Елементи лінійної алгебри в мережній системі комп’ютерної математики SAGE

Світницька І.С.

Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки

Поява нових інформаційних технологій, їх швидкий розвиток і розповсюдження, привели до осмислення і вирішення нових задач вищої освіти таких, як інформатизація і комп'ютеризація навчального процесу, комп'ютерна грамотність та інформатична культура. Методи інформатики та інформаційні технології проникають у глибини математики, впливають на стиль, зміст і методи математичної роботи, збагачують її та розширюють сфери застосування.

Навчання математичних дисциплін у вищих навчальних закладах відповідно до потреб інформаційного суспільства вимагає широкого впровадження у навчальний процес сучасних педагогічних та інформаційно-комунікаційних технологій, застосування яких дозволить переглянути зміст навчальних дисциплін, зменшити їх технічну складову, сприятиме підвищенню навчально-пізнавальної активності студентів, формуванню інформатичної культури та суттєвому поліпшенню їхньої професійної підготовки за умов, якщо ці технології будуть інтегровані у комп'ютерно-орієнтовані методичні системи навчання.

Сьогодні є досить актуальним широке використанням у навчальному процесі вищої школи ресурсів мережі Internet, зокрема технологій Web, вільно поширюваного програмного забезпечення для дистанційного і мобільного навчання, систем комп'ютерної математики. Важливим питанням, що постає у процесі навчання математики за умов широкого впровадження засобів сучасних інформаційно-комунікаційних технологій, є вибір середовища для роботи.

Часто робота педагога чи науковця не може обмежитись лише однією системою комп'ютерної математики. В процесі використання систем комп'ютерної математики виникають проблеми у застосуванні одних і тих самих команд, що можуть змінюватись навіть у межах однієї системи різних версій. Крім того, в універсальних системах досить часто не вистачає функціональностей спеціалізованих систем.

Проблема вибору потрібної системи може бути розв'язана через застосування мережевих систем комп'ютерної математики або Web систем, використання яких надає можливість виконання обчислень у середовищі Web-браузера (за технологіями AJAX та JSP), підготовку високоякісних навчальних ресурсів з математичних дисциплін, мобільний доступ до обчислювальних програм та даних.

Найбільш широко використовуваними представниками класу мережевих систем комп'ютерної математики сьогодні є MathCad Application Server [2], MapleNet [3], Matlab Web Server [4], webMathematica [5], wxMaxima [6] та SAGE [1].

Середовище для комп'ютеризованого навчання математичних дисциплін має бути:

розширюваним (можливість користувача доповнювати його для забезпечення професійних потреб);

мобільним (забезпечення стабільності, що задовольняє професійні потреби протягом тривалого часу, можливість застосовувати різні типи комп'ютерних пристроїв для доступу до середовища; мобільність вимагає наявності мережного доступу, зокрема через використання Web- технологій);

відкритим (можливість інтегрувати у собі програмне забезпечення для моделювання на основі відкритих програмних інтерфейсів, дотримання стандарту POSIX);

функціональним (забезпечення засобів для побудови та аналізу математичної моделі) [8]. Аналізуючи вимоги до середовищ для комп'ютеризованого навчання математичних дисциплін та науково-методичні праці щодо їх застосування для розв'язування задач лінійної алгебри було обрано систему SAGE. Дана система комп'ютерної алгебри охоплює багато областей математики, зокрема алгебру, комбінаторику, обчислювальну математику і математичний аналіз.

Покажемо деякі можливості використання програми SAGE для вивчення теми «Лінійна алгебра».

Теоретичними основами даного дослідження є дослідницький підхід в освіті і його застосування до навчання математики (Ю. В. Триус, С. А. Раков, М. В. Шабанова), особистісно- орієнтований підхід в освіті і його застосування до навчання математики (В. В. Серіков, З. І. Слєпкань, Н. А. Алексєєв, В. В. Рибалка, І. Д. Бех). Вільно поширювана система для виконання символьних, алгебраїчних і чисельних розрахунків та графічних побудов SAGE (Software for Algebra and Geometry Experimentation) інтегрується як з комерційними системами комп'ютерної математики (Maple, Mathematica, Matlab), так і з вільно поширюваними (Skilab, Maxima, Octave та ін.). Перевагами використання даної мережевої системи є те, що в ній об'єднано можливості використання популярних вільно поширюваних математичних програм та бібліотек, таких як PARI, GAP, GSL, Singular, MWRANK, NetworkX, Maxima, Sympy, GMP, Numpy, mathplotlib та багатьох інших. Крім того, SAGE можна інтегрувати з системами дистанційного навчання (наприклад, Moodle), що є досить важливим для створення web-орієнтованих освітньо-наукових інформаційних середовищ і web-орієнтованих методичних систем навчання математичних дисциплін [1].

Доступ до системи SAGE здійснюється за допомогою сервера, її можна поставити на одній машині, запустити веб-сервер Sage Notebook і користуватися програмою можуть усі, хто має браузер з підтримкою javascript. В системі SAGE підтримуються стандартні конструкції з лінійної алгебри. Для створення матриці використовується функція matrix. Під час роботи з програмним продуктом SAGE об'єкти подаються у вигляді матриць (matrix() objects) і векторів (vector() objects):

навчання математичний програма internet

sage: A = matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,7,1]]) sage: A

[1 2 3]

[4 5 6]

[7 7 1]

sage: v = vector([1,1,4]) sage: v

(1, 1, 4)

Можливі такі варіанти задання типів чисел у матриці:

ZZ: цілі числа QQ: раціональні числа RR: реальні числа CC: комплексні числа

Подання матриць, що складаються з раціональних чисел, мають такий вигляд:

A=matrix(QQ,[[1,2,0],[3,0,1]])

B=matrix(QQ,[[1,2],[0,1],[-2,4]])

C=matrix(QQ,[[3,-2,5],[0,-1,2]])

D=matrix(QQ,[[1,0],[3,2],[1,5]])

Щоб знайти суму або різницю двох матриць достатньо поставити між ідентифікаторами матриць відповідний знак. Наприклад, опис операції додавання матриць А і С має такий вигляд: A+C.

Подібним чином можна обчислити добуток двох матриць та результат множення числа на матрицю (рис.1). В разі множення матриць, у яких число рядків першої матриці не збігається з числом стовпців другої у системі SAGE, буде виведено повідомлення про помилку: error. Подібне повідомлення виводиться в разі намагання додати матриці різних розмірів: A+B.

Рис.1. Задання кількох матриць та дії з ними

Є можливість помножити матрицю саму на себе кілька разів: F*F*F*F, або те саме можна зробити за допомогою операції піднесення до степеня: Fa4 (Рис. 2).

Рис.2. Множення матриць

V=matrix(QQ,[[3,-2,5],[0,-1,2], [2,3,1]])

10 |v*v

[470]

Рис.3. Обчислення визначника та транспонованої матриці