Сюжетные задачи как модели реальных явлений. Структура сюжетной задачи

С.С. Бронштейн дает такой стратегический план решения задач: «1) уяснение условия задачи; 2) составление плана, т.е. изыскание пути от искомого к данным (анализ); 3) выполнение плана, т.е. путь от данного к искомому (синтез); 4) проверка» (11, с. 115, 116), причем проверка понимается широко, как всестороннее исследование задачи после ее решения.

Спустя много лет этот стратегический план был детализирован и конкретизирован в знаменитой работе Д. Пойя «Как решать задачу».

Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Паппа и даже народные пословицы (45, с. 99-102).

Методические указания по решению задач Д. Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим, поэтому мы их рассмотрим в другом месте.

Значительным событием в истории вопроса об аналитическом решении текстовых задач был выход в свет сборника статей «Решение задач в средней школе» под общей редакцией Н.Н. Никитина в 1952 г. Из этого сборника наибольший интерес для нас представляют статьи И.Г. Польского (45) и Н.Ф. Добрыниной (24), посвященные решению аналитических текстовых задач.

Методические рекомендации И.Г. Польского заключаются в следующем:

1. Аналитические задачи должно быть разбиты на группы по содержанию и на подгруппы по степени трудности.

2. Решению задач каждой группы должно предшествовать изучение функциональной зависимости величин, описывающих соответствующее явление. «Эта функциональная зависимость фиксируется в виде равенства (т.е. формулы. - Л.Ф.), причем величины лучше всего обозначить общепринятыми в науке буквами».

3. Решению задач каждой группы должна предшествовать тренировка в тождественных преобразованиях алгебраических выражений, характерных для уравнений, к которым приводят задачи данной группы.

4. Составление плана задачи заключается в ее расчленении на элементарные зависимости между величинами и в записи этих зависимостей в виде равенств.

5.Осуществление плана решения состоит из трех шагов:

Первый шаг - выбор основной неизвестной величины (обычно одного из искомых) и выбор единиц измерения для всех величин, участвующих в задаче.

Второй шаг - заполнение таблицы: а) записываем выражение для неизвестной величины; б) затем числовые значения известных величин; в) и, наконец, составляем выражения для оставшихся величин, зависящих от известных и неизвестных - назовем их «третьими величинами».

Третий шаг - составление уравнения осуществляется почти механически, так как «сама запись нужного нам уравнения является актом, логически вытекающим из проделанного разбора и сделанных записей. А именно: после упомянутых выше записей обычно остается одна неиспользованная числовая данная, однородная с величинами, называемыми «третьими». Вот эту оставшуюся числовую данную мы помещаем в правой части уравнения; в левой же части пишем выражение, составленное из «третьих» величин и равное правой части».

Сторонники методики И.Г. Польского внесли некоторые поправки в нее. Так, И.И. Дырченко дополняет ее общим детальным анализом и требует вместо термина «составление плана» употреблять термин «анализ условия» (25).

К.П. Сикорский предлагает составление таблицы, которому он придает чрезвычайное методическое значение, на первых порах обучения решению аналитических текстовых задач называть «табличным анализом» (52).

В.Г. Болтянский, исходя из потребностей полноценной проверки решения задачи по ее условию, приравнивает элементы таблицы, содержащие неизвестное, а также оставшееся данное к вспомогательным неизвестным и тем самым заменяет таблицу аналитической моделью задачи (6).

Н.Ф. Добрынина пишет: «Начиная анализ задачи с вопроса, учащийся легко может перейти к второстепенным соотношениям, что неизбежно повлечет за собой ряд случайных ошибочных проб в составлении уравнения» (24, с. 123). Чтобы этого избежать, анализ задачи надо начинать с осознания основного соотношения задачи и того, какие величины в этом соотношении участвуют. Затем нужно составить соответствующее словесное уравнение. Лишь после этого выбирается основное неизвестное, выражаются через него все прочие неизвестные и подставляются в словесное уравнение, превращая его в аналитическое.

Проиллюстрируем этот метод на задаче, рассмотренной выше.

Первый этап - осознание основного соотношения и формулировка словесного уравнения: сумма времени прохождения поездом расстояния от А до В и обратно от В до А дана; время же можно получить, деля расстояние на скорость.

Второй этап - введение основного неизвестного и выражение через него других неизвестных. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда время движения поезда от А до В равно х/30, а обратно: х/28.

Третий этап - составление аналитического уравнения: подставляем найденные выражения в словесное уравнение и получим:

х/30 + х/28 = 14,5.

Вопрос о том, в каком порядке следует составлять уравнение, какие этапы должны быть в этом процессе, обсуждался во многих методических пособиях и статьях. Но ничего принципиально нового в них не было, были лишь споры по частным вопросам: о порядке составления уравнения, способах анализа текста задачи, классификации задач. Так, П.М. Эрдниев в книге «Методика упражнений по математике» весьма подробно обсуждает эту проблему и выдвигает свою классификацию задач, которая основана на идеях И.В. Арнольда, но является более подробной (59).

После 60-х гг. аналитический способ решения сюжетных задач прочно вошел в практику обучения не только средней школы, но и начальной. В 1962-1964 гг. на страницах журнала «Математика в школе» прошла оживленная дискуссия по этому вопросу. Б.В. Гнеденко и А.И. Маркушевич критиковали сложившуюся в школе практику решения текстовых задач преимущественно арифметическими методами и требовали «сдвига» на алгебраический метод. Так, Б.В. Гнеденко писал: «Приверженцы установившихся в школьном математическом преподавании традиций утверждают, что чисто арифметическое решение задач на уравнения первой степени якобы развивает логические способности учащихся. На меня этот аргумент действует примерно так же, как утверждение, что изучение Талмуда способствует развитию у учащихся строгости логического анализа. Такое утверждение до некоторой степени правильно, однако едва ли кто-либо из нас сочтет этот аргумент достаточным для введения Талмуда в курс средней школы в качестве особого предмета» (16, с. 32).

А.И. Маркушевич писал, что «следует критически пересмотреть традиционное отношение к арифметическим методам решения задач и остатки «культа» этих методов изжить из нашей школы» (35, с. 11).

Особенно резко выступил А.Я. Хинчин против использования в школе арифметических методов решения задач. Приведя примеры арифметического решения задач и показав, что это «дословный перевод... алгебраического решения с языка формул на язык слов», далее он писал: «...положительно утверждаю, что почти все арифметические задачи на соображение, выходящие за пределы просто вычислительных примеров, носят тот же характер; это сплошь алгебраические задачи на составление уравнений и систем уравнений первой степени. Конечно, если угодно, то можно всегда, ценою весьма неприятной искусственности и значительного затемнения метода, весь необходимый алгебраический анализ задачи провести словесно, без формул и буквенных обозначений... надеюсь, что я не одинок в резком чувстве отвращения к подобного рода «арифметическим» решениям.

Для чего это нужно? Какую «сообразительность», какие вообще ценные способности ума можно развить в ребенке, заставляя проделывать такие противоестественные, инстинктивно отталкивающие его упражнения? В VII классе на уроках алгебры он научится решать те же задачи легко, естественно, почти механически. Не похоже ли это на то, как если бы солдата в течение первого года службы заставляли овладевать ружьями, скажем, допетровской Руси, а только потом дали бы ему в руки винтовку современного образца?» (54, с. 167).

Заключение

Под влиянием этих резких выступлений известных математиков некоторые методисты «ударились» в другую крайность - они призывали и пытались на практике совсем изгнать из школы арифметические способы решения задач. Так, например, Ф.Г. Боданский провел широкий эксперимент в начальной школе по обучению учащихся, начиная с первого класса, алгебраическим способам решения текстовых задач. Он писал: «Свою экспериментальную работу мы строили, исходя из других теоретических предпосылок (имеются в виду методики А.С. Пчелко и Л.Н. Скаткина. - Л.Ф.). Прежде всего составление уравнений с самого начала обучения вводилось как самодовлеющий и единственный (выделено. - Л.Ф.) способ решения текстовых задач и никаким обобщением арифметического быть не могло» (7, с. 240).

И вот вслед за Ф.Г. Боданским многие учителя и методисты попытались совсем изгнать из начальных классов арифметические способы решения текстовых задач и, начиная с первого класса, решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма четкую оценку этим методическим новшествам дал академик А.Н. Колмогоров: «...Сейчас можно наблюдать, что использование «икса» применяется и тогда, когда это необходимо, и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что детям будет проще решать, если даже выполнение простейшей арифметической операции 5 + 3 записывать с «иксом» в виде: 5 + 3 = х. На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серьезная методическая идея» (29, с. 8).

Таким образом, мы видим, что все проблемы методики аналитических задач пока еще не получили какого-то обоснованного решения, но накоплен большой арсенал различных мнений и разных подходов к решению этих проблем. Для того чтобы обоснованно решить эти весьма не простые вопросы, необходимо опираться на логико-психологическую теорию сюжетных, в том числе и аналитических, задач. Одна из возможных таких теорий, разработанных нами, будет изложена далее. И только на основе этой теории будет предложена система методических рекомендаций, или, как сейчас принято говорить, технология решения сюжетных задач, в третьей заключительной части книги.

Литература

1. Александров И.И., Александров А.И. Методы решения арифметических задач. - М., 1955.

2. Альтшулер И.К. К вопросу о методике составления уравнений // Математика в школе. - 1940. - № 2.

3. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Изд-во АПН РСФСР. - 1946. - Вып. 6.

4. Барсуков А.Н. Уравнения первой степени в средней школе. - М., 1948.

5. Барсуков А.Н. Алгебра. - М., 1951. - Ч. I, II.

6. Болтянский В.Г. Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений // Математика в школе. - 1971. - № 3.

7. Боданский Ф.Г. Формирование алгебраического способа решения задач у младших школьников // Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. - М., 1969.

8. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. - М., 1954.

9. Браун И.К. О составлении уравнений // Математика и физика в школе. - 1936. - № 5.

10. Бронштейн С.С. Методика алгебры. - М., 1935.

11. Бронштейн С.С. Алгебра и ее преподавание в семилетней школе. - М., 1946.

12. Воронов Д.М. Опыт систематизации типовых арифметических задач. - М., 1939.

13. Голъденберг А.И. Беседы по счислению. - Спб., 1914.

14. Гончаров В.Л. Начальная алгебра. - М., 1960.

15. Гнеденко Б.В. Роль математики в развитии техники и производства // Математика в школе. - 1962. - № 1.

16. Гуде Ф.Г. Методика и дидактика арифметики. - Спб., 1899.

17. Гурьев П.С. Руководство к преподаванию арифметики. - Спб., 1889.

18. Декарт Р. Избранные произведения. - М., 1950.

19. Декарт Р. Рассуждение о методике с приложениями. - М., 1953.

20. Депман И. История арифметики. - М.,1959.

21. Дистервег А. Избранные педагогические произведения. - М., 1956.

22. Доблаев Л.П. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Изд-во АПН РСФСР. - 1957. - Вып. 80.

23. Добрынина Н.Ф. Мыслительные процессы при составлении уравнений // Решение задач в средней школе. - М., 1952.

24. Дырченко И.И. Составление уравнений по условию задачи // Математика в школе. - 1954. - № 1.

25. Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. - Спб., 1876.

26. Змиева М. Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений 1-й степени // Математика и физика в школе. - 1935. - № 5.

27. Кавун И.Н. Методы преподавания математики // Математика и физика в школе. - 1935. - № 4.

28. Колмогоров А.Н. Новые программы, специализированные школы // Математическое образование сегодня. - М., 1974.

29. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. - М., 1951.

30. Ларичев П.А. Сборник упражнений по алгебре. Ч. I и II. - М., 1951.

31. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. - М., 1977.

32. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. - М.-Л., 1952.

33. Майергойз Д. К методике составления уравнений по условию задачи // Математика в школе. - 1936. - № 5.

34. Маркушевич А.И. О задачах преподавания математики в школе // Математика в школе. - 1962. - № 2.

35. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии преподавания арифметики в начальных классах. - М., 1965.

36. Моденов В.П. О составлении уравнений при решении текстовых задач // Математика в школе. - 1969. - № 6.

37. Моисеев Н.Н. Математические модели экономической науки. - М., 1973.

38. Невский А.П. Об исследовании уравнений в курсе математики средней школы // Из опыта преподавания математики в VIII-Х классах средней школы / Под ред. П.В. Стратилатова. - М., 1955.

39. Никитин Н.Н. Решение арифметических задач в начальной школе. - М., 1952.

40. Ньютон И. Всеобщая арифметика. - М., 1948.

41. Островский Н. Метод составления уравнений 1-й степени с одним неизвестным // Математика и физика в школе. -1934. - № 3.

Размещено на Allbest.ru