Опытная работа по проблеме использования комбинаторных задач в программе начальной школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

32

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Её методы широко используются для решения практических и теоретических задач. На фоне развития комбинаторики как науки возникла проблема включения комбинаторных задач в программу начального образования как средства развития младших школьников.

Изменения в социально-экономической сфере, развитие техники, увеличение объёма информации привели к перестройке системы образования, которые отражены в документах о российском образовании.

Начальная школа должна сегодня не просто вооружить своего выпускника набором необходимых и достаточных компетенций, а сформировать устойчивую потребность в саморазвитии, самообразовании и творческом самосовершенствовании, подготовить к обучению и развитию на следующих образовательных уровнях. Ориентация образования на личность учащихся влияет на принципы и формы педагогической деятельности, в рамках которой учитель уже не только передаёт знания, умения и навыки, но и проектирует личностное развитие каждого учащегося.

Данная тема курсовой работы актуальна для наших детей в связи с тем, что современные школьники стали более развиты и им требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в своем решении участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям. Такими задачами являются задачи на комбинаторику. Данная тема интересна еще и потому, что таких задач в школьной программе 1 - 4 классов не много, но и их решение можно свести к игре, интересной детям. Объектом исследования является проблема использования комбинаторных задач на уроках математики как средства развития младших школьников.

Предметом, в свою очередь, комбинаторные задачи, используемые на уроках математики в начальной школе.

Цель исследования: рассмотреть необходимость использования комбинаторных задач с психолого-педагогической точки зрения, теоретические основы проблемы, изучить опыт зарубежных и отечественных педагогов по данной проблеме, а также опыт учителей начальной школ, использующих комбинаторные задачи в своей работе.

Глава 1. Психолого-педагогические основы проблемы использования комбинаторных задач на уроках математики как средства развития младших школьников

педагогический математика комбинаторный задача

1.1 Теоретические основы проблемы использования комбинаторных задач на уроках математики как средства развития младших школьников

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д. Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, теорией перечислений. Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.

Математика для воспитания привычки к строгому мышлению и чёткой, логически совершенной речи имеет большие возможности. Эти возможности проявляются и при изложении теоретического материала, и при решении задач. Ученик должен показать в своём ответе не только умение запоминать, а умение разобраться в структуре рассуждений, свою способность самостоятельно мыслить.

Известно, что между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии, психологическое развитие, которых представляет собой очень сложный, противоречивый процесс, при котором переход на новые, более высокие ступени означает не отрицание предыдущих видов психической деятельности, а их перестройку, совершенствование. Именно поэтому необходимо оптимально развивать разные виды мыслительной деятельности: и наглядно-образное, и абстрактно-теоретическое, и наглядно-действенное, и логическое мышление в том числе.

Без логичности мышления, то есть без способности правильно формировать понятия (определять, классифицировать и т.д.), суждения, умозаключения и доказательства, знание - бесплодно.

Задача педагогов - как можно выше поднять планку уровня развития математического мышления школьников.

Формирование мышления не является самоцелью, а скорее важной составной частью педагогического процесса. Успех и уверенность в обучении зависят от того, как учитель сможет помочь раскрыть индивидуальные способности, качества и таланты каждого.

Анализ литературы показывает, что проблема формирования мышления (в том числе и математического мышления) и использование его как части педагогического процесса обратила на себя внимание государства, Министерства образования.

Данной проблеме посвятили свои научные исследования многие педагоги и психологи.

И.И. Целищева, И.В. Румянцева, Е.С. Ермакова выделили следующие принципы, которые лежат в основе системы обучения комбинаторных задач:

- психологическое содержание обучения составляет стратегия развития гибкости мышления детей (следование этапам её формирования);

- учет процесса иртериоризации (первоначального выполнения заданий в практической деятельности, затем перенесение практических действий через речь в план умственных действий);

- тесная связь содержания комбинаторных заданий с основным содержанием начального курса математике в соответствии с образовательными стандартами для дошкольного и младшего школьного возрастов.

Последовательное использование метода перебора является целью обучения дальнейших комбинаторных правил и формул.

Н.Б. Истомина, Е.П. Виноградова определили основную функцию комбинаторных задач - это создать условия для формирования у детей приемов умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, классификация) для развития произвольного внимания и образного мышления.

Однако в практической деятельности учителей имеются трудности, сложности, недостатки и ошибки: теоретическая и методическая литература не всегда доходят до учителей- практиков; учителя не в достаточной степени владеют знаниями по формированию мышления младших школьников или не осознают важность этого процесса.

1.2 Логическое мышление на уроках математики

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учеников. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование и др.)

Формирование логического мышления - важнейшая составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов. Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это наиболее теоретическая наука из всех исследованных в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ перехода от абстрактного к конкретному.

Как показывает опыт, в школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач. Математика обладает уникальным развивающим эффектом. Как никакой другой предмет математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления. Чему можно научить ребенка при обучении математике? Размышлять, объяснять получаемые результаты, сравнивать. Высказывать догадки, проверять правильные ли они; наблюдать, обобщать и делать выводы. В принципе в учебниках математики достаточно четко прослеживается линия на развитие познавательных интересов учащихся: в них есть упражнения, направленные на развитие внимания, наблюдательности, памяти, а также задания развивающего характера, задания логического характера, задания, требующие применение знаний в новых условиях. Такие задания должны включаться в занятия в определенной системе через использование метода индуктивного рассуждения, вести учащихся к цели. Необходимо учить детей подмечать закономерности, сходство и различие начиная с простых упражнений, постепенно усложняя их.

Надо помнить, что математика - один из наиболее трудных учебных предметов, но включение дидактических игр и упражнений позволяет чаще менять виды деятельности на уроке, и это создает условия для повышения эмоционального отношения к содержанию учебного материала, обеспечивает его доступность и осознанность. Значительное место вопросу обучения младших школьников логическим задачам уделял в своих работах известный отечественный педагог В. Сухомлинский. Суть его рассуждений сводится к изучению и анализу процесса решения детьми логических задач, при этом он опытным путем выявлял особенности мышления детей.

Исследования психологов 1960-90 гг. внесли существенные поправки в понимание ранних форм детского логического мышления: младший школьный возраст сензитивен для интенсивного развития способностей действовать «в уме», поскольку в этот период формируются основные навыки учебной деятельности. Характеризуя новые качества психики, которые появляются у детей в это время, В.В. Давыдов пишет: «Чем больше «шагов» своих действий может предусмотреть ребенок и чем тщательнее он может сопоставлять их реальные варианты, тем более успешно он будет контролировать фактическое решение задачи»

В работе по развитию логического мышления нужно использовать также систему нетрадиционных заданий, упражнений, игр. Они направлены на развитие практически всех мыслительных операций. Их можно с успехом применять на уроках, рекомендовать использовать их родителям во время занятий с детьми. Тем более, что нетрадиционные задания, упражнения, игры в настоящее время не являются дефицитом. Огромное количество печатной продукции, видео продукции, всевозможных игр - все это можно, выборочно с учетом возрастных и психологических особенностей учащихся использовать в учебной, внеклассной работе и соответственно в семье. Учитывая все это нужно начинать обучение логическим действиям с формирования соответствующих элементарных умений.

В качестве заданий развивающих логическое мышление на уроках математики - это задания на:

1. Выделение признаков предметов

2. Узнавание предметов по заданным признакам

3. Формирование способности выделять существенные признаки предметов

4. Сравнение двух или более предметов

5. Классификация предметов и явлений.

6. Упражнения, направленные на формирование умения делить объекты на классы по заданному основанию

7. Геометрическое лото.

Здесь продолжается работа с детьми, закрепляются их знания, формы, величины и цвета предметов.

8. Развитию логического мышления способствуют задания, которые можно назвать «Ошибки - невидимки».

9. Логические и комбинаторные задачи.

В исследованиях Е.С. Ермаковой установлено, что математические задачи, связанные с анализом свойств и связей для разных ситуаций, особенно эффективны для развития такого качества мышления, как гибкость.

Обобщая изложенный материал, можно сделать следующие выводы:

Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач будет способствовать развитию многих качеств мышления, особенно, таких как вариативность, гибкость, глубина мышления. Решая задачи такого вида, учащиеся должны найти различные решения, разнообразные способы реального преобразования объекта, т.е. должны проявить креативность мышления. Кроме того вариативность здесь выступает как важнейшая характеристика поисковой деятельности, которая является основой продуктивной деятельности в учении.

Необходимо сказать о том, что умение составлять комбинации по определенным признакам и классифицировать их, лежит в основе разнообразнейших сфер человеческой деятельности

При решении комбинаторных задач дети учатся рассуждать четко, логично, последовательно.

А в нашу эпоху ускоренного роста науки и техники, автоматизации и компьютеризации способность мыслить логично, формально, точно, определенно становится одним из необходимых признаков научной деловой культуры.

Глава 2. Опытная работа по проблеме использования комбинаторных задач в программе начальной школы

2.1 Опыт учителей по проблеме использования комбинаторных задач на уроках математики

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

В последнее время всё настойчивее звучит требование усилить развивающие возможности начального курса математики. В традиционной системе эту проблему пытались решить включением от случая к случаю заданий нестандартного характера. В качестве такого материала выступает использование элементов комбинаторики. Задачи комбинаторного характера по-прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности. Надо отметить, что раздел «Комбинаторика. Статистика. Теория вероятности» включен в содержание основного и среднего (полного) общего образования. С 2011 года задания из данной темы включены в экзамен по математике ГИА (новая форма) в 9 классе, в 2012 году в КИМ ЕГЭ по математике в 11 классе добавлено в часть 1 одно задание по вероятности, статистике и анализу данных. Комбинаторные задачи входят в задания математических олимпиад и оцениваются наибольшим количеством баллов.

Возникает необходимость включение задач комбинаторного характера в процесс обучения в определённой системе и с постепенным нарастанием сложности, предоставление учащимся максимальной самостоятельности в поиске способов решения задачи.

Таким образом, комбинаторные задачи в развивающем курсе начальной математики возможно и целесообразно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса основных понятий.

В начальной школе задания комбинаторного характера представлены в виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов теории вероятностей и наглядной и описательной статистики. Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики.

Так, в УМК «Школа России» автор учебника Математики М.И.Моро встречаются задания комбинаторного характера:

1. Сколько раз среди чисел от 1 до 100 встречается цифра 0? Цифра 1?

2. Записали подряд все трёхзначные числа. Сколько всего цифр записано в этом ряду?

3. Чтобы открыть сейф, нужно отгадать код. Известно, что код - трёхзначное число, записанное тремя из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы определить код?

4. В соревнованиях участвуют 8 футбольных команд. По правилам после каждой игры проигравшая команда выбывает. На который по счёту день определиться чемпион?

5. Саша выше Коли, но ниже Пети, а Петя ниже Толи. Кто выше всех?

Учителя их идентифицировали как нестандартные задачи, поэтому могли по своему усмотрению включать либо не включать их в урок. Теперь ситуация изменилась. Так, в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования к предметным результатам освоения основной образовательной программы НОО по математике названо умение действовать в соответствии с алгоритмами, строить простейшие алгоритмы, исследовать, работать с таблицами, схемами, графиками, диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные, т.е. решать простейшие комбинаторные задачи. Новое содержание, требование к уровню подготовки учащихся предполагают более тщательное осмысление методики преподавания этих разделов математики. Это обусловлено требованиями времени, наличием большого числа вероятностных ситуаций в жизни, проблем выбора, оценки степени шансов на успех, интересами учащихся.

Основная функция комбинаторных задач в начальных классах - создать условия для формирования у учащихся приёмов умственной деятельности (анализ и синтез, абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех вопросов, которые входят в содержание программы. Для реализации этих условий я провожу факультатив «Комбинаторные задачи».

Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учётом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Способы действия не даются «в готовом виде», а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными способностями

2.2 Комплекс заданий, упражнений, уроков

В начальном обучении математики роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни, поэтому педагоги часто включают в свои уроки и внеклассные занятия, комбинаторные задачи, решаемые разными способами.

Комплекс комбинаторных задач для детей младшего школьного возраста

Задачи, решаемые методом перебора.

1. «Мячи»

Помоги разложить пять мячей на три полки разными способами так, чтобы на каждой полке лежали мячи.

2. Расположи числа в порядке возрастания. 2, 7, 5, 1.

3. Для гербария Маша собрала опавшие листья клена: желтый, зеленый и красный. В каком порядке она сможет расположить эти листья в альбоме?

4. Представь, что у тебя четыре кружки разного цвета. Ты решил подарить другу 2 кружки. Какие кружки ты можешь выбрать?

5. На тарелке 3 яблока разного цвета: зелёное, жёлтое, красное. Как можно разложить яблоки по-разному друг за другом?

6. Представь, что в мешочке лежит много красных и синих шариков. Тебе нужно вынуть из мешочка два шарика. Какого цвета могут быть шарики?

7. Представь, что у тебя 10 тюльпанов: три желтых, пять красных, два оранжевых. Какие разные букеты их трех тюльпанов ты можешь составить?

8. Расположи в клетках буквы К, Т, О по-разному.

9. На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Покажи, как можно раскрасить флажки, чтобы они отличались друг от друга.

10. Представь, что у тебя три полоски бумаги разного цвета. Склей из этих полосок одну трехцветную. Сколько различных вариантов таких полосок у тебя получиться?

Задачи, для решения которых используются таблицы и графы.

1. Закрась в таблице клетки, обозначающие цвет.

2. Ты собираешься нарисовать картину, но у тебя только три краски: желтая, красная, синяя. Закрась цветными карандашами клетки таблицы, в которых записаны буквы. Сколько новых цветов ты можешь получить, смешивая краски?

	Ж	К	С
Ж
К
С

3. У Саши 5 цветных ручек: красная, синяя, зеленая, черная, желтая. Сколько вариантов выбора двух ручек может быть у Саши? Заполни таблицу и закрась желтым цветом клетки с возможными вариантами выбора.

	К	С	З	Ч	Ж
К
С
З
Ч
Ж

4. В столовой приготовили пирог (П), кашу (К) И блины (Б), А из напитков - сок (С), чай (Ч) И молоко (М). Сколько различных вариантов завтраков можно составить? Проверь свой ответ, заполнив таблицу.

	П	К	Б
С
Ч
М

5. В танцевальном кружке занимаются 5 девочек: Женя, Маша, Катя, Юля, Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей, Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу.

	Ж	М	К	Ю	Д
О
В
С
А
И

6. Для варенья ассорти использовали малину, вишню, смородину и крыжовник. Сколько разных ассорти можно приготовить, если брать по два вида ягод? Заполни таблицу.

	М	В	С	К
М
В
С
К

7. Экипаж космического корабля состоит из пилота и бортинженера. Сколько вариантов выбора экипажа возможны, если на место пилота имеется 3 кандидата, а на место бортинженера 5. Заполни таблицу, обозначив пилотов треугольниками разных цветов, а бортинженеров - кружками разных цветов.

7. Сколько различных двузначных чисел возможно записать, используя цифры 3, 5, 8, если в записи числа может повториться одна и та же цифра? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

Ед. Дес.	3	5	8
3
5
8

8. У Маши две кофточки и три юбки - все разного цвета. Может ли Маша в течение семи дней недели надевать каждый день разные костюмы? Составь таблицу и проверь свой ответ (обозначь кофты треугольниками, а юбки - квадратами соответствующего цвета).

9. Представь, что тебе предложили три шапочки разного цвета: красную (к), синюю (с), желтую (ж) и три шарфа такой же расцветки. Сколько комплектов из шапочки и шарфа разного цвета ты можешь составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

+	10	20	30	40
5
15
25
35

Комбинаторные задачи

1. У Маши есть 2 цветных карандаша: синий и желтый. Помоги ей раскрасить у рыбок голову, тело и хвост так, чтобы рыбки получились разными. Сколько получилось вариантов?

2. Раскрась крышу, стены и фундамент домиков тремя цветными карандашами так, чтобы получились разные домики.

3. Помогите закрасить фантики для конфет с помощью трех красок. Концы у конфет окрасить одинаковыми цветами.

4. Имеется 3 вида конвертов и 2 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма? Ответ оформите графически.

1)	3)	5)
2)	4)	6)
7)	8)	9)

5. В корзине лежат яблоки и груши. Сколькими способами вы можете взять 4 фрукта из корзины?

6. Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова «ложка»?

7. Используя буквы а, б, в, напишите все «слова», состоящие из этих букв. Буквы в словах не повторяются.

8. Используя цифры 5 и 6, напишите все трехзначные числа, в которых цифры 5 и 6 могут повторяться. Сколько их и какие?

9. Используя цифры 1 и 2, напишите все четырехзначные числа, в которых 2 цифры 1 и две цифры 2.

10. При сервировке стола нужно было положить вилки, ложки, ножи. Каковы были варианты сервировки стола, если нужно было положить 4 столовых предмета?

11. Девочки Оля, Маша и Катя состязаются в школьной спартакиаде. Как могут распределиться первое, второе и третье места среди девочек. Какие варианты будут для двух других девочек, если второе место займет Маша?

12. Мальчики Миша, Володя и Костя купили 3 музыкальных диска. Предложите варианты прослушивания дисков мальчиками.

13. Используя цифры 1, 2, 3 напишите все двузначные числа, в которых цифры не повторяются.

14. На рисунке показан один из возможных путей продвижения пешки. Какие существуют возможные пути передвижения пешки. Подсказка. Пешка, так или иначе, делает два хода вверх и три вправо. Обозначьте ход вправо буквой П, а вверх - В.

15. Из дома Маши до детского сада можно дойти по трем улицам - Виноградной, Тенистой, Абрикосовой. А от детского сада до школы можно дойти по двум: Грушевой или Вишневой. Какой путь может выбрать Маша в школу, чтобы по дороге отвести брата Алешу в детский сад? Назовите варианты. Изобразите графически. Сколько их?

16. Даны 3 одинаковых по форме фасада домика: синий, желтый и красный - и 3 крыши: синяя, желтая и красная. Какие домики можно построить?



17. В магазине можно набрать сервиз: есть три вида блюдечек: с ромашкой, в горошек, белые с голубой каемочкой. Четыре вида кружек - в горошек, с розочкой. Какие виды сервиза можно составить из данных предметов?

18. Мальчик Петя последовательно бросал две игральные кости. Какие варианты падения костей могли быть, если при падении первой кости выпадало только 1, 2 или 3, а при падении последней - 2, 4, 5, 6?

19. Сколькими способами можно обить тканью стул тканями 3 различных цветов так, чтобы сиденье и спинка были бы разными?

20. Девочка Маша к концу шнурка привязала еще три шнурка. Затем к каждому привязанному привязала еще по четыре шнурка. Сколько будет всего свободных концов шнурков? Изобразите решение графически.

21. В столовой в меню: щи, борщ; каша, макароны с мясом; чай, кофе. Сколько можно составить всего видов обеда? Изобразите решение графически.

22. В киоске продаются три вида тетрадей, пять видов ручек, два вида пеналов. Сколько и каких наборов можно набрать из этих предметов школьнику (по одному предмета из каждого вида).

23. Три товарища, Алеша, Коля и Саша, решили отдохнуть и сели на скамейку. Сколькими способами они могут это сделать?

24. Сколькими способами можно создать трехцветный флаг, используя только красную, белую и синюю ткани. Изобразите решение на бумаге.

25. В комнате есть телевизор, диван, книжный шкаф. Сколькими способами можно переставить мебель в комнате, при условии, что мебель будем расставлять по углам комнаты?

26. Монету бросают трижды. Сколько различных последовательностей «орлов» и «решек» при этом можно получить?

27. Племя «Тумба-Юмба» использует при записи слов четыре буквы «а», «е», «н». Слова этого племени состоят всегда из 2-х букв. Сколько слов в словарном запасе этого племени? Напишите эти слова.

28. Четыре человека (A,B,C,D) обменялись рукопожатиями. Сколько было всего рукопожатий?

29. В ящике стола лежит три предмета: вилка, ложка, нож. Один из вариантов дан на рисунке. Заполните оставшиеся 5 ящиков так, чтобы все варианты расположения столовых предметов были различны

30. От Гулливера в страну Лилипутов ведут три секретные дороги, а в страну Великанов - четыре. Сколькими способами Гулливеру можно попасть в страну Великанов? Изобразите решение графически.

31. В магазине игрушек продаются два вида машин: легковые и грузовые. Все машины трех цветов: красные, зеленые, синие. Часть машин - механические, а часть - электрические. Определите, какие виды машин продаются в этом магазине?

32. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое - крем, фрукты и пирог. Какие вы выбрали бы блюда, желая выбрать одно второе и одно блюдо на десерт? Сколько всего можно найти возможных вариантов меню для одного обеда?

33. Катя, Мария, Иванко играют с мячом. Каждая из них должна по одному разу бросить мяч в сторону каждой подруги. Сколько раз каждая из девочек должна бросать мяч?

Сколько всего раз девочки подбросят мяч?

34. Сколько чисел можно получить из трех цифр 1, 3, 5? Каждая из цифр встречается в записи числа только один раз.

35. Племя «Мумба-Тумба» использует при записи слов четыре буквы «а», «р», «о», «п». В племени слово говорят по буквам. Изобразите графически, как произносятся слова в племени на букву «р». Сколько таких слов?

36. Три подруги при отъезде из пионерского лагеря решили обменяться фотографиями. Сколько всего фотографий было нужно?

37. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий, белый шарики?

38. В магазине «Сувениры» имеются подсвечники шести видов и три вида вазочек к ним. Сколькими способами можно составить подарочный комплект из подсвечника и вазочки?

39. Подряд бросают 5 монет. Определите все варианты падения монет, если учитывать, что первая и последняя монеты упали одинаковыми сторонами.

40. В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара. Из мешка вытаскивают три шара. Напишите варианты, которые могут получиться при вытаскивании этих шаров.

41. Есть 3 ключа от трех дверей с разными замками. Сколько всего может быть проб чтобы все двери открыть? Оформите решение в виде таблицы.

42. В классе имеется 6 светильников. Сколько может существовать различных способов освещения, при которых гореть должно ровно 4 светильника.

43. На олимпиаду по математике нужно выбрать трех учеников из 6. Сколькими способами это можно сделать? Оформите решение в виде таблицы.

44. В цехе работают 3 токаря. Сколькими способами можно поручить им изготовление болта, шпильки и втулки? Оформите решение в виде таблицы.

45. Сколькими способами можно опустить 2 письма в 4 почтовых ящика, при условии, что в один ящик можно опускать только одно письмо. Оформите решение в виде таблицы.

46. Чтобы собрать игрушечного робота есть три вида деталей: голова, тело с руками и ноги робота. Причем они могут быть двух цветов: красного и синего. Получите все виды роботов. Сколько видов роботов с красными головами и синими ногами? Завершите начатое решение.

47. Требуется выбрать для посылки 2 из 5 книг. Сколькими способами это можно сделать? Оформите решение в виде таблицы.

48. Сейфовый замок имеет 4 кнопки: 1, 2, 3, 4. Напишите варианты кодов замка.

49. Расставьте в примере 84 2= арифметические знаки +, -, * и : всевозможными способами и решите их.

84 2=	84 2=	84 2=	84 2=	84 2=
84 2=	84 2=	84 2=	84 2=	84 2=
84 2=	84 2=	84 2=	84 2=	84 2=

50. В детском садике для нумерации шкафчиков придумали такую систему: на каждом шкафчике рисовали две из 4 различных фигур. Все фигурки в «нумерации» были различны. Сколько и какие варианты нумерации вы можете предложить?

51. Говорят, что в темноте все кошки серы. Мальчик Петя решил проверить эту поговорку. Он запустил в комнату 2 серых, 3 белых, 2 черных кошки. Затем, выключив свет, ловил одну кошку и вытаскивал ее из комнаты. Если это была не черная кошка - то заново ловил еще одну. Составьте варианты ловли серой кошки.

52. В столовой подавали на обед: щи, борщ (первые блюда), спагетти, картофельное пюре (вторые блюда). Сколько вариантов обеда можно составить?

53. Напишите все двухзначные числа, в которых цифры различны и которые можно составить из 4 цифр 1, 2, 3, 4. Напишите их.

54. Однажды кот Матроскин, почтальон Печкин, пес Шарик сидели перед домом на скамейке. Скажите, как они могли сидеть? Перечислите варианты. Сколько всего вариантов?

55. Племя «Новое» на общем совете решило упростить систему слов. Они выбрали слово «стул» для создания из него остальных слов. Сколько слов будет в словарном запасе представителей племени, если новое слово получалось только перестановкой букв в данном слове. Напишите эти слова.

Заключение

Подводя итог нашей работы по проблеме использования комбинаторных задач как средства развития младших школьников, можно сделать вывод, что используя комбинаторные задачи, можно развивать мышление детей от наглядно-действенного к наглядно-образному и абстрактному. Так, первые комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия с реальными объектами. Постепенно осуществляется перенос наглядного приема в мысленную сферу, т.е. происходит развитие наглядно-образного мышления. А при применении правил суммы и произведения будет развиваться абстрактное мышление.

Систематическое решение комбинаторных задач, находящихся в тесной связи с программным содержанием, будет оказывать положительное влияние и на развитие других психических процессов.

Процесс решения комбинаторных задач требует адаптивного использования таких приемов умственных действий, как анализ, синтез и сравнение. Так, при использовании метода перебора при перечислении всех возможных вариантов решения комбинаторной задачи учащиеся используют такие мыслительные операции, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстракция и др. Поэтому при систематическом использовании комбинаторных задач на уроках математики, несомненно будут развиваться логическое мышление младших школьников.

Так, будет значительно расширяться объем и концентрация внимания, развиваться память, вырабатываться умение оформлять свои рассуждения, объяснения, доказательства в словесной форме, т.е. развиваться речь, развиваться логическое мышление.

Не только в начальном обучении математике, но и в дошкольном, роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности для развития мышления детей, для подготовки их к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Таким образом, дети младшего школьного возраста, овладевая приёмами умственной деятельности, при решении комбинаторных задач, достигают высоких результатов в развитии логического мышления.

Список литературы

1. Бардиер Г.Л. Тонкости психологической помощи детям. - М.: Издательство Генезис, 2002.

2. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. - М., 1968.

3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Пособие для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 2002.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для студ.втузов - 5 изд., испр. - М.: Издательский центр "Академия", 2003.

5. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. - Спб.: Союз, 1997.

6. Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах.- М.: Академия, 2000.

7. Истомина Н. Б. Математика. 1, 2, 3, 4 классы: Учебники для четырехлетней начальной школы. - Смоленск: Ассоциация 21век, 2001.

8. Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебникам "Математика 1, 2, 3, 4 классы" (для четырехлетней начальной школы). - М.: Новая школа, 1997.

9. Крутецкий В.А. Психология: Учеб. для учащ. пед. Училищ. - М.: Просвещение, 2006.

10. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студ.высш.пед.учеб.заведений - в 2 кн. Кн.1. общие основы психологии. - М.: Просвещение: Владос, 1994.

11. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку. - М.: Научно-технический центр "Университетский": АСТ-ПРЕСС, 1999.

12. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 5-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений - Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997.

13. Оганесян В.А. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе/ Общая методика. Учебное пособие для студ. физ.-мат.фак.пед. институтов - М.: Просвещение, 1980.

14. Петровский А.В. Практические занятия по психологии. - М., 1972.

15. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. - Новосибирск: Наука, 1975.

16. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика - М.: Педагогика-Пресс, 1997.

17. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений - М.: Издательский центр "Академия", 1998.

18. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. - 2-е изд., переработанное. - М.: МЦНМО: АО "Московские учебники", 2008.

19. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 2007.

Размещено на Allbest.ru

...