После этого рассматривается функция .

Приводится пример построения графика функции , зная график функции . Для построения составляется таблица значений функции . Говорят, что график функции получается растяжением графика функции от оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Аналогичным образом, на примере, авторы демонстрируют сжатие графика.

График функции получается сжатием графика функции к оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Затем рассматриваются функции и . График функции можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции .

Далее авторами рассматривается функция

.

В начале параграфа рассматривается задача: построить график функции и сравнить его с графиком функции .

Как и для функции сначала составляется таблица значений функции . Найденные точки отмечаются на координатной прямой и соединяются плавной линией.

Первая часть задачи решена. Далее сравниваются функции и .

Сначала преобразуется формула , используя метод выделения полного квадрата. Затем сравниваются графики частями. Сначала - функции и .

Отсюда делается вывод, что графиком функции является парабола, полученная из параболы сдвигом (параллельным переносом) вправо на единицу.

После этого сравниваются функции и . Получается, что графиком функции является парабола, полученная сдвигом параболы вверх на две единицы.

Из всего этого следует, что графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы на единицу вправо и на две единицы вверх.

Далее авторы обобщают ранее объясненное.

Задачи, предлагаемые для закрепления данного материала выглядят так:

· С помощью шаблона параболы построить график функции .

· Записать уравнение параболы, полученной из параболы сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо.

Также в 8 классе решаются квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции. Их решение сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В конце дается подробный алгоритм решения неравенств графическим методом.

В качестве дополнительного более сложного материала производится исследование квадратичной функции на основе теорем:

· Если , то при всех действительных значениях х знак квадратичной функции совпадает со знаком числа .

· Если , то при всех действительных значения х, кроме , знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при значение квадратичной функции равно нулю.

· Если , то знак квадратичной функции совпадает со знаком числа для всех х, лежащих вне отрезка , т. е. при и при , где - нули функции, знак квадратичной функции противоположен знаку числа а при .

Квадратичная функция не рассматривается в 9 классе.

С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

В 7 классе данный коллектив авторов функцию не рассматривает.

В 8 классе авторы вводят понятие функции, графика функции. После этого рассматриваются линейная, квадратичная функции и обратная пропорциональность.

При изучении квадратичной функции сначала рассматриваются ее свойства.

После формулировки каждого свойства даются пояснения.

Затем рассматривается график функции и определяются ранее обозначенные свойства функции . Также дается определение параболы.

Далее рассматривается понятие квадратного корня, опираясь на график функции .

После этого вводится понятие арифметического квадратного корня из данного неотрицательного числа. Его определение производится по графику функции .

Далее авторы рассматривают функцию . Сравниваются две функции и и делается вывод, что график функции получается из графика функции растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу. Рассуждая аналогично, можно показать, что график функции , если , получается из графика функции растяжением последнего в а раз вдоль оси у; если же , то сжатием последнего в раз.

Далее рассматривается функция

.

При этом изучаются 2 функции: сначала , а затем .

Затем авторы рассматривают график функции . Приведена теорема: Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке , полученная параллельным переносом параболы , где . Эта теорема приводится с доказательством. На закрепление данного материала учащимся предлагаются задания на построение графика квадратичной функции.

В 9 классе квадратичная функция данным коллективом авторов не рассматривается.

А.Г. Мордкович и др.

В 7 классе квадратичная функция изучается после линейной функции. Поэтому перед ее изучением автор приводит веские аргументы для чего «она нужна». Затем учащимся предлагается подставить в формулу целые числа (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3). Из полученных значений составляется таблица. На координатной плоскости располагают получившиеся точки и соединяют их линией, которая называется параболой.

После этого описываются геометрические свойства параболы (ось симметрии, ветви параболы, вершина параболы) и свойства функции .

Затем рассматриваются примеры применения свойств функции (найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, 3]).

В качестве совета, автор предлагает учащимся вырезать из бумаги шаблон параболы.

Система упражнений направлена на построение графика квадратичной функции и определению по нему ее свойств.

В 8 классе продолжается рассмотрение квадратичной функции. В 7 классе изучалась функция . Теперь же учащимся предлагается сначала изучить функцию . Для этого рассматриваются 2 функции и . Составляется таблица значений функций, и строятся графики. Затем делается вывод: от величины коэффициента k зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как еще говорят, «степень крутизны» параболы.

После этого рассматривается функция и сравнивается с функцией . После этого рассмотрения делается общий вывод: График функции симметричен графику функции относительно оси абсцисс.

Затем рассматривается графики функции , и и алгоритмы их построения.

Далее говорится, что график любой квадратичной функции можно получить из параболы параллельным переносом.

Для доказательства этого факта используется метод выделения полного квадрата.

В следующей главе рассматривается функция . Говорится, что ранее было получено, что график функции получается из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно оси х. Воспользовавшись этим, строится график функции и отражается симметрично оси х. Это и будет график функции .

Система упражнений состоит из заданий на определение свойств квадратичной функции по ее графику. Также большое внимание уделено преобразованиям графика функций. Имеется достаточно много систем уравнений для графического их решения. Делается акцент на решение задач с параметрами.

В данном учебнике квадратичная функция в 9 классе не рассматривается.

К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев

Изучение квадратичной функции в данном учебнике начинается только в 8 классе и ведется на двух языках - алгебраическом и геометрическом.

На геометрическом языке строится график функции . Говорится также, что построить график «целиком» невозможно, и поэтому строят только такую его часть, которая отражает важнейшие его свойства.

Строится таблица значений функции. Отмечаются полученные точки и соединяются плавной линией. Получившийся график представляет собой бесконечную непрерывную кривую, которая называется параболой.

Затем авторы приводят сравнительную таблицу свойств квадратичной функции на алгебраическом и геометрическом языках.

Далее на основе графика функции рассматривается уравнение .

Также вводится понятие арифметического квадратного корня из числа а и его обозначение.

Система упражнений дана на построение графика функции и отыскание с помощью него точек, которые принадлежат и не принадлежат графику.

В 9 классе данный коллектив авторов функциям выделяет 2 главы.

Вначале рассказывается про квадратичную функцию . Напоминаются основные ранее изученные свойства функции , говорится про ось симметрии, и на этой основе рассматриваются различные квадратичные функции такие, как , и . После каждого из этих примеров делаются выводы о преобразованиях, применимых для графика функции , которые приводят к получению графика заданной функции.

Упражнения, данные после этого параграфа включают в себя:

Постройте график функции:

1) 2) 3) 4)



Изготовьте из картона или плотной бумаги шаблоны парабол:

, , ,

Также имеются контрольные вопросы:

Как получить график функции из графика функции ?

Далее рассматривается функция .

Выделяют полный квадрат из выражения и получают функцию , где p и q - некоторые числа.

Приводятся примеры, рассматривается как изменяется график в зависимости от чисел p и q и затем делается вывод, что график функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси ординат на q единиц вверх при и на |q| единиц вниз при . Далее говорится, что тем же приемом - сдвигом вдоль осей координат графика произвольной функции можно получить графики функций и . Именно,

График функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на p единиц влево при и на -p единиц вправо при .

График функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на q единиц вверх при и на -q единиц вниз при .

Изучение квадратичной функции в проанализированных учебниках начинается в 7 (Ю.Н. Макарычев и др., А.Г. Мордкович и др.) и 8 (С.М. Никольский и др., Ш.А. Алимов и др., Г.В. Дорофеев и др.) классах. В учебниках А.Г. Мордковича и др., Ю.Н. Макарычева и др., Ш.А. Алимова и др. изложение материала ведется доступным языком. Прослеживается нить «от простого к сложному». В остальных же учебниках теоретический материал изложен на более научном уровне. Во всех учебниках рассматриваются приложения квадратичной функции (решение уравнений, неравенств, систем уравнений, построение графиков функций, задачи с параметрами). Отличие лишь в том, какое внимание уделяется тому или иному разделу. Задачи с параметрами наиболее ярко отражены только в учебнике А.Г. Мордковича и др.

В учебнике Г.В. Дорофеева и др. изучение квадратичной функции ведется в 8 и 9 классах на двух языках - алгебраическом и геометрическом. Уделяется большое внимание преобразованиям графиков функций. Вся теория изложена «строго по делу», без отступлений.

В учебниках А.Г. Мордковича и др. функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из шести направлений:

· графическое решение уравнений;

· отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;

· преобразование графиков;

· функциональная символика;

· кусочная функция;

· чтение графика.

Это шесть элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной [22].

В учебнике Ш.А. Алимова и др. квадратичной функции и ее приложениям посвящен практически весь учебник 8 класса. Блоком рассматривается квадратичная функция и ее свойства, и затем квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.

В учебнике Ю.Н. Макарычева определение квадратичной функции дается в 9 классе предлагается учащимся сразу, затем рассматриваются частные случаи квадратичной функции и после непосредственно общий вид квадратичной функции. Только после этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется крайне мало внимания.

Рассмотрим, сколько практико-ориентированных задач имеются в следующих учебниках 9 класса:

Авторы	Количество часов по теме «Квадратичные функции»	Количество практико-ориентированных задач
Г. В. Дорофеев и др.	20 часов	№ 180, 192, 255, 256.
Ю. Н. Макарычев и др.	29 часов	Рассматривается задача с использованием физических свойств в начале изучения темы, как пример.
Н. Я. Виленкин и др.	25 часов	Рассматривается задача с использованием физических свойств, как пример.

Из рассмотренных учебников мы можем убедиться, что задач практико-ориентированных очень мало и в основном они рассматриваются как примеры.



Глава 2. Использование свойств, квадратичной функции при решении практико-ориентированных задач в курсе математики 9 класса

2.1 Задачи практической направленности, решаемые с помощью применения свойств, квадратичной функции

I. Задачи с использованием физических формул

1.Задача по кинематике. Движение тела вертикально вверх под действием силы тяжести Высоту над землей подброшенного вертикально вверх мяча вычисляют по формуле h(t) = -4tІ + 22t, где h -- высота в метрах, t -- время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 м?

Рекомендации: решение квадратного неравенства. Анализируя условие, вы заметили, что для ответа на вопрос необходимо найти промежуток времени, когда камень находился на высоте не менее 10 м, то есть те значения t, при которых h(t) ? 10.

Решая полученное неравенство -4tІ + 22t ? 10, получаем t ? [0,5; 5].

Длина полученного промежутка равна 5 - 0,5 = 4,5 секунд.

Ответ: 4,5 с.

2.Задача по гидростатике. На течение жидкости

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран.

После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону

H(t) = H₀ - kt + k²t²

где t время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 20 м - начальная высота столба воды, k = отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Рекомендации : решение квадратного уравнения.

Задача сводится к решению уравнения H(t) = H₀ при заданных значениях начальной высоты H₀ = 20 м - , отношения площадей поперечных сечений крана и бака k = и ускорения свободного падения g = 10 м/c² : t² - 1600t + 480000 = 0. Решив квадратное уравнение, имеем 400с и 1200с. 1200 с не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 400 с.

3.Раздел «Термодинамика»

Зависимость температуры нагревательного элемента от времени имеет вид

T(t) = T₀ + at + bt² , где

T₀ = 100K, a = 37,5 K/мин, b = - 0,25 K/мин² .

Прибор может испортиться при температуре свыше 100 К.

Определите момент времени (в минутах), когда прибор необходимо отключить, чтобы он не вышел из строя.

Рекомендации. Зависимость температуры нагревательного элемента от времени имеет вид квадратичной функции. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при t² отрицательный. График изменения температуры показан на рис. (см. рис. на слайде.)

Таким образом, температура 1000K достигается дважды: первый раз на промежутке возрастания, - второй на промежутке убывания. Но реально до второго раза температура просто не дойдет, так как прибор уже при времени t₁ выйдет из строя. Значит, наша цель определить меньший корень уравнения. t₁ = 30, t₂ = 120.

Ответ. 30

4. Давление на дно сосуда.

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю.

В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна

,

где m -- масса воды в килограммах, v -- скорость движения ведeрка в м/с, L -- длина верeвки в метрах, g -- ускорение свободного падения (считайте ).

С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с

Рекомендации. Сила воды в верхней точке равна 0.

Ответ: 2 м/с

5. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)

V(t) =- h²+2h+8

Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где v=0) и глубину с максимально сильным течением.

Решение: (Для решения задачи достаточно выяснить, какое значение -наибольшее или наименьшее - принимает функция. Это значение равно ординате вершины параболы).

План решения:

Найти вершину (m:n): m=-- ось симметрии.

· Ветви направлены-

· Нули функции

По графику ответить на вопросы.

Размещено на http://allbest.ru

Ответ: v=0, если h=-2 и h=4 т.е. максимальная глубина 4 м.

Наибольшая скорость 9 м/с при h=1м.

6. После начала торможения движение электропоезда описывается законом , а скорость меняется по закону V=16-0,2t, где t - время (с), v - скорость (м/с), S - пройденный путь (м). Через сколько секунд поезд остановится?

Каков его тормозной путь? Постройте графики этих функций S=S(t), v=v(t).



- парабола ветви вниз Вершина x=m=-=-=80(c) y=S(t)=t(16-0,1t)= =80(16-0,1·80)=80·8=640м. нули функции 16t-0,1t2=0 t(16-0,1t)=0 t1=0 16-0,1t=0 -0,1t=-16 t2=160

Размещено на http://allbest.ru

V=16-0,2t-линейная функция

Размещено на http://allbest.ru

16-0,2t=0 t=80 v=16м/с?57,8км/ч t v 0 16 80 0 Поезд проедет 640м через 80с.

По графикам ответим на вопросы:

1) Через сколько секунд поезд остановится?

[ (рис.2) через 80с v_поезда=0]

2) Каков его тормозной путь?

[После торможения поезд проедет 640м.]

Для сравнения автомобиль со скоростью 60км/ч проходит 17м в секунду.

Его тормозной путь 3-6 метров!!!



7. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)

V(h) =- h²+2h+8

Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где v=0) и глубину с максимально сильным течением.

8. После начала торможения движение электропоезда описывается законом , а скорость меняется по закону V=16-0,2t, где t - время (с), v - скорость (м/с), S - пройденный путь (м). Постройте графики этих функций S=S(t), v=v(t). Ответьте на вопросы:

Через сколько секунд поезд остановится? Каков его тормозной путь?

9. Брошенная на землю кожура от банана в нашем климате разлагается около 2 лет. Брошенный окурок сигареты разлагается на два года дольше. Пластиковый пакет разлагается на восемь лет дольше, чем окурок.

Сколько лет потребуется для того чтобы разложился пакет? На сколько лет раньше разложится кожура от банана? (12 лет, на 10лет).

10. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч, составляет (90+) рублей в час.

С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км путь была наименьшей?

11.С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t - время полёта стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах) стрелы от поверхности земли можно найти по формуле h=-5t²+50t+20 (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным с 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

Постройте график движения стрелы по уравнению h= -5t² +50t+20. Значение t[1;8] c шагом 1. Отметьте точку, в которой стрела достигнет наибольшей высоты.

II. Геометрические задачи с использованием квадратичных функций

1. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение:

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

Пусть , , тогда

(1)

(2)

Из (1),(2) следует, что

Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

, т.е. , .

Ответ. Размеры окна , .

Примерно ширина окна 0,8 м, а длина 1,7 м.

2. Сейчас мы с вами рассмотрим ситуацию из рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли надо». Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец требуемую сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Прочитать отрывок из собрания сочинений Л.Н. Толстого, том 10, стр. 368.

Обошел Пахом четырехугольник (на доске рисунок) периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?

Решение: Обозначим одну сторону через х , тогда другая сторона будет равна (20 - х). Площадь прямоугольника: = x (20 - x) = - x² + 20x

Функция для нахождения площади будет иметь вид: y = - x² + 20x. Надо найти наибольшее значение этой функции. Для этого построим график функции. (На доске изображен график этой функции).

Мы видим, что наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, и оно равно 100 при х = 10.

Пахом, чтобы получить больше земли, должен был обойти квадрат со стороной 10 км.

3. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией

у =9+9х-1,5х²

где х - площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у - валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в тыс. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход?

4. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

5. Периметр здания составляет 56 м. Каковы его стороны, если это здание имеет наибольшую площадь? (здание одноэтажное) (Ответ: 14; 14).

6. На странице книги печатный текст должен занимать 150 см². Верхнее и нижнее поля страницы по 3 см, правое и левое - по 2 см. если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

7. Для строительства склада заготовлен материал на наружные стены длиной 32 м и высотой 4 м. Какими должны быть размеры склада (в виде прямоугольного параллелепипеда), чтобы он имел наибольший объём?

Решение задачи сводится к исследованию функции:

V = х (16 - х)4 = - (2х - 16)І + 256 ? 256,

где х - длина. Значит, 2х -16=0, х = 8.

Вывод. Итак, чтобы объем склада был наибольшим, его размеры должны быть 8Ч 8 Ч4.

2.2 Методические рекомендации по применению составленных задач на уроках математики 9 класса

Основная задача состоит в том, что максимально преодоление недостатков познавательной деятельности, подготовка школьников к жизни и деятельности в новых социально - экономических условиях, получение более широкой, жизненно важной информации для дальнейшего выбора профессии, трудоустройства, свободной ориентировки в современном обществе и быту.

Реализация данной задачи невозможна без поиска и совершенствования новых методов, приёмов и средств обучения, в т. ч. и математике. Одним из способов решения проблемы социализации выпускников школ - VIII вида к условиям современной действительности является внедрение в содержание курса математики задач практической направленности - это экономические, профориентационные, социальные и другие типы задач. Использование задач с практическим содержанием способствует обеспечению более осознанного овладения математической теорией и практикой, создает условия для осуществления связи обучения математике с жизнью, развития межпредметных связей и способствует более успешной социализации выпускников в современном обществе.

Необходимость в новых подходах к обучению математике и, в частности решению задач, вызвана изменением содержания образования в современной школе с учетом обновления социально-экономических потребностей и условий развития общества.

Сущность данного подхода состоит в создании системы работы, основанной на решении задач с практическим содержанием на уроках математики. Идея состоит в том, что использование данных задач способствует обеспечению более осознанного овладения математической теорией и практикой и в дальнейшем окажет влияние на более успешную социализацию выпускников в современном обществе.

№	Тема урока	Номера задач
1	Функции и их свойства	I: 1,2,3,7 II: 4,5,7
2	Квадратный трехчлен	I: II: 1
3	Квадратичная функция и ее график	I: 5,6,8 II: 2,6
4	Степенная функция. Корень n-ой степени	0

квадратичный уравнение функция



Заключение

Во время исследования была изучены психолого-педагогические, методические и учебные научные литературы.

Определены функции и этапы решения практико-ориентированных задач как основного средства реализации прикладной направленности школьного курса математики.

Составлено и подобраны практико-ориентированные задачи, решаемые с помощью использования свойств квадратичной функции.

Разработаны методические рекомендации по использованию составленных задач, а так же составлен план экспериментальной работы.

Обучение решению практико-ориентированных задач при изучении квадратичной функции в целях реализации прикладной направленности будет способствовать формированию:

- умения решать практико-ориентированные задачи,

- умения самостоятельно формулировать задачи профессионального и жизненного плана.

Идея состоит в том, что использование данных задач способствует обеспечению более осознанного овладения математической теорией и практикой и в дальнейшем окажет влияние на более успешную социализацию выпускников в современном обществе.



Список литературы

1. http://festival.1september.ru/articles/625875/

2. http://ru.convdocs.org/docs/index-2161.html#28238

3. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. [Текст]: Итоговая аттестация / Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.О. Рослова.- М.: Просвещение, 2006.- 192 с.

4. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 285 с.

5. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 8-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 207 с.

6. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 9-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 223 с.

7. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- М.: Просвещение, 2007.- 287 с.

8. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 44-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учеб.», 2008.- 255 с.: ил.

9. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 239 с.

10. Алгебра [Текст]: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- М.: Просвещение, 2008.- 255 с.

11. Алгебра [Текст]: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 10-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учеб., 2006.- 255 с.

12. Алгебра [Текст]: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 271 с.

13. Печёнкина Е.Н. Практико-ориентированные задачи на уроках математики в основной школе // Электронный ресурс [http://rudocs.exdat.com/docs/index-100680.html]

14. Колягин Ю.М. и Пикан В.В. О прикладной и практической направленности обучения математике : Математика в школе. 1985. © 6.

15. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/prikladnaya-napravlennost-pri-obuchenii-matematike-0

16. Тесты по математике 5-11 кл. - М.: ООО «Агентство «КРПА «Олимп»: «Издательство АСТ»,2002. 425с.

17. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. - М.: Изд-вог Акад. наук СССР, 1958. - 147с.

Размещено на Allbest.ru

...