В настоящее время в качестве основного направления модернизации образования выделяют введение профильного обучения на старшей ступени школы. Согласно Концепции профильное обучение реализует личностно ориентированную парадигму образования и является средством дифференциации и индивидуализации обучения, которое позволяет более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для образования старшеклассников в соответствии с их интересами и желаниями в отношении продолжения образования. Поэтому переход к профильному обучению преследует следующие цели:

- обеспечить углубленное изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

- создать условия для построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

- обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

В соответствии с Концепцией профильного обучения построение учащимися своих индивидуальных образовательных траекторий должно достигаться за счет варьирования комбинаций учебных предметов различных типов: базовых общеобразовательных, профильных и элективных курсов. Особая роль в профильном обучении принадлежит элективным курсам.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Они должны быть направлены на решение следующих задач:

- способствовать самоопределению ученика и выбору дальнейшей профессиональной деятельности;

- создавать положительную мотивацию обучения на планируемом профиле;

- знакомить учащихся с ведущими для данного профиля видами деятельности;

- активизировать познавательную деятельность школьников;

- повышать информационную и коммуникативную компетентность учащихся.

Цели обучения математике на занятиях элективных курсов состоят в овладении учащимися такой системой математических знаний и основанных на них умений и навыков, чтобы они понимали, что математика - метод познания действительности; могли строить математические модели практических задач, исследовать их и решать; имели представление об истории науки; видели значимость математики для современной науки и производства; имели необходимую подготовку для изучения других предметов и для продолжения образования после окончания школы.

Теория игр и линейное программирование являются важными и интересными разделами исследования операций, которое в настоящее время находит самое широкое применение в различных областях целенаправленной человеческой деятельности.

В соответствии с примерными учебными планами для физико-математического, естественнонаучного и информационно-технологического профилей нами разработаны программы элективных курсов «Элементы матричных игр» и «Элементы линейного программирования». Каждый курс рассчитан на 18 часов и предназначен для учащихся 10-11 классов. Разработанные программы знакомят учащихся с элементами матричных игр и элементами линейного программирования, способствуют формированию умений и навыков решения практических задач и профессиональному самоопределению. Рассматриваемые курсы позволяют поднять познавательный интерес учащихся до уровня заинтересованности наукой, раскрыть направления и перспективы соответствующей области знаний, повысить их информационную компетентность.

Элективный курс «Элементы матричных игр»

Цели курса:

- развитие представлений о математическом моделировании как о ведущем методе познания реальной действительности и формирование соответствующих умений;

- овладение знаниями по теме «Элементы матричных игр» и соответствующими математическими методами;

- раскрытие роли матричных игр в современном мире;

- формирование математической составляющей картины мира (на определенном уровне) и базы для продолжения математического образования в вузах различного профиля.

Основные задачи курса:

1) дать учащимся представление о возможном практическом применении матричных игр в современном мире;

2) научить учащихся оперировать понятиями теории матричных игр и применять их при решении практических задач.

В данный курс вошли вопросы, связанные с основными понятиями темы и некоторыми методами решения практических задач, которые хорошо согласуются с соответствующими разделами школьной математики.

образование математический моделирование умение

Тематическое планирование

Содержание тем

1. Изучение курса начинается с темы «Игры со стратегиями», или «Как играть, чтобы не проиграть». Это сделано для того, чтобы привлечь внимание учащихся к курсу в целом. При изучении данной темы предлагаются для решения следующие задачи: «Кто первым назовет число 100», «Поставь на ноль», «Последняя фишка», «Игра на симметрию» и др. Учащиеся разбиваются на пары и играют. Сначала дается возможность поиграть, а затем идет обсуждение игры, т.е. обсуждение действий или стратегий игроков.

Цель первого занятия - научиться находить выигрышные стратегии в различных играх.

2. Основные понятия. Классификация игр.

На этом занятии рассматриваются такие понятия как конфликтная ситуация, игра, правила игры, игроки, стратегия, оптимальная стратегия, игры с нулевой суммой, антагонистическая игра, матричная игра, коалиция, классификация игр (критерии). При изучении данной темы необходимо подчеркивать то, что игра - это математическая модель конфликтной ситуации. А математические модели являются эффективным средством познания окружающего мира. Процесс построения математической модели - типичное рациональное рассуждение, которое характерно для прикладной математики.

Для усвоения формулировок определений понятий предлагаются задания с пропусками, перекрестные тесты, тесты с различными вариантами ответов.

3. Способы описания игры.

Здесь обращается внимание на нормальную и позиционную формы игр. После обсуждения способов задания игр учащимся предлагается привести свои примеры. Особое внимание необходимо уделить построению игровых моделей различных реальных ситуаций (скупой пассажир, распределение конкурсных работ, о рекламе, выпуск продукции и др.).

4. Матричные игры. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.

На этом занятии рассматриваются антагонистические игры, которые реализуются матрицей. Для них определяются принципы оптимального поведения игроков. Обращается внимание на понятие «устойчивая стратегия» и нахождение решения матричной игры.

5. Доминирование.

Оптимальные стратегии легко находятся для небольших игр, но с ростом числа чистых стратегий вычисления становятся достаточно сложными.

Доминирование строк и столбцов используется для уменьшения размерности игры. Необходимо отметить, что принцип доминирования позволяет игрокам исключить из рассмотрения заведомо невыгодные для них стратегии.

6. Самостоятельная работа. В самостоятельной работе проверяется овладение учащимися понятийным аппаратом, умение решать задачи разобранных типов. Первое задание - на составление платежной матрицы, второе - на определение существования или отсутствия чистых оптимальных стратегий для матричной игры; третье - выполнить доминирование.

7. Смешанные стратегии. Решение игр в смешанных стратегиях.

Здесь рассматривается ситуация, когда матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях, поэтому приходится обращаться к смешанным стратегиям. После изложения теоретического материала решаются практические задачи.

8. Игры с природой.

Во многих задачах выбор решения зависит от объективной действительности, называемой в математической модели «природой». Сама же математическая модель подобных ситуаций называется «игрой с природой».

Если множество состояний природы конечно, то такие игры также определяются матрицей. При этом большое значение имеет выбор специальных критериев, позволяющих оценивать то или иное действие.

Выбор критерия принятия решений является наиболее сложным и ответственным этапом в исследовании операций. При этом не существует каких-либо общих рекомендаций или советов.

Зачет. Предлагается зачетная работа, которая включает вопросы теоретического характера, задачи на построение платежной матрицы и нахождение решений.

Итоговое занятие. На этом занятии обсуждаются вопросы восприятия математики как элемента общечеловеческой культуры, формирования элементов математического мышления, использования изученного математического аппарата для исследования окружающего мира, подводятся итоги. образование математический моделирование умение

По данному курсу разработано учебное пособие для учителей, которое содержит необходимый теоретический материал, методические рекомендации по проведению занятий, решению задач, задачи и упражнения для закрепления знаний и отработки практических навыков, задания для промежуточного и итогового контроля знаний учащихся, исторические сведения по профильному обучению и по теории игр.

Элективный курс «Элементы линейного программирования»

Ранее математический аппарат преимущественно использовался как инструмент расчетов, в настоящее время ставится задача принятия решения в различных условиях, выбора наиболее эффективного варианта, при котором достигается наилучший результат. Такие задачи и привели к созданию математического программирования, в частности, линейного. А использование ЭВМ дало возможность широкого применения методов линейного программирования. Привлечение элементов математического моделирования в школьную практику стало актуальным сегодня. Возможность решения прикладных задач позволяет расширить и сделать более глубокими знания учеников по различным предметам, усилить практическую направленность обучения. Еще одна привлекательная сторона математического моделирования - возможность приобщения учащихся к компьютерной технике и выработка навыков ее систематического использования.

Необходимо отметить, что простейшая схема математического моделирования применяется в алгебре при решении текстовых задач. Решение же линейных уравнений и их систем служит фундаментом для возможного изучения в школе простейших задач линейного программирования.

Ценность изучения линейного программирования в школе заключается в том, что учащиеся начинают строить простейшие математические модели: они переводят на математический язык практические задачи, решают их методом линейного программирования, учатся интерпретировать полученный результат. Здесь можно предложить графический метод решения задачи линейного программирования, поскольку это способствует развитию графической культуры учащихся.

Цель курса - развитие умений построения моделей и графической культуры в процессе изучения элементов линейного программирования, а также помощь учителю в выборе методов работы на элективных занятиях.

Основные задачи:

1) определить способы и приемы активизации деятельности учащихся на занятиях;

2) помочь учителю в определении методов развития графической культуры и приобщения учащихся к использованию ЭВМ.

Тематическое планирование

Содержание разделов курса

1. Вводное занятие. На первом занятии рассматриваются задачи, приводящие к задаче линейного программирования.

2. Математическое моделирование. Здесь обращается внимание на основные этапы процесса моделирования, изучаемый материал иллюстрируется примерами. Также проводится контрольное тестирование (пять вопросов и две задачи с возможными вариантами ответов).

3. Основные понятия линейного программирования. Рассматриваются такие понятия как целевая функция, система ограничений, допустимое решение, оптимальное решение. Решаются задачи и проводится контрольное тестирование (пять вопросов с возможными вариантами ответов и задача).

4. Геометрическое решение уравнений и систем уравнений. Линейное уравнение с двумя переменными, системы уравнений. График линейной функции. Графическое решение уравнений и их систем. Примеры. Контрольное тестирование (пять вопросов с возможными вариантами ответов).

5. Решение линейных неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Неравенство с двумя переменными, системы неравенств, решение. Графический метод решения систем линейных неравенств с двумя переменными. Примеры. Контрольное тестирование (шесть вопросов с возможными вариантами ответов).

6. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными. Постановка задачи линейного программирования, геометрическая интерпретация. Схема решения графическим методом. Примеры. Контрольное тестирование (четыре вопроса с возможными вариантами ответов).

7. Решение практических задач линейного программирования. Примеры.

8. Понятие многокритериальной задачи. Понятие задачи и методов решения подобных задач.

9. Заключение. Повторение всего изученного материала. Итоговое тестирование (двадцать пять вопросов с возможными вариантами ответов).

В поддержку курса предлагается пособие, содержащее теоретический материал, материал для практических занятий, задания и тесты для проверки знаний учащихся по каждой теме и по окончании изучения курса. Наряду с пособием предлагается обучающая программа, которая позволяет, используя персональный компьютер, самостоятельно ознакомиться с понятиями линейного программирования и графическим методом решения задач, а также проверить свои знания по темам курса и по окончании изучения материала с помощью тестов.

Как показывает практика, данные элективные курсы позволяют углублять и расширять познавательные способности учащихся, формируют навыки обращения с математическим аппаратом. Поэтому есть все основания считать, что элективные курсы «Элементы матричных игр» и «Элементы линейного программирования» найдут свое место в учебных планах образовательных школ.