Роль метода размерностей для обобщения знаний и познавательных способностей обучаемых при изучении курса физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Роль метода размерностей для обобщения знаний и познавательных способностей обучаемых при изучении курса физики

Ю.А. Андреенко,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры физики МИСиС (Технологический университет)

Дидактически метод размерностей в узком смысле можно понимать как метод расчета физических задач, а в более широком плане как метод, формирующий физическое мышление. Причем часто в практике обучения как метод расчета он применяется на этапе анализа данных в начале решения задачи и при анализе уже полученного решения. Конечно, в факте использования метода размерностей на этапе анализа ответа выполненного задания уже проявляется обобщающая роль данного метода, но только отчасти. Во-первых, его применение можно распространить на этап поиска решения, а во-вторых, этот метод позволяет наиболее наглядно устанавливать взаимосвязи физических величин и, следовательно, может служить не только отправной точкой решения практических задач, но и при изучении теории, закона, определения физической величины и т.д. К сожалению, как первая, так и вторая из названных возможностей метода в практике обучения используются недостаточно часто.

Рассмотрим упомянутые возможности применения метода размерностей на некоторых конкретных примерах.

Решим задачу из теста по физике для абитуриентского тестирования, предложенного Федеральным центром тестирования в 2005 году.

Задача

Плотность натрия 0,97*10³ кг/м^3, молярная масса 23*10^-3 кг/моль. Найти среднее значение объема, занимаемого одним атомом натрия.

Отметим, что в начале теста приводится таблица физических констант, необходимых для решения предложенных задач. Решим данную задачу, применяя метод размерностей и используя систему единиц СИ.

Обобщающая роль метода должна проявиться на этапе поиска решения, то есть на этапе синтеза данных, так как « синтез - это умение комбинировать факты для получения общего вывода» [1, c. 23].

Итак, требуется найти объем, занимаемый одним атомом натрия. Размерность объема - м³, плотности - кг/м³, молярной массы - кг/моль. Если молярную массу разделить на плотность, то полученная величина будет иметь размерность м³/моль. Если этот результат разделить на величину, имеющую размерность моль^-1, то размерность итоговой величины будет м³. Для записи приведенного решения в виде формулы среди данных не хватает величины с размерностью моль^-1. Обратимся к табличным данным. Размерность моль^-1 имеет число Авогадро. Значит, функция связи перечисленных величин, полученная из формулы связи их размерностей имеет вид:

V = M/pN_a (1).

После синтеза переходим к анализу, то есть выявлению частей целого, установлению взаимосвязей между частями. Отношение М/N_a дает массу одного атома m. Введя в формулу полученную замену, имеем: V = m/p, то есть приходим к следствию из определения плотности. Таким образом, решение задачи есть решение системы из двух уравнений:

p = m/V и m = M/N_a.

В рассмотренном случае формула связи размерностей из перечисленных величин совпала с итоговой формулой решения задачи. Это не частый случай в практике решения задач, но сам метод от этого не становится менее плодотворным. «Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей процесса, которые заранее не известны» [2, с. 66]. И в том, что его использование может привести к пониманию общих физических закономерностей несложно убедиться на конкретном примере. Решим задачу № 419 из сборника задач [3].

Задача

Напишите физическое уравнение, содержанием которого является следующее положение: «Чтобы уменьшить путь торможения движущегося тела, надо увеличить приложенную к нему силу трения».

Попробуем сформировать из данных в условии задачи физическую величину. Произведение пройденного телом пути на модуль силы трения численно равно работе силы трения и имеет размерность, совпадающую с размерностью энергии. Из смысла приведенного в условии задачи положения следует, что путь торможения и приложенная к телу сила трения находятся в обратно пропорциональной зависимости, то есть F = K/S.

Остается выяснить смысл коэффициента К. Так как его размерность совпадает с размерностью энергии, можно предположить, что он равен кинетической энергии тела. Тогда искомому уравнению можно придать вид: F S = mv²/2 (2).

Проанализируем полученное уравнение. Если движение тела происходит по горизонтальной поверхности, то сила трения окажется равнодействующей приложенных к телу сил. По теореме о кинетической энергии работа равнодействующей силы равна приращению кинетической энергии тела, то есть такой разности, когда от второго значения энергии вычитается первое. Из этой теоремы и условия данной задачи следует:

F S = 0 - mv²/2 (3).

После умножения левой и правой части уравнения (3) на минус единицу приходим к уравнению (2).

Пусть тело спускается по наклонной плоскости. Тогда работа силы трения и равное ей количество выделившейся теплоты будут определяться не только кинетической, но и потенциальной энергией тела. Искомое уравнение в этом случае будет иметь вид:

F S = mv²/2 + mgh (4),

где h - высота, с которой опустилось тело.

Поскольку сила трения является сторонней, тот же результат можно получить, зная соотношение между работой сторонних сил и приращением полной механической энергии, а именно то, что работа сторонних сил равна приросту полной механической энергии тела или системы тел.

Для нашего случая имеем: -

F S = E₂ - E₁ (5),

где Е₂ и Е₁ - полная механическая энергия тела в конце и в начале движения соответственно. Если потенциальную энергию отсчитывать от уровня остановки тела, то Е₂ = 0, а Е₁ = mv²/2 + mgh, и после подстановки этих значений энергий в уравнение (5) приходим к уравнению (4).

Если при движении по наклонной плоскости трение отсутствует, левая часть уравнения (5) обращается в ноль, то есть E₂ = E₁ (6), и мы приходим к закону сохранения механической энергии в общем виде. Расписав уравнение (6) для двух произвольных точек наклонной плоскости, имеем mv₁² /2 + mgh₁ = mv₂²/2 + mgh₂, то есть mv²/2 + mgh = const (7), то есть мы получили вид записи закона сохранения механической энергии для тела, движущегося в поле силы тяжести.

Таким образом, рассмотренная задача и ее решение с опорой на метод размерностей помогает обобщить знания обучаемых по использованию энергетического метода и в то же время является хорошей иллюстрацией использования каждого из этих методов для решения задач.

Известные в механике законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии не определяют детально изменение состояния физической системы с течением времени, но позволяют сделать некоторые заключения о характере поведения системы. «Полное описание физической системы возможно лишь в рамках динамических законов» [4, с. 701]. Поэтому, установив закон сохранения каким-либо способом, для простых систем теоретически его справедливость легко проверить, используя законы динамики и формулы кинематики. С другой стороны, можно воспользоваться подходящим для составления уравнения методом и необходимым условием соответствия этого уравнения законам динамики и формулам кинематики для получения каких-либо сохраняющихся величин. Покажем, как это можно сделать с помощью метода размерностей для механической энергии.

Итак, мы пытаемся установить вид сохраняющейся физической величины, имеющей размерность ml² t^-2. В СИ это величины, имеющие размерность кгм² с^-2. Величины mv² и mgh имеют такую размерность, причем при движении тела в поле силы тяжести с ростом одной величины другая уменьшается. Поэтому логично предположить, что выражение вида mv² + mgh (8), где и некоторые числовые коэффициенты, может оказаться постоянной величиной, то есть mv² + mgh = const (9). Найдем эти коэффициенты, исходя из сделанного предположения и наших знаний о характере движения тела.

Пусть тело падает с высоты 20 м без начальной скорости с ускорением g = 10 м/с². Решив систему уравнений кинематики h = g t² /2 (10) и v = gt (11), получим числовое значение скорости в нижней точке движения. v = 20 м/с. Уравняв выражение (8) для верхней и нижней точки движения с учетом полученных данных, имеем = /2. Приняв = 1, получим

= 1/2. С учетом полученных коэффициентов уравнение (9) совпадет с уравнением (7), то есть мы пришли к закону сохранения механической энергии.

Попробуем таким же способом установить вид величины с размерностью ml³ t^-2, сохраняющейся для материальной точки, находящейся в поле силы тяжести.

Предположим, эта сохраняющаяся величина имеет вид:

mgh² + mv⁴ /g + mhv² = const (12),

где , , - неизвестные числовые коэффициенты.

Для определения числовых коэффициентов опять рассмотрим падение тела без начальной скорости с высоты 20 м с ускорением g = 10 м/с².

Для высшей и низшей точек движения уравнение (12) примет вид:

размерность познавательный физический

gh² = v⁴ /g (13).

Используя формулы кинематики и получив для скорости тела на уровне земли v = 20м/с, подставим данные в исходное уравнение (13). Получим: = 4.

Затем запишем уравнение (12) для точек на уровне 20 м и 10 м с одновременной заменой = 4. После всех преобразований получим = 4. Приняв = 1, запишем исходное уравнение в виде:

4mgh² + mv⁴ /g + 4mhv² = const (14)

Очевидно, что изменение коэффициента в несколько раз привело бы к пропорциональному изменению коэффициентов и и не нарушило бы равенства (12).

Решим при помощи полученного уравнения задачу № 5.2 из сборника задач [5].

Задача

Тело брошено вертикально вверх со скоростью v_o = 16 м/с. На какой высоте h кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии?

Запишем уравнение (14) для уровня земли и уровня h:

mv_о⁴ /g = 4mgh² + mv⁴ /g + 4mhv² (15)

По условию mv² /2 = mgh. Тогда v² = 2gh. С учетом этой замены после преобразований из уравнения (15) имеем: h = v_о² /4g = 6,4 м, если g = 10 м/с².

Тот же результат можно было получить при помощи закона сохранения механической энергии.

Решим следующую задачу: «Из окна высотного здания вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью v_o = 10 м/с. Какую скорость будет иметь тело, опустившись на 10 м ниже уровня бросания? Считать g = 10 м/с²».

Если уровень бросания принять за нулевой, то из уравнения (14) с учетом отрицательного значения h, имеем: mv_о⁴ /g = 4mgh² + mv⁴ /g - 4mhv² (16).

Подставив сразу числовые данные, получим уравнение: v⁴ - 400 v² +30000 = 0

Решая это уравнение, получим для квадрата скорости два положительных решения: 300 м²/с² и 100 м²/с^2, то есть два положительных решения для скорости: v₁ = 10 м/с и v₂ = 103 м/с, одно из которых является посторонним. Решение этой задачи при помощи закона сохранения энергии короче и содержит один положительный корень v = 10 3 м/с.

Итак, полученное нами уравнение (14) не дает никакой новой информации по сравнению с законом сохранения механической энергии и, кроме того, нуждается в проверке для выявления посторонних решений. Уравнение (14) является следствием закона сохранения энергии. Но основной вывод из полученных нами результатов заключается в том, что возможность и целесообразность введения ряда важнейших физических величин - силы, энергии и т.д. - это отражение объективных закономерностей природы. «Эти понятия вводятся не по нашему произволу, не из соображений удобства или «экономии мышления», а вытекают из реальности, из опытных данных» [7, с. 35].

В поисках новой информации продолжим работу с размерностью ml³ t^-2 и запишем ее в системе единиц СГС, то есть гсм³ с^-2. В СГС такую размерность имеет квадрат величины заряда. Обратимся к фундаментальным физическим постоянным: элементарному заряду, постоянной Планка и скорости света в вакууме. Размерность произведения постоянной Планка и скорости света равна размерности квадрата элементарного заряда. Данное совпадение многообещающе, и можно попробовать сформировать из этих констант новую постоянную, имеющую определенный и, по всей видимости, значительный смысл.

Действительно, в этом случае мы выходим на постоянную,

которая существует и как важная персона имеет два названия: постоянная тонкой структуры и константа связи электромагнитного взаимодействия. Она равна отношению квадрата элементарного заряда к произведению постоянной Планка на скорость света в вакууме. Обсуждение смысла данной константы не предмет нашего исследования. Последние рассуждения были нужны для того, чтобы подчеркнуть важность и плодотворность метода размерностей как в дидактическом плане, так и для развития физики в целом. Однако заметим, что приведенный способ нахождения данной константы не является ее определением. Чтобы понять, как она определяется, нужны дополнительные и весьма обширные знания [4, с. 309, 6, с. 111, 262]. Но, прикоснувшись к вопросу о понятии определения, мы, естественно, рассматриваем его в русле нашего исследования, используя метод размерностей.

«Для современной науки, в особенности для математики и физики, проблема анализа определений является актуальной» [7, с. 7]. Добавим, что эта проблема всегда будет актуальной, поскольку наука постоянно развивается.

Понятие физической величины неразрывно связано с ее размерностью. Поэтому во всех основательных работах по единицам измерения обсуждается смысл или «так называемый «смысл» формул размерности» [2, с. 60]. Различные подходы к смыслу размерностей могут затруднить самостоятельную работу обучаемых при их обращении к первоисточникам по данной тематике.

Излагая для школьников, студентов и преподавателей свои мысли о том, как вводятся физические величины, А.К. Кикоин пишет, что уравнение s = vt следует из определения скорости как отношения пути s, пройденного за время t, ко времени t, и что для описания равномерного движения с таким же успехом можно было бы определить скорость как отношение s² / t² [8, с. 137], но тогда размерность скорости в той же системе единиц была бы другой. Очевидно, можно утверждать, что размерность величины является следствием ее определения.

Но можно ли утверждать, что размерность величины однозначно определяет физические свойства величины? Являются ли однородными физические величины с одинаковой размерностью? Какие операции возможны с однородными величинами? Эти обобщающие вопросы могут послужить мотивом для активизации познавательной деятельности учащихся. В них реализуются по меньшей мере три мотива: «познавательный», «саморазвитие» и «достижение». Мотив «познавательный», иначе называемый «интерес», можно вызвать путем последовательного раскрытия множества разных практических применений понятия, явления и т.д.; мотив «саморазвитие» вызывается желанием как можно больше знать и уметь, например, познакомиться с различными мыслительными операциями, и в частности с операцией «сравнение»; мотив «достижение» ориентирует человека на «взятие высот», например, на проведение исследования [9, с. 24, 25].

При работе с первоисточниками учащиеся могут столкнуться с двумя противоположными взглядами на принадлежность понятия размерности. Оставляя в стороне дискуссию о том, к чему относится понятие размерности - к самой физической величине [10, с. 12] или к единице ее измерения [2, с. 6], отметим главный дидактический аспект этого понятия: нельзя записывать физическую величину без указания размерности. Поэтому, оперируя физической величиной, правомерно говорить о ее размерности, понимая при этом, что совпадение размерности двух величин не ведет к автоматическому выводу об их однородности, то есть к возможности их сравнения, сложения и т.д. Так, несмотря на совпадение размерности момента силы и энергии, это величины разного рода. Одна из них имеет свойства вектора, а другая является скаляром, и физические свойства у них различные. Понимание, являются ли однородными какие-либо физические величины одинаковой размерности, следует из понимания их определений. Например, скалярные величины площадь фигуры и интервал (величина вводимая в теории относительности), имеют одинаковую размерность, но не являются однородными, их совершенно бессмысленно сравнивать.

Известно, например, что Нильс Бор использовал метод размерностей для создания теории атома водорода. Но сейчас нас привлекают значительные возможности этого метода для организации работы обучаемых и занятий с ними в различной форме, в виде кратких сообщений и рефератов, на практических занятиях и конференциях и т.д. Возможности метода размерностей велики еще и потому, что обсуждение единиц измерения логично завершается анализом физических основ измерения, которые находятся в постоянном развитии. А «физика вообще есть не что иное, как наука о величинах и о средствах их измерения» [10, с. 8]. Так, в пределах этой статьи можно показать, как анализ возможностей метода размерностей для решения задач логично переводит обсуждение на тему реализации единиц измерения, то есть на проведение измерений, обладающих наиболее высокой точностью, свойствами воспроизводства и, по возможности, долговечности.

В первой из решенных выше задач нужно было найти средний объем, занимаемый одним атомом натрия. Для этого пришлось использовать постоянную Авогадро N_a. Однако на практике полученная нами итоговая формула (1) используется не для нахождения среднего объема атома, а для реализации постоянной Авогадро. Дело в том, что нахождение числа Авогадро, согласно определению единицы количества вещества, связано с измерением массы одного атома изотопа углерода С¹². Масса атома очень мала, ее измерение затруднительно. Новые измерения массы атома С¹² могут привести к изменению численного значения N_a и пересчету ряда мировых констант. Измерения, позволяющие использовать формулу (1), в настоящее время обеспечивают наиболее высокую точность постоянной Авогадро. Сейчас сравнительно просто измерять относительные атомные массы, по известной относительной атомной массе можно найти молярную массу любого соответствующего вещества. Средний объем, занимаемый одним атомом, определяется из теории строения кристалла по результатам измерений постоянной решетки кристалла. Остается провести высокоточные измерения плотности и подставить полученные данные в формулу (1) (подробнее об этом в [10, с. 71- 75].

Для мотивации активной познавательной деятельности учащихся изучение физических основ измерения имеет важное значение. По свидетельству авторов первоисточника [10]: «Если сначала обсуждение вновь принятых официальных единиц казалось скучным занятием, то позднее, особенно когда мы занялись анализом физических основ измерения, у всех пробудился интерес к этой теме» [10, с. 6].

Включение в круг обсуждаемых вопросов физических основ измерения позволяет добавить к промежуточным итогам исследования заключительные выводы о содержательной значимости метода размерностей.

В научно-предметной и проблемно-предметной области метода размерностей реализуются следующие содержательные компоненты (по классификации [11, с. 19]):

1) предметно-образовательный или научно-содержательный (метод размерностей как метод познания);

2) естественнонаучный (связь физики с другими естественными науками, например с математикой через формулы размерностей, о правилах нахождения размерности величины, полученной в результате дифференцирования или интегрирования, и др.);

3) физико-технический (физические измерения, приборы и т.д.)

4) культурно-мировоззренческий (от единиц измерения величин к понятиям пространства, времени, движения, взаимодействия и т.д.);

5) историко-научный (история развития научного знания и систем единиц измерения в целом, а также отдельных единиц в частности);

6) историко-биографический (творчество ученых и метод размерностей).

Очевидно, предстоит еще большая творческая работа по раскрытию потенциальных возможностей использования метода размерностей в образовательной деятельности и обсуждение результатов этой работы на различных семинарах, конференциях и страницах печати.

Литература

1. Никитина Р., Волков А. Школьник готовит реферат… // Наука и школа. - 1996. - № 2 - С. 22-25.

2. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. - М.: Наука, 1969.

3. Тульчинский М.Е. Качественные задачи по физике. Пособие для учителей. Изд. 4-е, переработ. и доп. - М.: Просвещение, 1972.

4. Физический энциклопедический словарь /Гл. ред. А.М. Прохоров. Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1983.

5. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. Изд. 3-е, переработ. и доп.Учебное пособие для поступающих во втузы. - М.: Высшая школа, 1973.

6. Савельев И.В. Курс общей физики. Том 3. - М.: Наука, 1979.

7. Волковыский Р.Ю. Определение физических понятий и величин. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1976.

8. Кикоин И.К. Рассказы о физике и физиках. - М.: Наука, 1986.

9. Браверман Э.М. Как повысить эффективность учебных занятий: некоторые современные пути // Физика в школе. - 2005. - № 6. - С. 23-32.

10. Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения. Перевод на русский язык. - М.: Мир, 1980.

11. Бордонская Л. Проблемно-предметное поле учебного курса физики и классификация физических задач // Наука и школа. - 1996. - № 2 - С. 19-21.

Размещено на Allbest.ru