Развитие мышления школьников на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Исследование как составная часть формирования исследовательского типа мышления учащихся и средство получения новых прочных знаний по математике

педагогический урок школа образовательный

Модернизация образования невозможна не только без современного технического оснащения образовательных учреждений, но и, прежде всего, без внутренней перестройки учителя. В современном информационном обществе педагог должен не столько давать знания, сколько научить эти знания добывать. Дети приходят в школу учиться, то есть учить себя. Уроки - исследования считаю составной частью в этом процессе.

Следует сразу отметить: не следует отождествлять такие понятия как исследовательская деятельность учащихся и урок - исследование: исследовательская деятельность - понятие гораздо шире, почти не ограниченное временными рамками. Это исследование с заранее неизвестным результатом. Урок - исследование ограничен временными рамками - 45 мин. Перед учащимися ставится исследовательская задача, решение которой, в подавляющем большинстве случаев, известно (но не учащимся). Итог урока - новые знания.

Исследование - один из четырех универсальных типов мыследеятельности, наиболее адекватно соответствующий социокультурной миссии образования.

В типичной образовательной ситуации, которая, как правило, определяет характер учебного процесса, реализуется стандартная позиционная схема «учитель» - «ученик». Первый транслирует знания, второй их усваивает; все это происходит в рамках отработанной классно-урочной схемы. На уроке - исследовании эти позиции сталкиваются с реалиями: нет готовых эталонов знания, которые столь привычны для классной доски. Это инициирует начало эволюции от объект - субъектной парадигмы образовательной деятельности - направленности действия от учителя к ученику - к ситуации совместного постижения окружающей действительности, выражением которой является пара «коллега - коллега».

2. Сущность исследования

Под уроком - исследованием я представляю себе деятельность учащихся и учителя, связанную с решением учащимися (при поддержке учителя) творческой, исследовательской задачи (пусть и с заранее известным решением, но незнакомым учащимся) и предполагающую наличие основных этапов, характерных для исследования в научной сфере:

постановку проблемы,

повторение теории, посвященной данной проблематике,

подбор инструментов для исследования и практическое владение ими,

обработка полученного результата, его анализ и обобщение, собственные выводы.

Любое исследование, неважно, в какой области естественных или гуманитарных наук оно выполняется, имеет подобную структуру. Такая цепочка является неотъемлемой принадлежностью исследовательской деятельности, нормой ее проведения.

Предлагаю для обсуждения авторскую технологию проведения урока - исследования.

Вспомним, как происходят открытия? Чаще всего открытия случайны и оттого чрезвычайно интересны как для самих участников событий, так и для широкого круга неспециалистов. Ведь история таких открытий - своего рода научный детектив, с той разницей, что автор - ученый никогда не знает, чем увенчаются его поиски. Чаще всего открытия происходят в тех областях наук, в которых для этого можно использовать инструментарий (вещества, приборы, материалы …). Здесь создается некая модель (конструкция), воздействуя на которую, изучаются результаты. Математика в этом смысле не самая перспективная область для свершения открытий, но для проведения уроков - исследования с учащимися нам будет достаточно таких математических инструментов, как действия, тождества, функции. Вот и весь инструментарий! Мы не собираемся совершать открытия, с помощью этого набора инструментов ученики будут получать (практически самостоятельно!) новые знания. И чтобы добиться поставленной цели, им придется конструировать ЅмоделиЅ, используя математические инструменты, воздействовать на них, ЅпрокрутитьЅ в памяти достаточно большой объем знаний.

Основой деятельности учителя на таком уроке считаю проверку идей (даже неперспективных, пока это не станет очевидным!) учащихся, предлагаемых для решения проблемы. Если таких идей нет - необходимо подвести учащихся к их появлению с предложением хотя бы одной идеи (никогда сразу не предлагайте верную, ученики должны найти её самостоятельно путем перебора различных вариантов действий) (см. Приложение 1).

Главная цель урока - исследования - приобретение учащимися функционального навыка исследования как универсального способа получения новых прочных знаний (получаемых самостоятельно и поэтому являющихся личностно значимыми, а значит прочными), развитие способности к исследовательскому типу мышления, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе. Таким образом, главным результатом урока - исследования является интеллектуальный, творческий продукт (знания), устанавливающий ту или иную истину в результате процедуры исследования.

Ведущей ценностью урока - исследования является ценность процесса движения к истине. Урок - исследование - это совместный (учитель и ученик) процесс движения к истине!!

Да, не каждый урок можно сделать уроком исследования. К уроку - исследованию необходима большая теоретическая подготовка, которую получают учащиеся на традиционных учебных занятиях по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности. Но когда учащиеся теоретически подготовлены для приобретения новых знаний - вот здесь и следует применять уроки - исследования. Теперь учащемуся предстоит проанализировать возможность применения ранее полученных знаний для решения поставленной проблемы. Знания, полученные учеником самостоятельно путём проб и ошибок, перебора различных инструментов, применения всевозможных формул и действий, останутся в его памяти надолго, а ценность мыслительного процесса, который, к сожалению, нельзя описать и измерить - трудно переоценить.

Главное таинство урока - исследования - зарождение идеи решения поставленной проблемы.

К какому же типу занятий отнести урок - исследование? Ответ прост - изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности. Это урок первого типа. Если результатом урока первого типа будут прочные знания учащихся, то это конечно освободит учителю время для организации подготовки учащихся к итоговому тестированию.

3. Исследование: нахождение первообразной логарифмической функции

Цель урока:

В процессе урока - исследования создать условия для развития у школьников умений формулировать промежуточные проблемы, предлагать пути их решения.

Содействовать развитию у детей умений общаться;

Обеспечить развитие у школьников монологической и диалогической математической речи.

Тип урока: Урок по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Ход урока: Вступительное слово учителя:

Начинать исследование можно по-разному. Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. На пути к истине мы почти всегда совершаем ошибки. Не бойтесь совершать эти ошибки. Предлагайте любые пути, на первый взгляд даже смешные, наука знает немало случаев, когда именно таким образом совершались открытия.

Постановка проблемы:

Повторение теории по данной проблематике:

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции на заданном промежутке I , если для всех х из этого промежутка

Основное свойство первообразной: Любая первообразная для функции (x) на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных для функции на промежутке I, а C-произвольная постоянная.

Правила нахождения первообразной:

(1)

(2)

(3)

(4)

Необходимо так же вспомнить правила нахождения производной: нам придется доказывать, что найденная нами функция действительно соответствует определению первообразной, а для доказательства потребуются знания по правилам нахождения производной.

(5)

(6)

(7)

Подбор инструментов для исследования:

Действия (все арифметические, дифференцирование, интегрирование ..). Тождества (все известные учащимся, включая формулы …). Функции (можно перечислить элементарные, но всех конструкций из элементарных функций перечислить невозможно). Это наши инструментальные ЅящикиЅ. Из них мы будем извлекать инструменты и с их помощью добиваться цели.

Процесс исследования

.

Найдем хотя бы одну первообразную, т.е. будем в дальнейших рассуждениях полагать C=0. Учащиеся предложат следующее: Нужно найти тождества типа:

,

воздействовать на них инструментом , и если интеграл для функции g(x) (т.е. правой части) найдется - то задача решена. Вспоминаем такие тождества. Знакомо только одно:

.

Проинтегрировав обе части, убеждаемся, что цели добиться не удалось, нужно искать другое тождество. Известных тождеств, где было бы слагаемым (чтобы его выразить), нет. А наша задача как раз и состоит в том, чтобы в тождестве было слагаемым! Задача усложнилась. Теперь придется такое тождество конструировать, создавая модель. Открываем ящик - функции. Какую из них взять? Пока непонятно. Возьмем в общем виде - . Начнем создавать (используя ящик действия) модель: Первое предложение будет таким: Например: - это наша модель.

Воздействуем на модель инструментом - дифференцирование. Будем иметь:

да, слагаемого мы так и не получили. Другие воздействия (идей будет много, и все нужно тщательно рассмотреть - времени на это много не потребуется) вряд ли приведут к нужному результату ( появится либо степень, либо корень ..). Нужно изменить модель.

Возьмем в качестве модели конструкцию: Воздействуем на модель инструментом - дифференцирование (другие действия (попытка - не пытка), а ученики будут их предлагать, вряд ли приведут к выделению искомого слагаемого, но мы рассматриваем все предложения досконально, пока не зайдем в тупик.). Имеем:

всё хорошо, если бы не множитель . Тогда было бы слагаемым. Но - произвольная функция. Какую же функцию взять, чтобы Ясно, что т. к Поправим модель:

В процессе воздействия на модель инструментом дифференцирование получим

Далее:

.

Теперь интегрируем - для этого мы и выделяли слагаемое . Получим:

-

наша попытка увенчалась успехом. Получено:

Следовательно, одной из первообразных логарифмической функции будет

,

Обработка полученного результата: Осталось показать, что

=.

Доказательство:

что и требовалось доказать! В процессе исследования нами была выведена формула, которую вряд ли мы найдем в литературе по математике, но её ценность и красоту трудно преувеличить. Вернемся к тождеству . Из него имеем:

.

Полагая в этой формуле

.

неиссякаема красота в математике!

Используя полученные знания, полагая в формуле , получим:

Задача: При каком значении параметра площадь, ограниченная линиями равна 1?

Решение: Построим указанные линии.

Тогда

1

но

,

Ответ: При

Домашнее задание: Используя формулу проведите полное исследование для нахождения

Размещено на Allbest.ru