Обучение учащихся индуктивным и дедуктивным суждениям в курсе алгебры

Размещено на http://allbest.ru

Обучение учащихся индуктивным и дедуктивным суждениям в курсе алгебры

Максимочкина Елена, 341 группа

1. Теоретические основы использования индукции в процессе обучения алгебре

1.1 Индукция как метод познания и форма рассуждения

Познание в любой области науки и практики начинается с эмпирического познания. В процессе наблюдения однотипных природных и социальных явлений фиксируется внимание на повторяемости у них определенных признаков. Устойчивая повторяемость наводит на мысль (индуцирует), что каждый из таких признаков является не индивидуальным, а общим, присущим всем явлениям определенного класса. Логический переход от знания об отдельных явлениях к знанию общему совершается в этом случае в форме индуктивного умозаключения, или индукции (от латинского inductio - «наведение»).

Индуктивным называется умозаключение, в котором на основании принадлежности признака отдельным предметам или частям некоторого класса делают вывод о его принадлежности классу в целом.

В основе логического перехода от посылок к заключению в индуктивном выводе лежит подтверждаемое тысячелетней практикой положение о закономерном развитии мира, всеобщем характере причинной связи, проявлении необходимых признаков явлений через их всеобщность и устойчивую повторяемость. Именно эти методологические положения оправдывают логическую состоятельность и эффективность индуктивных выводов.

Основная функция индуктивных выводов в процессе познания - генерализация, т.е. получение общих суждений. По своему содержанию и познавательному значению эти обобщения могут носить различный характер - от простейших обобщений повседневной практики до эмпирических обобщений в науке или универсальных cуждений, выражающих всеобщие законы.

В зависимости от полноты и законченности эмпирического исследования различают два вида индуктивных умозаключений: полную индукцию и неполную индукцию.

Виды индукции:

Полная индукция - такое умозаключение, в котором общий вывод о классе предметов делается на основании изучения всех предметов данного класса.

Схема полной индукции:

S₁ суть Р

S₂ суть Р

S_n суть Р

S₁ ... S_n - весь класс предметов

Все S суть Р.

Некоторые логики склонны относить полную индукцию к дедуктивным умозаключениям, так как в полной индукции из истинных посылок может выводиться достоверное общее суждение.

Полная индукция дает достоверные заключения при наличии следующих условий:

– когда класс предметов или явлений, подлежащих изучению, представляет собой небольшое число элементов - ограничен, поддается «регистрации»;

– когда точно известен признак, принадлежащий предметам данного класса.

Пример 1

Докажите, что в интервале между 24 и 28 нет простых чисел.

Доказательство:

24=8•3 - составное

25=5•5 - составное

27=9•3 - составное

28= 7•4 - составное

Утверждение доказано.

Неполная индукция - такое умозаключение, в котором общий вывод делается на основании изучения некоторой части класса однородных предметов. Схема неполной индукции:

S₁ суть Р

S₂ суть Р

S_n суть Р

S₁ ... S_n - элементы класса

Все S суть Р - этот вывод представляет собой вероятное знание.

По способу отбора исходного материала и обоснования заключения неполная индукция делится на популярную (через простое перечисление при отсутствии противоречащих случаев) и научную, разновидностями которой являются индукция через отбор или индукция через установление причинной связи.

В неполной индукции факты для посылок берутся без специального методического отбора. Общий вывод о наличии какого-то признака у класса предметов делается на основе наблюдения у некоторых явлений данного класса этого признака и при отсутствии противоречащего случая. В результате этой индукции выводы получаются малоправдоподобными, так как противоречащие случаи могут обнаружиться, и вывод тогда окажется ложным.

Пример 2

Требуется найти сумму первых n последовательных нечетных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=1²

1+3=4=2²

1+3+5=9=3²

1+3+5+7=16=4²

1+3+5+7+9=25=5²

После рассмотрения этих случаев напрашивается вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n²

то есть сумма n первых нечетных чисел равна n². (Эта гипотеза верна и доказывается методом математической индукции)

Пример 3

Рассмотрим многочлен

P(x)=x²+x+41

Замечаем:

Р(1)=43

Р(2)=47

Р(-1)=41

Р(0)=41

Делаем заключение: при любом целом х число Р(х) простое (гипотеза ложна), так как при х=41 получим

Р(х)=41*43,

т.е. число Р(41) - число составное.

Математическая индукция - специальный метод доказательства предложений, выражающих некоторое свойство Р, присущее всем натуральным числам n (или всем n > k, где k, - определенное натуральное число). Этот метод, хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции.

Ввиду того что непосредственная проверка наличия свойства Р у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N, поступают так: проверкой устанавливают наличие этого свойства у числа 1 и доказывают, что из допущения о наличии этого свойства у произвольного числа х следует его наличие и у непосредственно следующего за ним числа х +1, (т.е. устанавливается, что свойство P как бы»передается по наследству» от х к х+1). После этого заключают об истинности доказываемого предложения, т.е. о том, что свойством Р обладают все натуральные числа.

Иногда это заключение обосновывается следующим образом: так как доказываемое предложение верно для 1 и из того, что оно верно для произвольного х, следует, что оно верно и для х+1, то оно верно и для числа 2; так как оно верно для 2, то на том же основании оно верно и для 2+1, т.е. для 3; и т.д. Следовательно, оно верно для любого натурального числа. Слова»и т.д.» свидетельствуют о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов.

Пример 4

Доказать, что при любом натуральном n число 23+1 делится на 3n+1.

Доказательство:

1. Для n=1 число 23+1=24 делится на 3*1+1=4

2. Пусть утверждение верно для n=k, т.е. 23+1 делится на 3k+1. Перейдём к n=k+1:

23+1=23+1=(23)3+1=(23+1)((23)2 - 23+1)

Первый множитель в этом произведении делится на 3k+1 по предположению. Осталось показать делимость второго множителя на 3. В самом деле

(23)2 - 23+1=(23+1)2 - 3*23

Эта разность, очевидно, делится на 3, поскольку делимость на 3 уменьшаемого вытекает из предположения. Итак, число 23+1 делится на 3k+2.

Доказательство методом математической индукции основано на принципе математической индукции.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

– Предложение А(n) истинно для n=1.

– Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k - любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

1.2 Полная индукция в процессе обучения алгебре

Познавательная роль полной индукции проявляется в формировании нового знания о классе или роде явлений. Логический перенос признака с отдельных предметов на класс в целом не является простым суммированием. Знание о классе или роде - это обобщение, представляющее собой новую ступень в развитии знания.

Демонстративность полной индукции позволяет использовать этот вид умозаключения в доказательном рассуждении.

Пример 1. индуктивный обучение математический дедуктивный

Доказать, что при 5?n?10 справедливо равенство

Доказательство:

Для n=5 утверждение верно.

Для n=6 утверждение верно

Для n=7 утверждение верно

Для n=8 утверждение верно

Для n=9 утверждение верно

Для n=10 утверждение верно. Следовательно, утверждение доказано.

Применимость полной индукции в рассуждениях определяется практической перечислимостью множества явлений. Если невозможно охватить весь класс предметов, то обобщение строится в форме неполной индукции.



1.3 Неполная индукция в процессе обучения алгебре

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основе принадлежности признака некоторым элементам или частям класса делают вывод о его принадлежности классу в целом.

Неполнота индуктивного обобщения выражается в том, что исследуют не все, а лишь некоторые элементы или части класса - от S₁ до S. Логический переход в неполной индукции от некоторых ко всем элементам или частям класса не является произвольным. Он оправдывается эмпирическими основаниями - объективной зависимостью между всеобщим характером признаков и устойчивой их повторяемостью в опыте для определенного рода явлений. Отсюда широкое использование неполной индукции в практике.

Пример 1

Доказать, что для первых 10 натуральных n:

Доказательство. Рассмотрим выполнимость данного равенства для первых натуральных n:

Для n=2 утверждение верно

Для n=3 утверждение верно

Для n=4 утверждение верно.

Для n=5 утверждение верно.

Для n=6 утверждение верно.

Для n=7 утверждение верно.

Для n=8 утверждение верно.

Для n=9 утверждение верно.

Для n=10 утверждение верно. Утверждение доказано.



Можно предположить, что равенство

справедливо при любом натуральном n.

Тем самым для неполной индукции характерно ослабленное логическое следование - истинные посылки обеспечивают получение не достоверного, а лишь проблематичного заключения. При этом обнаружение хотя бы одного случая, противоречащего обобщению, делает индуктивный вывод несостоятельным.

Существенное влияние на характер логического следования в выводах неполной индукции оказывает способ отбора исходного материала, который проявляется в методичности или систематичности формирования посылок индуктивного умозаключения. По способу отбора различают два вида неполной индукции:

– индукцию путем перечисления, получившую название популярной индукции.

– индукцию путем отбора, которую называют научной индукцией.

Пример 2

Сравните числа

3²•3⁴ и 3⁶

2•2⁴ и 2⁵

4²•4³ и 4⁵

5•5² и 5³

Решение

3²•3⁴=3•3•3•3•3•3=729, 3⁶=3•3•3•3•3•3=729

3²•3⁴ = 3⁶

2•2⁴=2•2•2•2•2=32 , 2⁵=2•2•2•2•2=32

2•2⁴ =2⁵

4²•4³=4•4•4•4•4=1024, 4⁵=4•4•4•4•4=1024

4²•4³=4⁵

5•5²=5•5•5=125, 5³=5•5•5•=125

5•5²=5³

Все выражения соответственно равны. Это позволяет сделать предположение, что для любого натурального n и m верно равенство:

aⁿ•a^m=a^m+n

Справедливость этого равенства нуждается в доказательстве.

1.4 Использование математической индукции в процессе обучения алгебре

Одним из самих универсальных методов доказательств математических утверждений, в которых фигурируют слова «для произвольного натурального n» является метод математической индукции.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему.

Область применения метода математической индукции очень выросла, но в школьной программе ему отводится очень мало времени.

Возможность применения метода математической индукции в курсе алгебры предоставляется в следующих областях:

1. задачи на суммирование

Пример 1

Вычислить сумму первых n нечетных натуральных чисел

Решение.

S(1) = 1, S(2) = 1 + 3 = 4, S(3) = 1 + 3 + 5 = 9, S(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, S(5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Замечаем, что сумма первых n нечетных чисел натурального ряда равна n2, т.е.

S(n) = n²

Докажем это.

1. Для n = 1 формула верна.

2. Предположим, что она верна для какого-либо натурального n = k, т.е.

S(k) =k²

Докажем, что тогда она будет верна и для

n = k +1, т.е. S(k+1) = (k + 1)²:

S(k + 1) = 1 + 3 + 5 +…+(2k - 1) + (2k + 1) = S(k) + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Следовательно, формула верна для всех натуральных значений n, т.е.

S(n) = n²

2. доказательство неравенств

Пример 2

Доказать, что при любом натуральном n>1

>

Решение.

Обозначим левую часть неравенства через .

1. , следовательно, при n=2 неравенство верно.

2. Предположим, что оно верно при некотором k:

Докажем, что тогда и >. Имеем

Сравнивая и , имеем

, т.е.

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому < .

Но >, значит, и >

3. задачи на делимость:

Пример 3

Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6.

Доказательство.

1. Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1

13 + 11•1 = 12

Так как 12: 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.

2. Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо при n = k, т. е. выражение k 3 + 11k делится на 6.

3. Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при

n = k +1

(k+1) 3 + 11(k+1) = k 3+3k 2+3k+1+11k+11 = (k 3+11k)+3k(k+1)+12.

Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел к ним k + 1 является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6.

По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом

4. доказательство некоторых тождеств:

Пример 4

Доказать, что при любом натуральном n верно равенство:

Доказательство.

1. Начало индукции. Проверяем утверждение при n = 1

Неравенство выполняется.

2. Индуктивное допущение. Предположим, что равенство верно при n = k:

3. Индуктивный шаг. Докажем утверждение при n = k +1:



Таким образом, что доказываемое утверждение справедливо при n = k+1. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом

1.5 Дедукция как метод познания и форма рассуждения

Дедукция играет большую роль в нашем мышлении. Во всех случаях, когда конкретный факт мы подводим под общее правило и затем из общего правила выводим какое-то заключение в отношении этого конкретного факта, мы умозаключаем в форме дедукции. И если посылки истинны, то правильность вывода будет зависеть от того, насколько строго мы придерживались правил дедукции, в которых отобразились закономерности материального мира, объективные связи и отношения всеобщего и идентичного. Известную роль дедукция играет во всех случаях, когда требуется проверить правильность построения наших рассуждений. Так, чтобы удостовериться в том, что заключение действительно вытекает из посылок, которые иногда даже не все высказываются, а только подразумеваются, мы придаем дедуктивному рассуждению форму силлогизма: находим большую посылку, подводим под нее меньшую посылку и затем выводим заключение. При этом обращаем внимание на то ,насколько в умозаключении соблюдены правила силлогизма. Применение дедукции на основе формализации рассуждений облегчает нахождение логических ошибок и способствует более точному выражению мысли.

Но особенно важно использование правил дедуктивного умозаключения на основе формализации соответствующих рассуждений для математиков, стремящихся дать точный анализ этих рассуждений, например, с целью доказательства их непротиворечивости.

Впервые теория дедукции была обстоятельно разработана Аристотелем. Он выяснил требования, которым должны отвечать отдельные мысли, входящие в состав дедуктивного умозаключения, определил значение терминов и раскрыл правила некоторых видов дедуктивных умозаключений. Положительной стороной аристотелевского учения о дедукции является то, что в нем отобразились реальные закономерности объективного мира.

Переоценка дедукции, и ее роли в процессе познания особенно характерна для Декарта. Он считал, что к познанию вещей человек приходит двумя путями: путем опыта и дедукции. Но опыт вводит часто нас в заблуждение, тогда как дедукция, или, как Декарт говорил, чистое умозаключение от одной вещи через посредство другой, избавлено от, этого недостатка. При этом основным недостатком декартовской теории дедукции является то, что исходные положения для дедукции, с его точки зрения, в конечном счете, дает будто бы интуиция, или способность внутреннего созерцания, благодаря которой человек познает истину без участия логической деятельности сознания. Это приводит Декарта в конце концов к идеалистическому учению о том, что исходные положения дедукции являются очевидными истинами благодаря тому, что составляющие их идеи изначала «врожденны» нашему разуму.

Философы и логики эмпирического направления, выступившие против учения рационалистов по «врожденных» идеях, заодно принизили значение дедукции. Так, ряд английских буржуазных логиков пытался совершенно отрицать какое - либо самостоятельное значение дедукции в мыслительном процессе. Все логическое мышление они сводили к одной только индукции. Так английский философ Д.С. Милль утверждал, что дедукции вообще не существует, что дедукция - это только момент индукции. По его мнению люди всегда заключают от наблюдавшихся случаев к наблюдавшимся случаям, а общая мысль, с которой начинается дедуктивное умозаключение, - это всего лишь словесный оборот, обозначающий суммирование тех случаев, которые находились в нашем наблюдении, только запись об отдельных случаях, сделанная для удобства. Единичные случаи, по его мнению, представляют собою единственное основание вывода.

Дедуктивное умозаключение - умозаключение, логическая форма которого гарантирует получение истинного заключения при условии одновременной истинности посылок. В дедуктивном умозаключении между посылками и заключением имеет место отношение следования логического; логическое содержание заключения (т.е. его информация без учета значений нелогических терминов) составляет часть совокупного логического содержания посылок.

Структура дедуктивного умозаключения и принудительный характер его правил, заставляющих с необходимостью принять заключение, логически вытекающее из посылок, отобразили самое распространенные отношения между предметами материального мира: отношения рода, вида и особи, т.е. общего, частного и единичного. Сущность этих отношений заключается в следующем: то, что присуще всем видам данного рода, то присуще и любому виду; то, что присуще всем особям рода, то присуще и каждой особи. Например, что присуще всем видам данного рода, то присуще и любому виду; то, что присуще всем особям рода, то присуще и каждой особи.

Размещено на Allbest.ru

...