Методы решения задач и средства обучения на занятиях по геометрии в колледжах (методические рекомендации)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы решения задач и средства обучения на занятиях по геометрии в колледжах. (методические рекомендации)

Музаффарова Л.Н. - старший преподаватель

кафедры высшей математики Нав ГПИ

Елемесова З.А. - старший преподаватель кафедры

МНО НавГПИ

«В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи» Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии. - М.:

Просвещение, 1988 г..

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры -- единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач. геометрия векторный дидактический координата

Метод координат - это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

В отношении курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий курса математики, а векторный метод широко применяется при решении геометрических задач и доказательства теорем.

Векторный метод - это математический приём решения задач и доказательства теорем, при котором геометрические отношения и понятия формулируются в векторных терминах и дальнейшие рассуждения проводятся с использованием векторных понятий и их свойств.

«Векторный метод обладает широкими возможностями решения аффинных и метрических задач, в содержании которых явно не присутствуют понятия векторной алгебры. В частности, этим методом целесообразно пользоваться при решении следующих видов геометрических задач:

1. Задачи на доказательство параллельности отрезков и прямых.

2. Задачи на доказательство принадлежности нескольких точек одной прямой.

3. Задачи на деление отрезка в данном отношении.

4. Задачи на определение взаимного расположения прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей (вычисление угла, доказательство перпендикулярности).

5. Задачи на вычисление длин отрезков (например, высоты, медианы, биссектрисы треугольника и т.п.).

6. Задачи на вычисление площадей и объёмов некоторых геометрических фигур» Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии. - М.:

Просвещение, 1988 г..

Сущность любого математического метода, в том числе и метода геометрических преобразований, состоит в построении модели одной теории (в нашем случае традиционной евклидовой геометрии) в объектах другой (группы геометрических преобразований).

Например, отношение «точка А принадлежит прямой а» соответствует тому, что композиции центральной симметрии относительно центра А и осевой с осью а, осевой относительно прямой а и центральной с центром А представляют собой одно и то же преобразование плоскости,

Метод геометрических преобразований в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии (например, конгруэнтности, параллельности и т.д.)

При этом его применение обычно предполагает выполнение следующей последовательности шагов: -- выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; -- выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; -- обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

Выделенные шаги использования метода геометрических преобразований обусловливают необходимость актуализации основных понятий теории геометрических преобразований и свойств (общих и специфических) отдельных видов преобразований и овладение умением строить образы фигур при том или ином преобразовании.

Метод преобразований решения геометрических задач состоит в том, что, кроме данных в условии задачи фигур, рассматриваются вспомогательные фигуры, полученные из данных фигур или их частей при помощи какого-либо преобразования (параллельного переноса, поворота, симметрии, подобия и т.д.). В этом смысле говорят, что задача решается методом параллельного переноса, методом поворота, методом симметрии и т.д.

Облегчение восприятия и усвоения учащимися колледжей математических знаний может быть достигнуто разумным использованием различных средств и пособий наглядности - моделей, таблиц, чертежей и рисунков, предназначенных для показа с помощью разнообразных проекционных устройств, демонстрацией специальных кинофильмов.

Однако чрезмерно частое использование средств наглядности может привести к задержке развития у учащихся абстрактного мышления, затруднениям при решении задач, требующих развитого пространственного представления.

Естественно, невозможно дать универсальные рецепты «соблюдения меры» в использовании тех или иных средств наглядности. В каждом отдельном случае эта мера определяется практически. Пусть, например, решается некоторая стереометрическая задача в классе. Сначала учащиеся должны самостоятельно вычертить чертеж по условию задачи. Некоторые справляются с этим заданием, другие затрудняются. Используя пространственные представления учащихся, учитель пытается добиться выполнения этого задания, проводя дополнительное объяснение. Для тех, кто все еще не понимает задачу, выполняется чертеж на доске, демонстрируется кадр диафильма или диапозитив или же показывается модель.

В другом случае, когда, например, учащиеся впервые знакомятся с тем или иным понятием, например геометрическими фигурами, целесообразно провести демонстрацию этих понятий по модели на более раннем этапе изложения. Но учителю не следует стараться любой вопрос, любую задачу подкреплять соответствующей наглядностью в той или иной форме.

В распоряжении преподавателя математики в настоящее время имеются различные средства наглядности, выпускаемые промышленностью. В этих условиях необходимость в изготовлении самодельных наглядных пособий понемногу уменьшается, но вряд ли отпадет совершенно.

Во-первых, изготовление некоторых средств наглядности может быть легко связано с решением ряда вычислительных и геометрических задач и проводиться лабораторно. В этом случае нельзя пренебрегать обучающей функцией этой работы. Мы имеем в виду, прежде всего, изготовление разнообразных многогранников, тел вращения и особенно их разверток. Важность умения практически рассчитать развертку, совершенно очевидна.

Во-вторых, «номенклатура» наглядных пособий, которые могут быть легко изготовлены на месте, всегда шире, чем фабричных, и в значительной мере зависит от вкусов, взглядов умений самого учителя. В преподавании математики можно выделить следующие средства наглядности:

а) модели и макеты;

б) (настенные) таблицы;

в) диапозитивы (слайды), кодограммы и дидактические материалы для

эпипроектирования; г) диафильмы;

д) кинокольцовки, кинофрагменты и кинофильмы.

Средствами наглядности могут служить также разнообразные геометрические, вычислительные и измерительные приборы, которые мы специально рассматривать не будем. Хотя различные средства наглядности обладают большим сходством дидактических функций, можно заметить и некоторые особенности в практическом использовании каждого из них.

«Плоские и объемные модели хорошо известны каждому преподавателю математики. Они представляют собой натуральные объекты для наблюдения и непосредственного изучения и применяются во всех классах. Эффективность применения моделей становится особенно ясной, если вспомнить такие образцы, как шарнирные параллелограмм и ромб, равносоставленные фигуры, треугольник, основание которого сохраняется постоянным, а вершина перемещается параллельно основанию (стороны его образуются резиновой нитью или шнуром) - в планиметрии, динамические модели тел вращения, модели многогранников, различные стереометрические наборы, прозрачные и полупрозрачные модели сечений, вписанных и описанных тел и т. д. - в стереометрии, модель термометра - для демонстрации свойств целых чисел и т. д.» www.metodika.ru

Настенные таблицы по математике используются для решения различных дидактических задач, но основная их особенность - возможность размещения на стенах классной комнаты на длительное время. Многократное их использование обеспечивает более глубокое запоминание содержащегося в них материала, с одной стороны, и дает возможность быстро навести необходимую справку - с другой.

Между диапозитивами и диафильмами много общего. Диафильм, разрезанный на отдельные кадры (слайды), представляет собой основу диапозитива. Но если диапозитивы можно демонстрировать в любой последовательности, которая часто определяется самим ходом учебного процесса, то последовательность демонстрации кадров диафильма является значительно более жесткой. В соответствии с этим диафильмы целесообразнее использовать при изложении материала, требующего определенной логической последовательности, в частности при изложении различных теоретических положений, а также при решении постепенно усложняющихся и тесно между собой связанных задач практического характера. Диапозитивы используются в тех случаях, когда последовательность их применения определяется в ходе работы - например, при решении некоторой задачи обнаружилось незнание учащимися некоторых свойств, которые легко усматриваются с помощью диапроектирования. Тут же извлекается соответствующий диапозитив и демонстрируется. Если намечалось решить несколько тесно связанных между собой задач, но в ходе работы оказалось, что ученики усвоили метод их решения раньше, чем предполагалось, то соответствующие слайды пропускаются. Число диафильмов и наборов диапозитивов, выпускаемых промышленностью, неуклонно увеличивается.

С помощью эпископов могут демонстрироваться непрозрачные чертежи, рисунки, записи и т. д. Слабая освещенность в этих проекционных устройствах требует специального затемнения помещения. В этом смысле применение новых проекционных устройств для демонстрации материалов на прозрачной подложке имеет значительные преимущества, хотя и не заменяет возможностей эпипроекционных устройств.

В последнее время появились новые проекционные устройства - кодоскопы. Помимо значительно более яркого изображения, кодоскоп имеет ряд важных особенностей и преимуществ, резко отличающих его от проекционных устройств других типов.

Прежде всего, кодоскоп допускает демонстрацию разнообразнейших материалов на прозрачной подложке, в том числе текста и рисунков, заранее заготовленных или наносимых преподавателем на прозрачную карточку или ленту непосредственно на занятии, в процессе изложения, причем преподаватель при этом обращен лицом к группе, а изображение проектируется на переднюю стенку аудитории или непосредственно на доску (желательно, окрашенную в светлые тона).

Заранее заготовив изображение основных фрагментов некоторого чертежа и спроектировав его на доску, преподаватель может уже на доске дочертить недостающие его части, сечения, списанные фигуры и т. д., чем достигается важный педагогический эффект.

Промышленность уже выпускает наборы дидактических материалов для кодоскопов (назовем их кодограммами), кодограммы легко могут быть изготовлены и на месте. Важной особенностью кодоскопа является возможность наложения нескольких кодограмм друг на друга, чем достигается эффект присутствия при построении и создаются большие возможности для составления' условий задач на комбинации геометрических тел, на графическое решение уравнений и их систем, на построение сечений и т. д. Представляет интерес и возможность смещения кодограмм друг относительно друга при их совмещенном показе, например при изложении тем о геометрических преобразованиях.

Новые возможности достигаются при использовании кодоскопа в ходе, опроса учащихся колледжей. Нескольким учащимся раздаются прозрачные карточки, на которых шариковыми ручками или специальными карандашами учащиеся записывают ответы. После этого записи учащихся демонстрируются через кодоскоп перед всей группой. Если при этом окажется, что требуется внести исправления, учащийся возвращается со своей кодограммой на место, где и устраняет недочеты.

Недостаточное количество кодоскопов может быть уже сейчас частично компенсировано довольно простой переделкой в кодоскоп эпидиаскопа. Там, где нужно продемонстрировать некоторое математическое свойство в динамике, в процессе изменения некоторого объекта, незаменимой является кинокольцовка, кинофрагмент, кинофильм. Число дидактических материалов, выпущенных для кино-проектирования, также довольно значительно. Некоторые неудобства причиняет необходимость затемнения помещения при кино-демонстрации. Оно устраняется частично применением «дневных экранов» и «дневных киноустановок». Следует помнить общее правило: кино-демонстрация органически вписывается в урок, если она длится недолго. В этом смысле кинокольцовки и короткие кинофрагменты предпочтительнее кинофильмов. Желательно также наличие наиболее характерных кадров кинофрагментов в виде отдельных слайдов - для продолжительной демонстрации их с помощью статических проекторов. Сочетание статического и динамического показа во многих случаях обеспечивает более высокий уровень усвоения.

Некоторые перспективы в области преподавания математики имеет учебное телевидение. Так, телевидение, возможно применять для организации серии учебных телепередач с участием наиболее квалифицированных преподавателей одновременно для ряда колледжей и групп. Отметим, что в течение самого последнего времени в колледжах начинают проникать замкнутые, т. е. не имеющие выхода в эфир, телевизионные системы. Эти устройства имеют большое будущее для распространения передового опыта, проведения педагогических исследований и т. д., а также в преподавании физики, химии и других дисциплин. Предполагается, что высшей формой организации использования разнообразных технических средств обучения со временем станет технический центр колледжа, оборудованный замкнутой телевизионной системой. Из этого центра будет, в частности, удобно организовать показ кинокольцовок, фрагментов и т. д. непосредственно на экранах телевизоров, расположенных в классных комнатах. В этом случае отпадает проблема затемнения и транспортировки из аудитории в аудиторию кинопроекционных устройств.

Таким образом, мы пришли к следующим выводам:

- учащиеся весьма высоко оценивают значение наглядных пособий и материалов для активизации познавательной деятельности;

- использование методов решения задач, позволяет учащимся колледжей значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как курса математики в колледже, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.

Используемая литература

1. Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии. - М.: Просвещение, 1988 г.

2. Методики и технологии математического образования: Сборник трудов по материалам II международной научной конференции «Математика. Образование. Культура.», 1-3 ноября 2005 г., Россия, г. Тольятти / Под общ. ред. Р.А. Утеевой. В 3-х ч. Тольятти: ТГУ, 2005.

3. www.metodika.ru

4. www.pedagog.uz

Размещено на Allbest.ru