В этой статье рассмотрим роль интуиции в преподавании математической логики, введем понятие логической интуиции, обсудим этапы и уровни развития логической интуиции учащихся, а также роль курса математической логики в развитии логической интуиции студентов.

Как известно, процесс научного познания не всегда осуществляется в развёрнутом, логически доказательном виде. Далеко не всегда осознаются все те основания, по которым осуществляются выводы в рассуждениях, и те приёмы и методы, с помощью которых они делаются. Именно в этом случае говорят об интуиции.

Интуиция (позднелат. intuitio - созерцание, от лат. intueor - пристально смотрю) - способность постижения истины путём прямого её усмотрения без обоснования с помощью доказательства [4].

Как отмечает А.Г. Спиркин, интуиция «представляет собой своеобразный тип мышления, когда отдельные звенья процесса мышления проносятся в сознании более или менее бессознательно, а предельно ясно осознаётся именно итог мысли - истина. Интуиции бывает достаточно для усмотрения истины, но её недостаточно, чтобы убедить в этой истине других и самого себя. Для этого необходимо доказательство» [4].

Дискуссия о соотношении логики и интуиции в преподавании математики имеет давнюю историю. Достаточно традиционным является противопоставление логики - с одной стороны, и интуиции, психологии и педагогики - с другой. Экстремальные позиции характеризуются крайне негативным отношением либо к логике, либо к интуиции. При этом чаще «достается» логике. Дело доходит до утверждений о том, что логика наносит вред обучению.

Уточним, в каких ситуациях чаще всего возникают споры по поводу соотношения логики и интуиции в обучении математике и что при этом понимают под логикой. Во-первых, об этом соотношении заходит речь, когда обсуждается методика формирования математических понятий - проблема строгости определений. Во-вторых, об этом идет речь при обсуждении уровня строгости изложения доказательств в курсе математики. Разумеется, что при решении вопросов такого рода, необходимо учитывать возраст учащихся и профиль образования. В обоих случаях с логикой ассоциируется формально-логический подход к изложению материала, строгость определений и доказательств. В методической литературе относительно проблемы строгости изложения в средней школе и вузе высказано немало мнений, например в работах А.Д. Мышкиса, Г.В. Дорофеева, М. Клейна и др. В-третьих, негативное отношение к логике возникает при чрезмерном использовании в обучении математике логических средств, например логической символики [7, с. 69].

На самом деле, не стоит впадать в крайности, поскольку истина, как всегда, посередине. На всех уровнях математического образования нельзя недооценивать интуитивный подход в обучении. Не стоит изгонять и логику, но пользоваться ее средствами надо в меру и к месту. Логика и интуиция - неразрывно связанные стороны мышления. Только разумное сочетание логики с интуицией дает положительные результаты в обучении.

Поскольку в данной работе идет речь о преподавании математики в высшей педагогической школе, точнее о логической подготовке будущих учителей математики, остановимся на двух проблемах преподавания математической логики, связанных с интуицией: во-первых, проблеме соотношения интуитивного (неформального) и формального компонентов в преподавании математической логики; во-вторых, проблеме развития логической интуиции у будущих учителей математики.

Курс математической логики не является исключением, когда говорится о большой значимости интуиции в обучении математике. При изучении этой математической дисциплины, как и любой другой, необходимо разумно сочетать строгость изложения с интуитивным подходом.

Выделим две области привлечения интуиции в преподавании математической логики. Первая относится к формированию понятий в курсе математической логики. В простых случаях бывает удобно сначала дать определение, а затем обсудить вводимое понятие неформально. В случае сложного понятия, прежде чем давать его строгое математическое определение, целесообразно (и почти всегда удается) начать формирование понятия на интуитивном уровне, а лишь затем давать точное определение.

Рассмотрим, например, важное и непростое понятие «значение формулы языка логики предикатов в интерпретации». Его следует начать формировать на интуитивном уровне. Более того, допустимо только этим уровнем и ограничиться, поскольку точное определение требуется для доказательств, которые выходят за рамки курса. Для решения задач, предусмотренных программой практических занятий, вполне хватает интуитивных представлений и неформального описания этого понятия. К таким задачам относятся вычисление значений формул языка первого порядка в заданных интерпретациях, исследование несложных формул на общезначимость и выполнимость, сравнение формул по силе и др.

Центральным понятием теории доказательств, излагаемой на базе естественного вывода, является понятие дерева вывода. Нами разработана методика поэтапного формирования этого понятия. Чрезвычайно важным, неотъемлемым этапом является формирование этого понятия на интуитивном уровне [5]. Таким образом, можно и целесообразно использовать интуитивный подход при изучении формальных логических понятий и конструкций.

Вторая область, где велика роль интуиции в курсе математической логики, - это построение доказательств. Прежде чем приступить к строгому формально-логическому изложению доказательства, целесообразно и даже необходимо провести эвристические рассуждения, наводящие на тот или иной путь его построения (поиск), затем обсудить идею доказательства, его план, этапы. Обращение к интуиции помогает «ухватить» идею доказательства. Строгое изложение одного за другим шагов доказательства не всегда ведет к пониманию доказательства в целом, а иногда может и затруднить такое понимание. Об этом говорят многие крупные математики, исследуя психологию математического мышления, роль интуиции в процессе познания. Например, о своем понимании доказательства Ж.Адамар [1, c. 63] пишет так: «…всякое математическое рассуждение, каким бы сложным оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею» (выделение курсивом наше, И.Т.). Здесь речь идет именно о роли особого логического чутья - интуиции. Об этом же пишет и А. Пуанкаре [3, с. 311]: «Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в известном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждения в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь один из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всякого усилия памяти с моей стороны». Там же Пуанкаре отмечает, что род математической интуиции, «благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии и соотношения», не может быть принадлежностью всех людей. Математическая логика, как часть математики, здесь не является исключением.

Можно говорить о различных видах математической интуиции: геометрической, алгоритмической, вероятностной и т.п. в зависимости от области математики, в которой осуществлялась познавательная деятельность индивидуума, от области применения интуиции.

Выделим особый вид интуиции - логическую интуицию, как интуицию, связанную с логической составляющей математического языка и математических доказательств. Более точным, видимо, является термин логико-математическая интуиция, поскольку он отражает связь этого вида интуиции с математикой, однако будем использовать более краткий термин - логическая интуиция.

Что же такое логическая интуиция? На уровне обыденного понимания - это «здравый смысл», проявляемый в вопросах, связанных с логикой.

Теперь дадим более четкое описание того, что мы понимаем под логической интуицией.

Логическая интуиция - способность непосредственно, без ссылок на логические нормы математического языка, законы логики и правила вывода, грамотно использовать логические средства математического языка и дедуктивные средства, а также различать логически правильные и неправильные языковые и дедуктивные конструкции.

Другими словами, логическая интуиция - это способность не допускать самому и не пропускать у других логические ошибки в математической речи и доказательствах (не сверяясь при этом с логическими нормами математического языка, законами логики и правилами вывода).

Можно выделить языковую и дедуктивную составляющие логической интуиции - логико-языковую интуицию и логико-дедуктивную интуицию. Эти две составляющие тесно связаны между собой, при этом логико-дедуктивная интуиция опирается на логико-языковую интуицию.

Логико-языковая интуиция характеризуется следующими способностями (непосредственно, без ссылок на синтаксические правила логических языков и логические нормы естественного математического языка):

- логически грамотно строить математические предложения, в частности теоремы, и формулировать определения;

- корректно использовать логические союзы и кванторные слова;

- грамотно использовать логическую символику при записи математических предложений на формально-логическом языке;

- различать логически правильные и неправильные языковые конструкции естественного математического языка и формально-логических языков. Логико-дедуктивная интуиция характеризуется следующими способностями:

- проводить дедуктивные рассуждения без логических ошибок, не сверяясь с правилами вывода;

- заменять утверждение равносильным ему без использования основных равносильностей и равносильных преобразований;

- распознавать правильные и неправильные умозаключения без ссылок на правила вывода;

- рассуждать (мыслить) свернуто, кратко, энтимемами.

Логическая интуиция изначально основывается на опыте логически грамотной языковой и дедуктивной деятельности в процессе изучения разных математических дисциплин. Логическая интуиция более высокого уровня базируется на знаниях, приобретенных при изучении математической логики.

Можно также говорить об интуиции творчества в области математической логики, однако это не входит в задачи данной статьи.

Значение логической интуиции в обучении математике очень велико. Логическая интуиция служит базовой составляющей математической интуиции. Именно благодаря логической интуиции можно почувствовать скрытые логические взаимосвязи и логическую гармонию математики.

Логическую интуицию будущих учителей математики можно и даже необходимо развивать. Логическая интуиция студентов формируется в процессе общения с носителями логически грамотной математической речи и приобретения опыта дедуктивной деятельности. Дальнейшее ее развитие происходит в результате специального изучения формальных логических языков, дедуктивных средств и уточнения понятия математического доказательства. Развитие логической интуиции является одной из целей курса математической логики и логической подготовки в целом.

Выделим и охарактеризуем три этапа и соответствующие им уровни развития логической интуиции.

1. Дорефлексивный этап - этап первичного (начального) накопления опыта языковой и дедуктивной деятельности в процессе изучения математики без осознания того, какие логические элементы математического языка (логические союзы и кванторные слова) и дедуктивные средства при этом используются. Учащиеся воспроизводят формулировки определений, теорем и доказательств без выделения их логических элементов и осознания их логической структуры. Они воспринимают доказательства, проводимые преподавателем или изложенные в учебнике, а затем воспроизводят их или даже проводят самостоятельно по аналогии с доказательствами в учебнике, «по образу и подобию» того, как это делал преподаватель. Однако при этом учащиеся практически не вычленяют отдельные шаги доказательства, не фиксируют и не осознают их логическую форму, вовсе не знают правил вывода. Хотя они и имеют опыт доказательства методами от противного и разбором случаев, но не пытаются выявить общую форму соответствующих рассуждений. В результате такого опыта на интуитивном уровне формируется некоторая способность правильно излагать свои мысли, рассуждать, распознавать правильные и неправильные рассуждения, обнаруживать грубые логические ошибки; начинается формирование понятия доказательства.

Дорефлексивная логическая интуиция формируется сначала в процессе изучения школьного курса математики, а затем в вузе при изучении различных математических дисциплин. Большую роль на этом этапе играет общение с носителями логической грамотности - преподавателями, и чтение учебной математической литературы. Развитие логической интуиции в этот период носит спонтанный характер.

2. Рефлексивный этап - этап осознания логических средств, структур и конструкций, используемых в языковой и дедуктивной деятельности при изучении математики, этап приобретения логических знаний, позволяющих обосновывать интуитивные действия и результаты. «Математическая интуиция, бессознательные процессы включаются только на хорошо подготовленной почве сознательного усвоения логических конструкций математической науки» [2, с. 50]. Этот этап характеризуется соединением подсознательного или малоосознанного с рациональным, подведением базы логических знаний под логическую интуицию.

На этом этапе преподаватель фиксирует внимание учащихся на структуре математических предложений и рассуждений. Он инициирует осознание учащимися роли кванторных слов в математических предложениях, предлагает упражнения на восстановление опущенных кванторов. В результате у студентов начинает формироваться потребность в использовании кванторов. Студенты учатся выявлять и анализировать логическую структуру теорем и определений; усваивают основные равносильности, позволяющие объяснять замену данного предложения логически равносильным ему; осознают сущность понятия доказательства, выявляют форму используемых правил и методов доказательства.

Этот этап может начаться при изучении школьного курса математики, если учитель достаточно компетентен в области логики и предпринимает соответствующие шаги. Продолжается он на первом курсе педвуза при изучении вводного курса математики. Решающим на этом этапе является изучение в курсе математической логики синтаксиса логических языков и дедуктивных средств формальных логических систем - правил вывода, изучение математических моделей неформальных доказательств (выводов в виде дерева) и моделирование процесса построения доказательств средствами естественного вывода.

При изучении курса математической логики студент овладевает техникой равносильных преобразований и дедуктивным аппаратом логических систем. На этом этапе логическая интуиция подкрепляется соответствующими логическими знаниями и умениями. Студент получает возможность объяснять суть логических ошибок в рассуждении, анализировать логическую структуру доказательств; выявлять логическую структуру математических предложений, записывать математические предложения в виде логических формул и формализовать несложные дедуктивные рассуждения. Таким образом, кроме способности непосредственно усмотреть логическую истину, приобретаются знания и умения, необходимые для того, чтобы ее обосновать. В то же время к этим знаниям и умениям можно прибегнуть, когда требуется проверить соображения, подсказанные интуицией. Например, используя средства логики, можно проверить, является рассуждение правильным или ошибочным. Используя формализацию, можно проверить, совпадают ли в определении явные и неявные свободные переменные в определяемой и в определяющей частях, и если нет, то исправить ошибку. Наконец, если интуиции не хватает и она нуждается в подкреплении, подсказке, то и в этом случае могут помочь специальные логические знания. Например, если первый шаг построения доказательства вызывает затруднение, можно попытаться воспользоваться каким-либо правилом вывода в качестве эвристического средства.

Подобные простые процедуры после многократного их повторения переходят в привычку. В результате наступает момент, когда логические шаги мыслительного процесса делаются почти бессознательно и моментально, а четко осознается только итог мысли. Это и можно расценивать как следующий уровень развития интуиции и наступление пострефлексивного этапа.

3. Пострефлексивный этап - этап единства логической интуиции, с одной стороны, и логических знаний и опыта - с другой. На этом этапе логическая интуиция базируется на знаниях, приобретенных в курсе математической логики, и на значительном опыте языковой и дедуктивной математической деятельности. Пострефлексивный уровень развития логико-языковой интуиции характеризуется умением логически грамотно формулировать определения и теоремы, в частности умением грамотно пользоваться неформальными кванторами; свободно преобразовывать отрицания предложений, и вообще, заменять данное утверждение логически равносильными ему (без проведения равносильных преобразований); корректно формализовать данное предложение и интерпретировать данную формулу. Пострефлексивный уровень развития дедуктивной интуиции характеризуется следующими способностями:

- свободно и безошибочно делать дедуктивные умозаключения при построении доказательств, с последующим обоснованием при помощи основных и производных правил в случае необходимости;

- проводить безошибочно краткие рассуждения - энтимемы, с последующим, при необходимости, восполнением всех пропусков;

- легко выявлять логические ошибки в рассуждениях и объяснять их суть.

Именно на этом этапе логический компонент доказательства нисколько не отягощает, а напротив, дает свободу для понимания общей идеи доказательства, для поиска тех содержательных шагов, которые делают доказательство нетривиальным (использование определений, ранее доказанных утверждений, использование дополнительных конструкции и т.п.).

При выделении трех этапов формирования логической интуиции напрашивается аналогия с этапами формирования грамотности речи, интуиции правописания. Сначала ребенок общается с грамотными людьми, слушает грамотную речь, читает книги, приобретая тем самым начальный опыт грамотной устной и письменной речи. Затем наступает период изучения в школе правил грамматики, правописания. В этот период написание текста сопровождается самоконтролем, проверкой написанного с помощью правил. Со временем опыт правильного написания переходит в привычку. Необходимость постоянно вспоминать правила для правильного написания постепенно отпадает. Наступает этап грамотной речи и правописания, которые базируются на развитой языковой интуиции, подкрепленной специальными знаниями в области грамматики.

Полезными задачами для развития логической интуиции и оценки её уровня являются задачи на преобразование в позитивную форму отрицаний сложных предложений без ссылок на законы де Моргана, без механического применения этих правил. Полезными и показательными также являются задачи на оперирование с кванторами, на различение утверждений, отличающихся друг от друга порядком разноименных кванторов.

Приведем еще несколько примеров, которые можно использовать для определения уровня логической интуиции, а также в качестве упражнений для развития интуиции.

Пример 1. В математических текстах часто встречаются предложения следующего вида:

(1) Существует единственный элемент, обладающий свойством Q.

Как доказывать такого рода утверждения? Для того чтобы это понять, необходимо переосмыслить данное утверждение и переформулировать его другим образом, более удобным для доказательства. Например, логическая интуиция может подсказать такие формулировки:

а) существует элемент, обладающий свойством Q, и любые два элемента, обладающие свойством Q, совпадают;

б) существует элемент, обладающий свойством Q, с которым совпадает любой элемент, обладающий свойством Q.

Эти предложения обладают четкой логической структурой, поэтому их легко формализовать, записать в виде логических формул (см., напр., [5]).

При развитой логической интуиции можно «увидеть», «почувствовать», что предложения (а) и (б) выражают одно и то же (имеют одинаковый смысл), а соответствующие им формулы равносильны. Разумеется, эквивалентность этих формулировок можно и доказать. Однако сейчас мы акцентируем внимание на том, что при развитой логической интуиции именно она подсказывает и разные по форме толкования (а) и (б) исходного предложения (1), и их эквивалентность, и их формализацию.

Пример 2. Рассмотрим предложение, близкое к предложению из примера 1: (2) Не более чем один элемент обладает свойством Q.

Хорошим упражнением на развитие логической интуиции является задание: придумать различные варианты предложений, имеющих более четкую логическую структуру и равносильных данному, а затем записать их в виде формул. Приведем несколько предложений, равносильных данному предложению:

а) любые два элемента, обладающие свойством Q, совпадают;

б) не существует двух различных элементов, обладающих свойством Q;

в) существует элемент, с которым совпадает каждый элемент, обладающий свойством Q;

г) не существует элемента, обладающего свойством Q, или существует единственный элемент, обладающий свойством Q.

При развитой интуиции ясно, что все эти формулировки эквивалентны. Безусловно, их эквивалентность можно и доказать.

Для доказательства утверждения (2) обычно удобно доказывать равносильное ему утверждение (а) или (б).

3. Полезно почувствовать, осознать (и доказать), что для любого свойства Q одно и только одно из следующих предложений верно:

а) не существует элемента, обладающего свойством Q;

б) существует единственный элемент, обладающий свойством Q;

в) существует, по меньшей мере, два различных элемента, обладающих свойством Q (существует более чем один элемент, обладающий свойством Q).

На первом этапе (дорефлексивном) студент с начальным уровнем развития интуиции, которому предъявлены утверждения (а-г) из примера 2, воспринимает их как толкования утверждения (2) без внутреннего протеста, как нечто более или менее естественное. При этом учащийся далеко не всегда может обосновать равносильность этих предложений.

На втором этапе (рефлексивном) каждая формулировка осознана, проанализирована, «отрефлексирована». Студент может доказать равносильность соответствующих формул. Кроме того, после неоднократного использования этих формул возникает опыт, привычка к их свободному использованию.

На третьем этапе студент самостоятельно и свободно предлагает разные варианты толкования предложения (2) и в зависимости от ситуации выбирает тот вариант, который более удобен. При этом он не испытывает потребности в проверке, в обосновании правильности сделанного выбора. Студент «чувствует», «видит», что вариант правильный. Разумеется, далеко не всякий студент способен достичь такого уровня развития интуиции.

Хорошо развивают логическую интуицию разработанные нами задачи исследовательского характера на сравнение формул по силе в курсе математической логики [6]. Задачи «Сравнить данные формулы по силе» требуют более тонкого исследования, чем традиционные задачи «Выяснить, являются ли данные формулы равносильными».

К весьма распространенной логической ошибке относится расценивание как равносильных формул, отличающихся порядком разноименных кванторов, т.е. формализующих предложения следующего вида:

а) для каждого х существует такой у, с которым х находится в отношении R;

б) существует такой у, что каждый х находится в отношении R с у.

Развитая логическая интуиция подсказывает: второе предложение сильнее первого. Разумеется, эта гипотеза нуждается в доказательстве.

Полезными являются задачи на сравнение по силе формул, одна из которых получена из другой пронесением квантора через логическую связку. Например, слабая интуиция обманывает студентов, ошибочно подсказывая им, будто равносильны формулы, отвечающие следующим предложениям:

а) все элементы данного множества обладают свойством Р или свойством Q;

б) все элементы данного множества обладают свойством Р, или все элементы данного множества обладают свойством Q.

Аналогичное заблуждение часто возникает при сравнении по силе формул, отвечающих следующим предложениям:

а) существуют элементы данного множества, обладающие свойством Р и свойством Q;

б) существуют элементы данного множества, обладающие свойством Р, и существуют элементы данного множества, обладающие свойством Q.

Большинство задач на сравнение формул по силе появились в результате анализа типичных студенческих ошибок при решении задач на преобразование отрицаний утверждений сложного вида.

При изучении некоторых теорем или при решении задач на доказательство для развития логической интуиции полезно задавать следующие вопросы:

усилится или станет слабее данное предложение вида «Если А, то В», если:

а) усилить (или ослабить) его посылку А?

б) усилить (или ослабить) его заключение В?

Итак, задачи на сравнение формул по силе являются одним из средств развития логической интуиции будущего учителя математики.

Сделаем некоторые выводы. Такие свойства мышления, как интуиция и логичность, в преподавании математических дисциплин, в частности математической логики, следует не противопоставлять, а разумным образом сочетать. Логическая интуиция является результатом переплетения этих двух сторон мышления.

Логическая интуиция базируется на опыте дедуктивных рассуждений. В ее развитии особую роль играет изучение математической логики. Более того, развитие логической интуиции является одной из целей курса математической логики и логической подготовки будущих учителей математики.

Другой стороной взаимодействия интуиции и логики является широкое использование интуитивного подхода в изучении самой математической логики - при формировании новых понятий, поиске доказательств, решении задач на практических занятиях.

Таким образом, с одной стороны, при обучении математической логике следует опираться на интуицию, используя ее для пропедевтики и мотивировки; с другой стороны, изучение математической логики способствует развитию логической интуиции, необходимой учителю математики.

логический интуиция студент математический

Литература

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Сов. радио, 1970.

2. Игошин В.И. Математическая логика в системе подготовки учителей математики. - Саратов: Изд-во Слово, 2002.

3. Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983.

4. Спиркин А.Г. Интуиция // БСЭ. - 3-е изд. - М.: Советская энциклопедия, 1970-1977.

5. Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций: Учебное пособие. Части I, II. - М.: Прометей, 2003.

6. Тимофеева И.Л. Математическая логика в вопросах и задачах: Учебное пособие для студентов математических факультетов педвузов. - М.: Прометей, 2002.

7. Эрдниев П.М. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики // Математика в школе. - 1977, № 6. С. 68-70.

Размещено на Allbest.ru