Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 25

г. Владимира

Межпредметный проект

«Математические модели в экономике»

Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

Учитель: Тыкоцкая Л.И.

Высшая квалификационная категория

2008 г.

Содержание проекта

обучение мыслительный наглядный

1. Обоснование проекта

2. Паспорт проектной деятельности

3. Презентация проекта

4. Комментарий учителя

1. Обоснование проекта

Математика и экономика - области взаимосвязанные, как в жизни, так и в науке. Умение взглянуть на ситуацию сразу с двух сторон, двух точек зрения - это большое и весьма ценное умение, и мы надеемся, что наш проект поможет вам в этом.

С позиций воспитательного аспекта целью данного проекта является помощь учащимся в понимании жизненной необходимости знаний, приобретаемых в школе.

Для того, чтобы знания стали активным запасом нужно, чтобы учащиеся были способны применять их в различных ситуациях. Прежде всего, это относится к математике, так как именно математика в содружестве с другими науками формирует у школьников основы научной картины мира.

Задачи данного проекта посвящены актуальной теме - математическим моделям рыночной экономики и отражают реальные экономические ситуации с численными данными, необходимыми для расчетов.

Задачи соответствуют требованиям, предъявляемым к задачам с практическим содержанием:

познавательная ценность задач и их воспитывающее влияние на учеников;

доступность используемого в задачах нематематического материала;

задачи с реальным предметным содержанием.

Основная методическая идея этого проекта состоит в том, чтобы учащиеся познакомились с теорией систем линейных уравнений посредством обогащения и синтеза трех подходов - подхода прагматика (применение систем уравнений для решения практических задач экономики посредством математического моделирования), а также ранее рассмотренных подходов пользователя (решение систем уравнений по готовым алгоритмам) и исследователя (исследование числа решений).

Использование компьютерных программ в проекте дает возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным и динамичным, что способствует повышению качества знаний уч-ся и расширяет горизонты школьной математики. возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным и динамичным

2. Паспорт проектной деятельности

1. Название проекта: «Математические модели в экономике».

2. Руководитель: учитель математики Тыкоцкая Л.И.

3. Учебные предметы: математика, экономика.

4. Исполнители проекта: группа учащихся 9 «Б» класса.

5. Тип проекта: практико-ориентированный.

6. Цели проекта:

Образовательная.

Применение математического моделирования для решения практических задач экономики.

Развивающая.

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся в процессе формирования исследовательских навыков и общеучебных умений: приобретение недостающих знаний из разных источников, их анализ, выделение главного, конспектирование, составление плана, формулирование проблемы, работа с компьютерными программами. Развивать конструктивное критическое мышление и индивидуальные интеллектуальные возможности учащихся.

Воспитательная.

Интеллектуальное воспитание учащихся на основе актуализации и обогащения индивидуального умственного опыта каждого ребенка. Воспитание самостоятельности и ответственности за порученное дело, формирование у учащихся мировоззренческих установок, интереса к предмету через решение практических задач и приобретенное умение математически исследовать явления реального мира.

7. Задачи проекта:

- применить решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задачи о нахождении рыночного равновесия;

- нахождение равновесной цены и равновесного количества товара различными способами;

- провести экспертизу, полученного результата

8. Оборудование и средства обучения:

демонстрационные таблицы, персональный компьютер, принтер, компьютерное программное обеспечение - диск с мультимедийным обучающим курсом, графический редактор Advanced Grapher.

В качестве обучающего курса использовался программный продукт «Экономика и право» (учебное пособие для 9-11 классов), разработанный в рамках федеральной целевой программы «Развитие единой образовательной информационной среды» (2001-2005 гг.).

Электронное издание Экономика и право, 9-11 кл. представляет собой элективный мультимедиа-курс, построенный на видеосюжетах и анимированных слайд-шоу с комментариями от лица юриста и экономиста. Издание включает также теоретический материал по школьному курсу экономики, комплект обучающих и контролирующих заданий, наглядный иллюстративно-справочный материал, интерактивные модели и игры, а также учебную версию базы данных по законодательству.

Курс рассчитан на учащихся 9-11 классов, имеющих общую подготовку по информатике и владеющих компьютером на уровне пользователя, и предназначен для использования в общеобразовательной средней школе в качестве учебного пособия (в проекте программа использовалось при работе с экономической терминологией и для демонстрации используемых математических моделей).

9. Аннотация.

Математика и экономика - области взаимосвязанные, как в жизни, так и в науке. Умение взглянуть на ситуацию сразу с двух сторон, двух точек зрения - это большое и весьма ценное умение, и мы надеемся, что наш проект поможет вам в этом.

10. Продукт проекта:

равновесная цена и равновесное количество товара, которые помогают пользователю прогнозировать реальные события, просчитывать последствия принимаемых решений.

11. Этапы работы над проектом.

Этапы работы над проектом	Деятельность учащихся	Деятельность учителя
Подготовка проекта и планирование работы.	Обсуждают тему и цель проекта. Определяют способы сбора и анализа информации. Определяют темы творческих заданий и распределяют их между собой с учетом личностных предпочтений. Определяют способ представления результатов. Обсуждают и принимают критерии оценки результатов. Получают от учителя дополнительную информацию о проекте.	Определяет тематику проекта, его структуру и возможные результаты, знакомит со смыслом проекта и мотивирует учащихся. Разрабатывает и представляет для обсуждения критерии оценки проектной деятельности учащихся. Устанавливает сроки выполнения работы. Оказывает индивидуальную помощь учащимся в организации работы над выбранными заданиями.
Работа над проектом (неделя)	Самостоятельный поиск информации по выбранной теме. Анализ собранной информации, решение поставленной задачи, ее оформление и формулировка выводов. Консультации у руководителя проекта.	Косвенно руководит деятельностью учащихся, советует, консультирует, создает деловую атмосферу. Напоминает сроки сдачи работ на рецензию.
Презентация результатов (1 час)	Проводят презентацию выполненной работы. Совместно с учителем оформляют окончательный вариант.	Принимает участие в обсуждении результатов работы над проектом.
Рефлексия, анализ и оценка результатов.	Осмысливают полученные данные и способы достижения результата. Оформляют листы рефлексии, участвуют в оценке путем коллективного обсуждения.	Оценивает работу учащихся: креативность, качество использования источников, качество отчета, перспективы дальнейшей работы по теме.

3. Презентация проекта

Руководитель проекта сообщает тему и цель проекта, знакомит с исполнителями проекта. Акцентирует внимание учащихся на том, что проект носит обучающий характер и в процессе презентации они должны будут, используя изученную тему «Системы линейных уравнений» научиться решать задачи рыночной экономики.

Первый ученик дает основные определения рыночной экономики, рассказывает о законах конкурентного рынка и о том, какое отношение имеет все сказанное к алгебре. Для демонстрации математических моделей использует фрагменты компьютерной программы «Экономика и право». Формулирует задачу о нахождении рыночного равновесия.

Второй ученик представляет задачу, которая была сформулирована в результате анализа собранной им информации по продаже шоколада «Alpen Gold», и как в реальной ситуации по решению системы уравнений спроса и предложения найти точку равновесия. Анализирует полученный результат.

Использует демонстрационную таблицу и график, выполненный в графическом редакторе Advanced Grapher.

Третий ученик в своей задаче рассматривает ситуацию, сложившуюся по продаже системного блока компьютера на базе процессора Celeron в одном из магазинов фирмы N. Решает вопрос о нахождении точки равновесия различными способами: графическим, аналитическим, анализируя данные демонстрационной таблицы. Вместе с ним эту задачу решают учащиеся класса. Анализируют полученный результат.

Четвертый ученик оформил выставку книг, по экономике, в которых рассматриваются математические модели, и кратко рассказал содержание каждой. Представил мультимедийный обучающий курс «Экономика и право», используемый в проекте.

Пятый ученик - художественный оформитель проекта (оформление материалов проекта, изготовление демонстрационных таблиц).

Руководитель проекта подводя итоги работы учащихся, отметил актуальность темы «математические модели в экономике» и возможность использования приобретенных начальных менеджерских умений и навыков для решения экономических задач на базе других математических моделей.

Базовые понятия экономики, используемые в проекте. (презентация первого ученика)

Наша группа работала над учебным межпредметным проектом «Математические модели в рыночной экономике».

Мы покажем применение в экономике систем уравнений.

Для начала напомним основные определения рыночной экономики.

Словарь экономических терминов	Рынок
	Спрос, закон спроса
	Предложение, закон предложения
	Равновесная цена
	Равновесное количество товара

Рынок - это механизм, сводящий вместе покупателей и продавцов различных товаров.

Важные характеристики любого рынка - спрос и предложение.

Спрос на некоторый товар - это количество товара, которое потребители готовы и в состоянии приобрести по некоторой цене из ряда возможных в течение определенного периода времени цен.

Предложение некоторого товара - это количество товара, которое продавцы способны предложить к продаже по каждой конкретной цене из ряда возможных цен в течение определенного периода времени.

Возникает вопрос: какое отношение все сказанное имеет к алгебре и, в частности, к системам линейных уравнений? Ответ: самое непосредственное!

Для конкурентных рынков справедливы законы спроса и предложения, математические модели которых для простоты иллюстрируются графиками линейных функций.

Закон спроса.

При неизменности всех прочих факторов снижение цены ведет к соответствующему увеличению спроса и, наоборот, при прочих равных условиях увеличение цены ведет к уменьшению спроса.

График спроса имеет следующий вид (заметим, что в экономике принято цены относить к оси ординат):

чем ниже цена, тем выше спрос, и чем выше цена, тем ниже спрос. Покупатель желает приобрести больше товара определенного качества по низкой цене и меньше товара того же качества по более высокой цене.

Закон предложения.

При прочих равных условиях увеличение цены ведет к увеличению предложения, а уменьшение цены к уменьшению предложения.

График предложения имеет вид:

чем выше цена, тем выше предложение, и чем ниже цена, тем ниже предложение. Продавцу выгоднее продать больше товара определенного качества по высокой цене и меньше товара того же качества по более низкой цене.

С математической точки зрения линейные модели имеют серьезные преимущества, так как в случае нелинейных моделей обычно затруднительно получение решений в виде формул. Легкость применения и достаточная точность приближения к реальному миру - делают линейные модели наиболее широко применимыми в различных науках, в частности, в экономике. Именно поэтому и было сделано предположение о линейности функций спроса и предложения.

Важнейшей особенностью чисто конкурентных рынков является их способность к саморегуляции, а именно, к установлению рыночного равновесия между спросом и предложением.

Как найти равновесную цену и равновесное количество товара?

Соответствие между ценой на спрос и ценой на предложение называется равновесной ценой, а количество товара, соответствующего равновесию между спросом и предложением, называется равновесным количеством.

Ясно, что координаты точки пересечения графиков уравнений спроса и предложения как раз и будут равновесной ценой и равновесным количеством товара.

Таким образом, для определения точки равновесия можно использовать приемы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Найденные равновесная цена и равновесное количество товара помогают прогнозировать реальные события, просчитывать последствия принимаемых решений.

Задача 1 (презентация второго ученика)

По продаже шоколада «Alpen Gold» за неделю в одном из магазинов города сложилась следующая ситуация:

Цена, (руб.)	Спрос, (шт.)	Предложение, (шт.)
10	100	50
15	80	60
22	60	70
30	40	80
35	20	100

а) Найти уравнения спроса и предложения.

б) Найти точку равновесия

Используя данные таблицы строим графики уравнений спроса и предложения.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

Графики - ломаные линии. Принятое ранее предположение о линейности уравнений спроса и предложения не выполняется.

Точка пересечения ломаных линий и является точкой равновесия. Из рисунка видно, что для нахождения точки равновесия достаточно знать уравнения только тех отрезков ломаных, на пересечении которых находится данная точка.

На графике уравнения спроса выберем точки с координатами:

(60; 22), (80; 15).

На графике уравнения предложения выберем точки с координатами:

(60; 15), (70; 22).

Осталось найти уравнения прямых, проходящих через две точки, и решить систему двух найденных уравнений.

y = kx + b

(60; 22), (80;15)	(60; 15), (70; 22)
7 = -20k, k = -0,35 22 = - 21 + b b = 43 y = - 0,35x + 43	- 7 = - 10k, k = 0,7 15 = 42 + b b = - 27 y = 0,7x - 27	0 = - 1,05x + 70 -70 = - 1,05x x = 66,7 y = 0,7 66,7 - 27 y = 19,7

Решение системы: (66,7; 19,7)

Ответ:

а) уравнение спроса: y + 0,35x = 43

уравнение предложения: y - 0,7x = - 27

б) координаты точки равновесия: (66,7; 19,7)

Вывод:

Равновесная цена - 19 рублей 70 копеек.

Равновесное количество товара - 67 штук.

Задача 2 (презентация третьего ученика)

По продаже системного блока компьютера на базе процессора Celeron в одном из магазинов фирмы N за месяц сложилась следующая ситуация:

Цена (тыс. рублей)	Спрос (шт.)	Предложение (шт.)
8	30	6
9	20	10
10	15	20
11	10	25
12	6	30

Найти точку равновесия различными способами.

Графический способ.

Используя данные таблицы, строим графики уравнений спроса и предложения.

Графики - ломаные линии. Точка пересечения ломаных линий и является точкой равновесия. Приближенно координаты этой точки (16; 9,5).

Способ более точный, но с использованием графиков уравнений спроса и предложения.

Из рисунка видно, что для нахождения точки равновесия достаточно знать уравнения только тех отрезков ломаных, на пересечении которых находится данная точка.

На графике уравнения спроса выберем точки с координатами: (20; 9), (15; 10).

На графике уравнения предложения выберем точки с координатами: (10; 9), (20; 10).

Осталось найти уравнения прямых, проходящих через две точки, и решить систему двух найденных уравнений.

y = kx + b

(20; 9), (15;10)	(10; 9), (20; 10)
-1 = 5k, k = -0,2 9 = - 4 + b b = 13 y = - 0,2x + 13	-1 = - 10k, k = 0,1 9 = 1 + b b = 8 y = 0,1x + 8	0 = - 0,3x + 5 -5 = - 0,3x

Решение системы: (; 9)

Равновесная цена - 9 700 рублей.

Равновесное количество - 17 штук.

Способ.

А как по таблицам спроса и предложения найти нужные отрезки ломаных?

Вспомним процесс установления рыночного равновесия.

Для некоторых значений цены превышение спроса над предложением, а для цены в 10 тыс. рублей предложение превысило спрос.

По таблицам спроса и предложения для:

y = 8 30 - 6 0

y = 9 20 - 10 0

y =10 15 - 20 0

Точки (20; 9), (15;10) на графике спроса, а точки (10; 9), (20; 10) на графике предложения. Осталось найти уравнения прямых, проходящих через две точки и решить систему двух найденных уравнений. Полученное решение и будет точкой равновесия.

Обзор литературы и краткая характеристика мультимедийного обучающего курса «Экономика и право» (презентация четвертого ученика)

Математика и экономика - это точные науки. Они не могут друг без друга существовать Цифры нужны для подсчета результатов, затрат, прибыли, доходов. С помощью графиков различных математических функций можно наглядно показать, как растет или падает кривая спроса на тот или иной товар на потребительском рынке.

В областной библиотеке можно найти книги, в которых приводятся примеры использования математики в экономике.

Например, в книге А.П. Козакова “Школьнику о рыночной экономике”, освещаются все проблемы рыночной экономики: что такое рынок, когда и где он возник, как рынок устроен и по каким законам действует. Все это излагается понятным языком, иллюстрировано схемами, графиками, таблицами и рисунками, легко и хорошо запоминается.

Вот еще одна книга “50 бизнес - советов подростку”, автор - Бернстайн Д. Эта книга адресована подросткам, которые вдруг оказались в стране, где буйно развиваются так называемые рыночные отношения. Если у тебя в голове мозги, а не опилки, как у Вини - Пуха, если есть время, здоровье и желание самому зарабатывать деньги - за дело. Своим маленьким бизнесом занимаются многие американские подростки.

Несколько слов об интересной компьютерной программе «Экономика и право». В ней разработаны жизненные ситуации, связанные с предпринимательством и экономикой. В программе содержаться игры, развивающие мышление и предпринимательские способности. Например: компьютерная игра «ЦЕНА и СПРОС» - учебная игровая программа по экономике, ориентированная на развитие навыков предпринимательства. Цель игры "ЦЕНА и СПРОС" - завоевание рынка и борьба с (компьютерными) конкурентами путем правильной ценовой политики и тщательного изучения спроса. Игра красочно оформлена и с интересом воспринимается учащимися от 12 лет (а также взрослыми).

Эта программа интересна тем, что дает ответы на многие вопросы экономики и права. В ней можно найти хронологическую шкалу развития экономической мысли, где подробно описывается тот или иной период столетия. Уровень своей подготовки можно проверить, решая задачи практикума «Мотивы предпринимательской деятельности». При наличии мультимедиа-проектора фрагменты программы можно демонстрировать по ходу рассказа.

Книги с выставки:

Бернстайн Д. 51 бизнес - советов подростку. - М.: Крон - Пресс, 1995.

Грошев В.П. Занимательная экономика: Кн. Для учащихся старших классов - М.: Просвещение, 1988.

Казаков А.П. Школьнику о рыночной экономике. Учебное пособие для старшеклассников. - М.: Общество «Знание», 1993.

Липсиц И. В. Удивительные приключения в стране экономика. М.: изд - во «Вита - пресс»,1993

Росошек С.К., Хают Л.Б., Малова И.Е. Системы уравнений: учебное пособие по математике для 9 класса. - Томск: изд-во Том. ун-та, 1994 г.

4. Комментарий учителя

Презентация проекта состоялось в рамках недели предметов естественно - математического цикла. Работа творческой группы вызвала большой интерес среди учащихся и учителей и получила высокую оценку.

Составляющие оценки:

- листы рефлексии с размышлениями учащихся о выполнении учебного задания, сложностях в процессе работы над проектом (недостаток литературы, навыков оформления результатов, сбора, обработки и анализа информации по выбранной теме недостаток времени и т.д.);

- оценка результатов деятельности;

- оценка защиты проекта.

В процессе создания проекта:

учащиеся получили возможность проявить себя, использовать приобретенные начальные менеджерские умения и навыки для решения экономических задач и в процессе формирования исследовательских навыков и общеучебных умений приобрели собственный опыт интеллектуальной деятельности;

учитель, в свою очередь, получил необходимую информацию об уровне знаний учащихся, о приемах, используемых при работе над проектом и о том, насколько была проявлена инициатива, приложены усилия и т.п.

Работая в МПИ-проекте, для меня было важным, как обогащение интеллектуальных возможностей ученика содействует его развитию как личности, косвенно влияя на формирование его отношения к самому себе, к другим, т.е. проанализировать на сколько сформированы определенные интеллектуальные качества.

Следует отметить, что многие учащиеся класса составили свои задачи, аналогичные задачам проекта, собирая информацию путем опроса знакомых или работая с прайс-листами. Использование собранного материала обогатило содержание уроков - практикумов и позволило включить учащихся в разнообразные виды учебной деятельности.

В заключение следует отметить, что проделанная работа не только обогатила ментальный опыт детей, но и помогла учителю в диагностике этого обогащения.

Размещено на Allbest.ru

...