10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Место логических задач в развитии мышления младших школьников
• 1.1 Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета
• 1.2 Психологические предпосылки использования нестандартных логических задач на уроке математики в начальной школе
• 1.3 Роль логических задач в формировании умственных способностей у младших школьников
• 1.4 Современный взгляд на соотношения логической среды и его логического развития
• 1.5 Интегрированное обучение и развитие мышления в простой игре
• 1.6 Организация различных форм работы с логическими задачами
• 1.7 Комбинаторные задачи как средства развития мышления школьника
• 1.8 Методики, направленные на определение степени овладения логическими операциями мышления
• 1.9 Анализ учебников
• Заключение
• Список используемой литературы
• Приложение 1
• Приложение 2

Введение

Цель исследования: обоснование и экспериментальная проверка эффективности педагогических условий развития логического мышления младших школьников на уроках математики в начальной школе.

Объект исследования: формирование логического мышления младших школьников на уроках математики в начальной школе.

Предмет исследования: педагогические условия развития логического мышления младших школьников.

Гипотеза исследования: формирование логического мышления младших школьников будет более эффективным, если:

- младший школьный возраст рассматривается как сензитивный период формирования логического мышления, в ходе которого закладываются основы освоения логических операций: анализа, синтеза, обобщения, классификации, суждениями, построения умозаключений, составляющих основу успешной учебной деятельности, как в начальной школе, так и в последующем;

- создать педагогические условия, в контексте которых деятельность преподавателей начальной школы в ходе образовательного процесса будет направлена на развитии логического мышления (создание ситуации успеха; разработка комплекса упражнений).

Задачи исследования:

1. Раскрыть понятие «логическое мышление» как педагогическую категорию.

2. Выявить педагогический потенциал начального курса математики для формирования логического мышления.

3. Определить комплекс педагогических условий, обеспечивающих успешное формирование логического мышления.

4. Определить критерии и уровневые показатели сформированности логического мышления младших школьников.

5. Провести сравнительный анализ уровней сформированности логического мышления у учащихся до начала работы и после её окончания.

Данная работа посвящена теоретическим и практическим аспектам внедрения в начальный школьный курс математики логических задач. Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами.

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование и др.)

Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач.

Кроме того, решение нестандартных логических задач способно привить интерес ребенка к изучению «классической» математики. В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н.Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и что вряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс.

Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик не умел решать простые, примитивные задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу.

Значительное место вопросу обучения младших школьников логическим задачам уделял в своих работах известнейший отечественный педагог В. Сухомлинский. Суть его размышлений сводится к изучению и анализу процесса решения детьми логических задач, при этом он опытным путем выявлял особенности мышления детей. О работе в этом направлении он так пишет в своей прекрасной книге "Сердце отдаю детям": "В окружающем мире - тысячи задач. Их придумал народ, они живут в народном творчестве как рассказы-загадки".

Сухомлинский наблюдал за ходом мышления детей, и наблюдения подтвердили, "что прежде всего надо научить детей охватывать мысленным взором ряд предметов, явлений, событий, осмысливать связи между ними… Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что неумение осмыслить, например, задачу - следствие неумения абстрагироваться, отвлекаться от конкретного. Надо научить ребят мыслить абстрактными понятиями" ([11], с. 124).

Вот одна из задач, которые дети решали в школе Сухомлинского: "С одного берега на другой надо перевезти волка, козу и капусту. Одновременно нельзя ни перевозить, ни оставлять вместе на берегу волка и козу, козу и капусту. Можно перевозить только волка с капустой или же каждого "пассажира" в отдельности. Можно делать сколько угодно рейсов. Как перевезти волка, козу и капусту, чтобы всё обошлось благополучно?"

Интересно, что задача о волке, козе и капусте подробно проанализирована в книге немецкого ученого А. Ноумана "Принять решение - но как?", где в популярной форме изложены основы теории принятия решений. В книге приведена картинка, на которой изображены волк, коза и капуста на берегу реки, а также графическая схема решения задачи, отражающая состояния "пассажиров" на обоих берегах, а также переезды через реку туда и обратно. Тем самым шуточная задача является первым звеном в построении серьезной математической дисциплины.

Проблемой внедрения в школьный курс математики логических задач не только исследователи в области педагогики и психологии, но и математики-методисты. Поэтому при написании работы использовалась специализированная литература как первого, так и второго направления.

Данная работа состоит из двух глав. В первой рассматриваются теоретические аспекты использования логических задач на уроках математики в начальной школе, во второй - практико-методологические аспекты такого использования. В приложениях к работе приведены условия конкретных логических задач, взятых из различных источников.

1. Место логических задач в развитии мышления младших школьников

1.1 Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета

В последнее время у нас и за рубежом часто обсуждается вопрос о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не содержат основных принципов и понятий современной математической науки, не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению к начальной, средней и высшей школе.

Во многих странах и в международных организациях ведется работа по усовершенствованию учебных программ. Выдвигаются различные предложения о путях рационального изложения современных математических понятий в школьных курсах (в основном для средней школы). Некоторые предложения представляют, несомненно, большой теоретический и практический интерес (см., например, программу В.Г. Болтянского, Н.Я. Виленкина, И.Л. Яглома [4]; обзор американских исследований в этой области [9], [40], 152] и др.).

Построение математики как целостного учебного предмета - весьма сложная задача, требующая приложения совместных усилий педагогов и математиков, психологов и логиков. Важным моментом решения этой общей задачи является выделение понятий, которые должны вводиться в начальном курсе изучения математики в школе. Эти понятия составляют фундамент для построения всего учебного предмета. От исходных понятий, усвоенных детьми, во многом зависит общая ориентировка в математической действительности, что в свою очередь существенно влияет на последующее продвижение в этой области знания. Многие трудности усвоения математики в начальной и средней школе, представляется, проистекают, во-первых, из-за несоответствия знаний, усваиваемых учащимися, тем понятиям, которые действительно конституируют математические построения, во-вторых, из-за неверной последовательности введения общематематических понятий в школьные курсы.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах [9] ) неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н.Бурбаки). Это обстоятельство тесно связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, т.е. с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.

С поступлением ребенка в школу в его жизни происходят существенные изменения, коренным образом меняется социальная ситуация развития, формируется учебная деятельность, которая является для него ведущей. На основе учебной деятельности развиваются основные психологические новообразования младшего школьного возраста. Обучение выдвигает мышление в центр сознания ребенка. Тем самым мышление становится доминирующей функцией.

Мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение - это сопоставление предметов и явлений с целью найти сходство и различие между ними.

Анализ - это мысленное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств.

Синтез - это мысленное соединение отдельных элементов, частей и признаков в единое целое.

Анализ и синтез неразрывно связаны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания. Анализ и синтез - важнейшие мыслительные операции.

Абстракция - это мысленное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от несущественных. Абстракция лежит в основе обобщения.

Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования. Процессам абстрагирования и обобщения противоположен процесс конкретизации.

Конкретизация - мыслительный переход от общего к единичному, которое соответствует этому общему. В учебной деятельности конкретизировать - значит привести пример.

Мышление ребенка дошкольного возраста наглядно-образное, предмет его мысли - предметы и явления, которые он воспринимает или представляет. Навыки анализа у него элементарны, в содержание обобщений и понятий входят лишь внешние и часто несущественные признаки.

С началом обучения в школе у ребенка не только расширяется круг представлений и понятий, но и сами представления и понятия становятся более полными и точными.

Форма обобщающей деятельности школьников на разной ступени обучения не остается постоянной. Вначале она строится обычно на внешней аналогии, затем основывается на классификации признаков, относящихся к внешним свойствам и качествам предметов, и, наконец, учащиеся переходят к систематизации существенных признаков.

В процессе обучения в школе совершенствуется и способность школьников формулировать суждения и производить умозаключения. Суждения школьников развиваются от простых форм к сложным постепенно, по мере овладения знаниями. Первоклассник в большинстве случаев судит о том или ином факте односторонне, опираясь на единичный внешний признак или свой ограниченный опыт. Его суждения, как правило, выражаются в категорической утвердительной форме. Высказывать предположения, выражать и, тем более, оценивать вероятность, возможность наличия того или иного признака, той или иной причины ребенок еще не может.

Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или иное положение более или менее уверенно и правильно тоже приходит постепенно и в результате специальной организации учебной деятельности.

Развитие мышления, совершенствование умственных операций, способности рассуждать прямым образом зависят от методов обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Широкие возможности в этом плане дает решение логических задач.

1.2 Психологические предпосылки использования нестандартных логических задач на уроке математики в начальной школе

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов" детского мышления с общематематическими и общелогическими понятиями.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции" и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и "натренированной" в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той "системы координат", внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребенка (хотя, кoнечно, все более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка.

В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б. Инельдер ([10]), Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого" ([10], стр. 15).

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Так, алгебраическая структура ("группа") соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

операция может развиваться в двух направлениях;

при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

Структуре порядка соответствует такая форма обратимости, как взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в сознании ребенка структуры порядка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет.

Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не "чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий "отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные задачи начальной школьной программы по математике не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. В этой связи практика внедрения в начальный школьный курс математики логических задач должна стать нормальным явлением.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических и общелогических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям". И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических задач.

1.3 Роль логических задач в формировании умственных способностей у младших школьников

В отличие от естественнонаучных дисциплин математика отражает объективную реальность лишь опосредованно. Предмет её изучения - мысленные идеальные обобщённые образы, являющиеся результатом многоуровневой абстракции. Поэтому изучение математики связано с необходимостью создавать образы и оперировать ими, что требует значительно большего интеллектуального напряжения, чем оперирование предметно данными объектами.

Другая особенность математики в том, что она исследует абстрактные сущности независимо от той реальности, отражением которой они являются. Этим определяется преимущественно дедуктивный её характер, в силу чего изучение математики требует умения правильно рассуждать. Но умение правильно, последовательно рассуждать в незнакомой обстановке даётся с трудом. Как всякое умение, оно может быть усвоено только при целенаправленном обучении. В школьной практике учащиеся овладевают такими умениями, как правило, стихийно в процессе решения задач, требующих специальных математических знаний, но математика имеет неограниченные возможности в развитии интеллекта школьника. Математические задачи, накопленные и проверенные в ходе многолетней педагогической практики, позволяют эффективно развивать различные стороны психической деятельности человека: внимание, воображение, фантазию, образное и понятийное мышление, зрительную, слуховую и смысловую память. В методической литературе за развивающими задачами закрепились специальные названия: задачи на соображение, задачи с «изюминкой», задачи на смекалку и др. (логические задачи).

Во всём этом многообразии можно выделить в особый класс такие задачи, которые называют задачами-ловушками, «обманными» задачами, провоцирующими задачами. В условиях таких задач содержатся различного рода упоминания, указания, намёки, подсказки, подталкивающие к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа.

Логические задачи обладают высоким потенциалом. Они способствуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления - критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.

Дидактическая ценность таких задач неоспорима. Попадая в заранее приготовленную ловушку, ученик испытывает досаду, сожаление от того, что не придал особого значения тем нюансам, из-за которых он попал в неловкое положение. Простое сообщение детям о том, что учащиеся, как правило, допускают в заданиях такого рода ошибки, малодейственное. Ибо оно, несмотря на общность и адресность, не является для конкретно взятого ученика личностно значимым. Во-первых, событие, о котором сообщается, происходило когда-то давно, в прошлом, а во-вторых, каждый из учеников наивно полагает, что в число неудачников сам Он не попадает.

Чтобы получить целостное представление обо всём многообразии логических задач, их возможностях в развитии критичности мышления младших школьников, приведём одну из имеющихся типологий этих задач.

I тип. Задачи, условия которых в той или иной мере навязывают неверный ответ. (Сколько прямоугольников можно насчитать в изображении окна?

II тип. Задачи, условия которых тем или иным способом подсказывают неверный путь решения. (Тройка лошадей проскакала 15 километров. Сколько километров проскакала каждая лошадь?)

Хочется выполнить деление 15 : 3 и тогда ответ: 5 км. На самом деле деление выполнять вовсе не нужно, поскольку каждая лошадь проскакала столько же, сколько и вся тройка, т.е. 15 км.)

III тип. Задачи, вынуждающие придумывать, составлять, строить такие математические объекты, которые при заданных условиях не могут иметь места. (Используя цифры 1 и 4 запишите трёхзначное число, дающее при делении на 3 остаток, равный 2. Придумать такое число невозможно, поскольку любое число, удовлетворяющее условию задачи, делится на 3 без остатка.)

IV тип. Задачи, вводящие в заблуждение из-за неоднозначности трактовки терминов, словесных оборотов, буквенных или числовых выражений. (На листке бумаги написано число 606. Какое действие нужно совершить, чтобы увеличить это число в полтора раза? Здесь имеется в виду не математическое действие, а просто игра с листком бумаги. Если перевернуть лист, на котором написано число 606, то увидим запись 909, т.е. число, которое в полтора раза больше числа 606.)

V тип. Задачи, которые допускают возможность «опровержения» семантически верного решения синтаксическим или иным нематематическим способом. (Крестьянин продал на рынке трёх коз за 3 рубля. Спрашивается: «По чему каждая коза пошла?». Очевидный ответ: «по одному рублю» - опровергается: козы по деньгам не ходят, а ходят по земле.)

Описанные разновидности задач не исчерпывают всего их многообразия, но дают представление о способах их составления и использования в обучении математике.

Логические задачи способствуют формированию умения рассуждать, овладению приёмами правильных рассуждений. Так как их решение не опирается на специальные знания, объектом усвоения в процессе решения являются приёмы рассуждений. Информация, из которой необходимо сделать выводы, задаётся текстом, описывающим вполне обычные ситуации. Решение таких задач учит до конца придумывать незнакомые ситуации, не отступать перед трудностями, вселяет уверенность в свои силы.

1.4 Современный взгляд на соотношение логической сферы ребенка и его математического развития

Взаимозависимость формирования и развития математических способностей детей младшего школьного возраста и формирования логической сферы младших школьников является одной из популярных методических проблем последних десятилетий. Наиболее значительным исследованием в этой области явилась работа Ж. Пиаже «Генезис числа у ребенка» (1941), в которой автор достаточно убедительно доказывает, что формирование понятия о числе у ребенка ( а так же и понимания смысла арифметических операций) коррелятивно развитию самой логики ( формированию логических структур, в частности, формированию иерархии логических классов, т.е. классификации, и формированию асимметричных отношений, т.е. качественных операций). Данная работа послужила толчком для генерирования целого рода методических идей в младшем школьном математическом образовании последнего двадцатилетия. К вопросу развития логической сферы младших школьников обращались, в частности, З.А. Михайлов, Л. А. Венгер, А. А. Столяр, A 3. Зак.

Необходимость и возможность развития логической сферы ребенка младшего школьного возраста неоспоримы, как и то, что это проблема более всего именно математического развития. Вопрос лишь в том, на каком содержании наиболее оптимально развитие логических умений младших школьников: на традиционном арифметическом содержании или менее традиционном - геометрическом. В методических работах упомянутых авторов в большей мере используется геометрическое содержание, нежели арифметическое.

Суть проблемы состоит в том, чтобы через систему специальных заданий и упражнений организовать ситуацию, позволяющую формировать и развивать у ребенка именно логические структуры, в процессе знакомства с математическим содержанием. Сочетание такой работы с системой заданий, активно развивающих мелкую моторику, т.е. заданий логико - конструктивного характера, является фактором, активно влияющим на формирование и развитие математических способностей младшего школьника.

В методике под формированием и развитием логической сферы ребенка понимается формирование логических приемов мыслительной деятельности, а также умение понимать и прослеживать причинно - следственные связи явлений и умение выстраивать на их основе простейшие умозаключения.

Умозаключение -- два или более высказываний, объединенных причинно-следственной связью. Понятие «высказывание» имеет специфический смысл. Под высказыванием в логике понимают утверждение, несущее в себе какую-то информацию.

Пример. Все кошки любят рыбу. Вчера шел дождь. Ваня -- хороший мальчик, Это высказывания.

Дети, пойдемте гулять! Ой! Никогда! Какую книгу вам почитать? Это не высказывания.

Каждому высказыванию может быть приписано только одно из двух значений истинности: они могут быть либо истиной, либо ложью, Одновременно быть и тем, и другим высказывание не может.

В структуре различных высказываний есть специальные слова, показывающие уровень общности высказываний. Например, «все» «некоторые», «любые», «каждый»

Данные слова и их синонимы называют кванторами. Квантор показывает о скольких объектах говорится в том или ином высказывании.

Различают два вида кванторов: общности и существования. Квантор общности выражается с помощью слов каждый, всякий, любой, Высказывания с этим квантором называются общими. Например, «Все кошки любят молоко» -- общее высказывание. Квантор существования выражается словами существует. единственный. некоторые, бывают, найдется. Эта слова используются в частных высказываниях. Например, «Эта кошка не любит молоко», «Некоторые кошки не любят сыр»,

В математике для определения истинности высказываний с квантором общности проводят доказательство. Для установления их ложности достаточно привести пример.

Например: «Все птицы летают» -- ложь, поскольку страус не летает.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Например: «Бывают деревья, на которых не растут листья» -- истина, поскольку на елке растет хвоя, а не листья.

Отрицание -- это предложение (высказывание), которое начинается словами «неверно, что» или частицей «не». При этом, отрицая истинное высказывание» получаем ложное, а отрицая ложное высказывание, получаем истинное.

Например: Высказывание:«Лиственные деревья сбрасывают листву на зиму»-- истина.

Его отрицание: 'Неверно, что лиственные деревья сбрасывают листву на зиму» -- ложь,

Другой вариант отрицания: «Лиственные деревья не сбрасывают листву на зиму» -- ложь.

Из этих двух вариантов отрицания «технически» кажется более простым первым вариант (неверно, что). Однако школьниками понятнее второй, хотя он и не может осознанно выбирать именно сказуемое, чтобы поставить перед ним частицу.

«не» (поскольку он не знаком с этим морфологическим понятием).

На практике данная ситуация даже полезна тем, что позволяет развивать у ребенка интуитивно верное «чувство правильного выбора», ведь поставить частицу «не» можно было и перед другим словом в предложении: «сбрасывают не листву», «не деревья сбрасывают листву», однако это не будут верные способы построения отрицания.

Обучение ребенка правильному выбору нужного высказывания является первым шагом в формировании и развитии логического мышления.

Например: Выбери верное высказывание: «Утром шел дождь», «Мыши живут на дереве» и т. п.

Или в более сложной форме:

«Наступило утро, на небе высыпали звезды».

«День был морозный, солнце не грело».

Поскольку ребенку приходится работать с такими заданиями «на слух», высказывания не должны быть длинными и их не должно быть больше, чем ребенок может удержать в памяти на слух с одного раза. Объем слуховой памяти ребенка легко определить, пользуясь стандартной методикой. Учитель может просто попросить ребенка воспроизвести обе фразы в памяти. Если ребенок помнит их точно, значит, можно постепенно предлагать больше высказываний иди более длинные их формы. Если ребенок путает фразы, значит, с ним нужно начинать работать, предлагая по одному высказыванию и сразу анализируя его.

Задания такого вида будут формировать в перспективе критичность мышления, рефлексию (т.е. умение думать над своими действиями и оценивать их). Такие задания легко ввести в практику общения с ребенком на любом содержании.

На следующем этапе предлагаем ребенку самому составить высказывание так, чтобы оно было истиной или ложью.

Далее (третий этап) учим ребенка трансформировать высказывание по заданию. Например:

-Переделай это высказывание так, чтобы оно стало истиной ; «Все птицы умеют плавать» и т. п.

Для трансформации высказываний можно полностью менять их структуру: «Водоплавающие птицы умеют плавать» (истина), а можно пользоваться отрицанием или введением кванторов.

Чтобы ребенок хорошо освоил логический прием отрицания, для начала можно играть с ним в простую игру -- педагог говорит слово, ребенок дает его отрицание: красный -- не красный, вкусный -- не вкусный, бежит -- не бежит, быстро -- небыстро и т.п. Игра идет в быстром темпе «до первого сбоя», затем играющие меняются ролями» задача ведущего -- подбирать разные морфологические формы, не зацикливаясь на прилагательных или глаголах. Затем можно переходить к построению отрицания коротких высказываний: «солнце светит» -- «солнце не светит» -- «светит не солнце».

При обсуждении с ребенком правильности выбора варианта целесообразно опираться на внешние условия, которые помогут правильно выбрать верную форму отрицания. В приведенном примере последняя форма построения отрицания не является правильной, поскольку и первое и третье высказывания одновременно могут быть ложью, например, вечером, когда солнца уже нет, а луна еще не вышла (напоминаем, что при правильном построении отрицания значения истинности и ложности должны быть противоположными).

Пример: является ли данная пара высказываний отрицанием друг друга?

«Это яблоко сладкое ».

«Это яблоко кислое».

Поскольку рассматриваемое яблоко может оказаться безвкусным, оба высказывания могут одновременно оказаться ложью, значит, отрицание построено неверно. Верный вариант для первого: « Это яблоко не сладкое ».

Рассмотрим другой способ трансформации высказываний. Это замена квантора общности на квантор существования и наоборот.

Например: «Некоторые дети любят манную кашу» (истина).

«Все дети любят манную кашу» (ложь).

Задания на замену кванторов в высказываниях легко добавлять в ежедневное общение с ребенком на любую тему. Полезны задания на осознанную замену и сопоставление кванторов.

Например: Из трех высказываний выбери два, в которых разными словами говориться об одном и том же:

«Bсе кошки любят сыр».

«Некоторые кошки любит сыр».

«Бывают кошки, которые любят сыр».

Составь похожее высказывание со словом «любые». На какое оно будет больше похоже? Будет оно истиной или ложью?

Для построения отрицания высказывания с кванторами можно воспользоваться общим приемом: поставить перед квантором слова «неверно, что»: «Неверно, что все кошки любят сыр».

Другой способ более сложен, квантор общности меняется на квантор существования (и наоборот)» а предложение, стоящее после квантора, -- на его отрицание:«некоторые кошки не любит сыр» (отрицание высказывания «все кошки любят сыр»). При работе с дошкольниками достаточно использовать первый способ.

В логике рассматривают элементарные высказывания и составные. Все рассмотренные выше примеры являлись элементарными высказываниям. Составные высказывания образуются из элементарных с помощью слов «и», «или», «если, то...». Эти слова называют логическими связками.

Например:

«Это яблоко сладкое и красное» (может быть разделено на два элементарных высказывания «это яблоко красное» и «это яблоко сладкое»).

«Из этих деталей можно сложить квадрат или прямоугольник» (можно разделить на два высказывании: «Из этих деталей можно сложить квадрат», «Из этих деталей можно сложить прямоугольник»).

«Если весна будет теплая» то снег быстро растает» (можно разделить на два высказывания: «Весна будет теплая», «Снег быстро растает»).

Вопрос об истинности составных высказываний зависит не только от истинности входящих в него элементарных высказываний» но и от смысла самой логической связки, образующей его. В логике для определения их истинности составляют специальные таблицы (таблицы истинности), заниматься исследованием которых нет смысла с дошкольниками, поскольку эта работа значительно формализована.

Для составных высказываний достаточно, чтобы ребенок понимал суть заложенной в них структуры, т. е. при употреблении связки «и» имеется и виду, что выполняться должны одновременно обе части высказывании (для его истинности необходима истинность обоих элементарных высказываний), например: «Сегодня пасмурно и идет дождь» - для истинности всего составного высказывания необходимо, чтобы истинны были обе части.

При употреблении связки «или» достаточно выполнения хотя бы одной части высказывания.

Например: «Летняя ночь может быть теплой или холодной» - для истинности всего составного высказывания достаточно истинности хотя бы одной его части.

Полезно формировать у ребенка умение понимать смысл связок «и», «или».

Задания могут быть такими:

Кружки и квадраты закрась синим цветом, остальные -- зеленым цветом.

Принеси мне, пожалуйста, ручку или карандаш и т. п.

Важно, чтобы ребенок понимал, что в первом случае следует закрасить синим цветом обе указанные формы, а во втором случае можно принести ручку, можно карандаш, а можно и то и другое.

Важную роль для развития логической сферы и, в частности, для развития доказательности мышления играет понимание ребенком высказывательной конструкции со связкой "если, то...". Правильному пониманию и употреблению этой связки учат задания на построение причинно-следственной связи в событиях житейского плана (здесь чаще употребляется связка «поэтому», «потому, что...»). Постепенно можно вводить в словарь ребенка и конструкцию «если, то...».

Например: «Если цветок не поливать, то он завянет», «Если рыбок не кормить они могут погибнуть» и т.п. Цель всех приведенных выше заданий с различными высказывательными конструкциями состоит в том, чтобы постепенно приучатъ ребенка правильному их пониманию на слух, освоению правильных форм употребления их в речи и узнаванию других людей.

1.5 Интегрированное обучение и развитие мышления в простой игре

Общее соображение о важности широкого внедрения в школьный урок математики нестандартных логических задач дополним описанием соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику использования на уроках математики в начальной школе специального типа логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных понятий математической логики. Эта методика была разработана ведущим отечественным методистом А.А. Столяром.

"Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого класса, - учить рассуждать, учить мыслить", - писал А.А. Столяр ([9], c. 11). Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ логического мышления и в изучении геометрических фигур А.А. Столяр использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение которой произведено ниже.

Игра с кругами, созданная на основе известных кругов Эйлера, позволяет обучать классифицирующей деятельности, закладывает понимание логических операций: отрицания - не, конъюнкции - и, дизъюнкции - или. Перечисленные логические операции имеют важнейшее значение, так как различные их комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические структуры. Из функциональных элементов, реализующих логические операции не, и, или, конструируются схемы современных ЭВМ.

К концу дошкольного возраста у ребенка проявляются признаки логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в этот период научить ребенка логически мыслить и обосновывать свои суждения.

Для игры с кругами нужны нарисованные на бумаге один, два или три пересекающихся круга разного цвета, разноцветные обручи и наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и буквами русского алфавита. В принципе необязательно использовать круги, можно работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными веревочками. Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой. Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее эффективным.

Приведем несколько примеров заданий для игры "Круги". Предлагаемая методика игрового обучения взята из работы ([9]). Она может использоваться начиная с первого класса.

1. Задачи с одним кругом

Цель работы над задачами с одним кругом - учить классифицировать предметы по одному признаку, понимать и применять логическую операцию отрицания не.

Игра проводится со всем классом или группой. У учеников в руках наборы квадратов, кругов и треугольников разных цветов и размеров. В центре игровой площадки помещен обруч или на доске нарисован круг.

Учитель:

- Покажите треугольные фигуры.

- Покажите красные фигуры.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне круга.

Ученики выборочно выполняют эти простые задания. Надо быть готовым к тому, что здесь необязательно сразу будут правильные результаты. Понятия "внутри" и "вне" у многих детей в этом возрасте еще не полностью сформированы.

Учитель:

- Положите внутрь круга треугольные фигуры.

Ученики случайным образом (например, с закрытыми глазами) выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их на заданное место. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка обсуждается со всей группой.

После того как все фигуры размещены, учитель задает два новых вопроса.

Учитель:

- Какие геометрические фигуры лежат внутри круга?

Ученик:

- Внутри круга лежат треугольные фигуры.

Этот ответ содержится в самом условии только что решенной задачи и формулируется обычно без особого труда. Правильного ответа на второй вопрос приходится ждать дольше.

Учитель:

- Какие геометрические фигуры лежат вне круга?

Правильный ответ ученика:

- Вне круга лежат нетреугольные фигуры.

Возможные неправильные ответы:

- вне круга лежат большие фигуры (но и внутри круга могут лежать большие фигуры);

- вне круга лежат красные фигуры (но и внутри круга могут лежать красные фигуры);

- вне круга лежат квадраты (не описывает все фигуры, лежащие вне круга).

Ответ:

- вне круга лежат квадраты и круги - является правильным, но наша цель в данном случае - охарактеризовать свойство фигур, лежащих вне круга, через свойство фигур внутри круга.

Возможно, потребуется уточнение к условию задачи:

- Выразите свойство всех фигур, лежащих вне круга, одним словом.

Очень трудно бывает учителю удержаться от произнесения правильного ответа самому. На уроке, проводимом А.А. Столяром, мы удивились, как он умел ждать правильного ответа от детей. Если мы хотим заниматься развитием логики у детей, а не добиваться механического запоминания, то спешить нельзя.

В дальнейшем в игру вносятся варианты вопросов различной степени трудности. В частности, можно задавать вопросы на подсчет количества фигур с определенным признаком.

Эту игру нужно провести в простом варианте 3-5 раз перед переходом к игре с двумя кругами, но возвращаться к ней с более сложными заданиями следует неоднократно.

Примеры заданий.

При выполнении каждого из этих заданий очень важно не только правильно разложить фигуры или карточки, но и правильно ответить на вопросы [15]:

- Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат внутри круга?

- Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат вне круга?

1. В круг положите все красные фигуры.

Вне круга лежат некрасные фигуры.

2. В круг положите все круглые фигуры.

Вне круга лежат некруглые фигуры.

3. В круг положите все некруглые фигуры.

Скорее всего ученики сразу дадут правильный ответ: "Вне круга лежат круглые фигуры". Однако возможен и ответ: "Вне круга лежат НЕ НЕкруглые фигуры". Эта задача помогает ввести и обсудить понятие двойного отрицания.

Игру с кругами можно использовать и для изучения свойств чисел, букв, звуков. Вот несколько таких примеров.

4. В круг положите все числа, большие 5.

Вне круга лежит и число 5, поэтому ответ "Вне круга лежат числа, меньшие 5" будет неверным.

Правильный ответ: "Вне круга лежат числа не больше 5".

5. В круг положите все числа, делящиеся на 2 (3, 5...).

Эта задача может быть использована для изучения признаков делимости чисел.

6. В круг положите все гласные буквы.

Вне круга кроме согласных букв лежат еще Ь и Ь, поэтому ответ "Вне круга лежат согласные буквы" не будет верным.

Правильный ответ: "Вне круга лежат негласные буквы".

7. В круг положите все буквы, смягчающие согласные.

Не надо думать, что игра с одним кругом содержит только очень простые задания. Попробуйте правильно ответить на вопрос: "Какие фигуры лежат вне круга, если внутри круга лежат фигуры, являющиеся одновременно красными и треугольными?" Сравните свой ответ с ответом в конце статьи.

Если ваши ученики освоили рассмотренные выше задачи, можно перейти к следующему этапу игры с более сложными заданиями:

8. В круг положите все числа, делящиеся на 2 и на 3 одновременно.

Вне круга лежат числа, не делящиеся на 2 или не делящиеся на 3.

9. В круг положите все числа, делящиеся на 2 или на 3.

Вне круга лежат числа, не делящиеся ни на 2, ни на 3.

10. В круг положите все геометрические фигуры, которые являются красными или треугольными.

Вне круга лежат геометрические фигуры, являющиеся одновременно некрасными и нетреугольными.

11. В круг положите все гласные буквы, обозначающие один звук.

При работе с небольшими группами или при индивидуальной работе с учащимися за столами, можно разобрать обратные задачи. В этом случае геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на столе или закрепляются на монтажной панели, а затем ученикам дается задание с помощью веревочки объединить все фигуры, соответствующие одному признаку.

Например:

Учитель:

- Проведите замкнутую линию так, чтобы внутри были только все треугольники.

Замкнутая линия проводится с помощью тоненькой веревочки или карандаша.

Далее можно обсуждать с учениками те же вопросы, что и приведенные выше в задачах с кругами. Перед такой игрой необходимо предварительно изучить и закрепить понятие замкнутой линии. Один из наиболее эффективных способов усвоения этого понятия - работа в графическом редакторе, связанная с заливкой областей. Достаточно один раз испортить свой рисунок из-за заливки незамкнутой области, как это понятие твердо формируется в сознании ребенка.

2. Задачи с двумя кругами

Цель работы над задачами с двумя кругами - развить умение классифицировать предметы по двум свойствам, понимать и применять логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и.

У учащихся в руках тот же раздаточный материал, но теперь они уже будут работать с двумя кругами или обручами разных цветов с пересекающимися областями.

синий

красный

Перед решением задач необходимо выполнить ряд упражнений для выявления замкнутых областей, ограниченных проведенными окружностями. Лучше всего такие упражнения проводить на групповых занятиях с использованием обручей.

Учитель:

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего, но вне красного круга.

...