Колебания в машинах

Размещено на http://www.allbest.ru/

44

http://tmm.spbstu.ru

Некоторые заметки об опыте изложения курса теории механических колебаний применительно к задачам динамики машин

УДК 621.01:534.1

И.И. Вульфсон

06.05.2004

1. Предварительные замечания

Создание и эксплуатация современных машин немыслимо без учёта колебательных процессов, во многом определяющих производительность, долговечность и надежность оборудования, а также качество продукции и условия труда человека-оператора, поэтому теория колебаний или её специализированные модификации всё чаще включаются в учебные планы технических вузов.

Теории механических колебаний и её приложениям посвящено много монографий, учебников и учебных пособий, которые по охвату материала нередко совершенно не отвечают реальным возможностям, определяемыми объёмами соответствующих курсов. При этом возникает отнюдь не простая проблема отбора материала, при изложении которого не нарушалось бы целостное восприятие предмета и чётко проявлялась бы его инженерная направленность. Последнее представляется очень важным, поскольку при изложении теории колебаний нередко акцентируется внимание лишь на прикладных разделах теории дифференциальных уравнений.

В более общем плане проблема «взаимодействия» курсов механики и прикладной математики при решении научных и технических задач, а также при построении учебных курсов рассмотрено в книге [1]; эта тема также затрагивается во многих монографиях и учебных пособиях [2-7]. На наш взгляд, курс теории колебаний в машиностроительных вузах должен быть естественным продолжением курса теории механизмов и машин, причём основное внимание должно уделяться как физической сущности колебательных явлений, так и применению основополагающих сведений о колебаниях к задачам снижения виброактивности механизмов и машин. Заметим, что ограниченность многих выводов при изложении раздела динамики в традиционном курсе ТММ не должна оставаться завуалированной, так как при этом создается иллюзия «точного» решения задачи и возникают предпосылки для неверной ориентации при выборе направлений совершенствования динамических характеристик машин. Характерный пример: бесспорное влияние геометрических характеристик цикловых механизмов (функции положения и ее производных, углов давления и т.п.) на динамические процессы иногда ошибочно трактуется как возможность решить динамическую задачу чисто геометрическими средствами. В этом смысле весьма показательным является большое число различных модификаций так называемых оптимальных законов движения, которым приписывается способность устранять колебания выходных звеньев безотносительно частотных характеристик системы.

Другая иллюзия, характерная для современного этапа трансформирования учебных курсов, связана с гипертрофированным ощущением всесилия компьютера. Иногда кажется, что достаточно задаться расчётной схемой сколь угодно большой сложности, а остальное сделает ЭВМ. При этом способность компьютера «переварить» исходную информацию нередко воспринимается как получение «точного» решения задачи [1]. В результате - заманчивая полная формализация динамического расчёта при отсутствии понимания происходящих динамических процессов оборачивается, как правило, получением результата сомнительной ценности. С большой вероятностью можно утверждать, что у будущего специалиста, не выходящего по своим знаниям за рамки пользователя вычислительных программ, притупляется способность сомневаться, а следовательно, и чувство ответственности.

Особую роль в преподавании общеинженерных дисциплин приобретает формирование у будущих специалистов «предсказательных» способностей, базирующихся на четких физических представлениях об ожидаемых результатах. Только в этом случае инженер не будет рабом компьютера и выявит сбои в его работе и возможные ошибки при программировании, не теряя способности оценивать полученный результат подобно К.С. Станиславскому словами «не верю».

Вышеизложенные соображения особенно важны применительно к теории механических колебаний. Как отмечал академик Л.И. Мандельштам, «…обычную динамику интересует в первую очередь то, что происходит в данном месте в данное время, теорию колебаний - движение в целом» [2]. Так, в частности, при инженерном расчете для нас представляет интерес не столько обобщенные координаты q(t), как некоторые интегральные характеристики, определяющие амплитудный уровень, его распределение по различным элементам системы и т.п. При этом в данном случае особенно важны два тезиса известного математика Р.В. Хемминга: «цель расчётов - понимание, а не числа» и «прежде, чем решать задачу, подумай, что делать с её решением» [8]. Хотя, возможно, первый из тезисов несколько категоричен, так как для конкретного расчёта несомненно важны и числа.

Эти заметки базируются с одной стороны на почти полувековом (страшно сказать!) опыте научной и инженерной деятельности автора в области механики машин различных отраслей промышленности (металлорежущие станки, машины текстильной, полиграфической, легкой промышленности и др.), а с другой - на опыте преподавания курса ТММ и ряда модификаций курса «Колебания в машинах» в Санкт-Петербургском государственном университете технологии и дизайна, на факультетах повышения квалификации преподавателей ТММ при Санкт-Петербургском государственном политехническом университете и в ряде других втузов бывшего Советского Союза.

Ряд затронутых здесь вопросов неоднократно обсуждался с Михаилом Захаровичем Коловским, многолетнее дружеское общение с которым оставило неизгладимый след в жизни и профессиональной деятельности автора, впрочем, как, наверное, и многих, кто общался с этим замечательным учёным и человеком.

Ниже речь пойдёт в основном о некоторых акцентах курса, поскольку его содержательная часть отражена в учебных пособиях «Колебания в машинах» и «Механика машин»[6,7]. Разумеется, эти заметки носят фрагментарный и в известной степени субъективный характер и не претендуют на роль истины в последней инстанции.

2. Структура динамического расчёта и её трансформация в учебном процессе

Динамический расчёт, объектом которого в рамках обсуждаемой темы служит машина, механизм или процесс, состоит из ряда этапов.

Первый этап динамического расчета связан с разумным упрощением объекта, т.е. его подменой некоторой схемой или так называемой динамической моделью, в которой стремятся отобразить наиболее существенные факторы рассматриваемой задачи. Говоря об адекватности динамической модели, следует иметь в виду, что речь не идёт о полном воспроизведении свойств объекта, а лишь о её способности дать правильное качественное и количественное (в рамках разумной степени точности) описание объекта при заданных воздействиях и относительно определённых характеристик. Короче говоря, «…то, что мы видим, зависит от того, куда мы смотрим» [1]. Итак, одному и тому же объекту соответствует много моделей, каждая из которых остается ограниченной.

Второй этап состоит в математическом описании динамической модели, т.е. построении так называемой математической модели. Под этим термином понимают систему уравнений, при составлении которых используются законы механики и экспериментальные данные. Иногда при этом приходится также привлекать на помощь некоторые гипотезы и допущения для компенсации недостатка знаний или с целью упрощения дальнейшего анализа.

Третьим этапом является решение уравнений с помощью аналитических и численных методов.

Четвертым этапом является анализ полученных решений с позиций поставленной задачи. На базе анализа нередко удаётся сформулировать оптимизационную задачу. Применительно к колебательным системам машин решение этой задачи позволяет осуществить динамический синтез с целью снижения виброактивности механизмов или более эффективного использования колебаний в технологическом процессе.

Далее посмотрим на приведенную выше последовательность этапов с позиций учебного процесса. При научных исследованиях мы опираемся на имеющиеся знания, но направляем свою деятельность на объективно или субъективно неизвестное. Как отмечается в [9], при обучении объективно известно всё, но субъективно для обучающегося содержание предмета можно вводить только по частям, причём мы вынуждены данный фрагмент излагать не только с позиций предыдущего материала, но и последующего, совершенно неизвестного обучающемуся. Эти общие положения проблемы соотношения научного познания и обучения применительно к рассматриваемому кругу вопросов, в частности, проявляются в том, что обучение во втузе начинается не с первого этапа, а с третьего, когда при изучении курса высшей математики математическая модель предполагается заданной. Далее в каждой из учебных дисциплин - теоретической механики, сопротивления материалов, теории механизмов и машин, теории колебаний и др. мы задаемся моделями в рамках изучаемого предмета и реализуем второй этап - математическое описание модели.

Подчеркнём особое место курса колебаний в машинах, в котором, по существу, интегрируются все перечисленные модели. Правда, в более широком плане теория колебаний, как известно, в силу общности математической модели обслуживает такие физически разнородные научные направления, как механика, акустика, оптика, электроника, автоматическое управление и др. и подпитывается научными достижениями в каждой из этих областей.

Что же касается первого этапа, связанного с созданием эффективных динамических моделей для машин данной отрасли, то в чисто формальном плане - это задача профилирующих кафедр. На самом же деле данный этап базируется на опыте многолетней инженерной и научной деятельности специалиста. Здесь уместно вспомнить слова одного из героев романа М. Анчарова «…тот, кто упрощает проблему, должен быть сложнее самой проблемы. Иначе упростить-то он упростит, но ничего не поймёт, кроме своей фальшивой схемы». Трудно переоценить роль этого этапа, но при формировании в учебном процессе качественных представлений о колебаниях чрезвычайно важна относительная простота моделей. Эту мысль образно выразил Лаплас, отметив, что для того, чтобы убедиться, что от дождя трава становится мокрой, нет необходимости исследовать траекторию каждой капли дождя. Правда, в дальнейшем при профессиональной деятельности специалиста иногда возникает соблазн воспользоваться простыми «учебными» моделями для обнаружения и анализа таких свойств и характеристик объекта, которые уже не вмещаются в рамки этих моделей и требуют их совершенствования (например, увеличения числа степеней свободы системы, учёт дополнительных нелинейностей и т.п.).

И ещё одно соображение, связанное с изложением материала. Нам представляется, что преподаватель должен разумным образом ограничить избыточную информацию, короче говоря, следует подумать о том, о чём на данном временном этапе и в данной аудитории говорить не надо. Приведём следующий пример. При изложении разделов о вынужденных и параметрических колебаниях мы оперируем силами и параметрами, зависящими от времени, хотя, оставаясь на материалистических позициях, мы отлично сознаём, что подобные представления в природе существовать не могут, и что они появились лишь на модельном уровне. Однако студенческая аудитория обычно ещё не подготовлена к подобному обобщенному взгляду на проблему, в то время как контингент будущих магистров и преподавателей ТММ, судя по реакции, относится к этому с пониманием.

3. К выбору динамической модели механизма

Важной характеристикой динамической модели является число степеней свободы. Поскольку каждое звено может быть представлено как совокупность бесконечного числа элементарных масс (или моментов инерции), связанных между собой элементарными «пружинами», любой механизм при учёте упругости звеньев имеет бесконечное число степеней свободы. Заметим, что при изложении этого нетривиального для студентов соображения требуются некоторые дополнительные усилия. При схематизации исследуемого объекта как колебательной системы с бесконечным числом степеней свободы исследуются модели с распределенными параметрами, которые описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно этот тип моделей в практике используется для относительно простых (хотя и весьма распространённых) элементов - таких, как стержни, валы, балки, пластины, оболочки. Однако анализ колебаний машин на базе только таких моделей практически не представляется возможным как, впрочем, и необходимым. Поэтому большое распространение в инженерных расчетах получили динамические модели с сосредоточенными параметрами, которым отвечает конечное число степеней свободы. При построении таких моделей исходят из следующих принципов: 1) инерционные свойства механизма предполагаются сосредоточенными в отдельных точках или сечениях в виде приведённых масс или моментов инерции; 2) эти точки или сечения связаны между собой упругими, диссипативными и геометрическими (или кинематическими) связями, лишёнными инерционных свойств.

Обратим внимание на включение в динамическую модель элемента, соответствующего функции положения , который играет роль нелинейного в общем случае оператора, трансформирующего абсолютную координату входного звена в координату выходного звена . Впервые подобная «модернизация» традиционной динамической модели была осуществлена автором в конце 60-х годов [10], а в дальнейшем получила широкое распространение в отечественной и зарубежной практике. (В немецкой технической литературе этому оператору отвечает функция ). Подчеркнём, что включение этого элемента в динамическую модель позволяет в подавляющем числе случаев осуществить обобщённый анализ колебаний в механизмах, не прибегая к отдельному рассмотрению их разновидностей (подробнее см. [5,6]).

4. Использование условий энергетического баланса для формирования правильных качественных и оценочно-количественных представлений о колебательных процессах

Как и во многих задачах динамики, использование энергетических соотношений при анализе колебательных процессов дает не только чёткую физическую картину явлений, но во многих случаях возможность прогнозирования и получения эффективных инженерных оценок. По кинематическим признакам различают установившиеся (периодические), затухающие и нарастающие колебания. В последнем случае экстремальные отклонения от среднего значения являются возрастающей функцией, поэтому прогнозы для этого вида колебаний представляют наибольший практический интерес.

Весьма распространенным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, при которых обобщенная координата и ее производная изменяются пропорционально синусу (косинусу) с аргументом, линейно зависящим от времени:

. (1)

Ниже при анализе энергетических соотношений будем считать амплитуду А - медленно меняющейся функцией, предполагая, что на одном периоде амплитуда мало изменяется по сравнению с ее средним значением. Это обычно реализуемое в практике предположение позволит нам в дальнейшем считать в пределах периода амплитуду постоянной, равной среднему значению, а ее изменение прогнозировать при переходе от каждого периода к следующему.

Определим изменение механической энергии за отрезок времени, равный периоду колебаний , где . Обратимся к дифференциальному уравнению

(2)

где а, с - инерционный и квазиупругий коэффициенты; Q - неконсервативная обобщенная сила.

Если умножить левую и правую часть уравнения (2) на , то легко убедиться, что [7]. Отсюда

. (3)

Этот результат является достаточно очевидным, поскольку , а следовательно, зависимость (3) соответствует утверждению о том, что приращение энергии за период равно работе неконсервативных обобщенных сил. При >0 амплитуда колебаний возрастает, при <0 - убывает, при =0 - остается постоянной.

Рассмотрим ряд типовых колебательных режимов с энергетических позиций.

1. Свободные колебания без сил сопротивления. В этом случае Q=0, а, следовательно, согласно (3) . Вывод: .

2 .Свободные колебания при линейной силе сопротивления. При этом . Тогда

<0, (4)

Следовательно, колебания затухают. Зависимость (4) удобно представить в форме , где - коэффициент рассеяния. Здесь и ниже индекс «минус» отвечает отведенной энергии, а индекс «плюс» - подведенной; при этом График имеет вид параболы (рис. 1,а).

3. Свободные колебания при постоянной силе сопротивления (кулоново трение). В этом случае , а работа сил трения равна произведению постоянной по абсолютной величине силе трения на путь 4A, т.е. Таким образом, отводимая энергия растет по линейному закону (рис. 1,б).

4. Вынужденные колебания при гармонической вынуждающей силе . При вынужденных колебаниях , где - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики. Принимая Q=F, на основании (3) имеем

. (5)

Без учета диссипативных сил при < (дорезонансный режим) при > (зарезонансный режим) при (резонанс) (Здесь - частота свободных колебаний). Как это следует из (5), при < и > следовательно, вынужденные колебания - установившиеся. При анализе этих режимов у студентов нередко возникает недоумение, Действительно, означает ли утверждение что внешний источник не нужен, но тогда возникает вопрос, чем же вызваны вынужденные колебания с частотой ? Дело в том, что внутри каждого периода колебаний имеет место взаимодействие между источником колебаний и колебательной системой. Так, на отрезке времени, равном , кинетическая и потенциальная энергия поочередно достигает максимальных значений и Разницу должен восполнить внешний источник, причем, чем больше удаленность от резонанса , тем большим запасом энергии этот источник должен обладать. Иногда, чтобы пояснить этот энергетический казус, я пользуюсь в студенческой аудитории следующим примером: представьте себе, что вы живете на стипендию («смелое» утверждение, вызывающее «оживление в зале»). Чтобы выжить, вы одалживаете некоторую сумму от «внешнего источника», но как честный человек в конце месяца долг возвращаете. Означает ли это, что внешний источник вам не нужен? (Разумеется, вместо стипендии можно использовать и более реальную константу).

Список литературы

1. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. М.: Наука, 1983.- 328 с.

2. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.- 470 с.

3. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980.- 480 с.

4. .Коловский М.З. Динамика машин. Л.: Машиностроение, 1989.- 263 с.

5. Механика машин: Учеб. пособие для вузов/ И.И. Вульфсон, М.Е. Ерихов, М.З. Коловский и др.; Под ред. Г.А. Смирнова. М.: Высшая школа , 1996.- 511 с.

6. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия. Л.: Машиностроение, 1990.- 306 с.

7. Вульфсон И.И. Колебания в машинах: Учеб. пособие для вузов. СПб.: СПГУТД, 2000.- 185 с.

8. Хеминг Р. Числовые методы. М.: Наука, 1968.- 400 с.

9. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М.: Педагогика, 1981.- 208 с.

10. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968.- 284 с.

Размещено на Allbest.ru