Решение логических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что интеллектуальное развитие в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование и др.)

Младший школьный возраст характеризуется интенсивным интеллектуальным развитием. В данный период происходит развитие всех психических процессов и осознание ребенком собственных изменений, которые происходят в ходе учебной деятельности.

Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. школьный интеллектуальный математика логический

Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному.

Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов интеллектуального развития является решение нестандартных задач. «Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения»,- считает Л.М.Фридман.

Нестандартная задача - это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способов их решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Нестандартные задачи в курсе математики не имеют общих правил. Процесс решения нестандартных задач состоит в последовательном применении двух основных операций:

* сведения путём преобразования или переформулировки нестандартной задачи к стандартной;

* разбиение нестандартных задач на несколько стандартных подзадач.

Трудность таких задач обусловлена тем, что они требуют проведения дополнительных исследований и рассмотрения различных вариантов. Здесь не нужны знания теории, выходящие за рамки программы, нужны умения думать, мыслить, догадываться, соображать.

Анализ методической и специальной литературы показал, что до настоящего времени не существует определенной классификации нестандартных задач. И это не случайно, так как практически невозможно определить единый признак - основание для классификации таких задач.

Нестандартные задания по математике, используемые в начальной школе, условно можно разделить на следующие классы:

v задачи на установление взаимно-однозначного соответствия;

v задачи о лжецах;

v задачи, решаемые с помощью логических выводов;

v задачи о переправах;

v задачи о переливаниях;

v задачи о взвешиваниях;

Наблюдения показывают, что даже при решении несложных нестандартных задач, учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задачи, мы должны поставить себя на место решающего, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений. Наша помощь, оставляющая различную долю самостоятельной работы, позволит ученикам развивать творческие способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь решения новых задач.

Решение нестандартных задач является одним из средств развития интеллектуальных способностей младших школьников. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащиеся испытывали радость от решения трудной задачи. Вот несколько методов решения:

* алгебраический;

* арифметический;

* графический;

* практический;

* метод предположения;

* метод перебора.

Они могут применяться при решении нестандартных задач

Наш опыт работы показывает, что для развития интеллектуальных способностей необходимо включать в процесс обучения разнообразные виды нестандартных задач (не ограничиваться материалами, предложенными в учебнике).

В процессе обучения действует принцип минимакса. Принцип минимакса заключается в следующем: школа должна предложить ученику содержание образования по максимальному уровню, а ученик обязан усвоить это содержание по минимальному уровню. Слабый ученик ограничится минимумом, а сильный -- возьмет все и пойдет дальше. Все остальные разместятся в промежутке между этими двумя уровнями в соответствии со своими способностями и возможностями -- они сами выберут свой уровень по своему возможному максимуму. Обучение осуществляется деятельностным методом, когда дети не получают знания в готовом виде, а “открывают” их в процессе самостоятельной исследовательской деятельности. Учитель предлагает учащимся систему вопросов и заданий, подводящих их к самостоятельному “открытию” нового свойства или отношения.

Известно несколько различных способов решения логических задач. Давайте назовем их так:

способ рассуждений;

способ таблиц;

способ графов;

способ бильярда;

способ кругов Эйлера.

Охарактеризуем кратко эти способы

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Метод блок - схем

В этом разделе рассматривается еще один тип логических задач. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Метод бильярда

Надеюсь, что Вам известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны - упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит от нескольких условий:

1. Задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.

2. Необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения.

3. Нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач.

На первом этапе учащиеся должны:

1. усвоить процесс решения любой задачи(читаю задачу, выделяю что известно и что надо узнать);

2. познакомиться с приемами работы над задачей (виды наглядной интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.)

На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска конкретных задач.

Вывод: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), т.к. он может быть способом решения задачи.

Планомерное и систематическое решение нестандартных задач постепенно накапливает у учащихся разные способы их решения, которые объединяются в памятке.

Памятка:

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1. Сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задач.

2. Ввести вспомогательный элемент (часть);

3. использовать для решения задачи способ подбора;

4. переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;

5. раздели условие или вопрос задачи на части и реши ее по частям;

6. начать решение задачи с «конца».

Детям надо объяснить, что данная памятка может применяться в любой последовательности или комбинированно.

Остановимся подробно на методах, которые помогают решать нам задачи на переливание жидкостей.

Такие задачи можно решить методом перебора всевозможных вариантов, но в этом случае трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений.

При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условия задачи, показав, что других решений быть не может. Встречаются задачи, в которых алгебраический или арифметический метод недостаточно эффективен. В этом случае при поиске решения используется метод предположения.

Метод блок-схем.

Рассмотрим еще один тип логических задач. Это задачи на переливания, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Такие задачи можно решить методом перебора всевозможных вариантов, но в этом случае трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений.

Задачи на переливания удобнее решать методом блок-схем, в котором используются условные команды. Рассмотрим этот метод подробнее. Для начала введем сокращенные обозначения для операций, которые могут быть использованы: НБ - наполнить больший сосуд; ОМ - опустошить меньший сосуд; Б>М - перелить из большего сосуда в меньший, пока больший сосуд не опустеет или меньший не наполнится. Кроме этих трех операций введем сокращенные обозначения и для условий, которые будут использоваться в блок-схеме: Б=0? - посмотреть, пуст ли больший сосуд; МН? -- посмотреть, наполнен ли малый сосуд.

Изобразим последовательность команд в виде блок-схемы.

Последовательность переливаний, изображенная на блок-схеме следующая: сначала наполняется больший сосуд, затем вода из большего сосуда переливается в меньший. Всякий раз, когда меньший сосуд наполняется, он опустошается, и всякий раз, когда больший сосуд опустошается, он заново наполняется.

Решим методом блок-схем следующую задачу: имеются два сосуда - трехлитровый и пятилитровый, нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение.

Будем фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной блок-схеме. Результаты оформим в виде таблицы.

таблица переливаний

0

5 2 2 0 5 4 4 1 1 0 5 3 3 0 0

0

0 3 0 2 2 3 0 3 0 1 1 3 0 3 0

0 5 5 2 2 7 7 4 4 1 1 6 6 3 3 0



Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видно, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т.д. Таким образом, действуя по приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы отмерить еще и 8 литров, надо наполнить оба сосуда.

Если сначала наполнить меньший сосуд, то блок-схема, изображающая последовательность переливаний, будет выглядеть следующим образом (обозначения аналогичные):

Из блок-схемы видно, что сначала наполняется меньший сосуд, затем вода из меньшего сосуда переливается в больший. Всякий раз, когда больший сосуд наполняется, он опустошается, и всякий раз, когда меньший сосуд опустошается, он наполняется заново.

таблица переливаний

0 3 0 3 1 1 0 3 0 3 2 2 0 3 0 0

0 0 3 3 5 0 1 1 4 4 5 0 2 2 5 0

0 3 3 6 6 1 1 4 4 7 7 2 2 5 5 0

По таблице переливаний мы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образуют такую же последовательность, как и в предыдущем случае, только записанную в обратном порядке: 0, 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0.

Для получения четырех литров воды количество шагов в обеих блок-схемах одинаковое. Но, если, например, нужно получить два литра воды, то удобнее воспользоваться первой блок-схемой, а если нужно получить один литр воды, то лучше действовать по второй блок-схеме. Но определить, какой путь более короткий, по блок-схемам сложно, так как данный метод не обладает достаточной наглядностью.

Метод бильярда.

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма.

Рассмотрим задачу. Пусть имеются два сосуда - трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение.

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали - в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд.

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы, в конце концов, мы попадаем в точку, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, мы получаем ответ и последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически на рисунке и в таблице.

таблица переливаний

0 0 3 3 5 0 1 1 4

0 3 0 3 1 1 0 3 0

Если на диаграмме шар из начальной точки покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.д., то можно получить более короткое решение задачи.

таблица переливаний

0 5 2 2 0 5 4 4

0 0 3 0 2 2 3 0

Для успешного обучения учащихся решению нестандартных задач должны быть сформированы три составляющих мышления:

* высокий уровень элементарных мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации и др.;

* высокий уровень активности, раскованности мышления;

* высокий уровень организованности и целенаправленности.

Если работу по формированию у детей логических умений и навыков, необходимых в любой интеллектуальной деятельности, проводить систематически не только на уроках, но и во внеурочной работе, то можно наблюдать повышение интеллектуально-творческий потенциал учащихся, мотивации к обучению, создание ситуации успеха.

Дополнительная образовательная программа кружка «Умники и умницы» помогает сформировать эти составляющие компоненты мышления учащихся. Так как целью этой программы является формирование и развитие логического мышления через образовательную область «математика»: т. е. научить обобщать математический материал, логически рассуждать, обоснованно делать выводы, доказывать, развивать гибкость мышления учащихся.

Эти задачи повышают интерес к знаниям, воспитывают пытливость мысли и увлечённость детей. Отражают оригинальность мышления и развивают творческие способности учащихся. Кроме того, решение нестандартных задач способно привить интерес ребенка к изучению «классической» математики. В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н.Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и что вряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс. Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик не умел решать простые, примитивные задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу.

Систематическое выполнение целенаправленно подобранных нестандартных задач влияет на развитие мыслительных процессов младших школьников и ведёт к повышению качества знаний. Работа по развитию творческих способностей оказывает положительное влияние на качество знаний учащихся по математике: повышается уровень математического образования младших школьников, развивается интерес к предмету, познавательная активность в обучении.

Организация различных форм работы с логическими задачами

Выше неоднократно утверждалось, что развитие у детей логического мышления - это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала.

Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи - отличный инструмент для такого развития. Существует значительное множество такого рода задач; особенно много подобной специализированной литературы было выпущено в последние годы. Конкретные примеры логических задач приведены в приложениях 1 и 2.

Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновь испытывать затруднения при решении.

Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей.

Это (методика подробно описана в работе [4]): 1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается.

2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности.

3. Правильно организованный способ анализа задачи - с вопроса или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку"). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учащимися.

Составить задачу: 1) используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д.

6. Решение задач с недостающими или лишними данными.

7. Изменение вопроса задачи.

8. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Запись двух решений на доске - одного верного и другого неверного.

12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

13. Закончить решение задачи.

14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

16. Решение обратных задач.

Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, организованных согласно приведенной выше схеме, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Организация различных форм работы с логическими задачами

Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. В любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Так, при решении задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет искомые и данные числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате решения задач ученик обобщает знание связей между данными в условии задачи.

Нестандартные логические задачи - отличный инструмент для такого развития.

Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей:

1. Объяснение готового решения задачи (повторный анализ - это путь к выработке твердых знаний по математике).

2. Представление ситуации, описанной в задаче и ее моделирование:

а) с помощью отрезков. Например:

Бом выше Бима, Бим выше Бама. Кто из гномов выше всех?

б) с помощью рисунка. Например:

На грядке сидели 6 мышек. К ним подбежали ещё 3. Кот подкрался и схватил одну. Сколько мышек осталось на грядке?

в) с помощью чертежа. Например,

3. Решение задач с помощью таблицы.

4. Построение дерева возможностей.

От Бабы -Яги До Кощея ведут 3 дороги, а от Кощея до Кикиморы - 4 дороги. Сколькими способами можно дойти от Бабы- Яги до Кикиморы, если надо зайти к Кощею.

Кощей

Кикимора

6. Объяснение хода выполнения решения задачи, используя слова “если не…,то”.

7. Самостоятельное составление задач учащимися.

8. Решение задач с недостающими или лишними данными.

Работа над задачей с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше осмысливать связи между искомым и данными.

В первом букете ромашки. Это на 12 ромашек больше, чем во втором букете. Сколько ромашек в двух букетах.

Что ещё можно спросить?

9. Постановка или изменение вопроса задачи.

Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между искомым и данными, при этом дети устанавливают, что можно узнать по определенным данным.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Закончить решение задачи.

12. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

Существует несколько приемов поиска решения задач, способствующих формированию и развитию логического мышления младших школьников.

Прием 1.

- О чем спрашивается в задаче?

- Берем любые два данных. Задаем вопрос: “ Зная это… и это…, что можно найти?”

- Что достаточно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?

- Отвечаем на вопрос, выбираем ответ, приближающийся на ответ задачи.

- Получаем ответ и грамотно оформляем его.

Прием 2.

- Подумай, что обозначает в задаче каждое число.

- Выбери форму краткой записи (таблица, схема, чертеж, знаковая, и т.д.)

- Найди в задаче пары чисел связанных между собой.

- Что можно узнать по этим данным.

- Составь из данных пар чисел выражения.

- Запиши пояснения к этим выражениям.

- Отбери выражения, которые нужны для решения задачи.

- Определи порядок их записи и действия.

- Выбери способ записи решения задачи ( выражением, уравнением, по действиям, с пояснением, с вопросами)

- Реши задачу другим способом или составь обратную, с целью проверки.

- Правильно и подробно запиши ответ.

Размещено на Allbest.ru

...