Методика изучения темы "Площади фигур" в школьном курсе геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Минобрнауки России

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ

(БФ ФГБОУ ВО «ВГУ»)

Факультет физико-математического и естественнонаучного образования

Кафедра прикладной математики, информатики, физики и методики их

преподавания

Методика изучения темы «Площади фигур» в школьном курсе геометрии

Бакалаврская работа

44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)

(уровень бакалавриата)

Профили подготовки Математика. Экономика

Зав. кафедрой канд. пед. наук, доц. Е. А. Позднова

Обучающийся В.С. Буслаева

Руководитель канд. физ.-мат. наук, доц. С.Е.Зюзин

Борисоглебск 2017



Введение

Геометрия одна из самых древних наук. Если рассматривать классическое определение геометрии, то это наука о пространстве, формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Слово «геометрия» (с греческого «гео» - земля, «метрео» - мерю) означает «землемерие». Первые упоминания о геометрических фигурах встречаются еще в древних математических рукописях: в «Московском» папирусе, в «папирусе Ахмеса» и в древневавилонских клинописных текстах, написанных около 4000 лет назад. В данных документах представлены задачи, значительную часть которых занимает вычисление площадей и объемов некоторых фигур. Измерение площадей - одна из самых первых математических задач, возникших в глубокой древности.

Тема «Площади фигур» является неотъемлемой частью курса математики. Данная тема заключает в себе большой теоретический и практический материал, который изучают школьники. Также тема «Площади фигур» формируют систему знаний, умений и навыки решения различных типов задач, интуицию, творческое мышление. Площади многоугольников вычисляют в планиметрии и стереометрии. В курсе математического анализа площадь фигур находится с использованием определенного интеграла. Кроме геометрии площади вычисляют и в других науках, таких как физика, география, астрономия, геология. Все это и обосновывает актуальность данной темы.

Целью выпускной квалификационной работы является изучение теоретических основ методики изучения темы «Площади фигур» в школьном курсе геометрии, разработка курса факультативных занятий по теме «Площади фигур».

Задачи работы:

1. изучить теоретические аспекты методики изучения темы «Площади фигур»;

2. рассмотреть различные подходы к изучению темы «Площади фигур» в современных учебниках по геометрии основной школы;

3. разработать факультативный курс по теме «Площади фигур».

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы. В первой главе содержатся теоретические аспекты методики изучения данной темы. Во второй главе предлагается обзор учебников по геометрии. В третьей главе представлен факультативный курс по теме «Площади фигур».



1. Теоретические аспекты методики изучения темы «Площади фигур»

1.1 Понятие о площади. Свойства площади

Понятие площади является широко известным в математике, которое также часто используют в практике. С древних времен площадь является неопределяемым понятием. Вычисляя площадь, математики не задумывались, что данное понятие нуждается в четком определении. Но часто на уроках по геометрии говорят, что площадь фигуры есть число, которое показывает, из скольких единиц площади составляет фигура. Данное утверждение не является определением, это всего лишь описание того, что такое площадь. Но чтобы при вычислении площади получалось определенное число, нужно основываться на каких-нибудь принципах, и такие принципы в математике существуют. Они сформулированы следующим образом:

Положительность. Площадь фигуры есть неотрицательное число.

Аддитивность. Площадь фигуры, составленной из нескольких фигур без общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур.

Инвариантность. Равные фигуры имеют равные площади.

Нормированность. Площадь единичного квадрата равна единице.

Данные свойства были не единственными, которыми математики пользовались при вычислении площади фигур. Остальные свойства оказались следствиями этих четырех. Например, следствием положительности и аддитивности площадей является монотонность: площадь части фигуры не превышает площади всей фигуры.

Пусть F - фигура, площадь которой нужно вычислить. Обозначим площадь фигуры через S. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры, содержащиеся в F и всевозможные многоугольные фигуры, содержащие F. Фигуры, содержащиеся в F, называются входящими в F, а содержащие F - объемлющими. В силу монотонности площади, для любой входящей многоугольной фигуры Р и любой объемлющей фигуры Q справедливо неравенство (1.1)

(1.1)

Площади фигур Р и Q есть приближенные значения площади фигуры F с недостатком и с избытком. Погрешности обоих приближений, т.е. разности и , не превышают разности . Допустим, что путем надлежащего выбора многоугольных фигур P и Q можно сделать последнюю разность сколь угодно малой. Значит и погрешности приближений могут быть сделаны сколь угодно малыми. Это значит, что площадь фигуры F может быть вычислена с произвольной степенью точности.

Данный метод применим только к фигурам F, для которых существуют входящие многоугольные фигуры P и объемлющие многоугольные фигуры Q, со сколь угодно малыми разностями . Такие фигуры называются квадрируемыми.

Из вышесказанного следуют три положения:

1) Каждой квадрируемой фигуре отвечает определенное число - ее площадь.

2) Данные числа - площади обладают свойствами 1-4.

3) Площадь любой квадрируемой фигуры можно вычислить с произвольной степенью точности на основании свойств 1-4.

Таким образом, площадь может быть определена как функция квадрируемой фигуры, обладающая свойствами 1-4.

Чтобы дать полное определение площади, необходимо определить площадь на классе многоугольных фигур с помощью тех же условий 1 - 4. Таким образом, полная формулировка определения площади состоит из трех частей:

1) площадь определяется как функция со свойствами 1 - 4 на классе многоугольных фигур;

2) определяется класс квадрируемых фигур;

3) площадь определяется как функция со свойствами 1- 4 на классе квадрируемых фигур

Данное определение называется аксиоматическим определением площади.

Ломаной линией называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец служит концом третьего и т.д., при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. На рис. 1.1 представлен пример ломаной.

Рис. 1.1. Ломаная

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником. Простой многоугольной фигурой называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником, который дан на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Многоугольник

Величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника, называется площадью многоугольника. Соотношение между площадями фигур и числами, их измеряющими, должно удовлетворять следующим условиям:

1.Числа, измеряющие площади двух равных фигур, должны быть равны между собой;

2. Если данная фигура разбита на несколько частей, составляющих каждая замкнутую фигуру, то число, измеряющее площадь всей фигуры, должно быть равно сумме чисел, измеряющих площади отдельных ее частей .

3. Площадь квадрата, со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Фигуры, которые имеют равные площади, называют равновеликими. Равные фигуры (которые совмещаются при наложении) всегда являются равновеликими, однако равновеликие фигуры могут быть неравными (рис. 1.3)

Рис. 1.3. Неравные равновеликие фигуры

4. Фигуры также являются равновеликими, если они могут быть дополнены равными (или равновеликими) фигурами так, что образуются одинаковые суммы, или суммы, равные между собой.

Рассмотрим параллелограммы ABCD и AEFD, которые представлены на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Параллелограммы

Данные параллелограммы построены на одном основании AD и имеют одинаковые высоты. Дополним параллелограмм ABCD треугольником DCF, а параллелограмм AEFD - треугольником АВЕ. Получим одну и ту же сумму - трапецию ABFD. Дополняющие треугольники равны между собой и после дополнения получилась одна и та же сумма, следовательно, параллелограммы ABCD и AEFD являются равновеликими.

5.Площадь одной фигуры считается меньше площади другой фигуры, если первая окажется равновеликой какой-нибудь части другой.

Площадь треугольника АВС, который представлен на рис. 1.5, состоящего из двух прямоугольных треугольников 1 и 2, меньше площади трапеции DEFG, состоящей из двух таких же треугольников и из третьего треугольника.

Рис. 1.5. Сравнение площадей треугольника АВС и трапеции DEFG

Равновеликость, указанная в условии 2 называют равновеликостью по разложению, а равновеликость, указанную в условии 4 - равновеликостью по дополнению.

Равновеликость второго рода всегда может быть сведена на равновеликость первого рода, т.е. всякие две фигуры, равновеликие по дополнению, могут быть разложены на одинаковое число частей, соответственно совмещающихся.

Для измерения площади фигуры выбирают некоторый многоугольник, площадь которого принимают за единицу площади; мерой какой-либо площади будет отношение этой площади к единице площади.

Единицей измерения площади принято считать площадь квадрата, сторона которого равна линейной единице (1 метр, 1 сантиметр и т.д.). Для простейших фигур меру площади можно получить следующим образом: накладываем единицу площади на измеряемую фигуру столько раз, сколько это возможно. Допустим, что на фигуру, площадь которой надо измерить, наложена сеть квадратов. Если контур данной фигуры есть ломаная, стороны которой совпадают с частями прямых линий, образующих сеть квадратов, то число квадратов, лежащих внутри фигуры, составит точную меру измеряемой площади (рис. 1.6)

Рис. 1.6. Наложение единицы площади на измеряемую фигуру

Практически площадь многоугольника можно измерить следующим образом: расчертим лист бумаги на квадраты со стороной, равной единице измерения отрезков, и наложим на него данный многоугольник. Пусть m - число квадратов, покрытых многоугольником, а n - число квадратов, покрытых многоугольником лишь частично. Данный способ представлен на рис. 1.7.

Рис.1.7. Практическое измерение площади многоугольника



Число S, выражающее площадь многоугольника, заключено между числами :

(1.2)

Каждое из чисел s1 и S1 может рассматриваться как приближенное значение числа S. Чтобы более точно измерить площадь данного многоугольника, разобьем каждый из n частично покрытых квадратов на 100 квадратов меньшего размера. Сторона каждого из этих квадратов равна , площадь каждого из них равна . Пусть m1 - число квадратов, полностью покрытых многоугольником, n1 - число частично покрытых квадратов. Число S заключено между числами и , т.е.

(1.3)

При этом очевидно (1.4)

С другой стороны, (1.5)

поскольку фигура с площадью S1 содержит все квадраты меньшего размера, на которые разбиты n квадратов, а фигура с площадью S2 - только те из квадратов меньшего размера, которые полностью или частично покрыты данным многоугольником. Таким образом

(1.6)

Разобьем теперь каждый из n1 частично покрытых квадратов меньшего размера на 100 еще меньших равных квадратов со стороной и повторим рассуждения. Получим новые неравенства

(1.7)

Снова повторим аналогичные рассуждения и т.д. Для любого натурально числа k получаются неравенства

(1.8)

причем разность Sk - sk при неограниченном увеличении k будет стремиться к нулю, т.к. разность Sk - sk равна площади фигуры, составленной из квадратов со стороной и покрывающих ломаную, ограничивающую многоугольник (рис. 1.8.)

Рис.1.8. Вычисление площади фигуры, составленной из квадратов

С увеличением k данная фигура все ближе и ближе «сжимается» к ломаной, и поэтому ее площадь стремится к нулю. Значит и числа sk и Sk будут стремиться к S. В этом и состоит процесс измерения площади многоугольника, который позволяет найти приближенное значение S с произвольной точностью



1.2 Вывод формул площадей многоугольников

площадь фигура факультативный геометрия

Теорема 1. Если стороны прямоугольника равны a и b, то его площадь равна произведению ab

(1.9)

Доказательство:

При доказательстве возможны два случая:

a и b - рациональные числа;

a и b - произвольные.

1.Рассмотрим первый случай, когда a и b - рациональные числа.

Пусть (рис. 1.9.)

Рис. 1.9 К доказательству теоремы 1

Разделим сторону a рассматриваемого прямоугольника на k равных частей, а сторону b - на m равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Тогда весь прямоугольник окажется разделенным на km квадратов со стороной , площади которых равны . Таким образом, площадь прямоугольника равна



. (1.10)

2. Рассмотрим случай, когда a и b - произвольные. Возьмем произвольное натуральное число n и подберем натуральные числа k и m такие, что выполняются двойные неравенства

(1.11)

Рассмотрим три прямоугольника: первый - со сторонами и ; второй - со сторонами a и b; третий - со сторонами и . Их можно расположить так, что первый прямоугольник не выходит за пределы второго, а третий содержит второй. Это изображено на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Иллюстрация расположения прямоугольников

Из свойств площади следует, что площадь второго прямоугольника меньше площади третьего и не меньше площади первого.

Площадь первого прямоугольника равна , а площадь третьего составляет .

Пусть S - площадь второго прямоугольника. Тогда 

(1.12)

Но из двойных неравенств (1.13)

следует то, что (1.14)

В левой части двойного неравенства для S заменим k и m меньшими величинами, а в правой - большими. Получим

. (1.15)

После раскрытия скобок (1.16)

и . (1.17)

Вычитая из всех частей неравенства , получаем

, (1.18)

т.е. (1.19)

Последнее неравенство верно при любом n. Но в его левой части стоит неотрицательное число, не зависящее от n. Если предположить, что , то это число будет положительным. Выбирая теперь n достаточно большим, можно сделать правую часть неравенства меньше любого положительного числа, а значит, меньше левой его части, если .

Таким образом, каковы бы ни были числа a и b .

Лемма 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство.

Пусть дан прямоугольный треугольник Т с катетами a и b, который представлен на рис. 1.11.

Рис. 1.11 Прямоугольный треугольник

Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам, как на рис. 1.12.

Рис. 1.12 Треугольник, достроенный до прямоугольника

Гипотенуза треугольника Т разбивает прямоугольник Р на два равных треугольника: треугольник Т и равный ему треугольник Т1. Поэтому

(1.20)

и . (1.21)

Значит, (1.22)

Так как , (1.23)

то (1.24)

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим его Т. Сторону треугольника Т, противоположную вершине С, обозначим с, а опущенную из вершины С высоту обозначим hс. Докажем, что

(1.25)

Возможны три случая расположения точки Н на АВ.

1) Точка Н совпадает с одним из концов основания с, например, с точкой А.

В этом случае высота hc совпадает со стороной СА, так что треугольник Т прямоугольный. Его катеты - отрезки СА=hс и ВА=с. По лемме 1 получаем, что

, (1.26)

т.е. выполняется равенство (1.25)

2) Точка Н лежит на основании с . Это представлено на рис. 1.13.

Тогда высота СН разбивает треугольник Т на два прямоугольных треугольника Т1 и Т2 с катетами с1 и с2 и общим катетом hc.



Рис.1.13. Точка Н лежит на основании треугольника

Площади треугольников Т1 и Т2 вычисляются по формулам

(1.27)

и . (1.28)

Так как , (1.29)

то , (1.30)

т.е. формула (1.25) выполняется и во втором случае.

3) Точка Н лежит вне основания с, например, так, что точка В лежит между А и Н

Тогда прямоугольный треугольник разбивается отрезком СВ на треугольник Т и прямоугольный треугольник . Поэтому

. (1.31)

Следовательно . (1.32)

Поскольку , (1.33)

и (1.34)

(1.35)

то . (1.36)

Утверждение теоремы доказано во всех случаях.

Если ввести ранее формулу площади параллелограмма, формулу площади треугольника можно вывести следующим образом.

Пусть в треугольнике АВС сторона ВС равна а, а высота, опущенная на нее, равна h. Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABCD,как представлено на рис. 1.14.

Рис.1.14. К выводу формулы площади треугольника

Площадь параллелограмма равна:

(1.37)

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т.к. . Следовательно,

(1.38)

Теорема 3. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство.

Пусть в треугольнике ABC S - площадь данного треугольника. Докажем, что

(1.39)

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Cx, а точка А имела положительную ординату (рис.1.15). Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле

, (1.40)

где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки A, т.е.

. (1.41)

Рис.1.15 К доказательству теоремы 3

Поэтому . (1.42)

Теорема 5. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к ней.

Доказательство.

Пусть дан параллелограмм ABCD, который изображен на рис. 1.16.

Рис.1.16. К доказательству теоремы 5

Построим прямоугольник FECD со стороной CD и высотой DF. Параллелограмм ABCD составлен из трапеции FBCD и треугольника AFD. Прямоугольник FECD также составлен из трапеции FBCD и треугольника ВЕС, равного треугольнику AFD (по гипотенузе и катету). Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FECD, т.е. равна произведению стороны на высоту, проведенную к ней.

Таким образом, площадь параллелограмма со стороной а и высотой h равна

(1.43)

Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рисунок 22). Высота DF данного параллелограмма равна

. (1.44)

Пусть . (1.45)

Тогда площадь S параллелограмма ABCD выражается формулой

. (1.46)

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты.

, (1.47)

где AD, BC - основания трапеции, H - высота, S - площадь трапеции.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями и высотой ВН. Проведем диагональ BD. Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD.

. (1.48)

Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

(1.49)

Так как ВН= DH1, (1.50)

то . (1.51)

Тогда . (1.52)

Теорема доказана.

Следствие. Если MN - средняя линия трапеции (рис. 1.17), то

(1.53)

Рис.1.17 Чертеж к следствию из теоремы 6

Поэтому

(1.54)

т.е. площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

1.3 Площадь круга

Кругом (рис.1.18) называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние радиусом круга.

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиусе:

(1.55)

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

(1.56)

где R - радиус круга, - градусная мера соответствующего центрального угла. Если центральный угол задан в радианах, то:

(1.57)

Рис.1.18 Круг



2. Обзор учебно-методического комплекта по геометрии 7-9 классов

2.1 Учебник геометрии 7-9 класс А.В. Погорелов

Учебник предназначен для учащихся 7-9 классов. Отличается от всех учебников строгостью и полнотой изложения материала. Теория в учебнике дается на высоком научном уровне. В учебнике находятся необходимые для учащихся методические рекомендации, например, «Что надо делать, чтобы хорошо успевать по геометрии», «Использование аксиом при доказательстве теорем», «Как готовиться по учебнику самостоятельно» В УМК Погорелова входит рабочая тетрадь, которая полностью соответствует учебнику. К учебнику составлена книга для учителя в форме поурочных разработок, включающих математические диктанты, устные вопросы, дидактические материалы, задачи, упражнения и др.

В учебнике А.В. Погорелова площадь фигур рассматривается в 9 классе в 14 параграфе. Понятие площади рассматривается с введения простой фигуры, за которую приняли выпуклый плоский многоугольник. Далее дается понятие. Оно звучит так: площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей; 3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. В данном учебнике автор объединил две темы «Площади многоугольников» и «Площадь круга» в одном параграфе. Погорелов не рассматривает вопрос об измерении площадей.

В данный параграф автор включил тему «Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника», в которой рассмотрел задачу 42.

Условие задачи: Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника: где стороны треугольника, а S - его площадь.

Решение:

Решение данной задачи начинают с формулы для R, где , где - угол, противолежащий стороне треугольника. Умножая числитель и знаменатель правой части на и замечая, что , получим

Выведем формулу для r (рис. 2.1).

Рис.2.1

Площадь треугольника равна сумме площадей треугольника

(2.1)

Отсюда (2.2)

В пункте «Площадь круга» автор дает определения кругу, круговому сектору, круговому сегменту и их площадям; привел примеры классических задач, которые неразрешимы с помощью циркуля и линейки.

В конце изучаемой главы имеются вопросы и задачи на повторение. Они позволяют закрепить и усвоить полученные знания. К каждому пункту автор выделил задачи. Они делятся на 2 части: задачи обязательного уровня и повышенной трудности.

Условие задачи: Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Решение: Площадь S четырехугольника равна сумме площадей треугольников ABC и ADC

(2.3)

Что и требовалось доказать.

2.2 Учебник геометрии 8 класс А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик

Учебник предназначен для учащихся 8 класса. Учебник Александрова соответствует Федеральному государственному стандарту основного общего образования. Данный учебник предназначен для углубленного изучения геометрии. Материал, относящийся к базовому, особо выделен, содержится в полном объеме, что позволяет обучение по этому учебнику, как в классах с углубленным изучением материала, так и в общеобразовательных классах.

Дидактические материалы для 8 класса состоят из двух частей. В первой части содержатся самостоятельные и контрольные работы по традиционной методике, а во второй -- творческие и зачетные работы по авторской методике. Самостоятельные и контрольные работы построены по принципу «стрелы знаний», идущей по нарастающей сложности, что обеспечивает дифференцированный уровень обучения. Творческие и зачетные работы предназначены для работы в парах и группах. Задания в них учат работать с учебником.

Изучение темы «Площади фигур» начинается в 8 классе. Этой теме посвящена первая глава, которая называется «Площади многоугольных фигур». Площадь круга рассматривается в третьей главе «Многогранники и окружность».

Введению понятия «площадь» предшествует рассмотрение жизненного примера. В данном учебнике рассматривают, как пример, площадь земли, и это представление о площади кладется в основу определения площади многоугольных фигур. Понятие звучит так: для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими свойствами: 1) если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площади этих фигур; 2)равные треугольники имеют одну и туже площадь. Далее авторы отводят целый пункт для темы «Измерение площадей», в которой представлена лемма об отношении площадей квадратов.

Лемма: Если сторона одного квадрата в n раз меньше (n - натуральное число) стороны другого квадрата, то площадь его в раз меньше площади второго квадрата.

После каждого параграфа следуют вопросы. Структура системы упражнений предусматривает следующие задания: для базового и профильного уровня, задачи повышенной трудности, наглядного представления, работа с формулами, нахождение величин, задания на доказательство, исследовательские работы.

Условие задачи: Основания равнобокой трапеции равны a и b, боковая сторона образует с основанием угол . Чему равна ее площадь? (рис. 2.2)

Решение: Запишем формулу площади трапеции:

(2.4)



- высоту трапеции найдем из треугольника , где . Треугольник равнобедренный. Поэтому .

Отсюда

(2.5)

Рис.2.2 Трапеция

2.3 Учебник геометрии 9 класс В.Ф. Бутузов

Учебник предназначен для учащихся 9 класса. Содержание учебника полностью соответствует требованиям государственного образовательного стандарта. Авторы постарались сделать учебник доступным, четким и наглядным в изложении материала в сочетании со строгой логикой.

Доказательства теорем хорошо иллюстрированы, многие рисунки снабжены подписями, позволяющими ученику разобраться в доказательстве теоремы, даже не читая текста учебника, а переходя от одного рисунка к другому. Наряду с рисунками имеются слайды, показывающие реальные прообразы тех или иных геометрических понятий. Для многих геометрических терминов объяснено их происхождение. В учебнике содержится большой задачный материал, систематизация которого тщательно продумана. Непосредственно после параграфов предлагаются основные задачи. После каждой главы располагаются дополнительные задачи, а в конце учебника -- задачи повышенной трудности, а также проектные и исследовательские задачи. Они дают возможность учителю организовать индивидуальную работу с учениками, проявляющими особый интерес к геометрии, развить и повысить этот интерес. В конце учебника имеется подробная историческая справка, отражающая этапы развития геометрии и роль великих ученых-геометров в её становлении.

В учебнике максимально используют наглядно-иллюстративные возможности обучения. Тему «Площади фигур» рассматривают в 9 классе в главе восьмой. В этой главе излагается материал об измерении площади геометрических фигур, вводятся формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, круга., хотя формула площади многоугольника ранее была уже известна. Введению понятия "площадь" предшествует рассмотрение жизненных примеров, что, вообще, необходимо при изучении математики. А данная тема является одной из тех тем, которые напрямую связаны с жизнью и которые наглядно демонстрируют применение математических знаний на практике. Определение, которое дано в данном учебнике, звучит следующим образом: площадью многоугольника понимается величина занимаемой им части плоскости. После параграфа даны вопросы и задачи базового уровня. А задачи повышенной сложности и задачи с практическим содержанием авторы поместили в конец учебника.

Условие задачи: Диагонали четырехугольника ABCD пересекается в точке О. Докажите, что произведение площадей треугольников АОВ и СОD равно произведению площадей треугольников BOC и DOA.

Решение: При решении данной задачи используют формулу, которая выражает площадь треугольников через две стороны и угол между ними. В итоге получают, что



(2.6)

Что и требовалось доказать.

Также авторы предоставили на выбор выполнить исследовательские задачи, в которых есть задача на выражение площади выпуклого четырехугольника двумя способами. В разделе «Темы рефератов и докладов» дается список тем, среди которого есть тема «Различные формулы площадей четырехугольников»



3. Курс факультативных занятий для 9 класса

3.1 Рабочая программа факультатива по геометрии «Площади фигур»

Пояснительная записка.

ОГЭ по математике является обязательным экзаменом в 9 классе. Работа состоит из двух частей с тремя модулями и содержит в себе 26 заданий. Так как в данной работе мы рассматриваем задания только по геометрии, задания по алгебре будем опускать. В первой части задания по геометрии идут с 9 по 13, где нужно дать краткий ответ, в части второй задания по геометрии расположены с 24 по 26, в которых нужно записать подробное решение с развернутым ответом. Чтобы набрать минимальный балл по математике нужно решить, помимо модуля «Математика», из модуля « Геометрия» не менее трех заданий. Так как геометрия является более сложной для изучения, создан данный факультативный курс.

Курс факультативных занятий «Площади фигур» разработан на основе следующих документов:

Федеральный компонент государственного стандарта общего образования, утвержденный приказом Минобразования РФ №1089 от 09.03.2004 (с изменениями и дополнениями от 23. 06.2015 г.)

Федеральный базисный учебный план для среднего (полного) общего образования, утвержденный приказом Минобразования РФ №1312 от 05.03.2004 (с изменениями и дополнениями от 01.02.2012 г.)

Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования, утвержденным приказом МО РФ №1677 от 29.12.2016 г.

Факультативные занятия рекомендованы учащимся 9-х классов для развития их математического кругозора, приобретения умений и навыков при решении геометрических задач по теме «Площади фигур», предназначены для подготовки основного государственного экзамена.

Цель курса факультативных занятий - подготовка учащихся к продолжению образования, повышения уровня их математической культуры, подготовка к ОГЭ.

Задачи курса:

подготовить учащихся к ОГЭ;

учить высказывать гипотезы, опровергать их или доказывать;

развивать интуицию и умение предвидеть результаты работы;

помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

Курс рассчитан на 9 часов и предполагает компактное и четкое изложение теоретического материала, решение задач, самостоятельную работу.

Формы занятий:

беседа;

практические занятия;

работа в группах;

индивидуальные занятия;

тест ОГЭ как форма подведения итогов работы курса.

Содержание курса:

Тема №1 «Площадь многоугольников»

Тема №2 «Площадь треугольников»

Тема №3 «Решение задач ОГЭ, нестандартных задач»

Тема №4 «Площадь круга. Решение задач»

Тема №5 «Итоговый урок»



Таблица 3.1 - Название

№№	Тема занятия	Количество часов	Форма занятия	Оборудование
1 1	Площадь многоугольников	2	Беседа. Работа в группах.	мультимедиа, чертежные инструменты
2 2	Площадь треугольников.	1	Беседа. Работа в группах	мультимедиа, чертежные инструменты
3 3	Решение задач ОГЭ, нестандартных задач	3	Практические занятия. Индивидуальные занятия.	мультимедиа
4 4	Площадь круга. Решение задач.	2	Беседа. Работа в группах. Индивидуальные занятия.	мультимедиа
55	Итоговый урок	2	Индивидуальные занятия.	мультимедиа

Содержание программы.

Тема 1. Площадь многоугольников.

В рамках данной темы рассматриваются задачи на нахождение площадей многоугольников. В начале проводится актуализация знаний, вспоминается понятие площади, единицы измерения, свойства площадей. Через решение задач вспоминаются формулы площадей многоугольников. По мимо задач ученики решают кроссворд по теме «Площади фигур», составляют интеллект - карту, что делает урок разнообразным и творческим. Затем дается формула Пика, с помощью которой ученики решают задание из ОГЭ. После делают выводы по уроку и записывают домашнее задание.

Некоторые из предлагаемых задач:

Задача 1.

Дан прямоугольник ABCD. На стороне AD этого прямоугольника построен треугольник ADE. Построен он так, что его стороны AE, DE пересекают отрезок BC в точках M и N. Точка M является серединой отрезка AE. Докажите, что .

Решение:

В данной задаче рассматриваются два треугольника ABM и MEO. (рис. 3.1) Они равны по второму признаку равенства треугольников. Это означает, что и другая пара треугольников NEO и DCN равны. Из этого следует, что .

Рис.3.1 Прямоугольник

Задача 2.

Площадь поверхности озера Байкал составляет 31722 . Выразите площадь в квадратных метрах и гектарах.

Ответ: 31722000000 ; 3172200 гектар.

Тема 2. Площадь треугольников.

В рамках этой темы рассматриваются задачи на нахождение площади произвольного треугольника, нахождение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружности. Рассматривается формула Герона, площадь прямоугольного треугольника, площадь равностороннего треугольника, на данные темы решаются задачи. Урок представлен больше в практической части. Отрабатываются задания из ОГЭ.

Некоторые из предлагаемых задач:

Задача 1

Найдите площадь треугольника по трем сторонам: а) 19,67,82; б) 6.

Ход решения:

Для того, чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить формулу, по которой находится площадь треугольника. В данном случае рационально использовать формулу Герона. , где

Задача 2

Найдите площадь треугольника, если его стороны a и b, угол между ними .

а) а=6, b=8, =30б) а=14, b=5, =60.

Ход решения:

Как и в предыдущей задаче, запишем формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними .

Тема 3. Решение задач ОГЭ, нестандартных задач.

Данная тема разделена на несколько уроков, так как важная часть геометрии - это отработка всей полученной теории на практике при решении задач. Ученики в ходе уроков решают задачи из ОГЭ. Далее учитель демонстрирует решение опорной задачи. Однако следует обратить внимание учащихся на то, что задачи внутри данной темы не являются стандартными, они более разнообразны по своему содержанию, что затрудняет работу по алгоритму уже решенной задачи и требует творческого подхода к каждому решению.

Некоторые из предлагаемых задач:

Задача 1.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет половину площади квадрата со стороной, равной катету. А какова площадь «пиксельного» ( составленного из единичных квадратов) равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 20? (рис. 3.2 «Пиксельный» треугольник)



Рис.3.2 «Пиксельный» треугольник

Решение задачи:

Первый способ. Если мы возьмем два таких треугольника, то из них можно получить прямоугольник с размером 20х21 (рис.3.3 Прямоугольник)

Рис.3.2 Прямоугольник

Соответственно, площадь треугольника в два раза меньше и равна .

Второй способ. Если рассмотреть обычный не пиксельный треугольник, то можно заметить, что он занимает половину коробки из-за симметрии. Это означает, что часть, которая не занята, симметрична занятой части. Будем рассуждать также для пиксельного треугольника. Если отразить его относительно диагонали, то исходный треугольник будет пересекаться с отраженным.(рис.3.3 Отраженный треугольник)



Рис.3.3 Отраженный треугольник

Но число клеток в пересечении нетрудно найти: все они лежат на диагонали квадрата и их ровно 20 штук. Получаем, что если искомая площадь равна S, то площадь квадрата равна S-20. То есть S

Задача 2.

Треугольник при укладке в коробку перекосило а) Занимает ли он большую, меньшую, или такую же часть площади коробки? б) Можно ли положить треугольник площади 10 в прямоугольную коробку площади 19?(рис.4 Треугольник)

Рис.3.4 Треугольник

Рассмотрим решение данной задачи:

а) Сторона треугольника, которая является самой длинной, делит коробку пополам. Но следует заметить, что треугольника занимает только часть половины коробки.

б) Будем доказывать, что треугольник не может занимать больше половины площади прямоугольной коробки. Для этого нам нужно рассмотреть все случаи расположения вершин, можем считать, что все вершины лежат на сторонах прямоугольника. «Либо на одной из сторон лежат две вершины треугольника - этот случай разобран под а), либо вершины треугольника лежат на трех сторонах, а точнее, на двух сторонах и в углу (рис.3.5 Треугольник 2)

Рис.3.5 Треугольник 2

Тогда коробка разбивается на три части, в каждой из которых треугольник занимает не больше половины площади. (рис.3.6 Треугольник 3)

Рис.3.6 Треугольник 3

Тема 4. Площадь круга. Решение задач.

На этом занятии ученики решают задачи на нахождение площади круга, сектора и сегмента. Тренируются на задачах с заштрихованной частью фигуры, для дальнейшего нахождения площади фигуры.

Некоторые из предлагаемых задач:

Задача 1

Дано два круга, у которых радиусы по 6 см. Они имеют общую хорду длиной 6. Найдите площадь общей части данных кругов.

Решение :

В ходе решения мы пользуемся обратной теоремой Пифагора. Из него следует, что треугольник BOD прямоугольный, то есть .

Тема 5 Итоговый урок.

На завершающем этапе каждому ученику даются тесты, которые в ходе урока он должен решить и получить за них баллы. Это будет являться оценкой усвоения данного факультативного курса.

Некоторые из предлагаемых задач:

Задача 1

Найдите площадь трапеции, которая изображена на клетчатой бумаге (рис.3.7 Трапеция)

Рис.3.7 Трапеция

Ход решения:

Для решения подобных задач можно воспользоваться формулой Пика.

Задача 2

Найдите площадь прямоугольника, если сторона его на 7 больше другой стороны и его периметр 72.

Решение:

Сначала нужно вспомнить площадь прямоугольника. Формула площади: S=ab. Составим уравнение, чтобы выразить через стороны периметр. Пусть x - меньшая сторона прямоугольника, тогда другая сторона будет равна x-7. Тогда периметр прямоугольника будет равен 2(x+x+7) = 72. Находим теперь x : 2x+2x+14=72. Из этого выходит, что x=14,5. Площадь прямоугольника равна 311,75.

Ответ: 311,75

3.2 Конспекты факультативных занятий

1)Технологическая карта урока по геометрии на тему «Площади многоугольников.»

Класс: 9

Цель урока: расширить и углубить представления обучающихся об измерении площадей, развивать умения вычислять площадь фигур, подготовить к основному государственному экзамену.

Задачи урока:

образовательные: научить обучающихся применять формулы для вычисления площадей многоугольника; способствовать глубокому и осознанному запоминанию материала

развивающие: развивать у обучающихся познавательный интерес, логическое мышление;

воспитательная: формировать положительное отношение к знаниям, воспитание дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

УУД:

познавательные: укреплять знания по теме «Площади фигур», выбирать наиболее эффективный способ для решения задач.

личностные: воспитывать ответственность и аккуратность, формировать способность к систематизации;

коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в обсуждении проблем, формировать коммуникативную компетентность обучающихся;

регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности, умение выстроить алгоритм действий.

Формируемые УУД на этапах урока:

1.Организационный момент - личностные, коммуникативные.

2.Актуализация знаний - познавательные, коммуникативные, регулятивные.

3. Закрепление ранее изученных знаний и умений - познавательные, личностные, коммуникативные, регулятивные.

4.Подведение итогов - личностные, коммуникативные, регулятивные.

Структура урока:

Организационный момент - 1 мин.

Актуализация знаний - 8 мин.

Закрепление ранее изученных знаний и умений - 34 мин.

Подведение итогов - 1 мин.

Домашнее задание - 1 мин.

Итого - 45 мин.

Характеристика этапов урока

Этап урока	Форма работы	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся
1.Орг.момент		Приветствует учащихся, проверяет подготовленность к учебному занятию.	Приветствуют учителя, включаются в деловой ритм урока
2.Актуализация знаний	Фронтальная	Учитель задает следующие вопросы, которые требуют устного ответа: 1) Сформулируйте понятие площади через его свойства. 2) Чем выражается площадь многоугольника? 3) Что называется равновеликими фигурами? 4) По какой формуле вычисляются площади: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) трапеции?	Обучающиеся отвечают на вопросы: (из Погорелова) 1)Площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1. Равные фигуры имеют равные площади 2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей. 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице 2) Площадь многоугольника выражается в . 3) Две фигуры могут называться равновеликими, если у них равные площади. 4) а) площадь прямоугольника со сторонами a и b, вычисляется по формуле . б) площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенной к этой стороне. в) площадь трапеции равна произведению ее оснований на высоту
3.Закрепление ранее изученных знаний и умений	Индивидуальная, фронтальная	1. Учитель дает задачи для закрепления материала. Примеры задач: Задача №1 Условие: Дан прямоугольник ABCD. На стороне AD этого прямоугольника построен треугольник ADE. Построен он так, что его стороны AE, DE пересекают отрезок BC в точках M и N.Точка M является серединой отрезка AE. Докажите, что . Задача №2 Площадь поверхности озера Байкал составляет 31722 . Выразите площадь в квадратных метрах и гектарах. Задача №3 Дан параллелограмм, стороны которого равны 6 и 8 см. Высота параллелограмма равна 3 см. Найдите вторую высоту. Задача №4 Найдите диагонали параллелограмма, если у него стороны равны 17 см и 28 см, площадь параллелограмма равна 420 . Задача №5 Найдите площадь ромба, если его сторона равна 5 см, угол между стороной и диагональю равен . Задача №6 Дан треугольник, в котором проведена медиана. Докажите, что площади треугольников, образованных медианой, равны. 2.Учитель предлагает сделать интеллект - карту на тему «Площади фигур»(Приложение) 3. Требуется разгадать кроссворд по теме «Площади фигур» (Приложение) 4. Учитель вводит формулу Пика через решения задачи: «Найдите площадь фигуры» Учитель объясняет, что существует рациональный способ нахождения площади данной фигуры. Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой: Теорема Пика: Пусть L - число целочисленных точек внутри многоугольника, B - число целочисленных точек на границе этой фигуры, S - его площадь. Тогда справедлива формула Пика:	1. Ученики записывают в тетради задачи с их решением. Решение задачи №1 В данной задаче рассматриваются два треугольника ABM и MEO. Они равны по второму признаку равенства треугольников. Это означает, что и другая пара треугольников NEO и DCN равны. Из этого следует, что . Решение задачи №2 31722000000 ; 3172200 гектар. Решение задачи №3 Чтобы найти вторую высоту, нужно воспользоваться площадью: 3. Значит, вторая высота равна 24/6=4 см. Ответ: 4 см Решение задачи №4 Ответ: 25 см Решение задачи №5 Сначала нужно найти угол между сторонами: . Из этого площадь ромба равна: . Решение задачи №6 В треугольнике ABC проведем высоту BT. Нужно заметить, что , . Так как BD - медиана, то AD=DC. Из этого следует, что площади двух треугольников равны. Что и требовалось доказать. 2. Составляют интеллект - карту.(Приложение) 3. Обучающиеся разгадывают кроссворд. (приложение) 4. Сначала ученики находят площадь стандартным способом. Записывают теорему с формулой и применяют ее для решения этой же задачи.
4)Подведение итогов	Фронтальная	Учитель задает вопрос: 1) Что в рамках данной темы мы с вами повторили, а что узнали нового?	Ученики отвечают на вопрос: 1) В рамках данной темы мы повторили свойства площади, формулы площадей многоугольников. Узнали про рациональное решение задачи, при использовании формулы Пика.
5) Домашнее задание		Учитель задает домашнее задание: 1)Самостоятельно найти задачи из тестов ОГЭ, связанные на нахождение площадей многоугольников. Решить их.	Записывают домашнее задание.

2) Технологическая карта урока по геометрии на тему «Решение задач ОГЭ, нестандартных задач»

Класс: 9

Цель урока: расширить и углубить представления обучающихся об измерении площадей, развивать умения вычислять площадь фигур, а также умение решать нестандартные задачи, подготовить к основному государственному экзамену.

Задачи урока:

образовательные: научить обучающихся применять формулы для вычисления площадей многоугольника; способствовать глубокому и осознанному запоминанию материала

развивающие: развивать у обучающихся познавательный интерес, логическое мышление;

воспитательная: формировать положительное отношение к знаниям, воспитание дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

УУД:

познавательные: укреплять знания по теме «Площади фигур», выбирать наиболее эффективный способ для решения различных задач, а также нестандартных;

личностные: воспитывать ответственность и аккуратность, формировать способность к систематизации;

коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в обсуждении проблем, формировать коммуникативную компетентность обучающихся;

регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности, умение выстроить алгоритм действий.

Формируемые УУД на этапах урока:

1.Организационный момент - личностные, коммуникативные.

2.Актуализация знаний - познавательные, коммуникативные, регулятивные.

3. Закрепление ранее изученных знаний и умений - познавательные, личностные, коммуникативные, регулятивные.

4.Подведение итогов - личностные, коммуникативные, регулятивные.

Структура урока:

Организационный момент - 1 мин.

Актуализация знаний - 8 мин.

Закрепление ранее изученных знаний и умений - 34 мин.

Подведение итогов - 1 мин.

Домашнее задание - 1 мин.

Итого - 45 мин.



Характеристика этапов урока

Этап урока	Форма работы	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся
1.Орг.момент		Приветствует учащихся, проверяет подготовленность к учебному занятию	Приветствуют учителя, включаются в деловой ритм урока
2.Актуализация знаний	Фронтальная, групповая	Учитель задает вопросы: 1.По какой формуле вычисляются площади: прямоугольника; параллелограмма; трапеции; треугольника; круга сегмента; сектора 2.Выведите формулу Герона 3. Сформулируйте теорему Пика	Ученики отвечают на вопросы: 1.1) площадь прямоугольника со сторонами a и b, вычисляется по формуле . 2) площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенной к этой стороне. 3) площадь трапеции равна произведению ее оснований на высоту 4)площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту . Также площадь треугольника равна половине произведения двух любых сторон на синус угла между ними 5)площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус. 6), где - градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, - площадь треугольника с вершинами в центре круга в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. 7), где R - радиус круга, - градусная мера соответствующего центрального угла. 2. Формула Герона выглядит следующим образом: , где а,b,c - длины сторон, р - полупериметр. 3. Она звучит следующим образом: Пусть L - число целочисленных точек внутри многоугольника, B - число целочисленных точек на границе этой фигуры, S - его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
3.Закрепление ранее изученных знаний и умений	Фронтальная, индивидуальная, групповая	На данном этапе учитель с учениками отрабатывает задачи из ОГЭ, решает нестандартные задачи. 1.Примеры задач из ОГЭ: Задача №1 Найдите площадь квадрата, если он описан вокруг окружности радиусом 15 Задача №2 Диагональ квадрата равна 4. Найдите площадь данного квадрата Задача №3 Периметр прямоугольника равен 46, одна сторона на 4 больше другой. Найдите площадь прямоугольника. Задача №4 Дан прямоугольник, в котором одна сторона равна 96, а диагональ 100. Найдите площадь прямоугольника 2. Решение нестандартных задач (Приложение)	Ученики решают задачи из ОГЭ, нестандартные задачи. Решение задачи №1 В данной задаче пусть R и D - радиус и диаметр окружности соответственно. Сторона квадрата равна диаметру данной окружности. Найдем диаметр: D=2R=30. Теперь мы можем найти S квадрата: S=. Ответ: 900 Решение задачи №2 Мы знаем, что диагонали квадрата равны. Значит, площадь можно найти как половину произведения его диагоналей: . Ответ: 8 Решение задачи №3 Для начала найдем стороны прямоугольника. Пусть y - меньшая сторона прямоугольника. Так как дан периметр, получаем: 2(y+(y+4))=46, 4y=38, y=9,6. Из этого следует, что S=9,513,5=128,25. Ответ: 128,25 Решение задачи №4 a и b - длины сторон прямоугольника, с - длина диагонали. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Так как сторона b нам не известна, по теореме Пифагора найдем эту сторону: Теперь найдем площадь прямоугольника: S=ab=9628=2688. 2.Решение нестандартных задач (приложение)
4.Подведение итогов	Фронтальная	Учитель задает вопрос: 1. Что мы проделали в рамках данной темы?	1. В рамках данной темы мы повторили всю теорию по теме «Площади фигур», решали задачи из ОГЭ, рассмотрели и решили нестандартные задачи.
5.Домашнее задание		Повторить всю теорию, готовится к итоговому тесту.	Записывают домашнее задание.

3) Технологическая карта урока по геометрии на тему «Итоговый урок»

Класс: 9

Цель урока: повторить, обобщить, систематизировать знания, умения и навыки по теме «Площади фигур»

Задачи урока:

образовательные: обобщить знания о свойствах фигур, знания формул площадей фигур.

развивающие: развивать у обучающихся познавательный интерес, логическое мышление;

воспитательная: формировать положительное отношение к знаниям, воспитание дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

УУД:

познавательные: укреплять знания по теме «Площади фигур», выбирать наиболее эффективный способ для решения различных задач;

личностные: воспитывать ответственность и аккуратность, формировать способность к систематизации;

коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в обсуждении проблем, формировать коммуникативную компетентность обучающихся;

регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности, умение выстроить алгоритм действий.

Формируемые УУД на этапах урока:

1.Организационный момент - личностные, коммуникативные.

2. Проверка знаний и умений - познавательные, личностные, регулятивные.

3.Подведение итогов - личностные, коммуникативные, регулятивные.

Структура урока:

Организационный момент - 1 мин.

Проверка знаний и умений - 42 мин.

Подведение итогов - 1 мин.

Домашнее задание - 1 мин.

Итого - 45 мин.

Характеристика этапов урока

Этапы урока	Форма работы	Деятельность учителя	Деятельность обучающегося
1.Орг.момент		Приветствует учащихся, проверяет подготовленность к учебному занятию	Приветствуют учителя, включаются в деловой ритм урока
2.Проверка знаний и умений		Учитель раздает карточки с задачами по теме «Площади фигур» (приложение)	Решают данные задачи.
3.Подведение итогов		По истечении времени собирает задачи с решением. Учитель с учениками обсуждают, что удалось решить, над чем стоило подумать, а что решить не смогли.	Обсуждают решение задач.
4.Домашнее задание		Подготовка к ОГЭ.	Записывают домашнее задание.

Размещено на Allbest.ru

...