Нестандартные задачи, как средство формирования интереса к математике у учащихся

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Теоретические основы формирования интереса к математике

1.1 Сущность понятия «интерес»

1.2 Нестандартные задачи и их виды

1.3 Методы решения нестандартных задач

2. Формирование у школьников умений решать нестандартные задачи

2.1 Нестандартные задания для учащихся начальной школы

2.2 Нестандартные задания для основной школы

Заключение

Литература

Введение

Стратегия современного образования заключается в предоставлении возможности всем учащимся проявить свои таланты и творческий потенциал, подразумевающий возможность реализации личных планов. Поэтому на сегодняшний день актуальна проблема поиска средств развития мыслительных способностей, связанных с творческой деятельностью учащихся как в коллективной, так и в индивидуальной форме обучения. Данной проблеме посвящены работы педагогов Т.М. Давыденко, Л.В. Занкова, А.И. Савенкова и др., в которых акцентируется внимание на определении средств повышения продуктивной познавательной деятельности учащихся, организации их творческой деятельности.

Активному приобретению знаний способствует интерес к предмету, так как ученики занимаются в силу своего внутреннего влечения, по собственному желанию. Тогда учебный материал они усваивают достаточно легко и основательно. Но в последнее время отмечается тревожный и парадоксальный факт: интерес к учению от класса к классу уменьшается, несмотря на то, что интерес к явлениям и событиям окружающего мира продолжает развиваться, становится более сложным по содержанию.

Воспитание интереса школьников к математике, развитие их математических способностей невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, числовых головоломок, задач-сказок и т.п. В связи с этим наметилась тенденция использования нестандартных задач как необходимого компонента обучения учащихся математике (С. Г. Губа, 1972).

Педагогический опыт свидетельствует, что «…эффективно организованная учебная деятельность учащихся в процессе решения нестандартных задач является важнейшим средством формирования математической культуры и качеств математического мышления; органическое сочетание этих качеств проявляется в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность» [6, с. 12].

Таким образом, с одной стороны, необходимо учить учащихся решению нестандартных задач, так как таким задачам принадлежит особая роль в формировании интереса к предмету и в формировании творческой личности, с другой стороны, многочисленные данные свидетельствуют о том, что вопросу формирования умения решать такие задачи, обучения приемам поиска решения задач не уделяется должного внимания [21, с. 481].

Вышеизложенное обусловило выбор темы исследования: «Нестандартные задачи как средство формирования интереса к математике у учащихся».

Объект исследования - процесс формирования интереса к математике у учащихся школы.

Предмет исследования - формирование у учащихся умений решать нестандартные задачи для формирования интереса к математике.

Цель исследования - доказать, что знание различных методов способствует формированию у учащихся умений решать нестандартные задачи.

В соответствии с поставленной целью определены задачи исследования:

· Изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы и характеристика понятий «интерес» и «нестандартная задача».

· Выявление видов нестандартных задач.

· Ознакомление с методами решения нестандартных задач.

· Составление дидактических материалов для учащихся по формированию умений решать нестандартные задачи разными методами.

Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Первая глава носит теоретический характер, в ней рассмотрены различные трактовки понятия «интерес», освещена роль нестандартных задач в формировании интереса к математике у учащихся, приведены некоторые классификации нестандартных задач. Во второй главе представлен составленный автором исследования дидактический материал, направленный на формирование умений решать нестандартные задачи разными методами

В ходе исследования использовался теоретический метод, анализ учебной и методической литературы, моделирование.

1. Теоретические основы формирования интереса к математике

1.1 Сущность понятия «интерес»

Существуют различные подходы к понятию «интерес». Различные методисты и учёные трактуют его по-разному. Так, например, лингвист, лексикограф, доктор филологических наук и профессор Сергей Иванович Ожегов даёт несколько определений понятия «интерес»:

1. Особое внимание к чему-нибудь, желание вникнуть в суть, узнать, понять. (Проявлять интерес к делу. Утратить интерес к собеседнику. Обострённый интерес ко всему новому).

2. Занимательность, значительность. (Интерес рассказа в его сюжете. Дело имеет общественный интерес).

3. Многочисленные нужды, потребности. (Групповые интересы. Защищать свои интересы. Духовные интересы. Это не в наших интересах).

4. Выгода, корысть (разг.). (У него здесь свой интерес. Играть на интерес - на деньги) (С.И. Ожегов, 2009).

Русский учёный и писатель Владимир Иванович Даль, прославившийся как автор «Толкового словаря живого великорусского языка», даёт такое определение:

«Интерес - польза, выгода, прибыль; проценты, рост на деньги; сочувствие в ком или чем, участие, забота. Занимательность или значение, важность дела.

Интерес - это избирательная направленность человека, его внимания, мыслей, помыслов (С.Л. Рубинштейн).

Интерес - это своеобразный сплав эмоционально-волевых и интеллектуальных процессов, повышающий активность сознания и деятельности человека (Л.А. Гордон).

Интерес - это активная познавательная направленность человека на тот или иной предмет, явление и деятельность, созданная с положительным эмоциональным отношением к ним (В.А. Крутецкий)» [11, с. 231].

Интересы человека определяются общественно-историческими и индивидуальными условиями его жизни. С помощью интереса устанавливается связь субъекта с объективным миром. Все, что составляет предмет интереса, почерпнуто человеком из окружающей действительности. Но предметом интереса для человека является далеко не все, что его окружает, а лишь то, что имеет для него необходимость, значимость, ценность и привлекательность.

Интересы людей чрезвычайно разнообразны. Существует несколько классификаций интересов:

· по содержанию:

­ материальные интересы (Проявляются в стремлении к жилищным удобствам, гастрономическим изделиям, к одежде и т.п.);

­ духовные интересы (Это познавательные интересы к математике, физике, химии, биологии, философии, психологии и т.п., интересы к литературе и разным видам искусства (музыке, живописи, театру). Характеризуют высокий уровень развития личности.);

­ общественные интересы (Включают интерес к общественной работе, к организационной деятельности.);

· по направленности:

­ широкие интересы (Разнообразие интересов при наличии основного, центрального интереса.);

­ узкие интересы (Наличие одного-двух ограниченных и изолированных интересов при полном равнодушии ко всему остальному.);

­ глубокие интересы (Потребность основательно изучить объект во всех деталях и тонкостях.);

­ поверхностные интересы (Скольжение по поверхности явления и нет интереса к объекту по-настоящему.);

· по силе:

­ устойчивые интересы (Длительно сохраняются, играют существенную роль в жизни и деятельности человека и являются относительно закрепленными особенностями его личности.);

­ неустойчивые интересы (Сравнительно кратковременны: быстро возникают и быстро угасают.);

· по опосредованности:

­ прямые (непосредственные) интересы (Вызываются самим содержанием той или иной области знаний или деятельности, ее занимательностью и увлекательностью.);

­ косвенные (опосредованные) интересы (Вызываются не содержанием объекта, а тем значением, которое он имеет, будучи связанным с другим объектом, непосредственно интересующим человека.);

· по уровню действенности:

­ пассивные интересы;

­ созерцательные интересы (Когда человек ограничивается восприятием интересующего объекта.);

­ активные интересы;

­ действенный интерес (Когда человек не ограничивается созерцанием, а действует с целью овладения объектом интереса.) (Г. И. Щукина, 1988).

Существует особый вид интересов человека - познавательный интерес.

«Познавательный интерес - это избирательная направленность личности, обращенная к области познания, к ее предметной стороне и самому процессу овладения знаниями» [47, с. 39].

Познавательный интерес может быть широким, распространяющимся на получение информации вообще, и углубленным в определенную область познания. Он направлен на овладение знаниями, которые представлены в школьных предметах. При этом он обращен не только к содержанию данного предмета, но и к процессу добывания этих знаний, к познавательной деятельности. математический педагогический учащийся

В педагогике наряду с термином «познавательный интерес» употребляется термин «учебный интерес». Понятие «познавательный интерес» более широкое, так как в зоне познавательного интереса находятся не только знания, ограниченные учебными программами, но и выходящие далеко за ее пределы.

В зарубежной литературе термин «познавательный интерес» отсутствует, но существует понятие «интеллектуальный интерес». Этот термин тоже не включает всего того, что входит в понятие «познавательный интерес», так как познание включает в себя не только интеллектуальные процессы, но и элементы практических действий, связанных с познанием.

Познавательный интерес это соединение психических процессов: интеллектуального, волевого и эмоционального. Они очень важны для развития личности.

В интеллектуальной деятельности, протекающей под влиянием познавательного интереса, проявляются:

· активный поиск;

· догадка;

· исследовательский подход;

· готовность к решению задач.

Эмоциональные проявления, сопровождающие познавательный интерес:

· эмоции удивления;

· чувство ожидания нового;

· чувство интеллектуальной радости;

· чувство успеха.

Характерными для познавательного интереса волевыми проявлениями считаются:

· инициатива поиска;

· самостоятельность добывания знаний;

· выдвижение и постановка познавательных задач.

Итак, интеллектуальная, волевая и эмоциональная стороны познавательного интереса выступают как единое взаимосвязанное целое.

Своеобразие познавательного интереса выражается в углубленном изучении, в постоянном и самостоятельном добывании знаний в интересующей области, в активном приобретении необходимых для этого способов, в настойчивом преодолении трудностей, лежащих на пути овладения знаниями и способами их получения.

Психологи и педагоги выделяют три основных мотива, побуждающих школьников учиться:

· Интерес к предмету (Я изучаю математику не потому, что преследую какую-то цель, а потому, что сам процесс изучения доставляет мне удовольствие). Высшая степень интереса - это увлечение. Занятия при увлечении порождают сильные положительные эмоции, а невозможность заниматься воспринимается как лишение.

· Сознательность. (Занятия по данному предмету мне не интересны, но я осознаю их необходимость и усилием воли заставляю себя заниматься).

· Принуждение. (Я занимаюсь потому, что меня заставляют родители, учителя). Часто принуждение поддерживается страхом наказания или соблазном награды. Различные меры принуждения в большинстве случаев не дают положительных результатов (25, с. 24).

Интерес в высокой степени повышает эффективность уроков. Если ученики занимаются в силу своего внутреннего влечения, по собственному желанию, то учебный материал они усваивают достаточно легко и основательно, в силу этого имеют хорошие оценки по предмету. У большинства неуспевающих учеников обнаруживается отрицательное отношение к учению. Таким образом, чем выше интерес учащегося к предмету, тем активнее идет обучение и тем лучше его результаты. Чем ниже интерес, тем формальнее обучение, хуже его результаты. Отсутствие интереса приводит к низкому качеству обучения, быстрому забыванию и даже к полной потере приобретенных знаний, умений и навыков.

Формируя познавательные интересы у учащихся, надо иметь в виду, что они не могут охватывать всех учебных предметов. Интересы носят избирательный характер, и один ученик, как правило, может заниматься с настоящим увлечением лишь по одному-двум предметам. Но, наличие устойчивого интереса к тому или иному предмету положительно сказывается на учебной работе по другим предметам, тут имеют значение как интеллектуальные, так и моральные факторы. Интенсивное умственное развитие, связанное с углубленным изучением одного предмета, облегчает и делает более эффективным учение школьника по другим предметам. С другой стороны, достигаемые успехи в учебной работе по любимым предметам укрепляют чувство собственного достоинства ученика, и он стремится прилежно заниматься вообще.

Важной задачей учителя является формирование у школьников первых двух мотивов учения - интереса к предмету и чувства долга, ответственности в учебе. Их сочетание позволит ученику достигнуть хороших результатов в учебной деятельности.

Формирование познавательных интересов начинается задолго до школы, в семье, их возникновение связывают с появлением у детей таких вопросов, как «Почему?», «Отчего?», «Зачем?». Интерес выступает первоначально в форме любопытства. К концу дошкольного возраста под влиянием старших у ребенка формируется интерес к учению в школе: он не только играет в школу, но и делает успешные попытки овладеть чтением, письмом, счетом и т.п.

В начальной школе познавательные интересы углубляются. Формируется сознание жизненной значимости учения. С течением времени познавательные интересы дифференцируются: одним больше нравится математика, другим чтение и т.п. Большой интерес проявляется у детей к процессу труда, особенно если он совершается в коллективе. Учение и другие виды познания вступают в конфликт, так как новые интересы школьников недостаточно удовлетворяется в школе. Разбросанность и неустойчивость интересов подростков объясняется и тем, что они «нащупывают» свой основной, центральный, стержневой интерес как основу жизненной направленности и пробуют себя в разных областях. Когда интересы и склонности подростков, наконец-то, определяются, то у них начинают формироваться и ярко проявляться способности. К концу подросткового возраста начинают формироваться интересы к определенной профессии. В старшем школьном возрасте развитие познавательных интересов, рост сознательного отношения к учению определяют дальнейшее развитие произвольности познавательных процессов, умения управлять ими, сознательно регулировать их. В конце старшего возраста учащиеся овладевают своими познавательными процессами, подчиняют их организацию определенным задачам жизни и деятельности.

Одним из средств развития интереса к математике являются нестандартные задачи. Остановимся на них подробнее.

1.2 Нестандартные задачи и их виды

Понятие «нестандартная задача» используется многими методистами. Так, Ю. М. Колягин раскрывает это понятие следующим образом: «Под нестандартной понимается задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение» [10, с. 36].

Определение нестандартной задачи приведено также в книге «Как научиться решать задачи» авторов Л.М. Фридмана, Е.Н. Турецкого: «Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» [42, с. 69].

Не следует путать нестандартные задачи с задачами повышенной сложности. Условия задач повышенной сложности таковы, что позволяют ученикам довольно легко выделить тот математический аппарат, который нужен для решения задачи по математике. Учитель контролирует процесс закрепления знаний, предусмотренных программой обучения решением задач этого типа. А вот нестандартная задача предполагает наличие исследовательского характера. Однако если решение задачи по математике для одного учащегося является нестандартным, поскольку он незнаком с методами решения задач данного вида, то для другого - решение задачи происходит стандартным образом, так как он уже решал такие задачи и не одну. Одна и та же задача по математике в 5 классе нестандартна, а в 6 классе она является обычной, и даже не повышенной сложности.

Анализ учебников и учебных пособий по математике показывает, что каждая текстовая задача в определенных условиях может быть нестандартной, а в других - обычной, стандартной. Стандартная задача одного курса математики может быть нестандартной в другом курсе.

Опираясь на анализ теории и практики использования нестандартных задач в обучении математике, можно установить их общую и специфическую роль. Нестандартные задачи:

· учат детей использовать не только готовые алгоритмы, но и самостоятельно находить новые способы решения задач, т.е. способствуют умению находить оригинальные способы решения задач;

· оказывают влияние на развитие смекалки, сообразительности учащихся;

· препятствуют выработке вредных штампов при решении задач, разрушают неправильные ассоциации в знаниях и умениях учащихся, предполагают не столько усвоение алгоритмических приемов, сколько нахождение новых связей в знаниях, к переносу знаний в новые условия, к овладению разнообразными приемами умственной деятельности;

· создают благоприятные условия для повышения прочности и глубины знаний учащихся, обеспечивают сознательное усвоение математических понятий.

Нестандартные задачи:

· не должны иметь уже готовых, заученных детьми алгоритмов;

· должны быть доступны по содержанию всем учащимся;

· должны быть интересными по содержанию;

· для решения нестандартных задач учащимся должно хватать знаний, усвоенных ими по программе.

Решение нестандартных задач активизирует деятельность учащихся. Учащиеся учатся сравнивать, классифицировать, обобщать, анализировать, а это способствует более прочному и сознательному усвоению знаний.

Как показала практика, нестандартные задачи весьма полезны не только для уроков, но и для внеклассных занятий, для олимпиадных заданий, так как при этом открывается возможность по-настоящему дифференцировать результаты каждого участника. Такие задачи могут с успехом использоваться и в качестве индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основной частью самостоятельной работы на уроке, или для желающих в качестве дополнительных заданий. В результате учащиеся получают интеллектуальное развитие и подготовку к активной практической деятельности.

Общепринятой классификации нестандартных задач нет, но Б.А. Кордемский выделяет следующие виды таких задач:

· Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности - типа задач математических олимпиад. Предназначаются в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач.

· Задачи типа математических развлечений. Прямого отношения к школьной программе не имеют и, как правило, не предполагают большой математической подготовки. Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только лёгкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сих пор не получено. «Нестандартные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Не связанные с необходимостью всякий раз применять для их решения заученные правила и приёмы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми примерами, заставляют восхищаться силой разума» [11, с. 7].

К этому виду задач относятся:

­ разнообразные числовые ребусы («… примеры, в которых все или некоторые цифры заменены звездочками или буквами. Одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры» [15, с. 32].) и головоломки на смекалку;

­ логические задачи, решение которых не требует вычислений, но основывается на построении цепочки точных рассуждений;

­ задачи, решение которых основывается на соединении математического развития и практической смекалки: взвешивание и переливания при затруднительных условиях;

­ математические софизмы - это умышленное, ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. (Софизм - доказательство ложного утверждения, причём ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софизм в переводе с греческого означает хитроумную выдумку, ухищрение, головоломку);

­ задачи-шутки;

­ комбинаторные задачи, в которых рассматриваются различные комбинации из заданных объектов, удовлетворяющие определённым условиям (Б.А. Кордемский, 1958).

Не менее интересна классификация нестандартных задач, приведённая И.В. Егорченко:

· задачи, направленные на поиск взаимосвязей между заданными объектами, процессами или явлениями;

· задачи, неразрешимые или не решаемые средствами школьного курса на данном уровне знаний учащихся;

· задачи, в которых необходимо:

­ проведение и использование аналогий, определение различий заданных объектов, процессов или явлений, установление противоположности заданных явлений и процессов или их антиподов;

­ осуществление практической демонстрации, абстрагирование от тех или иных свойств объекта, процесса, явления или конкретизации той или иной стороны данного явления;

­ установка причинно-следственных отношений между заданными объектами, процессами или явлениями;

­ построение аналитическим или синтетическим путем причинно-следственных цепочек с последующим анализом получившихся вариантов;

­ правильное осуществление последовательности определенных действий, избегая ошибок-«ловушек»;

­ осуществление перехода от плоскостного к пространственному варианту заданного процесса, объекта, явления или наоборот (И.В. Егорченко, 2003).

Итак, единой классификации нестандартных задач нет. Их существует несколько, но автор работы использовал в исследовании классификацию, предложенную И.В. Егорченко.

1.3 Методы решения нестандартных задач

Русский филолог Дмитрий Николаевич Ушаков в своём толковом словаре даёт такое определение понятия «метод» - путь, способ, прием теоретического исследования или практического осуществления чего-нибудь (Д. Н. Ушаков, 2000).

Каковы же методы обучения решению задач по математике, которые мы считаем на данный момент нестандартными? Универсального рецепта, к сожалению, никто не придумал, учитывая уникальность данных задач. Некоторые учителя натаскивают в шаблонных упражнениях. Происходит это следующим образом: учитель показывает способ решения, а затем ученик повторяет это при решении задач многократно. При этом убивается интерес учащихся к математике, что, по меньшей мере, печально.

В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как «вызов интеллекту, и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия, в развитии творческих способностей» [8, с. 32].

Рассмотрим, несколько методов решения нестандартных задач:

· алгебраический;

· арифметический;

· метод перебора;

· метод рассуждения;

· практический;

· метод предположения.

Алгебраический метод решения задач развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо:

· провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме двух алгебраических выражений;

· найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;

· найти решения полученного уравнения, организовать проверку решения уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Например, о поисках основания для соединения двух алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об особом этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом возможности соединить их знаком «=».

Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в…раз» и т.п.). Далее требуется понимание, каким именно математическим действием или, свойством действия или какой связью (зависимостью) между компонентами и результатом действия может быть описано то или иное конкретное отношение.

Приведём пример решения нестандартной задачи алгебраическим методом.

Задача. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста - 1кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе». Какова масса рыбы?

Решение.

Пусть х кг - масса туловища; тогда (1+1/2х) кг - масса головы. Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем и решаем уравнение:

х = 1 + 1/2х + 1,

х - 1/2х =2,

х/2 = 2,

х = 4.

4 кг - масса туловища, тогда 1+1/2 • 4=3 (кг) - масса головы и 3+4+1=8 (кг) - масса всей рыбы;

Ответ: 8 кг.

Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию.

Рассмотрим пример решения нестандартной задачи арифметическим методом:

Задача. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?»

«В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», - ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», - подсчитал второй. Мы сосчитали, а теперь посчитайте вы.

Решение.

Построим схему к задаче. Обозначим первым отрезком схемы количество рыбы у первого рыбака. Вторым отрезком обозначим количество рыбы у второго рыбака.

В связи с тем, что современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике, в школьный курс математики вводят элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, в которых удобно разбираться при помощи метода перебора.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие школьников. «Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это» [6, с. 21].

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. Условно эти методы можно разделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. Результат - это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким методам относится метод перебора. Этот метод доступен даже младшим школьникам, и позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приёмами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Задачи по сложности осуществления перебора делятся на три группы:

1 . Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.

2. Задачи, в которых использовать приём полного перебора нецелесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).

3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Приведём соответствующие примеры задач:

Задача. Расставляя знаки «+» и «-» между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Решение.

Проводится полный перебор вариантов:

а) два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем:

9 + 2 + 4 или 9 - 2 - 4;

б) два знака могут быть разными, тогда получаем:

9 + 2 - 4 или 9 - 2 + 4.

Задача. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Решение.

Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно, поэтому проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять большой круг, тогда маленький может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами - на второе и четвёртое место.

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, и также составляются два варианта.

Задача. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Решение.

Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф.

Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

При отборе комбинаторных задач нужно обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Желательно, чтобы задачи не выглядели искусственным, а были понятны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции. Можно для составления задач использовать практический материал из жизни.

Встречаются и другие задачи, которые можно решить методом перебора.

В качестве примера решим задачу: «Маркизу Карабасу было 31 год, а его молодому энергичному Коту в Сапогах 3 года, когда произошли известные по сказке события. Сколько лет произошло с тех пор, если сейчас Кот в три раза младше своего хозяина?» Перебор вариантов представим таблицей.

Возраст Маркиза Карабаса и Кота в Сапогах

М.	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42
К.	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Во ? раз	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	+

14 - 3 = 11 (лет)

Ответ: 11 лет прошло.

При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условиям задачи, показав, что других решений быть не может.

Эту задачу можно решить и алгебраическим методом.

Пусть Коту х лет, тогда Маркизу 3х, исходя из условия задачи, составим уравнение:

3х - х = 28,

2х = 28,

х = 28: 2,

х = 14.

Коту сейчас 14 лет, тогда прошло 14 - 3 = 11(лет).

Ответ: 11 лет прошло.

Метод рассуждений можно использовать для решения математических софизмов.

Ошибки, допущенные в софизме, обычно сводятся к следующим: выполнению «запрещённых» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.

Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждении, основываясь на которой была создана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это, значит, осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Помимо критичности математического мышления этот вид нестандартных задач выявляет гибкость мышления. Сумеет ли ученик «вырваться из тисков» этого строго логичного на первый взгляд пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ошибочным и делает ошибочным все дальнейшие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность и критическое отношение к тому, что изучается.

а) Вот, к примеру, софизм с неправильным применением теоремы.

Докажем, что 2 • 2 = 5.

Возьмём в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4 : 4 = 5 : 5 (1)

Вынесем за скобки общий множитель в левой и правой частях, получим:

4 • (1 : 1) = 5 • (1 : 1) (2)

Числа в скобках равны, значит, 4 = 5 или 2 • 2 = 5.

Решение.

В рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения.

б) Софизм с использованием «незаконных» обобщений.

Имеются две семьи - Ивановых и Петровых. Каждая состоит из 3 человек - отца, матери и сына. Отец Иванов не знает отца Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Единственный сын Ивановых не знает единственного сына Петровых. Вывод: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Верно ли это?

Решение.

Если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному статусу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Например, отец Иванов может знать мать и сына Петровых.

Метод рассуждений можно использовать и для решения логических задач. Под логическими задачами обычно понимают такие задачи, которые решаются с помощью одних лишь логических операций. Иногда решение их требует длительных рассуждений, необходимое направление которых заранее нельзя предугадать.

Задача. Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелёную. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей - «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной - «Здесь сидит змея». Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой - змея, а третья - пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

Решение.

Так как все надписи на коробочках неверны, то в красной коробочке лежит не золотой ключик, зеленая коробочка не пустая и в ней не змея, значит в зеленой коробочке - ключик, в красной - змея, а синяя - пуста.

При решении логических задач активизируется логическое мышление, а это умение выводить следствия из посылок, которое крайне необходимо для успешного овладения математикой.

Ребус - это загадка, но загадка не совсем обычная. Слова и числа в математических ребусах изображены при помощи рисунков, звездочек, цифр и различных знаков. Чтобы прочесть то, что зашифровано в ребусе, надо правильно назвать все изображенные предметы и понять, какой знак что изображает. Ребусами люди пользовались еще тогда, когда не умели писать. Свои письма они составляли из предметов. Например, вожди одного племени послали однажды своим соседям вместо письма птицу, мышь, лягушку и пять стрел. Это означало: «Умеете ли летать как птицы и прятаться в земле как мыши, прыгать по болотам как лягушки? Если не умеете, то не пробуйте воевать с нами. Мы засыпим вас стрелами, как только вы вступите в нашу страну».

Решение.

Судя по первой букве суммы 1), Д = 1 или 2.

Предположим, что Д = 1. Тогда, У ? 5. У = 5 исключаем, т.к. Р не может быть равно 0. У ? 6, т.к. 6 + 6 = 12, т.е. Р = 2. Но такое значение Р при дальнейшей проверке не подходит. Аналогично, У ? 7.

Предположим, что У = 8. Тогда, Р = 6, А = 2, К = 5, Д = 1.

Магический (волшебный) квадрат - это квадрат, в котором сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали получается одинаковой.

Задача. Расположите числа от 1 до 9 так, чтобы по вертикали, горизонтали и диагонали получилась одинаковая сумма чисел, равная 15.

Решение.

Хотя общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому эти задачи и называются нестандартными), однако мы постарались дать ряд общих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач разных видов.

Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

· умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;

· умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;

· умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;

· умения записывать ход решения и ответ задачи;

· умения проводить дополнительную работу над задачей;

· умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Нестандартные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и выполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении задач типа: «Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько всего получилось кусочков торта?»

Практический метод можно рассмотреть для нестандартных задач на деление.

Задача. Палку нужно распилить на 6 частей. Сколько потребуется распилов?

Решение: Распилов потребуется 5.

При изучении нестандартных задач на деление надо понять: чтобы разрезать отрезок на Р частей, следует сделать (Р - 1) разрез. Этот факт нужно установить с детьми индуктивным путём, а затем использовать при решении задач.

Задача. В трёхметровом бруске - 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Сколько надо сделать разрезов?

Решение: Получаем 6 брусков 300 : 50 = 6 (брусков)

Рассуждаем так: чтобы разделить брусок пополам, т. е. на две части, надо сделать 1 разрез, на 3 части - 2 разреза и так далее, на 6 частей - 5 разрезов.

Итак, надо сделать 6 - 1 = 5 (разрезов).

Ответ: 5 разрезов.

Итак, одним из основных мотивов, побуждающих школьников учиться, является интерес к предмету. Интерес - это активная познавательная направленность человека на тот или иной предмет, явление и деятельность, созданная с положительным эмоциональным отношением к ним. Одним из средств развития интереса к математике являются нестандартные задачи. Под нестандартной задачей понимают такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Решение таких задач позволяет учащимся активно включиться в учебную деятельность. Существуют различные классификации задач и методов их решения. Самыми часто используемыми являются алгебраический, арифметический, практический методы и метод перебора, рассуждения и предположения.

2. Формирование у школьников умений решать нестандартные задачи

2.1 Нестандартные задания для учащихся начальной школы

Дидактический материал предназначен для учащихся и учителей начальной школы. Он содержит нестандартные математические задачи, которые могут быть использованы на уроках и во внеурочной деятельности. Задачи структурированы по методам решения: арифметический, практический методы, метод перебора, рассуждения и предположения. Задачи представлены разных типов: математические развлечения; разнообразные числовые ребусы; логические задачи; задачи, решение которых основывается на соединении математического развития и практической смекалки: взвешивание и переливания при затруднительных условиях; математические софизмы; задачи-шутки; комбинаторные задачи. Ко всем задачам даны решения и ответы.

· Реши задачи арифметическим методом:

1. Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Что за число получилось?

2. Сколько получится, если сложить числа: наименьшее двузначное, наименьшее трёхзначное, наименьшее четырёхзначное?

3. Задача:

«К серой шапке на урок

Прилетели семь сорок,

А из них лишь 3 сороки

Приготовили уроки.

Сколько лодырей-сорок

Прилетело на урок?»

4. Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живёт на третьем этаже. На каком этаже живёт Петя?

5. По рецепту врача для больного купили в аптеке 10 таблеток. Врач прописал принимать лекарство по 3 таблетки в день. На сколько дней хватит этого лекарства?

· Реши задачи методом перебора:

6. Вставьте вместо звёздочки знаки «+» или «-» так, чтобы получилось верное равенство:

а) 2 * 3 * 1 = 6;

б) 6 * 2 * 3 = 1;

в) 2 * 3 * 1 = 4;

г) 8 * 1 * 4 = 5;

д) 7 * 2 * 4 = 5.

7. Между цифрами отсутствуют знаки «+» и «-». Необходимо как можно быстрее расставить знаки таким образом, чтобы получилось 12.

а) 2 6 3 4 5 8 = 12;

б) 9 8 1 3 5 2 = 12;

в) 8 6 1 7 9 5 = 12;

г) 3 2 1 4 5 3 = 12;

д) 7 9 8 4 3 5 = 12.

8. Оле на день рождения подарили 4 книги со сказками и стихами. Книг со сказками было больше, чем книг со стихами. Сколько книг со сказками подарили Оле?

9. Ваня и Вася решили на все свои деньги купить леденцов. Да вот незадача: денег у них было на 3 кг леденцов, а у продавца были только гири 5 кг и 2 кг. Но у Вани и Васи по математике «5», и они сумели купить то, что хотели. Как они это сделали?

10. Три подружки - Вера, Оля и Таня - пошли в лес по ягоды. Для сбора ягод у них были корзиночка, лукошко и ведёрко. Известно, что Оля была не с корзинкой и не с лукошком, Вера - не с лукошком. Что с собой взяла каждая из девочек для сбора ягод?

11. В соревнованиях по гимнастике Заяц, Мартышка, Удав и Попугай заняли первые 4 места. Определите, кто какое место занял, если известно, что Заяц - 2, Попугай не стал победителем, но в призёры попал, а Удав уступил Мартышке.

12. В бутылке, стакане, кувшине и банке налито молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, в банке - не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосудом с молоком. Определите, где какая жидкость.

13. На новогоднем утреннике три подруги, Аня, Вера и Даша, были активными участницами, одна из них была Снегурочкой. Когда их подруги спросили, кто же из них был Снегурочкой, то Аня им сказала: «На ваш вопрос каждая из нас даст свой ответ. По этим ответам вы должны догадаться сами, кто из нас в действительности был Снегурочкой. Но знайте, что Даша всегда говорит правду». - «Хорошо, - ответили подруги, - послушаем ваши ответы. Это даже интересно».

Аня: «Снегурочкой была я».

Вера: «Я не была Снегурочкой».

Даша: «Одна из них говорит правду, а другая неправду».

Так кто же из подруг на новогоднем утреннике был Снегурочкой?

14. Лестница состоит из 9 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы оказаться как раз на середине лестницы?

15. Какая ступенька будет средней у лестницы в 12 ступеней?

16. Аня сказала своему брату: «Я старше тебя на 3 года. На сколько лет я буду старше тебя через 5 лет?»

17. Раздели прямой линией циферблат часов на две части так, чтобы суммы чисел в этих частях были равными.

18. Раздели циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получились одинаковые суммы.

· Реши задачи практическим методом:

19. Веревку разрезали в 6 местах. Сколько частей получилось?

20. Шли 5 братьев. У каждого брата по одной сестре. Сколько всего шло человек?

21. Что тяжелее: килограмм ваты или полкилограмма железа?

22. Петух, стоя на одной ноге, весит 3 кг. Сколько будет весить петух, стоя на двух ногах?

· Реши задачи методом предположения:

23. Как записать число 10 пятью одинаковыми числами, соединив их знаками действий?

24. Как записать число 10 четырьмя различными числами, соединив их знаками действий?

25. Как число 5 можно записать тремя одинаковыми числами, соединив их знаками действий?

26. Как число 1 можно записать тремя различными числами, соединив их знаками действий?

27. Как с помощью шестилитрового и четырёхлитрового сосудов набрать из-под крана 2 литра воды?

28. Семилитровый сосуд заполнен водой. Рядом стоит пятилитровый сосуд, и в нём уже есть 4 л воды. Сколько литров воды надо перелить из большего сосуда в меньший, чтобы он заполнился доверху? Сколько литров воды останется после этого в большем сосуде?

29. Слонёнок заболел. Для его лечения требуется ровно 2 л апельсинового сока, а у доктора Айболита есть только полная пятилитровая банка с соком и пустая трёхлитровая банка. Как Айболиту отмерить ровно 2 л сока?

30. С Винни-Пухом, Пятачком и Кроликом произошла невероятная история. Раньше Вини-Пух любил мёд, Кролик - капусту, Пятачок - жёлуди. Но попав в зачарованный лес и проголодавшись, они обнаружили, что их вкусы изменились, но по-прежнему каждый предпочитает что-то одно. Кролик заявил: «Я не ем капусту и жёлуди». Пятачок промолчал, а Вини-Пух заметил: «А я не люблю капусту». Кто что стал любить есть?

Ответы и решения

1. 111000 + 11100 + 111 = 122211.

2. 10 + 100 + 1000 = 110.

3. 4.

4. Петя живёт на 9 этаже. Коля живёт на третьем этаже. До третьего этажа 2 «пролёта»: от первого до второго, от второго до третьего. Так как Пете нужно пройти в 4 раза больше ступенек, то 2 • 4 = 8. Значит, Коле нужно пройти 8 «пролётов», а до 9 этажа 8 «пролётов».

5. 3+3+3+1=10. На четвёртый день останется только 1 таблетка.

6.

а) 2 + 3 - 1 = 4;

б) 2 + 3 + 1 = 6;

в) 6 - 2 - 3 = 1;

г) 8 + 1 - 4 = 5;

д) 7 + 2 - 4 = 5.

7.

а) 2 + 6 - 3 + 4 - 5 + 8 = 12;

б) 9 + 8 + 1 - 3 - 5 + 2 = 12;

в) 8 - 6 - 1 + 7 + 9 - 5 = 12;

г) 3- 2 - 1 + 4 + 5 + 3 = 12;

д) 7 + 9 + 8 - 4 - 3 - 5 = 12.

8. Число 4 можно представить в виде суммы двух разных слагаемых единственным способом: 4 - 3 + 1. Книг со сказками было больше, значит, их было 3.

9. На одну чашку весов положить гирю в 5 кг, а на другую - леденцы и гирю в 2 кг.

	Корзиночка	Лукошко	Ведёрко
Вера	+	-	-
Оля	-	-	+
Таня	-	+	-

10. Занесём условие задачи в таблицу, и, где возможно, расставим плюсы и минусы:

	1 место	2 место	3 место	4 место
Заяц	-	+	-	-
Мартышка		-	-
Удав		-	-
Попугай	-	-	+	-

Получилось, что Мартышка и Удав на первом и четвёртом месте, но так как по условию Удав уступил Мартышке, то получается, что на первом месте - Мартышка, на втором - Попугай и на четвёртом - Удав.

11. Условия, что вода - не в бутылке, молоко - не в бутылке, лимонад - не в банке, вода - не в банке занесём в таблицу. Из условия, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, делаем вывод, что лимонад - не в кувшине и квас не в кувшине. А так как стакан стоит около банки и сосуда с молоком, то можно сделать вывод, что молоко - не в банке и не в стакане. Расставим «+», в итоге получаем, что молоко находится в кувшине, лимонад - в бутылке, квас - в банке и вода - в стакане.

12. Из утверждения Даши получаем, что среди высказываний Ани и Веры одно истинное, а другое - ложное. Если ложным будет высказывание Веры, то получим, что и Аня, и Вера были Снегурочками, чего быть не может. Значит, ложным должно быть высказывание Ани. В этом случае получаем, что Аня Снегурочкой не была, не была Снегурочкой и Вера. Остаётся, что Снегурочкой была Даша.

При умножении числа 51 на однозначное число вновь получили двузначное число. Это возможно лишь в том случае, если умножили на 1. Значит, второй множитель равен 11.

13. При умножении первого множителя на 2 получается четырёхзначное число, а при умножении на цифру сотен и цифру единиц - трёхзначные числа. Делаем вывод, что второй множитель - 121. Первая цифра первого множителя равна 7, а последняя равна 6. Получаем произведение чисел 746 и 121. 1-я цифра в 1-м множителе равна 7, последняя - 6.

Ответ: 746

121

746

1492

746

90266

14. На пятую ступеньку.

15. У лестницы в 12 ступеней не будет средней ступени, у неё есть только пара средних ступенек - шестая и седьмая. Решение этой задачи, так же как и предыдущей, можно проверить, выполнив рисунок.

16. На 3 года.

17. Нужно провести линию между числами 3 и 4 и между 10 и 9.

18. 11, 12, 1, 2; 9, 10, 3, 4: 5, 6, 7, 8.

19. Получится 7 частей.

20. 6 чел. 5 братьев и 1 сестра.

21. Килограмм ваты

22. 3 кг.

23. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.

24. 1 + 2 + 3 + 4 = 10

25. 5 + 5 - 5 = 5

26. 4 - 2 - 1; 4 - 1 - 2; 5 - 3 - 1; 6 - 4 - 1; 6 - 2 - 3 и т.д.

27. Набрать в шестилитровый, из него вылить воду в четырёхлитровый, останется 2 литра.

28. Надо перелить 1 л воды, при этом в большем сосуде останется 6 л.

29. Перелить 3 л сока в трёхлитровую банку, тогда в большой банке останется 2 л сока.

30. Кролик - мёд, Вини - Пух - жёлуди, Пятачок - капусту.

...