Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Установа освіти

«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »

Математичний факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Вимірювання геометричних величин в курсі середньої школи

Виконавець: студентка

групи Горошко А.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук,

доцент Лебедєва М.Т.

Гомель 2007

Зміст

Введення

1. Освітні цілі вивчення теми в шкільному курсі математики. Загальне поняття величини. Приклад побудови теорії величин

2. Методика вивчення геометричних величин. Теорія вимірювання довжин відрізків

Висновок

Література



Введення

Вимірювання геометричних величин - одна з основних ліній шкільного курсу геометрії, яка знайомить учнів з важливими ідеями, поняттями і методами метричної геометрії. Вимірювання геометричних величин пов'язано з ідеєю аксіоматичного методу, теорією дійсного числа, методами математичного аналізу. Знайомство учнів з різними формулами розширює можливості застосування в шкільному курсі геометрії аналітичного методу. Головна особливість викладу матеріалу - поєднання різних математичних ідей та методів, наприклад, в темі «Площі фігур» використовується традиційно-синтетичний та аналітичний методи.



1. Освітні цілі вивчення теми в шкільному курсі математики. Загальне поняття величини. Приклад побудови теорії величин

Програма 1981р. (Базисна) наступним чином визначає зміст теми по класах:

-Початкова школа: приклади величин (довжина, площа, маса, вартість); одиниці їх вимірювання; приклади залежностей між величинами (шляхом, швидкістю і часом; площею і довжинами сторін прямокутника і т. д.);

-В 5-6 класах: приклади величин (довжина, площа, обсяг, градусна міра кута); одиниці виміру довжин, площ, об'ємів і кутів; масу тіл; площа прямокутника, прямокутного трикутника, об'єм прямокутного паралелепіпеда, формули довжини кола і площі кола.

-В 7-9 класах: поняття про площі, основні властивості площі, площа прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, відношення площ подібних фігур, площа кола і його частин, рішення завдань на обчислення невідомих довжин, кутів і площ;

-В 10-11 класах: поняття про обсяг, основні властивості обсягу, обсяги багатокутників: прямокутного паралелепіпеда, призми, піраміди; об'єми тіл обертання: циліндра, конуса, кулі; площі сфери.

У цій же програмі пред'являються наступні вимоги до підготовки учнів у галузі геометричних величин:

-Учні початкової школи мають навчиться вимірювати найпростіші величини і виконувати над ними відповідні дії. Програма рекомендує основну увагу зосередити на виробленні міцних навичок вимірювання величин, на оволодіння найбільш поширеними на практиці одиницями вимірювання величин;

-Учням 5-6 класів необхідно набути навичок вимірювання геометричних величин, навчитися вирішувати найпростіші завдання на знаходження довжин, площ і обсягів;

-Учні 7-9 класів повинні набути навичок вимірювання і обчислення довжин, кутів і площ, що застосовуються для вирішення різноманітних геометричних та практичних завдань. Учні повинні також вирішувати нескладні завдання на знаходження величин, що не зводяться до безпосереднього застосування однієї формули або теореми.

-Учні 10-11 класів повинні вміти вирішувати нескладні завдання на знаходження довжин, кутів, площ і обсягів (у тому числі завдання з практичним змістом). При цьому потрібно не тільки вміння довести рішення до бажаного результату, але і умен7іе перевести практичну задачу на мову геометрії і вирішити її, наводячи досить повне обгрунтування.

Величина - одне з основних понять математики, що виникло в давнину і піддане в процесі розвитку математики ряду узагальнень.

Загальне поняття величини - безпосереднє узагальнення конкретних величин (довжини, площі, об'єму, маси і т.д.), властивості яких сформульовані ще в «засадах» Евкліда. Згодом ця величина отримала назву «позитивної скалярної величини», щоб відрізнити її від більш загальних понять величини (векторної та ін.)

Інтуїтивно ми уявляємо собі, що величина може бути більше або менше, дві однорідні величини можуть складатися, її можна виміряти, розуміючи під цим порівняння даної величини з однорідною, прийнятої за одиницю виміру. Однак сформулювати це поняття в математичних термінах не так то просто.

У навчанні школярів використовуються... величини, вивчення яких добре ілюструє загальне поняття величини при відповідній постановці навчання.

Розглянемо приклад побудови теорії величини.

Нехай маємо нескінченну безліч В з введеним в ньому ставленням <(менше) і операцією + (додавання), які назвемо системою однорідних величин, елементи цієї множини - однорідні величини. Ця система характеризується властивостями, які можна прийняти за аксіоми:

1. a, b: a <ba = bb <a, причому має місце одне з трьох співвідношень;

2. a, b, с: a <bb <з a <с - транзитивність "<"

3. a, b: з: a + b = з - замкнутість B щодо складання;

4. a, b: a + b = b + a - комутативність;

5. a, b, с: a + (b + з) = (a + b) + с - асоціативність додавання;

6. a, b: a + b> a - монотонність складання;

7. a, b ^ a> b =>! З: b + с = a - можливість обчислення: a - b = c;

8. а nb: nb = a - можливість розподілу величини на натуральне число: a: n = b;

9. a, bn N: a <nb - аксіома Архімеда;

10. нехай дано дві послідовності величин з В:

a1 <a2 <... <...; і... <... <b2 <b1 причому для будь-якої величини «с» при досить великому номері n:

bn-an <c,

тобто члени послідовності {an} і {bn} необмежено наближаються одна до одної. У такому випадку існує єдина величина х € В, к4оторая більше всіх an і менше всіх bn - аксіома безперервності.

Якщо будь - яку величину з € В прийняти за одиницю виміру, то всяка величина системи У однозначно бути подана в вигляді: a = Ьc, де Ь - позитивне дійсне число: Ь € R, (Ь> 0).

Міру а при одиниці вимірювання "з" позначимо через m (a), тобто якщо a = Ьc, то m (a) = Ь.

Міра має такі властивості:

1. m - функція з областю визначення У і областю значення R, тобто "M" відображає В на R;

2. монотонність заходи;

3. адитивність міри;

4. міра одиниці вимірювання дорівнює 1.

Перераховані властивості повністю характеризують міру "m", існує єдина функція: В -> R, що володіє цими властивостями, а саме міра m (a) величини а при одиниці вимірювання с.

Якщо з замінити через з ', то виходить нова міра: m' (a) = a ', причому так як m (a) = Ь, то зв'язок між двома заходами висловитися так: m' (a) = a-1m (a ).

Перераховані властивості загального поняття величини і заходи величини знаходять застосування (у явному чи не явному вигляді) при вивченні конкретних геометричних величин (довжини, площі і обсягу) у школі.

2. Методика вивчення геометричних величин. Теорія вимірювання довжин відрізків

Вимірювання геометричних величин (довжини, площі, обсягу) вивчається в шкільному курсі двічі, на двох різних рівнях.

На першому, експериментальному, рівні в початкових класах вчаться вимірювати довжини відрізків, площі найпростіших плоских фігур і обсяги найпростіших просторових тіл. На цьому рівні не дається визначень довжини, площі та об'єму. Мета полягає в тому, щоб створити в учнів ясні інтуїтивні поняття.

Методика вивчення геометричній величини на цьому рівні досить широко висвітлена в літературі.

Зупинимося на деяких питаннях методики вивчення геометричній величини на другому рівні.

'Шкільна' теорія вимірювання геометричних величин повинна будуватися з збереженням деякої загальної схеми. Це стосується насамперед до визначення понять: «довжини», «площа», «обсяг». Повторення однієї і тієї ж схеми визначення сприяє узагальненню, формування такого подання: з аналогії випливає, що ці поняття відносяться до одного більш загального поняття, що зв'язує їх. Розкриття зв'язку з цим в процесі навчання сприяє більш глибокому розумінню і міцності знань. Кожне з трьох понять визначаться як дійсне число, яке задовольняє умовам, які характеризують загальні поняття міри множини.

Наприклад, теорія вимірювання довжини відрізків може бути побудована за такою схемою:

Визначення довжини відрізка як дійсного числа, що задовольняє умовам 1) -4) поняття заходи;

Опис процедури вимірювання відрізка;

Встановлення існування та єдиності довжини відрізка при цьому виборі одиниці вимірювання з використанням аксіоми Архімеда;

Встановлення існування відрізка, довжина якого при цьому виборі одиниці вимірювання рівна будь-кому, наперед заданого додатного числа (з використанням аксіоми Кантора, геометричного еквіваленту аксіоми безперервності).

Роз'яснення учням старших класів сутності аксіоми Кантора не представляє особливих труднощів. Це можна зробити саме в зв'язку з встановленням властивості 4.

Випадок, коли на перед задане число раціонально, аксіома Кантора застосовується, а використовується елементарне побудова. Якщо це число ірраціонально, наприклад х = 2, 313113111311113..., то чинимо так: введемо на прямий систему координат (початок 0, напрями одиницю виміру). Ми можемо побудувати точки А1 і B1, де А1 = 2, 3; B1 = 2, 4 - наближення з точністю 0, 1. Якщо існує точка М, то ОА1 <OM <OB1, тобто точка М лежить між А1 і B1, тобто усередині відрізка А1B1. Ми можемо знайти A2 = 2, 31 і B2 = 2, 32 і т.д.

Необмежено продовжуючи цей процес, ми отримуємо, що якщо точка М існує, то вона лежить всередині кожного з відрізків нескінченної послідовності: A1B1, A2B2, ..., AnBn, ..., володіє наступними властивостями:

1. Кожен відрізок, крім першого, лежить всередині попереднього.

2. Довжини відрізків прагнуть до 0 (чи ні відрізка, що лежить всередині всіх відрізків цієї послідовності).

Існування точки що лежить всередині всіх відрізків цієї послідовності, і постулюється аксіомою Кантора.

Прийнявши аксіому Кантора, ми знаходимо потрібну точку М, а отже і відрізок ОМ, довжина якого дорівнює наперед заданому числу х.

Тема: «Методика вивчення площ фігур і об'ємів тіл в курсі геометрії середньої школи».

Теми «Площі фігур» і «Об'єми тіл» за чинним підручником «Геометрія 7-11 кл." Під редакцією Погорєлова завершують ознайомлення учнів з курсом планіметрії та стереометрії відповідно.

Вимірювання геометричних величин - одна з основних змістових ліній шкільного курсу геометрії, яка знайомить учнів з важливими ідеями, поняттями і методами метричної геометрії. Вимірювання геометричних величин пов'язано з ідеєю аксіоматичного методу, теорією дійсного числа, методами математичного аналізу. При вивченні даного питання учні знайомляться з цілим рядом формул, за допомогою яких розширюються можливості застосування в шкільному курсі геометрії аналітичного методу. Поєднання різних математичних ідей та методів - головна особливість у викладі даного навчального матеріалу.

У темі «Площі фігур» спостерігається синтез традиційно-синтетичного та аналітичного методів. Вивчаються тут факти носять аналітичний характер (наприклад площа трикутника), а докази засновані на застосуванні традиційно-синтетичного методу.

При вивченні теми «Площі фігур» використовується така схема:

проста фігура - площа фігури як величина - площа прямокутника - площа паралелограма - площа трапеції - площа подібних фігур.

У вивченні теми «Об'єми тіл» в курсі стереометрії простежується аналогія з темою «Площі фігур» і розподіл навчального матеріалу таке: просте тіло - об'єм тіла як величина - обсяг прямокутного паралелепіпеда - обсяг трикутної призми - обсяг призми - тіла, що мають рівні об'єми - обсяг повної трикутної піраміди - обсяг довільної повної піраміди - обсяг усіченої трикутної піраміди - обсяг довільної усіченої піраміди - обсяги подібних тіл - обсяг тіл обертання.

Розглянемо більш детально методику викладу теми «Площі фігур»

Перед введенням поняття «прості фігури» учням пропонується за готовим кресленням назвати: просту ламану, замкнуту ламану, просту замкнену ламану, опуклий багатокутник, плоский трикутник, плоский п'ятикутник. Нагадаємо, що з визначення трикутника як фігури складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно сполучають ці точки випливає, що він повинен представлятися як «скелет», «каркас»! Плоский трикутник - кінцева частина площини, обмежена трикутником. Опуклий багатокутник - багатокутник, який лежить в одній площині щодо будь-якої прямої, яка містить його сторону. Плоским багатокутником називається кінцева частина площини, обмежена багатокутником. Проста замкнена ламана називається багатокутником. Після цього дається визначення:

Геометричну фігуру будемо називати простий, якщо її можна розбити на кінцеве число плоских трикутників. Прикладом простої фігури може служити плоский опуклий багатокутник, який розбивається на плоскі трикутники діагоналями, що виходять з однієї вершини.

«Площа простий фігури - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:

1) рівні фігури мають рівні площі;

2) якщо фігура розбивається на частини, які є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;

3) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці;

У такому визначенні нової величини використаний аксіоматичний підхід. За допомогою властивостей описана адитивність площі простий фігури, визначена міра (одиниця виміру) площі. Перше властивість площі визначає термін «рівновеликі». Якщо фігури рівні, то рівні і їх площі, проте зворотне твердження не завжди вірно.

З формулами площ деяких фігур учні познайомилися в курсі арифметики. Вимірюючи площі за допомогою пам'ятки, школярі познайомилися з оцінкою її через брак і по надлишку. І таким чином вони вже підготовлені до сприйняття виведення формули площі прямокутника.

Спочатку доводимо наступне властивість: площі двох прямокутників з рівними підставами ставляться як їх висоти.

а) Прямокутники ABCD і AB1C1D мають рівне підставу AD. Нехай S і S1 - їх площі. Розіб'ємо бік АВ на n рівних частин, довжина однієї частини дорівнює АВ / n. Нехай m - число точок розподілу, що лежать на стороні АВ1. Тоді:

(АВ * n) / m ? AB1/AB ? AB / n

Розділивши цю нерівність почленно на АВ, отримаємо:

m / n ? AB1 ? m / n + 1 / n

б) Проводимо через точки поділу прямі, паралельні АТ. Отримаємо n рівних трикутників зі сторонами АТ і АВ * 1 / n, площі яких (за св-ву 1) рівні і приймають значення S * 1 / n. Тому, площа АВСД виражається нерівністю:

(S / n) * m <= S1 <= (S / n) (m +1).

Розділивши почленно на S, отримуємо:



m / n <= S1 / S <= m / n +1 / n

в) Відношення АВ1/АВ і S1 / S задовольняють одним і тим же нерівностей, причому числа m / n і m / n + 1 / n відрізняються на величину 1 \ n. За навіть дуже великих n значення 1 / n стає дуже малим, а це можливо тільки тоді, коли числа рівні. Отже:

S1 / S = AB1/AB, ч. т. д.

Для виведення формули площі прямокутника скористаємося тільки що доведеним властивістю по відношенню до квадрату, зі стороною 1 і прямокутником зі сторонами 1 і а і а і в. Одержуємо:

S1 / 1 = a / 1; S/S1 = в / 1 => S1 = а, S = S1в.

Отже:

S = а * в.

VII. Площі подібних фігур.

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів.

При доведенні цього твердження використовують поняття простий фігури, визначення подібних фігур. Якщо фігура розбивається на прості трикутники, площі яких позначимо через , А фігура - На трикутники, площі яких і фігури і подібні з коефіцієнтом , То лінійні розміри трикутників в раз змінені, по відношенню до розмірів трикутників , То: і т. д., тому:

VIII. Площа круга.

Коло - плоска фігура, але її не можна розбити на прості трикутники. Тому, така фігура має площу , Якщо існують містять її прості фігури і що містяться в ній прості фігури з площами, як завгодно мало відрізняються від .

При проведенні уроків з теми «Площа фігур» висновок загальних формул має закріплюватися на приватних прикладах. Виклад теоретичного матеріалу має бути максимально скорочено (в розумних межах), що дозволило б заощадити час для вирішення більш складних завдань. (Можливо проведення уроків-лекцій для викладу теорії). Бажано проводити самостійні роботи, як навчає, так і контролюючого характеру по кожному з досліджуваних випадків.

Завдання 1.

а) Розділіть даний трикутник на три рівновеликі частини прямими, що проходять через одну вершину.

математика геометричний величина шкільний



SHAPE \ * MERGEFORMAT SHAPE \ * MERGEFORMAT

б) Розділіть даний паралелограм на три рівновеликі частини прямими, що проходять через одну вершину.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

A K B1 D

Аналогічно: Тому точки і ділять відповідно відрізки і у відношенні 2:1 від вершин і відповідно.

Завдання 2.

Доведіть, що сторони трикутника обернено пропорційні його висот, тобто:

. Так як отримуємо:

що потрібно було довести.

Завдання 3.

Доведіть, що серед всіх паралелограмів з даними діагоналями найбільшу площу має ромб.

M B C

SHAPE \ * MERGEFORMAT

A K D

1-й спосіб.



Якщо - Ромб, то , Тобто . Найбільше значення твору залежить від найбільшого значення , Яке досягається при , Якщо , То . Отже, площа ромба найбільша серед усіх площ паралелограмів з даними діагоналями.

2-й спосіб.

Складемо функцію, яка має площу паралелограма:

при .

Так як - Найменший кут, утворений діагоналями при перетині, то і буде точкою максимуму, отже: ; і цей паралелограм - ромб.

Завдання 4.

Пряма, перпендикулярна висоті трикутника, ділить його площа навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висота, якщо вона дорівнює .



SHAPE \ * MERGEFORMAT

A D C

- Трапеція, тобто подібний

Так як для подібних трикутників їх площі відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів, то:

Існують різні методичні підходи до вивчення питань вимірювання геометричних величин в курсі стереометрії.

Для виведення формули об'єму, можуть бути використані:

1. Принцип Кавальєрі: обсяги (або площі) двох тіл (фігур) рівні, якщо рівні між собою площі (довжини) відповідних перерізів, проведених паралельно деякої даної площини (прямий).

2. Формула Сімпсона:

.



Нехай проміжок [a, b] розбито на n частейних проміжків [x _i, x _{i +1]} довжини , При цьому n вважається парним числом, і для обчислення інтеграла по проміжку [x _2k, x _{2k +2]} використовується наведена формула:

.

Принциповим моментом в теорії обсягів тіл є обґрунтування формули для учнів є досить важким і складним. Структурна складність докази підказує, що при його вивченні доцільно скористатися прийомами виділення логічної структури доказу (розбиття докази на окремі кроки, складання логіко-структурної схеми докази і т.д.). Наявність у доказі важких для розуміння міркувань говорить про доцільність використання прийомів конкретизації, моделювання і т.д.

Структура докази формули об'єму прямокутного паралелепіпеда:

1. встановлюється величина відношення висот двох паралелепіпедів із загальним підставою;

2. встановлюється величина відношення обсягів вибраних паралелепіпедів;

3. порівняння отриманих значень відносин;

4. виведення формули обсягу прямокутного паралелепіпеда, застосовуючи доведене властивість до одиничного куба і паралелепіпеда з вимірами: a, 1, 1; a, b, 1; a, b, c.

При вирішенні завдань учні іноді "плутають" властивості прямого і прямокутного паралелепіпедів, неправильно вказують їх діагональне перетин і т.п. Більш поглиблене вивчення цих понять на етапі їх введення забезпечує застосовувалося раніше методична схема:

1. проаналізувати емпіричний матеріал;

2. математизувати емпіричний матеріал - побудувати визначення;

3. скласти алгоритм розпізнавання поняття;

4. включити поняття в систему понять.

Завдання № 5.

Грані паралелепіпеда - рівні ромби зі стороною а і гострим кутом 60 ^0. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

.

_Д AA ₁ O: ; З _Д AA ₁ K: .

З _Д AOK: ; З _Д AA ₁ O: ;

З _Д KA ₁ O:

.

Відповідь: .



Висновок

Побудова суворої теорії вимірювання геометричної величини в шкільному навчанні наштовхується на серйозні труднощі. Це не означає відмови у шкільному курсі від будь-якої теорії вимірювання геометричних величин. Головне - прагнення до строгості не повинно бути самоціллю, але не слід приховувати від учнів вимушених логічних прогалин. Наприклад, площа багатокутника визначається як сума площ трикутників, на які його можна розбити. Природно виникає питання, чи отримаємо те ж саме число, якщо розіб'ємо даний багатокутник на трикутники іншим способом і складемо площі трикутників розбиття. У школі не вивчається теорема про незалежність суми площ трикутників розбиття від способу розбиття, але про її існування слід повідомити учням про існування такого факту.



Література

1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.

2. Н.М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.

3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.

4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.

5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.

6. А.А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.

Размещено на Allbest.ru

...