычайно важно на данном возрастном этапе, так как самоопределение ребёнка к деятельности, в том числе и к решению текстовых задач, во многом зависит от состояния его эмоционально - волевой сферы.

В учебниках Т. Е. Демидовой чаще всего предлагается вспомогательная модель к задаче, что в начальной школе позволяет экономить время и сосредотачивает учеников на решение задач, что делает урок более объёмным и информативным.

Методика Т. Е. Демидовой рассматривает задачи, опираясь на чертёж, на формулы, что позволяет усвоить материал более прочно и понятно.

2.2 Фрагменты уроков

1)Конспект урока математики для 3 класса по теме:

«Решение задач на нахождение четвертого пропорционального»

Задачи урока:

Обучающие:

познакомить детей с новым видом задач на нахождение четвертого пропорционального;

показать приемы кратного сравнения чисел;

совершенствовать навыки решения задач.

Воспитывающие:

воспитывать интерес к математике.

воспитывать самостоятельность, аккуратность в ведении рабочих тетрадей.

Развивающие:

развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.

Ход урока:

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, дети! Сегодня мы с вами продолжаем закреплять таблицу умножения на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, а также мы сегодня познакомимся с новым видом решения задач.

2. Устный счет.

Игра «Цепочка».

Учитель задает примеры, совершая действия с предыдущим ответом:

1. 56 - 32 = 24

2. 24 : 6 = 4

3. 4 * 4 = 16

4. 16 : 2 = 8

5. 8 + 32 = 40

6. 40 : 10 = 4

7. 4 + 37 = 41

8. 41 - 11 = 30

9. 30 : 3 = 10

10. 10 + 26 = 36

Игра «День - ночь».

Когда учитель говорит “ночь”, учащиеся закрывают глаза. В уме они должны решить цепочку примеров, например: 20+26-30-8+7+15+50-14+9=? А когда учитель говорит “день”, ученики открывают глаза, те которые решили, поднимают руки.

27 + 9 : 4 + 6 : 5 * 7 + 19 : 10 = 4

3. Актуализация познавательной деятельности.

- Открыли свои учебники на странице 64 № 3 выполняем устно.

Таким образом, уменьшить в несколько раз - разделить; увеличить в несколько раз - умножить; уменьшить на несколько единиц - вычесть; увеличить на несколько единиц - сложить.

- Сейчас посмотрите на № 4. В этом номере даны два отрезка. Измерьте длины этих отрезков.

- Какой длины получились отрезки? (АВ = 3 см, МК = 9 см)

- Во сколько раз отрезок АВ короче отрезка МК? (В 3 раза)

- Как мы это узнали? (9 : 3)

- Откройте страницу 62 и прочитайте правило.

- А теперь скажите на сколько один отрезок длиннее другого? (На 6 см)

- Как вы это узнали? (6 - 3)

- Запишите задачу в тетрадь.

4. Работа по новой теме.

Введение новой темы.

- Сегодня мы с вами познакомимся с новым видом задач на нахождение четвертого неизвестного, т.е. когда три числа нам даны, а четвертое нужно найти. Читайте задачу № 1 на странице 64.

- Что обозначает число 6? (Количество костюмов)

- Что обозначает число 18? (18 метров ткани пошло на 6 костюмов.)

Продолжение приложения 4

- Какой вопрос задачи? (Сколько метров ткани надо на 1 костюм и сколько метров ткани надо на 9 костюмов.)

- Можем ли мя сразу ответить сколько метров ткани надо на 1 костюм? (Да.)

- Как? (Количество всей ткани 18 разделить на количество пошитых костюмов 6.)

- После того как мы узнаем сколько метров ткани идет на один костюм, можем ли мы узнать сколько метров ткани надо на 9 костюмов? (Да.)

- Как? (Количество ткани на один костюм надо умножить на количество костюмов.)

Учитель записывает решение задачи на доске, а дети в тетрадь.

1.) 18 : 6 = 3

2.) 3 * 9 = 27

- Это и есть задача на нахождение 4 неизвестного или по научному четвертого пропорционального.

Первичное закрепление.

- Сейчас давайте с вами вспомним как меняется значение выражения, если скобки стоят в разных местах. Учитель на доске пишет выражение:

48 : 8 - 6 : 3 = 4

48 : (8 - 6) : 3 = 8

(48 : 8 - 6) : 3 = 0

48 : (8 - 6 : 3) = 8

- Кто решил все примеры самостоятельно решайте задачу 10 на странице 66.

Одна сторона треугольника будет 4, две другие по 5. Учитель вызывает двух учеников к доске и они записывают решение задачи.

1.) 4 * 2 + 5 = 13 (см)

- Кто решил задаче на странице 65 № 7. Самостоятельно поставьте вместо звездочки необходимые знаки.

6 * 3 < 20

5 *6 < 7 * 6

42 : 6 > 1 * 6

27 : 3 > 0 * 6

8 * 3 > 6 * 0

36 : 6 = 6

6 * 9 > 6 * 8

60 : 6 = 10

Закрепление.

- И сейчас, чтобы закрепить нашу сегодняшнюю тему на нахождение четвертого неизвестного, мы решим задачу № 5 на странице 65. Читайте условие задачи.

- Сколько кг картофеля купила мама? (15 кг)

- Сколько сеток картофеля было? (5 одинаковых сеток.)

- Можем ли мы узнать сколько кг картофеля было в одной сетке? (Да.)

- Как? (Нужно общий вес картофеля разделить на количество сеток.)

- Как вы думаете, сколько сеток несла мама, а сколько сын, если известно, что сын только помог, а значит, он нес меньше. (Мама несла 3 сетки, а сын 2)

- Запишите решение этой задачи. В ответе напишите, сколько кг картофеля было в одной сетке.

- Кто уже написал, решайте примеры № 9 на странице 65. Учитель вызывает по два ученика к доске для решения примеров.

5. Итог урока.

- Вы очень хорошо работали на уроке. Спасибо за работу!

6. Домашнее задание.

- Дома решите задачу на странице 65 № 8 и примеры № 13 на странице 66.

2) Конспект урока математики для 3 класса по теме:

«Решение задач на пропорциональное деление»

Задачи:

Развивать умение решать задачи на пропорциональное деление с

помощью рисунка, таблицы, чертежа, схемы.

Развивать творческое мышление и вычислительные навыки.

Ход I. Орг. момент

Веселый прозвенел звонок

Мы начинаем наш урок

1) устный счет «Цепочка»

3*9-12:5*8-10:2*3=

35-23:2*3:2*3-9:2=

2) математический диктант:

Число 17 увеличьте на 73

Вычислите сумму чисел 52 и 19

На сколько 90 больше 34х?

Найдите разность, если уменьшаемое 52 вычитаемое 37

Из какого числа вычисть 32, чтобы получить 18?

1) составьте задачи по таблице и решите их:

Цена	Количество	Стоимость
2 тенге	9 шт	?
3 тенге	?	27 тенге

1. Сообщение темы:

Ученики читают задачу и рассматривают рисунок.

- Какие величины даны в задаче?

(цена 1 шарика, число шариков и стоимость всех шариков)

- Запишем.

- что известно?

(число шариков; в первый раз купили 5 шариков, а во второй раз - 6 таких же шариков; известно, что за 5 шариков заплатили 225 тенге).

- Запишем

Что надо узнать? (Цену шарика)

- что известно о цене? (цена одинаковая).

- Запишем. Получается запись.

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	5 шариков	225 тенге

- Можно ли сразу узнать цену шарика? (да)

- Как можно узнать? (225:5=45)

(цена шарика 45 тенге)

- как узнать сколько стоят 6 шариков? (надо цену шарика умножить на 6, получим 270 тенге)

- Что это мы узнали? (стоимость 6 шариков)

- Что теперь надо узнать? (сколько надо заплатить за всю покупку?)

- Как узнаем? Каким действием? (сложением)

(225+270=495тенге)

4) Работа над новой темой.

1. Работа в парах №2

2. работа по таблице №3

3. решение задачи с помощью уравнения №6

за 5 ч - 365км

за 50ч -х решение: 365:5= х:50

73= х:50

Х= 73*50

Х= 3650

365:5=3650:50

Ответ: 3650 км.

5.Устные упражнения №8.

6. Рефлексия. Подведения итогов. д/з №4

Выводы по второй главе: Изучив методику работы над задачами с пропорциональными величинами: понятие и виды задач, способы её решения, методические приёмы, можно сделать некоторые выводы:

Эти задачи подготавливают детей к практической деятельности;

Задачи с пропорциональными величинами помогли в усвоении детьми понятия «пропорциональная зависимость»;

В учебнике программы «Школа 2100» представлено достаточно задач с пропорциональными величинами;

На уроках математики данные задачи стали решаться как обязательные.

Также можно предположить, что задачи с пропорциональными величинами могут влиять на развитие логического мышления младших школьников, так как для их решения нужно задействовать все операции мышления.

В ходе анализа фрагментов уроков, были разработаны следующие методические рекомендации:

Проводить целенаправленную, систематическую работу по решению задач с пропорциональными величинами.

Подбирать дополнительные задания на нахождение закономерности.

Использовать методические приёмы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.

Размещено на Allbest.ru

...