Размещено на http://www.allbest.ru/

Логико-информативная модель математического понятия как методологическая основа процесса формирования математических понятий в школе

Современная методика формирования математических понятий в школе строится в рамках объектной парадигмы (термин автора). Согласно этой парадигме термин «понятие» применяется для обозначения мысленного класса объектов реальной действительности и нашего сознания; каждое понятие объединяет в себе класс объектов - объем данного понятия и характеристические свойства, присущие всем объектам данного класса и только им, - содержание понятия; содержание понятия раскрывается его определением. Соответственно методика обучения понятиям в школе направлена прежде всего на формирование умений различать объекты с опорой на определение, а также формирование умений относить тот или иной объект к определенному классу. При этом недостаточное внимание уделяется тем компонентам понятия, которые необходимы при его применении в рассуждениях в процессе решения задач, доказательства теорем.

Рассмотрим пример

Ученик, решая задачу, рассуждает: «В треугольнике два угла равны, следовательно, он равнобедренный. Тогда медиана, проведенная к основанию треугольника, является его высотой». Как следует из приведенного фрагмента, в рассуждении учащийся не использовал определение равнобедренного треугольника. Он применял его признак и свойство, отличные от тех, которые в логике называют существенными. Анализ деятельности ученика в процессе применения понятий показывает, что для достижения положительного результата он должен владеть логически упорядоченной, систематизированной информацией о каждом математическом объекте и знать логические связи между ними. Тем не менее, в учебных пособиях по методике обучения математике процесс формирования понятия практически подменяется работой по усвоению «существенных свойств» объектов, которые указаны в определении понятия. Так в одном из наиболее известных пособий можно прочитать: «Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение». Но, как остроумно заметил известный немецкий ученый-логик Г. Фреге, существенные свойства объектов отличаются от свойств понятия так же, как кирпичи, бетон и другие строительные материалы, которые использовались при строительстве дома, отличаются от таких характеристик понятия «дом», как прочность, вместительность, удобство [5].

Отмеченное противоречие в организации формирования понятий создало предпосылки для уточнения некоторых вопросов, связанных с категорией математического понятия. В частности, одним из насущных стал вопрос о терминологии, используемой применительно к данной категории. С использованием языка математической логики нами была построена логическая модель математического понятия, анализ которой позволил охарактеризовать категорию понятия, уточнить терминологию, связанную с данной категорией, ответить на некоторые традиционные для логики вопросы. При построении модели термины «импликация», «отношение эквивалентности», «отношение порядка» и другие используются в том смысле, который они имеют в математической логике.

1. Структура порядка на множестве предикатов

Пусть Р - множество всех одноместных предикатов с переменной х, где х - некоторый идеализированный математический объект (понятие). Предикаты будем обозначать А(х), В(х) и т.д. Если в качестве х выбрать треугольник на плоскости, то Р содержит, например, предикаты: «х имеет два равных угла», «одна из медиан х является его биссектрисой».

Определение 1. В(х) называется логическим следствием А(х), если импликация А(х) В(х) истинна для любого х.

Зададим на множестве Р отношение «» следующим образом.

Определение 2. А(х) В(х) тогда и только тогда, когда В(х) является логическим следствием А(х).

Отношение «» будем называть отношением логического следования.

Зададим на множестве Р отношение «» следующим образом:

Определение 3. А(х) В(х) тогда и только тогда, когда А(х) В(х) и В(х) А(х).

Отношение называется отношением равносильности, а предикаты А(х) и В(х) равносильными предикатами.

Отношение равносильности на множестве Р является отношением эквивалентности, следовательно, оно задает разбиение множества Р. Элементами разбиения являются классы эквивалентности, каждый из которых есть множество равносильных между собою предикатов. Обозначим множество классов разбиения Р/.

Рассмотрим отношение равносильности на множестве всех одноместных предикатов, определенных для любого треугольника (см. пример 1). Выберем предикаты: а) «х имеет два равных угла»; b) «х имеет три равные стороны»; c) «х имеет прямой угол»; d) «х имеет две равные стороны и прямой угол»; e) «х имеет углы 30, 40, 110»; f) «х имеет две равные стороны».

Найдем классы эквивалентности этих предикатов и изобразим их на схеме 1. Предикаты а) и f) равносильны, потому они попали в один класс. Остальные предикаты образовали каждый свой класс. Обозначим классы А, B, C, D, E.

2. Отношение порядка на множестве классов эквивалентности

Пусть Р/ - фактор-множество множества Р по отношению эквивалентности. Элементы этого множества - классы эквивалентности будем обозначать А, В, ...

Зададим на множестве Р/ отношение следующим образом.

Определение 4. АВ тогда и только тогда, когда для любого предиката А(х) из класса А в классе В найдется предикат В(х) такой, что А(х)В(х).

Рассмотрим отношение на множестве классов A, B, C, D, Е (см. схему 1). Можно установить, что ВА, DC, DA. Никакие другие классы не связаны отношением . На схеме 1 отношение обозначено стрелками.

Несложно доказать утверждение: отношение является отношением порядка на множестве Р/, причем порядок нестрогий.

3. Интерпретация логической модели понятия

Терминология, связанная с категорией понятия

Определение 5

1. Будем называть понятиями элементы множества Р/, то есть классы эквивалентности. Ниже понятия обозначаются буквами А, В, С, ….

2. Предикат, принадлежащий классу, назовем критерием понятия.

3. Множество всех критериев (элементов одного класса) назовем собственным содержанием понятия.

4. Множество всех предикатов, связанных отношением логического следования хотя бы с одним предикатом из собственного содержания понятия, назовем содержанием понятия.

5. Если АВ, то будем говорить, что понятие А «уже» понятия В, а В «шире» понятия А.

Таким образом, отношение - это не что иное, как отношение «уже» между понятиями.

6. Совокупность всех понятий А, для которых выполняется АВ, назовем объемом понятия В.

Отсюда следует, что объем понятия В составляют все понятия А, которые «уже» В. Из примеров 2 и 3 следует, что понятие «равносторонний треугольник» «уже» понятия «равнобедренный треугольник», потому оно содержится в объеме понятия «равнобедренный треугольник». Очевидно, понятия «уже», «шире» по смыслу совпадают с общепринятыми представлениями, сложившимися в математике.

Определение 6. Если предикат А(х) находится в отношении логического следования с предикатом В(х), то есть А(х) В(х), то предикат А(х) назовем достаточным условием для В(х), а предикат В(х) - необходимым условием для А(х).

Определение 7. Если А(х) В(х), где В(х) один из критериев понятия В, то А(х) называется признаком понятия В. Если В(х) А(х), то А(х) называется свойством понятия В.

Очевидно утверждение: если предикат А(х) является признаком и свойством понятия А одновременно, то А(х) является критерием данного понятия.

Из определений 5 и 6 следует, что термин «условие» характеризует отношение между предикатами, а термины «признак» и «свойство» применяются, когда речь идет о понятии.

Как следует из логической модели понятия, непосредственно с понятием связано три термина: критерий понятия, признак понятия, свойство понятия. Все они используются в математике. Данные термины, несмотря на формально-логическую форму их введения, не потеряли и общепринятого в языке и математике значения. Например, значение термина «признак» соответствует смыслу слова «признак», указанному в словаре Ушакова: признак - «та сторона предмета или явления, по которой его можно узнать, определить или описать». Термин свойство означает, что если понятие им обладает, то без него нет и самого понятия. Это следует из того, что если имеет место А(х) В(х), то истинно , то есть: если условие В не выполняется для объекта х, то х нельзя отнести к понятию А. Свойство - неотъемлемое условие существования понятия.

Термины «необходимое условие» и «достаточное условие» также не потеряли своего обычного смысла. Если условие А необходимо для условия В, то это означает, что если не В, то и не А. Если условие А достаточно для условия В, то это значит, что как только выполняется А, так выполняется и В.

Определение понятия. Назовем понятие А (класс равносильных предикатов) термином Т. Пусть А(х) - один из критериев понятия Т.

Тогда определение понятия А есть предложение: «Пусть х - элемент множества М (иначе: пусть х - математический объект). х называется Т тогда и только тогда по определению, когда А(х). Символическая запись определения: Пусть х М. Т(х)А(х), где Т(х) означает «х называется Т». А(х) называется определяющим признаком понятия А.

Например, определение равнобедренного треугольника: «Пусть х - треугольник. Треугольник х называется равнобедренным тогда и только тогда, когда две стороны х равны».

От выбора определяющего признака зависит построение теории понятия. Особое значение выбор определяющего признака имеет в школьной математике. В качестве определяющего признака, как правило, выбирается легко обнаруживаемый, наглядно иллюстрируемый признак. Кроме того, при выборе определяющего признака должны учитываться интуитивные представления учеников, зарождающиеся в результате включения данного понятия в их ментальный опыт.

Основные характеристики категории понятия - содержание и объем. В приведенной логической модели категория «понятие» определена как класс равносильных предикатов. На первый взгляд, данная трактовка является слишком формальной. Тем не менее она не противоречит взглядам современных логиков на сущность и структуру понятия. В частности, введенное определение понятия, по сути, сходно с определением Е.К. Войшвилло [3, с. 381]: «...понятия представляют собой специфически знаковые формы отражения действительности в мышлении». Класс эквивалентности - это есть не что иное, как знаковая форма для обозначения понятия. Анализируя психологическую природу понятия, Л.С. Выготский писал: «Понятие, таким образом, не часть суждения, но сложная система суждений, приведенная в известное единство, и особая психологическая структура в полном и истинном значении слова» [2, с. 77]. Логическая модель математического понятия доказывает, что Л.С. Выготский был прав: с каждым понятием связана определенная система суждений о нем, иначе, некоторая информация, в которой выражена сущность понятия. В традиционной логике основными характеристиками понятия являются содержание и объем. Под содержанием понятия понимаются все существенные черты (свойства) объектов, обобщенных в понятии, а к ним, в конечном счете, относятся только те свойства объектов, которые отражены в его определении. При традиционном подходе к определению содержания понятия возникает противоречие, на которое указывали некоторые ученые (например, И.Я. Чупахин). Противоречие заключается в том, что одно и то же понятие имеет разные содержания. Например, содержание понятия «равнобедренный треугольник», с одной стороны, составляет свойство «равенство двух сторон», с другой - свойство «равенство двух углов». Е.К. Войшвилло нашел выход из этой ситуации, введя, кроме понятия «содержание», термин «собственное содержание». В рассмотренной нами трактовке содержание понятия есть множество всех свойств и признаков данного понятия. Собственное содержание - это совокупность равносильных между собой предикатов, принадлежащих классу, - критериев данного понятия. К достоинствам нового определения содержания понятия можно отнести тот факт, что собственные содержания различных понятий не пересекаются. Каждое понятие характеризуется своим содержанием. Содержание понятия является объективным: оно не может быть ни увеличено, ни уменьшено, оно может быть только открыто, изучено. Содержание понятия потенциально бесконечно. Традиционно второй важнейшей характеристикой понятия является его объем. Под объемом понимается множество объектов реальной действительности, к которым «приложимо» данное понятие. Из логической модели понятия следует, что объем математического понятия не может состоять из объектов реальной действительности. Объем понятия состоит из понятий. Например, в объем понятия «равнобедренный треугольник» входят понятия «равносторонний треугольник», «равнобедренный прямоугольный треугольник» (см. схему 1).

При таком подходе к определению понятия закон обратного отношения между объемом и содержанием не имеет места. Данная точка зрения не является новой, ее высказывал М.М. Розенталь [4]. Из логической модели понятия следует: чем шире понятие, тем больше понятий входит в его объем, а значит, тем шире будет и система суждений, его характеризующая, то есть содержание данного понятия.

Логическая модель понятия, рассмотренная выше, позволяет, на наш взгляд, дать ответ и на некоторые, до сих пор спорные, вопросы теории понятия. Так, в литературе по логике нет единой точки зрения по вопросу о том, что первично: понятие или суждение? Ответ на этот вопрос необходимо знать в связи с вопросом о месте и роли понятия в познании. Существует явная тенденция преуменьшить его роль, считать его простым элементом, частью суждения (А.И. Введенский, А.А. Ветров, П.В. Копнин). Из логической модели следует, что понятие и суждение - элементы различной природы. Так суждение (оно выражено предикатом) является элементом множества Р, а понятие есть элемент фактор-множества Р/. В каждом из этих множеств можно установить иерархические отношения путем задания структуры порядка, но между элементом множества и самим множеством этого сделать нельзя. Тем не менее очевидно, что понятие и суждение как категории тесно связаны. В самом деле, понятие как бы «соткано» из суждений - свойств и признаков. Таким образом, прав был М.М. Розенталь, когда писал: «Спор о том, что возникло раньше - суждение или понятие, - бессмыслен. Эти формы взаимосвязаны, они немыслимы одна без другой» [4, с. 478].

Образование понятий. Исходя из рассмотренной структуры понятия, можно предположить, что понятия образуются в процессе изучения математических объектов (понятий). В начале изучения объекта высказываются и обосновываются некоторые суждения о нем, затем полученная информация упорядочивается на основе отношения логического следования, структурируется. Возникает потребность ввести термины для обозначения возникших элементов структуры. Таким образом сущность понятия составляет некоторая информация, выраженная в слове. Понятие - это и слово, и смысл, и знак. В процессе деятельности, направленной на изучение информации, составляющей содержание понятия, происходит включение ее в ментальный опыт учащегося. Информация становится знанием, основой для образования понятия.

Исходя из той роли, которую играет информация в образовании понятий, построенную нами модель мы назвали логико-информативной моделью математического понятия.

Изложенная трактовка сущности и структуры понятия не противоречит философским и психологическим взглядам на природу понятия. Если избрать логико-информативную трактовку понятия в качестве парадигмы формирования понятий в школе, то это повлечет за собою существенные изменения не только в методике формирования математических понятий, но и в методике изучения теорем, методике обучения правильным рассуждениям.

Литература

математический понятие школа предикат

1. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления: логико-гносеологический анализ. - М., 1989.

2. Выготский Л.С. Детская психология // Собр. соч. - т. 4.

3. Копнин П.В. Проблемы диалектики как логики и теории познания: Избр. философ. работы. - М., 1982.

4. Розенталь М.М. Принципы диалектической логики. - М., 1960.

5. Фреге Г. Основоположения арифметики: Логико-математическое исследование о понятии числа. - Томск: Водолей, 2000.

Размещено на Allbest.ru