Прикладні задачі як засіб розвитку ймовірнісного мислення учнів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прикладні задачі як засіб розвитку ймовірнісного мислення учнів

А.О. Розуменко

Аналіз існуючих на сьогодні дисертаційних досліджень з питань пошуку методичних шляхів реалізації стохастичної складової в шкільному курсі математики показав, що в основному робота ведеться за наступними напрямками:

- розробка методики формування в учнів стохастичних уявлень в процесі навчання основам теорії ймовірностей і математичної статистики на рівні початкової, основної та старшої (профільної) школи;

- посилення прикладної та практичної спрямованості вивчення стохастики в шкільному курсі математики;

- розробка методики стохастичної підготовки майбутнього вчителя математики.

Мета статті полягає в обґрунтуванні ефективності використання прикладних задач як одного із засобів розвитку ймовірнісного мислення учнів.

Методи дослідження. У ході підготовки статті були використані такі методи дослідження:

- теоретичні: аналіз результатів педагогічних та психологічних досліджень, аналіз прикладних задач з теорії ймовірностей;

- емпіричні: узагальнення педагогічного досвіду з викладання елементів стохастики, педагогічні спостереження за процесом навчання математики учнів старшої школи.

Виклад основного матеріалу. На сучасному етапі розбудови шкільної математичної освіти сформульовано цілі навчання початків теорії ймовірностей і вступу до статистики, які полягають у забезпеченні свідомого і міцного оволодіння знаннями, навичками і уміннями з даної змістової лінії, які потрібні в повсякденному житті, майбутній професійній діяльності і яких буде достатньо для вивчення інших предметів, продовження освіти, формування навичок моделювання випадкових явищ у процесі дослідження природи і суспільства; розвитку імовірнісно-статистичного та критичного мислення [5] учнів, математичної інтуїції і культури, формування самостійності, ініціативності, творчості, здатності адаптування до умов, що змінюються; формуванні наукового світогляду.

Під мисленням в сучасній науці розуміють найбільш узагальнену і опосередковану форму психічного відображення, що встановлює зв'язки і відношення між об'єктами, які досліджуються. Це процес пізнавальної діяльності індивіда, що характеризується узагальненим і опосередкованим відображенням дійсності; це аналіз, синтез, узагальнення умов і вимог задачі, що розв'язується і способів її розв'язання. У психології, що вивчає мислення як процес, прийнято виділяти різні види мислення в залежності від ознаки, яка покладена в основу:

- за формою (наочно-дієве, наочно-образне і абстрактне мислення);

- за характером завдань (практичне і теоретичне мислення);

- за ступенем новизни і оригінальності (репродуктивне і творче (продуктивне) мислення).

Математичне мислення повністю відповідає характеристиці мислення взагалі. Разом з тим цей різновид мислення має свої особливості, які обумовлені специфікою об'єктів, що досліджуються, а також методів їх вивчення. У дослідженні Л.К. Максимова [2] говориться про те, що, хоча методи математичного мислення зараз широко застосовуються в інших науках і мають статус загальних методів пізнання, все-таки цей вид мислення має свої особливості, які відрізняють його від мислення в інших наукових областях.

Під математичним мисленням, в основі якого лежать математичні поняття і судження, в педагогічній теорії розуміють сукупність взаємопов'язаних логічних операцій; оперування як згорнутими, так і розгорнутими структурами, знаковими системами математичної мови, а також здатність до просторових уявлень, запам'ятовування і уяві.

Загальновідомою є характеристика математичного мислення, яку дав академік А.Я. Хінчін. Розкриваючи сутність стилю математичного мислення, він виділяє чотири характерні риси, що, на його думку, відрізняють цей стиль від стилів мислення в інших науках: домінування логічної схеми міркувань; лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший, що веде до цієї мети логічний шлях; чітка розчленованість ходу міркування; точність символіки [8]. Видатний математик Г. Вейль розуміє під математичним мисленням, по-перше, особливу форму міркувань, за допомогою яких математика проникає в науки про зовнішній світ - фізику, хімію, біологію, економіку тощо і навіть в наші думки про повсякденні справи, і, по-друге, ту форму міркувань, до якої вдається в своїй області математик. Математичне мислення має і інші характерні властивості: структурність, конкретність, ототожнення, абстрактність, геометричність (образність і конкретність) тощо. Сере інших характерних особливостей математичного мислення вчений називав комбінаторний спосіб представлення (зіставлення) різних математичних об'єктів. Цю особливість можна назвати комбінаторним стилем мислення. Під комбінаторним мисленням розуміється здатність мислити сукупностями образів, підпорядкованих тим чи іншим умовам, які можна скласти з заданої скінченної множини об'єктів [1].

В умовах сучасної дійсності стають актуальними такі якості мислення, як гнучкість, критичність, глибина, адаптивність, динамізм, здатність діяти в умовах конкуренції і ситуаціях невизначеності. Отже, сучасній людині необхідний стиль мислення, який деякі дослідники називають «ймовірнісно-статистичним».

У науковій і методичній літературі використовується термін «ймовірнісне мислення», але чіткого визначення немає, зміст цього поняття уточняється.

Існує думка, що вперше цей термін був використаний Б.М. Тєпловим для позначення «способу мислення, в структуру якого входять судження про ступінь ймовірності очікуваних подій» [6]. Ймовірнісне мислення передбачає руйнування багатьох стереотипів, наприклад, відмову від переваги строго детермінованої поведінки, що виключає варіативність, відмову від негативного ставлення до випадкового.

При всій значущості ймовірнісного мислення у різних сферах людської діяльності його розвиток в процесі навчання здійснюється недостатньо. Не розкриті загальні методи його розвитку, отже, немає обґрунтованих методичних шляхів його реалізації. У ситуації, що склалася, виникає необхідність вивчення логіки розвитку імовірнісного мислення учнів, аналізу психологічних механізмів та розробки методики навчання учнів відповідного навчального матеріалу.

Очевидно, що завдання розвитку імовірнісного стилю мислення може бути вирішена в шкільному курсі математики при вивченні елементів комбінаторики, теорії ймовірностей, описової статистики та елементів математичної статистики.

У результаті аналізу існуючих підходів до трактування поняття «ймовірнісне мислення» методисти виокремлюють такі його компоненти:

1) логічний (при розв'язуванні імовірнісних задач в учнів формуються основні прийоми логічного мислення, такі як порівняння, аналіз, синтез, абстрагування та узагальнення);

2) комбінаторний (найбільш характерною рисою комбінаторного мислення є здатність суб'єкта визначати, розглядати і враховувати всі можливі варіанти поєднання будь-яких ознак або подій);

3) ймовірнісно-статистичний (вміння учнів оперувати поняттям «ймовірність», орієнтуватися в ситуаціях невизначеності, аналізувати інформацію статистичного характеру) [4].

Перше знайомство учнів з елементами стохастики на уроках математики в початкових класах відбувається на наочно-інтуїтивному рівні в ході проведення ігор, дослідів, які формують перші емпіричні уявлення про випадковість. Перехід на стадію «формальних операцій» (11-15 років), переважання абстрактного і теоретичного мислення, поява вміння міркувати за допомогою вербально сформульованих гіпотез (15-17 років) є сприятливою умовою для формування ймовірнісного мислення в основній та старшій школі. Знайомство учнів старших класів з ідеями і методами стохастики, а також демонстрація застосування цих ідей і методів у різних областях знань дозволяє створити цілісну картину світу, навчити учнів зіставляти узагальнені висновки з конкретними явищами, виробляти власну оцінку явищ.

Вивчення елементів теорії ймовірностей і математичної статистики відносять до числа основних засобів реалізації прикладної спрямованості навчання математики.

Прикладна спрямованість навчання стохастики полягає в організації навчальної діяльності учнів щодо застосування стохастичних ідей і методів до опису процесів реальної дійсності, а також до аналізу і вирішення проблем, що можуть виникати в різних професійних сферах. Прикладні завдання виступають в якості основного компонента реалізації прикладної спрямованості навчання стохастики в школі.

Ми поділяємо позицію науковців, які під прикладною задачею стохастики розуміють задачу, що виникла в реальній життєвій ситуації (або в області майбутніх професійних інтересів учнів) і для розв'язання якої необхідно залучити ймовірнісно- статистичний апарат.

Загальновідомо, що в якості основного методу розв'язання прикладних завдань виступає метод математичного моделювання, що включає в себе три етапи:

1) формалізацію - побудову математичної моделі;

2) розв'язання задачі всередині побудованої моделі;

3) інтерпретацію - тлумачення отриманого розв'язку.

Методисти виділяють ряд принципів (як загально дидактичних, так і спеціальних), яких необхідно дотримуватися при підборі прикладних задач з теорії ймовірностей і математичної статистики для учнів старшої школи.

Основними принципами, на нашу думку, є такі:

- принцип доступності (прикладні завдання повинні лежати в сфері вікових інтересів школярів і відображати питання, що мають місце в реальній ситуації; якщо для розгляду окремих прикладів потрібні додаткові факти математичної теорії, то вони повинні бути доступні для розуміння учнями даного віку і можуть бути розглянуті окремо) ;

- принцип науковості (використовувані додатки і завдання повинні бути повноцінні в математичному відношенні; умова і результат розв'язання прикладних завдань повинні сприяти розширенню наукового кругозору учнів, містити теоретичну інформацію про сучасні наукові досягнення в тій галузі знань, на матеріалі якої вони побудовані);

- принцип системності і взаємозв'язку (прикладні завдання повинні бути складовою частиною системи завдань і вправ з основного курсу комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики);

- принцип інтеграції шкільних дисциплін (викладаючи прикладні питання і пропонуючи учням практичні завдання, необхідно підкреслювати зв'язок стохастики з іншими науками);

- принцип практичної значущості (зміст прикладних задач має нести практичну інформацію, яка зрозуміла учням або в силу отриманих ними знань, або виходячи з їх життєвого досвіду та інтуїтивних уявлень);

- принцип мотивації (мотивуючим потенціалом стохастики є формування пізнавального інтересу: усвідомлення учнями того, як абстрактні математичні поняття і факти можна ефективно застосовувати в профільній для них дисципліни).

Дослідники відмічають, що при розробці методики формування ймовірнісно-статистичного мислення учнів у процесі розв'язування задач однією з основних проблем є відбір відповідних видів задач, які найбільш доречні з точки зору формування стохастичного мислення, формування відповідних умінь і, разом з тим, доступних учням [7].

Досвід викладання переконує в тому, що розв'язання і обговорення саме «цікавих» і разом з тим нескладних задач дозволяють значно підвищити ефективність цілеспрямованої роботи по розвитку ймовірнісного мислення учнів.

Наведемо приклад однієї з найвідоміших ймовірнісних задач[3], яка має назву «Задача про дні народження». Існують різні варіанти цієї задачі. Ми пропонуємо розв'язати послідовно три задачі про так звані «парні» дні народження, а потім зробити порівняльний аналіз умови та відповідних розв'язків.

Постановка задачі 1: При якій мінімальній кількості людей в компанії ймовірність того, що хоча б два з них народилися в один і той же день, не менше 1? (Роки народження можуть і не збігатися.)

Розв'язання задачі. У подальших міркуваннях будемо вважати, що у році 365 днів, і що всім дням року відповідає однакова ймовірність народження людини.

Проаналізуємо більш загальну задачу. Нехай N позначає число рівно можливих днів, r - число людей. Обчислимо ймовірність того, що всі ці люди народилися в різні дні. Тим самим ми знайдемо і ймовірність того, що хоча б дві людини народилися в один і той же день.

Для першої людини є N можливих днів народження, для другої - (N - 1), які не збігаються з днем народження першої, для третьої - (N - 2), відмінних від днів народження перших двох і т. д. Для r-ї людини існує (N - r + 1) відмінних можливостей днів народження. Загальна кількість варіантів, при яких немає однакових днів народження серед r людей, дорівнює

N * (N - 1) *... * (N - r + 1).

Для визначення ймовірності, яка нас цікавить, треба знайти ще загальне число всіляких розстановок днів народження. Для кожної людини існує рівно N можливих днів, і загальне число різних розташувань днів народження r людей дорівнює N^r.

Так як, відповідно до припущення, всі дні народження рівноімовірні, то ймовірність того, що всі ці люди

N * (N - 1) *...* (N - г + 1)

народилися в різні дні, дорівнює.

Таким чином, ймовірність того, що є принаймні два однакових дні народження, дорівнює

р_г = 1 -

Зауважимо, що точне обчислення значення цього виразу потребує громіздких обчислень при великих значеннях N (таких, як 365), але цього можна уникнути за рахунок використання логарифмів.

Невелика робота з таблицями показує, що при r = 23 ймовірність принаймні одного збігу дня народжень дорівнює 0, 5073, а при r = 22 ця ймовірність дорівнює 0, 4757. Таким чином, r = 23 - найменше ціле число, при якому має сенс укладати рівноправне парі.

Акцентуємо увагу учнів на тому, що це число може здатися досить малим, так як інтуїтивно очікуваним здається число, близьке до.

Наступна таблиця дає значення ймовірності парних днів народження для різних значень r:

Постановка задачі 2: Ви поставили собі за мету знайти людину, день народження якого збігається з Вашим. Скільки незнайомців вам доведеться опитати, щоб ймовірність зустрічі такої людини була б не менше, ніж 1?

Розв'язання задачі. Більшість людей має на увазі саме цю задачу, коли їм пропонують задачу «Парні дні народження». Думка про день народження, що збігається з вашим, і викликає подив при відповіді r = 23 в задачі про парні дні народження.

За умовою даної задачі вам зовсім не важливо, чи збігаються дні народження інших людей, якщо тільки вони не збігаються з вашим. Часто, покладаючись на інтуїцію вважають, що відповідь у цій задачі дорівнює або 183. Через змішування двох проблем відповідь r = 23 здається тоді неправдоподібно малою.

Але і в цій задачі інтуїтивна відповідь 183 виявляється хибною. Справа в тому, що вибірка днів народження проводиться з поверненням. Якщо перший з опитаних народився «певного» дня то ніщо не заважає і наступним мати той же день народження. Ймовірність того, що опитаний чоловік народився не в один день з Вами, дорівнює, де N = 365 - число днів у році.

При опитуванні n людей ймовірність того, що всі вони з'явилися на світ не в Ваш день народження, дорівнює

N-1 \п. „..-. (N-1 \п,

І ), і ймовірність того, що хоча б у одного день народження збігається з Вашим, дорівнює Р_п = 1-І). Нас цікавить найменше значення n, для якого Р_п не менше. Переходячи до логарифмів, з'ясовуємо, що шукане значення n = 253, що значно відрізняється від 183.

Постановка задачі 3: Нехай Р_г - ймовірність того, що принаймні двоє людей з компанії в r людей мають один і той же день народження. Яким має бути n в індивідуальній задачі про парні дні народження для того, щоб ймовірність успіху приблизно дорівнювала б Р_г ?

Розв'язання задачі. По суті, питання полягає у визначенні числа можливих випадків в задачі про парні дні народження. У задачі про індивідуальний день народження для n людей є n можливостей зустріти людину, день народження якої такий же, як у вас.

Учені зазначають, що ймовірнісний стиль мислення сприяє формуванню більш глибокого ставлення людини до світу, до себе, а значить, робить особистість більш вільною, активною, самостійною. Проблема розвитку мислення учнів, зокрема ймовірніснісного, є складною психолого-педагогічною та методичною проблемою і потребує об'єднання зусиль науковців у пошуках її вирішення.

школа ймовірнісного мислення учень

Список використаних джерел

1. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. 400 с.

2. Максимов Л.К. Развитие математического мышления младших школьников в условиях учебной деятельности: Автореф. дисс.... докт. психол. наук. М., 2003.

3. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Москва: Наука, 1971. 103 с.

4. Полякова Т.А. Прикладная направленность обучения стохастике как средство развития вероятностного мышления учащихся на старшей ступени в условиях профильной дифференциации. Автореф.дисс... канд. пед. наук 13.00.02 теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования), Омск. 2009.

5. Розуменко А.О., Розуменко А.М. Розвиток критичного мислення студентів при вивченні теорії ймовірностей (на прикладі теми «Геометрична ймовірність». Актуальні питання природничо-математичної освіти: збірник наукових праць. Суми, 2016. №7-8. С. 105-113.

6. Теплов Б.М. Проблемы индивидуальных различий. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961. 536 с.

7. Трунова О.В. Система задач з початків теорії ймовірностей і вступу до статистики і методика їх розв'язування. Дидактика математики: проблеми і дослідження. Міжнародний збірник наукових робіт. Донецк: ДонНУ, 2006. Вип. 26. С. 96-104.

8. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами. М.: Изд- во АПН РСФСР, 1963. 204 с.

Размещено на Allbest.ru