Использование программы Geogebra для визуализации свойств кривых второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Одним из приоритетных направлений развития образования сегодня является его информатизация. Так, в процессе обучения математике использование компьютерных технологий призвано способствовать формированию основных понятий, организации работы с теоретическим и практическим материалом, приобретению необходимых умений и навыков, служить средством контроля и самоконтроля.

На примере эллипса, гиперболы и параболы студенты учатся выводить уравнения кривых линий по их определениям, после чего исследовать свойства кривых по их уравнениям. При этом часто возникает необходимость визуализировать результаты сложных алгебраических выкладок с помощью интерактивных электронных чертежей. Для изображения геометрических конструкций существуют различные компьютерные средства. В данной статье используется программа geogebra, которая представляет собой динамическое программное обеспечение всего курса высшей математики. Эта программа распространяется бесплатно, имеет интуитивно понятный интерфейс и является по-настоящему мобильной, поскольку работает как на стационарном компьютере или ноутбуке, так и на планшете или смартфоне. После запуска geogebra появляется следующее окно: (рис. 1):

Рис. 1 - Стартовое окно программы Geogebra

Интерактивная геометрия программы geogebra позволяет строить фигуры в поле графического вида с помощью электронных аналогов различных чертежных инструментов на соответствующей панели. Аналитическая запись этих построений отображается в поле алгебраического вида. С другой стороны, координаты и уравнения можно задавать непосредственно в строке ввода, применяя специальные команды для выполнения сложных математических вычислений. Таким образом, на каждом чертеже тесно взаимодействуют алгебра и геометрия.

Перейдем теперь к описанию заданий по изучению свойств эллипса в программе geogebra.

Задание 1. Постройте эллипс, руководствуясь его определением.

Эллипсом называется множество г всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 (называемых фокусами эллипса) является постоянной величиной, большей расстояния между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а. Будем считать, что фокусы лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат. Начертим сначала окружность с центром F1 радиуса R, а затем вторую окружность с центром F2 радиуса 2а-R. Если a-c?R?a+c, то эти окружности пересекаются в точках, принадлежащих эллипсу.

Список построений для задания 1.

1. Создайте ползунок для изменения расстояния межу фокусами. Щелкните инструментом ползунок на графическом поле и в появившемся окне укажите имя ползунка с, минимальное значения 0, максимальное значение 15.

2. Постройте фокусы F1(-с, 0) и F2(с, 0), напечатав в строке ввода последовательно F_1=(-с, 0) и F_2=(c, 0).

3. Создайте надпись F1,2(±с, 0) - фокусы. Щелчок инструментом текст на графическом поле вызывает окно, где можно набрать комментарий в разделе правка. Список LaTeX-формуласодержит шаблоны для корректной записи различных математических выражений.

4. Создайте еще два ползунка, которые позволят изменять значения параметра a от с до 15 и радиуса R от а-с до а+с.

5. Постройте окружности с центрами в точках F1 и F2, радиусов R и 2а-R. Щелкните инструментом окружность по центру и радиусу соответствующий фокус, после чего появится окно для ввода радиуса. Имена, присвоенные окружностям по умолчанию, измените на б и в из контекстного меню. Для ввода греческих букв нажмите кнопку б.

6. Постройте точки А и В пересечения окружностей б и в, щелкнув инструментом пересечение по каждой из них. Ясно, что сумма расстояний от любой из этих точек до фокусов будет равна 2а. Из контекстного меню включите след для точек А и В, а также скройте их имена.

7. Двигая ползунок R инструментом перемещение, постройте множество точек эллипса как след точек А и В. Команда Вид>Обновить (Ctrl+F) стирает построенный след.

8. Создайте флажок задание 1 скрывающий или показывающий построенные фигуры. Щелчок инструментом флажок на графическом поле вызывает окно, в котором надо указать название флажка и выбрать окружности б и в из списка объектов.

Задание 2. Постройте эллипс по его каноническому уравнению.

Выведем уравнение эллипса. Для произвольной точки М(x, y) находим и:

программный учебный теоретический

Если M?г, то r1+r2=2a, откуда r1=2a-r2 или в координатной форме:

.

Возведем обе части этого равенства в квадрат

Ещё раз возведем в квадрат

Обозначив , получим уравнение , которое после сокращения на принимает вид и называется каноническим уравнением эллипса.

Обратно, если координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, то и

Поскольку a>c и |x|?a, то . Аналогично, . Таким образом, r1+r2=2a, следовательно, M?г.

Список построений для задания 2.

1. Вычислите , напечатав b=sqrt(a2-c2).

2. Создайте динамический текст и выберете значение b из списка объектов.

3. Постройте эллипс , напечатав g:x2/a2+y2/b2=1.

4. Создайте надпись .

5. Постройте вершины эллипса A1(-a, 0), A2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b).

6. Создайте надпись .

7. Создайте флажок задание 2, который скрывает или показывает построенный эллипс, чтобы сравнить его с результатом задания 1.

8. Двигая ползунки a и c, проследите за изменением формы эллипса.

Задание 3. Постройте фокальные радиусы эллипса.

Фокальными радиусами точки M?г, называются отрезки MF1 и MF2 или их длины.

Список построений для задания 3.

1. Укажите точку M?г, щелкнув инструментом точка на эллипсе.

2. Постройте фокальные радиусы MF1 и MF2 точки M. Щелкните инструментом отрезок сначала точки M и F1, а затем точки M и F2. Из контекстного меню переименуйте построенные отрезки как r1 и r2. Программа автоматически рассчитает длины этих отрезков под аналогичными именами.

3. Вычислите r=r1+r2, напечатав r=r_1+r

4. Создайте динамический текст |MF1|=r1=, |MF2|=r2=, r1+r2= и выберете значения r1, r2, r из списка объектов.

5. Включите динамику точки M из контекстного меню. В левом нижнем углу графического поля появится значок, запускающий или останавливающий анимацию. Убедитесь, что при движении точки M по эллипсу изменяются числа r1 и r2, а их сумма имеет постоянное значение 2а.

6. Создайте флажок задание 3, скрывающий или показывающий построенные на этом этапе объекты.

Задание 4. Постройте директрисы эллипса.

Число называется эксцентриситетом эллипса. Ясно, что 0<е<1.

Прямые называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F1 и F2. Для произвольной точки М(x, y) находим:

Если M?г, то, как мы видели,

,

следовательно,

.

Обратно, если , то r1=ес1 или в координатной форме . Учитывая, что возведем обе части этого равенства в квадрат:

;

Таким образом, M?г.

Список построений для задания 4.

1. Вычислите эксцентриситет напечатав е=c/a.

2. Постройте директрисы напечатав d_1:x=-a/е и d_2:x=a/е.

3. Через точку М проведите прямую, перпендикулярную директрисам. Щелкните инструментом перпендикулярная прямая сначала точку, а затем любую директрису.

4. Найдите точки C и D пересечения этого перпендикуляра с директрисами d1 и d2. Скройте перпендикуляр из контекстного меню.

5. Постройте отрезки MC и MD, переименуйте их как с1 и с2, после чего скройте имена точек C и D.

6. Вычислите значение , напечатав с=r_1/с_1

7. Создайте динамический текст и выберете значения е, с1, с2, с из списка объектов.

8. Перемещая ползунки a и c, установите связь между формой эллипса и эксцентриситетом.

9. Включив динамику точки М, убедитесь, что числа с1 и с2 изменяются, а частное имеет постоянное значение е.

10. Создайте флажок задание 4, скрывающий или показывающий построенные на этом этапе объекты.

Результатом этих заданий является следующий чертеж (рис. 2):

Рис. 2 - Изучение свойств эллипса в программе Geogebra

Наличие на построенном чертеже интерактивных элементов и динамического текста, позволит студентам детально изучить свойства эллипса или самостоятельно установить некоторые закономерности. Кроме того, использование компьютерной графики положительно скажется на развитии воображения и интуиции студентов, их творческих способностей.

Список литературы

1. Кирюшкина О.В. Лабораторные работы как средство повышения эффективности формирования базовых понятий математического анализа у студентов педагогического профиля / О.В. Кирюшкина, М.В. Шуркова // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия Информатика и информатизация образования - 2015. - №3(33). - С. 67-71

2. Ушаков А.В. О роли примеров на лекциях по топологии в педагогическом ВУЗе / А.В. Ушаков // Педагогические науки. - 2012. - № 3 (54). - С. 74-84.

3. Ушаков А.В. О роли примеров на лекциях по дифференциальной геометрии в педагогическом ВУЗе / А.В. Ушаков // Педагогические науки. - 2014. - № 3 (66). - С. 31-34.

4. Ушаков А.В. Использование информационных технологий при изучении геометрии в педагогическом ВУЗе / А.В. Ушаков // Педагогические науки. - 2015. - № 2 (71). - С. 55-57.

5. Педагогическая направленность математических дисциплин в подготовке будущих учителей математики: Монография / А.В. Ушаков, Ю.А. Семеняченко, В.Г. Покровский и др. - М.: Издательство «Спутник+», 2016. - 144 с.

Размещено на Allbest.ru