Принципы изучения алгебраического материала в традиционной начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Из истории возникновения алгебры

алгебра неравенство числовой обучение

Алгебра один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики. Алгебре предшествовала арифметика. Характерное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что в алгебру вводится неизвестная величина. Намек на такую трактовку арифметических задач есть уже в древнем египетском папирусе Ахмеса (2000 1700 г. до н.э.), где искомая величина называлась словом «куча» и обозначалась соответствующим знаком-иероглифом. В начале 20 века были расшифрованы и другие многочисленные математические клинописи из древнейших.

В области преподавания арифметики Россия в XIX веке создала свою передовую математическую школу, далеко опередив в этом смысле западноевропейскую школу. Алгебра как дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимости от формально - схоластических тенденций. Программы курса алгебры в первой половине XIX века поражают своей громоздкостью. Великий русский геометр с успехом преподавал математику в гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по алгебре. В 1985 году Н.И. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись «Алгебра». Также над алгебраическими вопросами работали и такие математики как В.А. Евтушевский («Сборник арифметических задач», в первой части которого ставится задача введения «алгебраического языка»), П.Л. Чебышев («Руководство алгебры» - переход от числовых формул к буквенным обозначениям при решении задач) и т.д.

Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены идеи переменной величины, понятие функции [3, 4, 5].

В последующих параграфах первой главы и пойдет речь о методике изучения алгебраического материала в условиях традиционной школы.

2. Методика изучения числовых выражений

В методической литературе методике изучения числовых выражений уделяется достаточно внимания [1, 5, 6, 9, 20, 21,48, 50].

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы

1) Научить учащихся читать и записывать выражения, предусмотренные программой.

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями методисты [1, 2, 6,46, 50] выделяют три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе, с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус» [45].

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Умение читать и записывать выражения, находить их значения с помощью соответствующего арифметического действия вырабатывается с помощью многократных упражнений.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 5 красных и 2 жёлтых круга:

ООООО ОО

5 2

- Сколько красных кругов? (Записать число 5.)

- Сколько жёлтых кругов? (Записать число 2.)

- Какое действие над записанными числами 5 и 2 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 5+2).

- Скажите, не считая, сколько всего кругов?

- Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма пяти и двух.

- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 5 и 2 (дают полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной.

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач [1,2].

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

2 кл. 3 кл.

24-6 6+2 6+2*3

24-2 24 - (6+2) 24:6 24-6*3

6:2

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6) - (42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6: (8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений [1]:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

31-24+7= 0

12+23-3=32

36:2*6=6 и т.д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них ([1], с. 249-250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76 - (20 + 4) =76-20… (10 + 7) -5= 10-5…

60: (2*10) =60:10…

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24*12= (10 + 2) =24*10+24*2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6*3, и наоборот: 9*4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8*4 + 8 = 8*5, 7*6-7=7 *5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок [46]. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30) - 20 (20 + 4) *3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполнения действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.

3. Изучение буквенных выражений

Впервые с переменной учащиеся знакомятся в 3 кл. при изучении темы «Выражение и его значение» [14, с. 6].

Работа по раскрытию смысла переменной ведётся в тесной связи с изучением арифметических действий.

В процессе обучения дети должны научиться читать и записывать выражения с одной и двумя переменными вида: а+27, а+в, с-12, с-d, 3*в, 15:с, в:с и т.д., научиться находить значения этих выражений при заданных значениях букв.

Подготовительная работа по раскрытию смысла переменной начинается ещё в первом классе. С этой целью в учебник математики включаются задания, в которых переменная обозначается «окошком». Например: 3+=5, 6-=5 и др.

В 3 кл. дети знакомятся с выражениями, содержащими переменную, а затем две переменных. Термин «переменная» не вводится.

В качестве примера рассмотрим фрагмент урока по ознакомлению с выражениями с переменной [1, 46].

Целесообразно использовать на этом уроке пособие, изображённое в учебнике: по прорезям картонного прямоугольника с «окошком» передвигается лента с числами, перед (или за) окошком записаны знак арифметического действия и число. Учитель передвигает ленту, а дети читают и записывают выражения: 5+12, 5+6 и т.д.

Учитель сообщает, что в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы а, в, с и др. Затем вместо «окошка» записывают различные буквы, читают полученные выражения разными способами (5+с - сумма чисел 5 и с, 5 плюс с) и находят значения этого выражения, подставляя вместо «с» различные значения (можно изготовить несколько лент).

Подчёркивается, что 12, 6, 17 - это значения буквы «с». 17, 12, 6 - это значения выражения 5 + с при заданных значениях буквы «с». Необходимо уточнить, какие значения можно давать букве «с» в этом выражении. Какие значения букве «с» можно было бы дать в выражении 5-с? Затем проводится работа с учебником для закрепления. В этом задании можно установить ОДЗ буквы «в» (может ли быть равно 7, 6 и почему). Усвоению буквенной символики помогает выполнение следующих заданий:

1. Нахождение числовых значений буквенных выражений при данных значениях букв.

2. Подбор самими учащимися числовых значений букв, входящих в выражение, и нахождение его числового значения.

4. Изучение числовых равенств и неравенств

Понятия о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрываются во взаимосвязи. Работа над ними ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала [1, 7, 8, 46].

Числовые равенства и неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками «>», «<», «=» соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Два равных числа или два выражения, имеющие равные значения, соединенные знаком «=», образуют равенство. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно однозначного соответствии. Этому способу сравнения учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и cpавнение полученных чисел (кругов 7, треугольников 4), кругов больше, чем треугольников, 7 больше, чем 4). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся определяют их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, потому что при счёте число 9 называют перед числом 10 и т.д. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», «=», учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц в первом числе больше, чем во втором).

Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в 1-4 классах предлагать разнообразные задания, например:

1) подберите равную величину: 7 км 500 м =… м, 3080 кг = … т … кг.

2) Подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной: … ч < … мин, … см =… дм … см. и др.

3) Вставьте наименования у величин так, чтобы запись была верной: 35 км =35 000…. 16 мин >16…. 17 т 5 ц=17500…

4) Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны: 4 т 8 ц=480 кг, 100 мин =1 ч, 2 м 5 см =250 см.

Подобные задания помогают детям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц измерения.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Первые неравенства вида 3+1 >3, 3-1<З полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. Например, на классном наборном полотне и па партах отложено 3 треугольника и 3 круга и записано: 3 = 3. Учитель предлагает детям придвинуть к 3 треугольникам еще 1 треугольник и записать это (3+1-запись под треугольниками). Число кругов не уменьшилось (3). Учащиеся сравнивают число треугольников и кругов и убеждаются, что треугольников больше, чем кругов (4>3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работа ведется над неравенством 3-1<З (три минус один меньше, чем три).

В дальнейшем выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами; находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

5+3>5 2<7-4 7=4+3

8>5 2<3 7=7

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т.п.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а = b, то b=a; если а>b, то b<а).

Дети видят, что если кругов и треугольников поровну, то можно сказать, что кругов столько, сколько треугольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кругов (5=3+2). Если же предметов не поровну, то одних больше (3+1>3), а других меньше (3<3+1).

В дальнейшем при изучении действий в пределах 100, 1000 и 1000000 упражнения на сравнение выражения и числа даются на новом числовом материале, и увеличивается количество чисел и знаков действий в выражениях.

Сравнивая неоднократно специально подобранные выражения и числа, например: 17+0 и 17, 19-0 и 19, 7-1 и 7, 0:5 и 0, с+1 и с, с: 1 и с и т.п., учащиеся накапливают наблюдения об особых случаях действий, глубже осознают конкретный смысл действий. Упражнения на сравнение выражений и числа закрепляют умения читать выражения и способствуют формированию вычислительных навыков.

Сравнить выражения - значит, сравнить их значения. Сравнение выражений впервые включается уже в конце изучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изучении действий во всех концентрах эти задания систематически предлагаются учащимся. Например, надо сравнить суммы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10, вторая - 9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в записях:

6+4>6+3 7-5<7- 3 4+4=10-2

10>9 2<1 8=8

При изучении действий в других концентрах задания на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства; проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменить знак отношения или число в одном из выражений; составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства. Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 60+40 больше суммы 60+30, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые слагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй. Много раз подмечая эту зависимость, учащиеся приходят к обобщению и затем свои знания используют при сравнении выражений.

Таким образом, при изучении всех концентров задания на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также формированию вычислительных навыков [1].

5. Методика изучения уравнений

В соответствии с программой в 3-4 классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида:

x + 4 = 8, 5+ x =10, 8-х=3, 8: x = 4, x*3 = 12 и др.

Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий. Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями.

На подготовительном этане к введению первых уравнений при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся устанавливают связь между суммой и слагаемыми. Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравнивать выражение и число и получают первые представления о числовых равенствах вида: 6+4=10, 8=5+3. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют задания на подбор пропущенного числа в выражениях вида.

В процессе выполнения таких заданий дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое), в дальнейшем - компоненты действий умножения и деления.

Знакомство с уравнением происходит в 3 классе [14] при решении задачи с числами, например: «К неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найти неизвестное число». По данной задаче составляется равенство с неизвестным числом, которое может быть записано так: +3=8. Затем учитель поясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число малыми латинскими буквами. Дается запись и чтение одной из букв-x (икс). Предлагается обозначить неизвестное число буквой x и прочитать равенство. Учитель поясняет, что такие равенства называют уравнениями, что решить уравнение - значит найти такое значение x, при котором равенство будет верным. Определение уравнения и корня уравнения не даётся в начальных классах. Учащиеся упражняются в чтении, записи и решении уравнений. Показывают разные формы чтения: «К какому числу надо прибавить 2, чтобы получить 9», «Первое слагаемое 4, второе неизвестно, сумма равна 7; чему равно второе слагаемое?» и др. При решении первых уравнений дети опираются на операции над множествами, на знание состава чисел, на установление отношений между результатами и компонентами действий (при сложении самое большое число-сумма, она состоит из слагаемых; при вычитании самое большое число - уменьшаемое, оно состоит из вычитаемого и разности).

Сначала уравнения решаются подбором: вместо неизвестного подставляют (например, с помощью разрезных цифр) одно за другим числа из множества чисел, данных в учебнике или учителем, пока не найдут такое, которое «подходит» (при котором получается верная запись).

Учитель на доске, а дети в тетрадях записывают решение уравнения так:

х+3=7 х-3=7 7-х=5

х=4 х=10 х=2

Затем дети учатся выполнять проверку решения уравнения и учатся оформлять решение следующим образом:

Х + 40 = 96

Х = 96 - 40

Х = 56

56+40=96

96=96

Как считает Н.П. Фаустова [46], чтобы лучше подготовить детей к решению уравнений в старших классах имеет смысл, прежде всего, установить, какие значения может принимать x в данном уравнении (т.е. фактически речь ведётся об области допустимых значений неизвестного - ОДЗ).

Примерно в таком же плане в 3 классе [14, с. 48] вводятся уравнения вида: x*3==12, 5*х=10, 15:х=5 и др., которые также вначале решаются подбором. Данный способ решения применяют к уравнениям, где вычисления выполняются на основе знания табличных случаев арифметических действий. Таким образом, решение уравнений способствует усвоению таблиц и состава чисел из слагаемых, из множителей.

Затем уравнения решают на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента.

Учащиеся объясняют решение уравнения, пользуясь памяткой

1) Читаю уравнение.

2) Подумаю, какие значения может принимать Х.

3) Подумаю, чем является неизвестное число.

4) Вспомню правило, как найти неизвестное число.

5) Вычисляю.

6) Проверяю [46].

С целью формирования умений решать уравнения, М.А. Бантова предлагает разнообразные задания:

1) Решите уравнение и выполните проверку.

2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях.

3) Составьте уравнения с заданными числами, решите и проверьте решение.

4) Из заданных уравнений выберите, и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением).

5) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8.

6) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении, и вставьте пропущенный знак действия:

x 2=12, x2=12,

х=12:2. х=12*2.

6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений

По традиционной программе с помощью составления уравнений решаются с 4 класса простые арифметические задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является связь между компонентами и результатом арифметического действия.

Для решения задачи с помощью составления уравнения обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений.

В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений.

На этапе подготовки к решению задач с помощью составления уравнений у учащихся, прежде всего, должно быть сформировано представление об уравнении как равенстве, содержащем неизвестное число, и умение решать уравнения на основе знания связи между компонентами и результатами арифметических действий.

Необходимым требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений является умение составлять выражения по их условиям. Поэтому, начиная с I класса, необходимо вводить запись решения задач в форме выражения. Учащиеся должны упражняться в объяснении смысла выражений, составленных по условию задачи (например, объясняют, что обозначает сумма чисел 30 и 3, разность чисел 30 и 3, частное чисел 30 и 3, если 30 коп. - цена книги, а 3 коп. - цена тетради); сами составлять выражения по заданному условию задачи (составьте выражение, которое обозначает стоимость двух книг, стоимость 5 тетрадей, стоимость двух книг и 5 тетрадей вместе), а также составлять задачи по их решению, записанному в виде выражения.

Запись решения задачи с помощью составления уравнения должна осуществляться так же, как с помощью составления выражения.

Однако в практике работы традиционной начальной школы устанавливается механическая связь между словом из текста задачи и соответствующим математическим символом: «несколько» - «х», «взяли» - «-», «осталось» - «=». Такой подход к обучению решению задач с помощью составления уравнения можно назвать формальным. Не выделяется, а, следовательно, детьми актуально не осознается система операций, составляющих процесс решения задачи с помощью составления уравнения, не формируется общее умение решать задачи алгебраическим способом. В связи с чем в старших классах школы придётся просто переучивать детей, что значительно труднее, чем научить заново.

Такой подход имел место в традиционной школе и ранее, в связи с чем в начале 80-х годов прошлого столетия решение простых текстовых задач алгебраическим способом было постепенно вытеснено из первого класса в четвертый, решение же составных задач алгебраическим способом полностью ушло из традиционной начальной школы.

Как отмечает Дж. Брунер, ребёнка в этом возрасте можно научить интегральному исчислению, нужно подобрать только слово. Это слово в учебниках математики для начальных классов 1972 года и методических пособиях к ним не было подобрано, многие учителя, не справившись самостоятельно с обучением младших школьников решению задач алгебраическим способом, начали обращаться в МП РФ с просьбой об исключении данного материала из начального курса математики, что и было сделано [47].

Н.П. Фаустова [46] считает, что памятка при решении простой (а также составной) арифметической задачи с помощью составления уравнения может быть следующей:

Рассуждаю так:

1. Подумаю, что обозначу за х.

2. Подумаю, что буду уравнивать.

3. Составляю два выражения, выражающих значения одной и той же величины.

4. Записываю уравнение.

5. Решаю уравнение.

6. Проверяю.

Рассмотрим на примере конкретной задачи.

Задача. После того, как с аэродрома улетело 4 вертолёта, там осталось 2 вертолёта. Сколько вертолётов было на аэродроме?

Х (в.) - столько было на аэродроме,

Х-4 (в.) - столько осталось на аэродроме,

2 (в.) - столько осталось на аэродроме.

Составляем уравнение: Х-4=2

Решение уравнения:

Х-4=2,

Х=4+2,

Х=6.

6-4=2,

2=2.

Ответ: 6 вертолётов.

При использовании представленной памятки и соответствующей организации деятельности детей, как показала практика работы школы, дети овладевают полноценным умением решать арифметические задачи с помощью составления уравнения.

Однако, как показывает изучение деятельности традиционной школы, в начальных классах в процессе решения текстовых задач алгебраическим способом детьми актуально не осознается система операций, составляющих процесс решения задачи, что существенным образом отражается на качестве формируемого умения.

Об этом и пойдет речь в следующем параграфе.

7. Характеристика качества умения решать простые арифметические задачи алгебраическим способом в традиционной системе обучения

Констатирующий эксперимент был проведен нами в 2009/10 учебном году.

Основная задача констатирующего эксперимента - изучение качества сформированного у четвероклассников умения решать простые арифметические задачи алгебраическим способом в традиционной системе обучения.

Для ее решения мы сформулировали конкретные задачи:

1) Определить качество сформированного у четвероклассников операционных знаний, входящих в структуру умения решать простые арифметические задачи алгебраическим способом.

2) сделать выводы.

Для решения поставленных задач нами была разработана методика констатирующего эксперимента, включающая два среза.

Первый срез имел целью выявить уровень сформированности у четвероклассников знаний о структуре деятельности по решению арифметической задачи алгебраическим способом.

Второй срез был направлен на выявление увидеть, какие изменения произойдут в операционных знаниях за этот промежуток времени после первого среза.

Каждое задание, имеющее целью выявить уровень сформированности знаний о структуре деятельности, выполняемой в процессе решения простой арифметической задачи алгебраическим способом, содержало одну задачу: I срез - на нахождение неизвестного слагаемого, II срез - на нахождение неизвестного вычитаемого. Первый срез мы провели в конце первой четверти 4 класса, второй срез в конце второй четверти, что позволило увидеть, какие изменения произойдут в операционных знаниях за этот промежуток времени. Ученику предлагалось рассуждать вслух, решая задачу. Это позволило выяснить необходимость выполнения каких операций актуально осознает ученик в процессе решения задачи. Для выяснения школьником знания содержания операций деятельности по решению задачи, которые им не актуализировались при самостоятельном решении, мы с помощью соответствующих вопросов побуждали его к последовательному выполнению всех операций.

Проанализируем полученные результаты.

Первый срез был проведён 30 октября. Он включал в себя письменную работу и устный опрос. Письменную работу выполняли все дети класса (24 человека), а в устном опросе участвовали 9 человек (3 - сильных, 3 - средних, 3 - слабых ученика).

Письменное задание включало 1 задачу на нахождение неизвестного слагаемого, устный опрос - аналогичную задачу.

В устном опросе для решения детям была предложена следующая задача: «В первом гараже 12 машин. Сколько машин во втором гараже, если всего их 18?».

И в письменной работе и в устном опросе всеми детьми задачи были решены правильно. Однако устный опрос позволил установить, что все дети не владеют полноценным знанием о структуре деятельности по решению задачи алгебраическим способом.

Это проявилось в том, что, выполняя задание экспериментатора «Реши задачу алгебраическим способом, рассуждая вслух», дети либо молча записывали уравнение 12+х=18, либо говорили, что во втором гараже х машин, в первом 12, а в двух 18 и записывали х+12=18 или 12+х=18. В зависимости от полноты и обобщённости знаний мы смогли выделить один уровень усвоения знаний о плане решения задачи: низкий. Таким образом, на низком уровне усвоения знаний о плане решения задачи оказались 100% учащихся. Попытка экспериментатора предложить действовать по памятке к успеху не привела. Дети вслух могли только ответить на вопрос: «Что обозначишь за х?».

Полученные данные свидетельствуют о том, что знания о структуре деятельности формируются стихийно и необходимость овладения ими детьми не осознается учителем как специальная учебная задача.

Характеристика качества умения решать простые арифметические задачи алгебраическим способом (в%)

Класс	Число Уч-ся	Уровни полноты и обобщенности
		Нулевой	Низкий	Средний	Высокий
4-б (тр.)	9	0	100	0	0

Во втором срезе, проведенном в конце второй четверти (25 декабря) в устном опросе была предложена задача «В столовой было 36 кг картофеля. Когда израсходовали несколько килограммов, то осталось 27 кг. Сколько килограммов картофеля израсходовали?».

Полученные результаты при проведении второго среза позволили увидеть, что у учащихся в процессе обучения в знаниях о структуре деятельности по решению арифметической задачи алгебраическим способом изменений не произошло. Это проявилось в том, что, приступив к решению задачи после её прочтения, дети также либо молча записывали уравнение, либо, обозначив за х вслух значение искомого числа, записывали уравнение.

Как видим, не выделяется, а, следовательно, детьми актуально не осознается система операций, составляющих процесс решения задачи с помощью составления уравнения, не формируется общее умение решать задачи алгебраическим способом. Таким образом, структура выполняемой и усваиваемой детьми деятельности не совпадает со структурой генетически исходной деятельности. Вследствие этого выбор арифметического действия и составление уравнения они выполняют на основе представления конкретной ситуации, описанной в задаче, в старших классах школы придётся просто переучивать детей, что значительно труднее, чем научить заново.

Причина такого положения была указана ранее: в учебной программе нет четко сформулированных требований к качеству умения решать арифметические задачи алгебраическим способом, в методической литературе по обучению математике младших школьников тоже эти требования не оговорены и, на наш взгляд, методика обучения младших школьников решению арифметических задач алгебраическим способом в методических рекомендациях для учителя не освещена.

Интересна точка зрения Н.Б. Истоминой, по мнению которой, знакомя учеников с решением задач при помощи составления уравнения, необходимо помнить, что многие из них будут предпочитать знакомый арифметический способ решения.

Это совершенно естественно - ведь происходит только первое столкновение с новым способом решения. Показать детям его привлекательность, его преимущество, рациональность, а не навязывать насильно - вот задача учителя.

Школьники, как считает Н.Б. Истомина, лучше оценят новый способ, если его использование облегчит решение задач. Она считает, что начинать лучше с решения таких задач, которые отвечают этому условию.

Автор приводит тексты некоторых составных (а не простых!) задач.

1) В двух корзинах разного размера 96 кг яблок. В одной корзине яблок в 3 раза больше, чем во второй. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

2) В одной пачке в 5 раз меньше тетрадей, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке, если в большей пачке на 20 тетрадей больше?

3) У девочки живут голуби и кролики. Всего у этих животных 26 голов и 60 ног. Сколько у девочки голубей и сколько кроликов?

Сравнивая арифметический и алгебраический способы решения этих задач, дети быстрее оценят преимущества второго из них и включат этот способ в активный запас своих знаний и умений, начнут использовать его в своей учебной работе.

Те задачи, которые предлагаются для решения алгебраическим способом в традиционном курсе математики не отвечают этому условию, дети не видят этого преимущества. Этот способ «притянут за уши» к решению простых арифметических задач. Нужно либо вводить решение составных арифметических задач алгебраическим способом и разработать этот вопрос методически и технологически, либо вообще отказаться от решения арифметических задач алгебраическим способом в начальных классах [45].

Размещено на Allbest.ru

...