Новый подход к исследованию функций на возрастание и убывание в вузе и школе

А.Д. Новиков, доцент кафедры математического анализа

Введение

В данной статье анализируется сложившийся в отечественных школьных и ряде вузовских учебниках и учебных пособиях по математическому анализу подход к исследованию функций на возрастание (убывание). На конкретных примерах вскрывается его противоречивость и неполнота. Это в свою очередь означает, что соответствующая теория исследования функций на возрастание (убывание) не может быть признана научной. Анализ таких основных понятий математического анализа как непрерывность и дифференцируемость функций действительной переменной и теоретических схем их обобщения показывает, что, поступая аналогичным образом по отношению к понятиям возрастания и убывания функций, оказывается возможным построить непротиворечивую и полную теорию возрастания (убывания) функций.

Центральное звено предлагаемой теории - определения возрастания и убывания функции в точке, а не определения монотонных функций, которые в рамках предлагаемой теории формулируются как естественные обобщения на интервал определений возрастания и убывания функции в точке. При этом меняется и основная задача исследования функций на возрастание (убывание). Если раньше это означало «найти промежутки возрастания и убывания функции», то в предлагаемой теории - это нахождение областей возрастания и убывания функции. В качестве практического приложения данного исследования предлагаются варианты исправления сложившейся ситуации с построением теории и изучением возрастания (убывания) функций в средней школе и вузе.

Выявление проблемы

Рассмотрим пример исследования функции на возрастание (убывание), приводимый отечественными авторами как школьных [1, С. 41], так и вузовских [2, С. 133] учебниках по математическому анализу. В качестве результата исследования этой функции, например в [2], выдаётся следующее заключение: «Функция - возрастает на полуоси и убывает на полуоси ».

Что же неприемлемо в этих утверждениях? Неприемлемо здесь прежде всего то, что в процессе исследования теряется сам объект исследования. В самом деле, в начале цитаты в качестве исследуемой функции заявлена функция с её естественной областью определения . Однако в качестве результата её исследования на возрастание (убывание) выдаются утверждения, касающиеся исследования других двух функций: с и с . Но ведь функция считается заданной аналитически, если соответствующая функциональная зависимость задана формулой и областью определения. Это означает, что изменение хотя бы одной из этих компонент фактически осуществляет переход к другой функции. Именно это и происходит в приведенном выше примере.

Рис. 1

Другими словами, определения убывающей и возрастающей функций авторы приведенной выше цитаты применяют не к заявленной в качестве объекта исследования функции, а к совершенно другим функциям. Если же исследовать с помощью определений монотонных функций заявленную функцию y = x² с , то в качестве результата исследования имеем единственный вывод: исследуемая функция не является монотонной. Совершенно ясно, что аналогичная ситуация возникает при использовании сложившегося подхода с любой функцией, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания. Таким образом, налицо неустранимое в рамках существующего подхода противоречие.

Тем не менее, приверженцы такого подхода говорят, что они исследуют функции по частям. Возражение по этому утверждению очевидно: «исследование функции по частям» - это на самом деле исследование других функций. Здесь вполне уместно сравнение: невозможно исследовать лес, исследовав составляющие его объекты по отдельности.

Приведём ещё один пример, доказывающий неполноту существующего в современных учебниках по математическому анализу подхода к исследованию на возрастание (убывание) функций. Рассмотрим функцию

Исследование этой функции на возрастание (убывание) в вузовских курсах математического анализа приводит к следующему результату: функция возрастает на интервалах ; и убывает в точке (см. рис. 1).

Здесь, как и в предыдущем примере, заявляется исследование функции с областью определения , а на самом деле исследуются три другие функции: с , с и с , поскольку определения монотонных функций применяется именно к ним, а не к исходной функции.

Но если здесь, используя определения возрастания (убывания) функции в точке, точку всё же можно классифицировать как точку убывания функции, то в школьном курсе алгебры и начал анализа [1] эти определения отсутствуют и, следовательно, поведение функции в этой точке исследовать невозможно.

Но ведь в издании первого школьного учебника [3, С.144] по алгебре и началам анализа, когда его редактировал действительно сам А.Н. Колмогорова, эти определения были!

Всё это говорит о том, что подход авторов современных школьных учебников по алгебре и началам анализа к исследованию функций на возрастание (убывание) не только противоречив, но и не полон.

Это, в свою очередь, означает нарушение основных критериев любой научной теории - критериев непротиворечивости и полноты и приводит к очевидному нарушению одного из основных принципов преподавания математики - принципа научности.

Таким образом, имеем очевидную проблему - отсутствие научно обоснованного подхода к исследованию функций действительной переменной на возрастание (убывание). Изложению решения этой проблемы и посвящена наша статья.

Решение проблемы

Прежде всего, заметим, что понятия возрастания (убывания) функции и непрерывности имеют много общего.

Во-первых, для обоих этих понятий имеются их определения в точке.

Во-вторых, оба понятия определяются и на подмножествах множества действительных чисел. Поэтому возникает вполне обоснованная идея - использовать схему построения теории непрерывности функций для построения по аналогичной схеме теорию возрастания и убывания функций

Рис. 2

Как известно, сначала при построении теории непрерывности функции даётся определение непрерывности функции в точке. Затем это понятие обобщается на интервал, и лишь после введения понятий односторонней непрерывности в точке следует обобщение этого понятия на отрезки и полуинтервалы в соответствии со схемой па рис. 2.

Производная функции включена в эту схему в качестве достаточного условия непрерывности функции, что упрощает исследование на непрерывность дифференцируемых функций.

В соответствии с этой схемой обобщения понятия непрерывности функции построим схему понятийного аппарата исследования функций на возрастание и убывание. Результат этого построения приведён в виде схемы на рис. 3.

Рис. 3

дифференцируемость школа учебный

Как видно из рисунка, в схеме также имеется элемент «производная функции». Это связано с тем, что при исследовании функций на возрастание (убывание) наряду с элементарными средствами, используются методы дифференциального исчисления (когда исследуется дифференцируемые функции), а именно - достаточное условие возрастания (убывания) функции.

1) Отметим ряд характерных особенностей схемы, достаточно полно отражающей предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание. В качестве концепции обобщения понятия «возрастание функции» выбирается процесс обобщения «от точки к множеству», а не «множество и точка». Поэтому в качестве основных инструментов исследования функций на возрастание и убывание выбираются определения возрастания (убывания) функции в точке (см. схему на рис. 3), а не определения монотонных функций. В схеме на рис. 3 монотонная функция как результат исследования (представлена компонентой 6) рассматривается лишь как один из возможных его вариантов.

2) Вводятся новые понятия - понятия областей убывания и возрастания функции как множеств всех точек убывания и всех точек возрастания функции соответственно (элемент 5 схемы на рис. 3).

3) Монотонные функции (элемент 6 схемы на рис. 3) здесь присутствуют как частный случай, возможный при совпадении области определения функции с её областью возрастания (убывания).

4) Элементы 2 и 4 схемы на рис. 3 позволяют обобщить понятие «возрастание функции» на полуинтервалы и отрезки, что особенно важно в приложениях теории возрастания (убывания) функций.

5) Предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание (убывание) имеет и обратное влияние - он позволяет уточнить терминологию при исследовании функций на непрерывность и дифференцируемость. В рамках этого подхода вместо терминов «функция непрерывна на промежутках» и «функция дифференцируема на промежутках» употреблять выражения «область непрерывности функции» и «область дифференцируемости функции». Далее, при исследовании функций с помощью второй производной следует употреблять термины «область выпуклости» и «область вогнутости» функции взамен «промежутки выпуклости» и «промежутки вогнутости» функции.

В рамках предлагаемого подхода без каких-либо противоречий может быть исследована на возрастание (убывание) любая функция действительной переменной. Это, в свою очередь, означает полноту и непротиворечивость самой концепции предлагаемого нами подхода.

Методические рекомендации

I.Средняя школа. В средней школе понятие функции вводится в курсе алгебры в 9-м классе. Здесь же рассматриваются основные свойства функций действительной переменной. Именно здесь изучение возрастания и убывания функций следует начинать с введения понятий возрастания и убывания функции в точке для непрерывных функций.

Затем, в соответствии со схемой на рис. 3, понятия возрастания и убывания функций обобщаются на интервал. При этом необходимо привести формулировку теоремы о необходимом и достаточном условии возрастания функции на интервале (без доказательства) [4, с. 123].

Здесь же следует ввести определения областей возрастания и убывания функций. После этого эти понятия формулируются для функций, заданных на множестве изолированных точек. Закрепление полученных знаний по исследованию функций на возрастание и убывание теперь уже можно проводить и на кусочно-непрерывных функциях.

Определения понятий монотонных функций в 9-м классе следует формулировать только на открытом множестве. Если же монотонная функция задана на множестве изолированных точек, то по аналогии с непрерывными монотонными функциями точки, соответствующие наименьшему и наибольшему значениям аргумента, исключаются из областей монотонности функции.

Обобщение областей убывания и возрастания функций на отрезок на первом этапе изучения этих понятий нецелесообразно, поскольку это потребует существенно большего объёма учебного времени и может привести к смешению понятий возрастания (убывания) функции в точке и в односторонней окрестности точки.

В 10-м классе общеобразовательных школ при изучении основных свойств функций следует рассмотреть обобщение возрастания (убывания) функций па полуоткрытые (полуинтервалы) и замкнутые (отрезок) множества. Здесь же эти понятия обобщаются на функции, заданные на множестве изолированных точек.

В дальнейшем изучение в 10-11 классах таких понятий, как непрерывность и дифференцируемость функций теперь не вызовет у учащихся серьёзных затруднений, поскольку схема их обобщения - от точки к области - уже хорошо проработана в 9-м классе и она практически совпадает со схемой обобщения понятий возрастания и убывания функций.

Поэтому дальнейшее изучение утверждений, устанавливающих связи между этими тремя основными понятиями начал математического анализа, будет проходить естественно и не вызовет недоразумений типа «включения точек экстремумов в промежутки возрастания и убывания функции». В рамках предлагаемого подхода в области возрастания и убывания функций экстремумы не могут попасть уже по определению.

Таким образом, в 10-11 классах в результате изучения учащимися понятия производной схема на рис. 3 начинает действовать в полном объёме.

II.Вузы. В вузах изложение материала о возрастании и убывании функций следует реализовать в соответствии со схемой на Рис.3 в полном объёме. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии возрастания функции на интервале следует провести методами введения в математический анализ (см. [5, с. 14, 15] или [6, с. 176,177]). Особое внимание следует уделить изложению материала о возрастании и убывании функций на множестве изолированных точек и на произвольных множествах, так как этот материал практически никак не отражён в современных школьных и вузовских учебниках.

Далее важно обратить внимание на необходимость уточнения терминологии при исследовании функций на возрастание (убывание), дифференцируемость и выпуклость (вогнутость). А именно:

· при исследовании функций действительной переменной на возрастание (убывание) вместо терминов «промежутки возрастания» и «промежутки убывания» функции следует пользоваться терминами «область возрастания» и «область убывания» функции;

· при вычислении производной функций действительной переменной вместо терминов «промежутки дифференцируемости» функции следует пользоваться термином «область дифференцируемости» функции;

· при исследовании функций действительной переменной на выпуклость (вогнутость) вместо терминов «промежутки выпуклости функции» и «промежутки вогнутости функции» правильно использовать термины «область выпуклости функции» и «область вогнутости функции».

Литература

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 384 с.

2. Ильин В.А., В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс: В 3-х т. Т.1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 425 с.

3. Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для 9 кл. средней школы / А. Н. Колмогоров, Б. Е. Вейц, И.Т. Демидов и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1978. - 222 с.

4. Математический энциклопедический словарь. //Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.

5. Новиков А.Д. О функциях, монотонных на множестве и в точке //Рукопись деп. ВИНИТИ 13.01.04, 46-В2004.

6. Райков Д.А. Одномерный математический анализ: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 1982. - 415 с.

Размещено на Allbest.ru