Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах физики, в теоретической механике, сопротивлении материалов, гидравлике, в некоторых разделах высшей математики и других естественных науках и технических дисциплинах высшего образования. Этот метод оказывает значительное влияние на развитие у учащихся пространственных представлений и пространственного мышления.

Данный материал характеризуется следующими особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

2. В задачах используются в основном простейшие многогранники - с целью доступности решения таких задач как учащимися, так и учителями, а также ввиду возможности применения одних и тех же геометрических конструкций по нескольку раз для изучения различных тем.

3. Учителям, знакомящимся с данным материалом, предлагается самим оценить уровень его трудности в соответствии с уровнем подготовки своих учащихся. Материал как полностью, так и частично, может быть полезен классам и школам всех типов, в том числе и классам с углубленным изучением математики.

4. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного применения. В некоторых задачах намеренно повторяются алгоритмы вычисления различных элементов с целью упрочнения умений и навыков учащихся и стандартизации подхода к решению предложенных и аналогичных задач.

Материал расположен в той последовательности, в какой он применялся для обучения учащихся. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа "от простого к сложному" можно весьма условно следующим образом:

При решении задач по стереометрии (геометрии в пространстве) необходимо уделять большое внимание чертежу, способам изображения многогранников.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

В задачах используются в основном простейшие многогранники.

Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

· что значит построить сечение многогранника плоскостью;

· как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;

· как задается плоскость;

· когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

· тремя точками;

· прямой и точкой;

· двумя параллельными прямыми;

· двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

· Метод следов.

· Метод вспомогательных сечений.

· Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются "скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

· построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

· построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;

· построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

метод сечение вспомогательное след

· построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

· построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Задача 1

ABCD - правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равной а и высотой DH равной h. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М - середина стороны АВ, и найдите его площадь.

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.

Так как основание пирамиды - равносторонний треугольник и точка М - середина стороны, то СМ является высотой и тогда, СМ = .

Площадь треугольника можно найти:

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Задача 2

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1=7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2: 3, считая от вершины D1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B,D и M.

Решение.

Сперва отметим точку M. Поскольку нам известно, в каком отношении она делит A1D1, то очевидно, что A1M=12,MD1=8.

Затем проведем отрезок BD. Так как плоскости ABCD и A1B1C1D1 параллельны, то секущая плоскость пересечет их по параллельным прямым. Одна из них - BD. Другая пройдет через точку M.

Отметим на отрезке A1B1 току N, такую что MNЎОBD.

Соединим точки M и N с точками D и B соответственно. Полученный четырехугольник - искомое сечение.

Так как MNЃaBD, то MNBD - трапеция.

Площадь трапеции будем искать как половину произведения оснований на высоту. Значит, нам нужны длины оснований.

Длины оснований трапеции BD=202v находим как длину диагонали нижнего основания призмы.

Длину MN легко получим из квадрата A1B1C1D1.

По теореме Пифагора находим NB=v8 в кв+7 в кв=v113

Заметим, что обе боковые стороны трапеции равны (можно рассмотреть грань AA1D1D и убедиться в этом).

Теперь можно найти площадь искомого сечения.

Опустим высоты NH и MH?. MNHH? - прямоугольник, значит, MN=HH? и MH?=NH. Так как при этом равнобедренная, то ЃўDMH?=ЃўBNH. Отсюда получаем, что HB=DH?=4v2.

Из ЃўBNH по теореме Пифагора находим высоту NH=v 113?32=9.

Таким образом, площадь трапеции равна MN+BD2?NH= ( (12v2+20v2) ?9) /2=16v2?9=144v2.

На этом решение задачи окончено

Ответ: 144v2.

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD. Ответ 12

Задача. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. Ответ: 0,25.

Размещено на Allbest.ru