Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Институт Государственного управления,

Выпуск 6, ноябрь - декабрь 2013 права и инновационных технологий (ИГУПИТ)

Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

http://naukovedenie.ru 144PVN613

Размещено на http://www.allbest.ru/

Роль генераторов и решателей задач в преподавании высшей математики

Основным средством обучения высшей математике являются задачи [9]. В технических университетах, в частности в Омском государственном университете путей сообщения (ОмГУПСе), классической формой обучения и контроля являются типовые расчёты - десятки вариантов наборов однотипных задач, дифференцированные в группы по содержанию разделов или подразделов изучаемого курса высшей математики, по методам решения основных типов задач, по подтипам основных видов задач, по сложности решения задач соответствующих подразделов, по уровню владения материалом (базовый, стандартный, продвинутый, творческий) и т.п. [6, 7, 9]

Система задач, представленная типовым расчётом по некоторому разделу курса высшей математики, весьма полно охватывает не только соответствующее содержание курса, но и такую важную сторону обучения математике как формирование представлений о методах решения задач и умений решать задачи основных типов. Периодическое обновление задач типовых расчётов и применение в них задач разной сложности позволяет избежать такого формального или шаблонного подхода к обучению математике как «натаскивание» на решение задач без понимания сути процесса.

Необходимость составления задач типовых расчётов и их регулярного обновления и дополнения требует от преподавателей высшей математики весьма интенсивных и затратных по времени усилий, т.к. нужно не только придумать несколько десятков вариантов задач, но и прорешать их, проверить, получается ли в результате решения «хороший» ответ, нет ли повторов с ранее составленными задачами и т.п. Обычно выполнение такого типа и объёма работ за ограниченное время просто физически не возможно, даже если 24 часа в сутки выполнять только эту работу. Поэтому весьма актуальным является применение специальных средств по оптимизации подобной работы преподавателей, т.е. оптимизация процесса составления и прорешивания вариантов задач типового расчёта.

Оптимизацию составления и прорешивания задач можно реализовать с помощью компьютера и специальных программ, приобретённых в магазинах программного обеспечения или разработанных самостоятельно. Процесс оптимизации целесообразнее начинать с разработки решателей задач, т.к. некоторые генераторы задач для подбора задач по ряду критериев должны будут использовать решатели задач.

Применение систем компьютерной математики (СКМ) позволяет заметно упростить процесс прорешивания задач - ответ получается почти мгновенно. Однако в использовании этого эффективного и мощного средства кроется один существенный недостаток, а именно: большинство СКМ выдаёт только окончательный ответ без решения. Оптимальным вариантом преодоления этого недостатка является разработка программ, использующих функции СКМ, которые позволяют получать развёрнутое решение определённых типов задач. Имеется в виду разработка решателей задач именно конкретных типов, а не любых, т.к. разработка подобной универсальной программы аналогична созданию искусственного интеллекта. Из платных СКМ подобными возможностями обладают Mathcad и Mathematica, а из бесплатных можно, в частности, попробовать применять Xcas [2, 4].

Если применение СКМ по некоторым причинам затруднительно, то можно использовать какие-либо средства для разработки программ-решателей без СКМ. В частности, можно разрабатывать такие программы в Excel на Visual Basic for applications (VBA) [5, 10]. Авторами данной статьи предпринимаются небезуспешные попытки разработки таких программ на VBA, а также на некоторых современных программируемых калькуляторах с встроенной СКМ [1, 3]. Разработаны программы для решения основных типов задач по линейной алгебре и аналитической геометрии, рядам, комплексным числам, обыкновенным дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и математической статистике. Некоторые версии программ-решателей пока могут лишь выдавать окончательный и промежуточные результаты вычислений, другие в результате своей работы выдают развёрнутое решение.

Разумеется, в Excel в ряде случаев можно обойтись и без VBA. Например, авторами данной статьи разработана программа-решатель, которая для матрицы не более чем 10 порядка, введённой в соответствующее место программы, позволяет: 1) вычислить определитель; 2) вычислить алгебраические дополнения; 3) вычислить обратную матрицу; 4) выполнить преобразование строк по Гауссу; 5) выполнить преобразование строк по ЖордануГауссу. Для последних двух опций предусмотрены возможности: перестановки строк и столбцов местами; отображения элементов результата преобразования в виде десятичной или обыкновенной (неправильной или смешанной) дроби; отображения промежуточных или конечного результата преобразований.

Генераторы задач - программы, которые позволяют составить набор неповторяющихся задач определённого типа с готовыми ответами или решениями. Для ряда разделов курса высшей математики разработка таких генераторов не представляет особых сложностей, т.к. решение основных типов задач является почти линейным, т.е. почти не содержит ветвлений разбора подслучаев (если же такое ветвление имеется, то его можно устранить разработкой специального генератора задач на каждый отдельный подслучай). Примером такого генератора может служить генератор систем линейных алгебраических уравнений, который выдаёт неопределённые системы с решением, содержащим только одну свободную неизвестную. Для более сложных задач других разделов курса высшей математики можно поступать аналогичным образом, расчленять сложные задачи на подзадачи и разрабатывать решатели для таких элементарных подзадач. В случае необходимости получения более универсального решателя в рамках одного подраздела или темы курса можно объединить простейшие решатели в один, который идентифицирует по введённым данным имеющийся частный случай и вызывает соответствующий ему решатель.

Например, генератор линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида использует для своей работы генераторы характеристических уравнений трёх видов: первый генерирует квадратные уравнения с целыми и различными корнями; второй квадратное уравнение с кратным корнем; третий с комплексными корнями. Этот генератор был использован авторами статьи при разработке учебного пособия «Практикум и индивидуальные задания по дифференциальным уравнениям (типовые расчеты)». Кстати, этот генератор один из тех, которые не используют в своей работе решателей задач в явном виде, т.е. для генерации окончательного и промежуточных ответов используются результаты предварительно выполненного в СКМ решения обыкновенного дифференциального уравнения в общем виде с буквенными коэффициентами. Не имея СКМ можно один раз решить определённый тип задач в общем виде карандашом на бумаге, чтобы затем использовать этот символьный (аналитический) результат в генераторе или решателе этого типа задач.

Очевидно, что генераторы задач могут использовать в своей работе решатели задач. Например, для ряда задач полный перебор вариантов даже на компьютере требует много времени, поэтому, в таких задачах вместо перебора удобнее использовать генератор случайных чисел. В этом случае генератор задач в среднем работает быстрее генератора с полным перебором вариантов. Одна итерация в работе генератора задач может выглядеть так: 1) условие задачи (коэффициенты) генерируется с помощью случайных чисел; 2) решатель, встроенный в генератор задач, проверяет корректность введённых данных и решает задачу; 3) затем результат решения проверяется на соответствие одному или нескольким критериям (например, он должен быть целым); 4) если таких удачно сгенерированных коэффициентов ранее не было получено, то они запоминаются; 5) процесс повторяется, пока не будет получено необходимое количество вариантов задачи.

Примером генератора задач, использующего случайные числа, может служить генератор систем трёх линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, разработанный авторами данной статьи в Excel на VBA. Генератор позволяет составлять системы трёх видов: 1) в процессе решения получается характеристическое уравнение с целыми и различными корнями; 2) в процессе решения получается характеристическое уравнение с целыми корнями и корнем кратности 2; 3) в процессе решения получается характеристическое уравнение с целым и комплексными корнями с целой действительной и мнимой частью. Перед запуском генератора можно не только изменить диапазон величин генерируемых коэффициентов, но и задать значения некоторых коэффициентов.

Следующим примером простейшего генератора задач на случайных числах является генератор определителей, который подбирает целые элементы матрицы 2, 3 или 4 порядка из указанного диапазона так, чтобы получился определитель с указанным значением.

Другим примером генератора задач на случайных числах является генератор систем линейных алгебраических уравнений, который по введённой матрице с корнями системы позволяет восстановить саму систему. После каждого повторного запуска получается новая система, имеющая указанное решение. Подобным образом можно составлять определённые, неопределённые и несовместные системы линейных алгебраических уравнений с любым (в разумных пределах) количеством неизвестных.

В качестве примера решателя задач можно привести Excel-программу на VBA, которая решает систему линейных алгебраических уравнений любой размерности (в разумных пределах) методом Гаусса или Жордана-Гаусса. Это решатель позволяет получить окончательный результат или же всю цепочку с элементарными преобразованиями с комментариями о выполняемых над строками действиях.

Довольно объёмные вычисления возникают при решении задач по теории вероятностей и математической статистике. Для облегчения подготовки к занятиям и проверки задач по указанному разделу авторами данной статьи разработана программа с решателями и генераторами некоторых задач (без VBA). Книга Excel содержит следующие листы: 1) Комбинаторика; 2) Формула Байеса; 3) Формула Муавра-Лапласа; 4) Дискретная случайная величина-1; 5) Дискретная случайная величина-2; 6) Генератор «Выборка 100»; 7) Расчёт «Выборка 100»; 8) Расчёт статистического ряда; 9) Расчёт «Выборка 10 000»; 10) Перерасчёт «Выборка 10 000»; 11) Выборка 10 000; 12) Генератор корреляционных таблиц 5 на 5; 13)

Расчёт корреляционных таблиц 5 на 5; 14) Расчёт корреляционных таблиц 20 на 20. Калькулятор или статистические таблицы для работы с программой не требуются. На первом листе можно вычислить количество перестановок, размещений и сочетаний с повторениями и без повторений. На втором листе можно вычислить полную вероятность в схеме Байеса и пересчитать вероятности гипотез, а также вычислить вероятность наступления нескольких независимых событий с различными вероятностями реализации. На третьем листе можно вычислить вероятности наступления событий k раз или от k1 до k2 раз по формуле Бернулли или локальной и интегральной формулам Муавра-Лапласа. На четвёртом листе можно рассчитать основные числовые характеристики дискретной случайной величины (ДСВ), имеющей не более 100 значений. На пятом листе можно сгенерировать биномиальный или геометрический закон распределения дискретной случайной величины. На шестом листе можно сгенерировать выборку из 100 элементов, количественный признак в которой распределён по равномерному, нормальному или показательному закону. Кроме самой выборки рассчитываются все основные характеристики, и проверяется гипотеза о соответствующем законе распределения количественного признака с помощью критерия Пирсона. На седьмом листе то же, что и на шестом, но выборка вводится пользователем программы. На восьмом листе то же, что и на седьмом, но вводится для обработки статистический ряд. На девятом листе можно получить то же, что и на седьмом листе, но для выборки из не более чем десяти тысяч элементов. Сама выборка вводится на отдельном одиннадцатом листе. На двенадцатом листе можно сгенерировать корреляционную таблицу 5 на 5. На этом же листе приводятся промежуточные и основные результаты расчётов. Проверяется гипотеза о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля. На тринадцатом листе расчёты и проверка гипотезы проводятся для корреляционной таблицы 5 на 5, введённой пользователем программы. На четырнадцатом листе можно обработать корреляционную таблицу с размерами не более чем 20 на 20.

Даже эти немногочисленные примеры генераторов и решателей задач позволяют понять, с каким объёмом работы столкнулся бы преподаватель при их отсутствии. Авторами регулярно разрабатываются новые генераторы и решатели задач, которые наряду со старыми программами оказывают ему и его коллегам существенную помощь в подготовке материалов к занятиям по высшей математике, подготовке к публикации типовых расчётов, методических указаний и учебных пособий, в проверке самостоятельных и контрольных работ промежуточной аттестации, в проверке работ студентов заочного факультета [6, 7, 8].

Литература

математика университет упражнение генератор

1. Rising, Gerald R. Inside your calculator: from simple programs to significant insights. Buffalo, New York. Wiley-Interscience. 2007. 288 p.

2. Gurskij, D.A., Turbina, E.S. Vychislenija v Mathcad 12. SPb.: Piter, 2006. 544 s.

3. Дьяконов В.П. Современные зарубежные микрокалькуляторы. М.: Солон-Р, 2002. 400 с.

4. Дьяконов, В.П. Математика 4: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. 656 с.

5. Леоненков, А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel. СПб.: БХВПетербург, 2005. 704 с.

6. Практикум и индивидуальные задания по векторной алгебре и аналитической геометрии (типовые расчёты). Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2013. 288 с.

7. Практикум и индивидуальные задания по интегральному исчислению функции одной переменной (типовые расчёты): Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2012. 336 с.

8. Практикум и индивидуальные задания по курсу теории вероятностей (типовые расчёты): Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2010. 288 с.

9. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240 с.

10. Эйткен, Питер. Интенсивный курс программирования в Excel за выходные.: пер. с англ. М.:Издательский дом «Вильямс», 2004. 432 с.

Размещено на Allbest.ru