Анализ действующих государственных образовательных стандартов [18] позволяет сделать вывод о том, что такие классические теории отбора содержания образования, как энциклопедизм, дидактический формализм, дидактический утилитаризм, структурализм а также конкретные принципы построения программ обучения, основанные на этих теориях, хоть и сохраняют свою значимость, но уже не в полной мере отвечают современным требованиям качества обучения и динамике научных тенденций. Из этого следует и необходимость сосредоточиться на известных эффективных дидактических принципах высшей школы [11], и необходимость добавить те [4], что позволят на современном этапе развития высшей школы проводить качественную модификацию программ дисциплин.

Назовем принципом надежности принцип, требующий дублировать изложение так, чтобы важнейшие знания и навыки с достаточной степенью надежности были усвоены в процессе изучения.

Важные и значимые для профессиональной подготовки инженера математические объекты следует перевести на уровень серьезного понимания, и как следствие - запоминания. Этого можно добиться, если смотреть на объект с различных ракурсов. Потребуется выделить время на: установление взаимосвязи новых понятий с ранее изученными объектами; решение различными методами и способами задач, связанных с этим понятием; сравнительный анализ таких решений. Практические (семинары) и лабораторные (работа на компьютере) занятия должны связать между собой разносторонние подходы к одной и той же задаче, а также к одному и тому же объекту в рамках различных задач.

Не нужно выдвинутый принцип путать с тезисом «Повторение - мать учения». На банальное повторение в высшей школе как раз и нет времени. Но есть возможность один и тот же математический объект максимально часто вспоминать при изучении различных тем, на первый взгляд не относящихся к этому объекту. Тогда требуемое понятие, свойство или формула рассматриваются с разных сторон, с разных точек зрения, средствами разных дисциплин. Например, редко кто из преподавателей математики и физики упоминает о том, что формульная запись многих известных физических законов - это изучаемая в курсе математического анализа формула Тейлора (как правило, первого порядка).

Как показывает практика, лучшему пониманию и надежному запоминанию способствует неформальный уровень введения объектов и доказательства их свойств. Инженеру важно интуитивно утвердиться в справедливости некоторого математического факта, что позволит крепко зафиксировать его в памяти. Но как традиционно бывает в техническом вузе, изложение математической теории опирается на утверждения, либо ранее не доказанные, либо доказанные только частично. Вследствие этого возникают проблемы непонимания и ложных ассоциаций. Кстати, того же самого эффекта непонимания и незапоминания можно добиться простым озвучиванием формулировок (без доказательства).

Обдумывая введение принципа надежности, в качестве эксперимента я решила построить весь лекционный курс дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной, взяв за основу важнейшую (и наполненную физическим смыслом: путь равен произведению средней скорости на время) формулу Лагранжа конечных приращений f (здесь - некоторая точка, лежащая на интервале).

Доказательство формулы Ньютона-Лейбница, основанное на формуле Лагранжа, имеет ярко выраженный конструктивный характер и сводится к формальному определению определенного интеграла. Интеграл же в глазах студентов получает дополнительный ясный физический смысл, перестает быть абстрактным математическим понятием и превращается в привычный простой инструмент суммирования большого числа малых величин. Но и это еще не все. К формуле Лагранжа, вытекающей непосредственно из теоремы Лагранжа (о существовании касательной, параллельной секущей), я обращалась еще много раз. При доказательстве того, что функция, имеющая на интервале нулевую производную, постоянна на этом интервале. При определении дифференцируемой функции и обсуждении смысла первого дифференциала. При обсуждении первого (линейного) приближения. При выводе и анализе уравнения касательной к графику функции. При доказательстве правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей. При доказательстве формулы Тейлора - основного инструмента дифференциального исчисления. При выводе формулы длины дуги в декартовых и в полярных координатах. Результатом такого многократного обращения к важнейшей формуле дифференциального исчисления стало не просто знание студентами самой формулы, но и четкое понимание границ ее применимости, погрешности вычисления, стационарности процесса и т.п. Что студенты и продемонстрировали на экзамене. (Конечно, все сказанное относится к тем, кто хотел и старался учиться).

При преподавании математики сильно недооцениваются учебные качества информационно-коммуникационных технологий: их высокая информационная емкость, легкость и убедительность образного воплощения, доминирование продуктивных возможностей ресурса по сравнению с репродуктивными, скорость и широта передачи данных и неограниченные возможности тиражирования. И в такой недооценке математика - не исключение. Общий же анализ современного состояния теории и практики обучения студентов также показывает, что нынешнее обучение ориентировано лишь на изучение дисциплин в их традиционных рамках. Не достаточно внимания уделяется использованию информационных технологий в профессиональной деятельности, незначительное учебное время отводится вопросам работы с информационными технологиями (на них отводится менее 10% учебного времени), слабо задействованы межпредметные связи учебных дисциплин [17, 20].

Логические и содержательные акценты начинают смещаться от понимания высшей школы как образовательной организации, символизирующей пандисциплинарный идеал культуры [19], в сторону осознания необходимости формирования у выпускников инструментальных компетенций. А изложение математических дисциплин в том классическом (сильно урезанном) виде, который наблюдается повсеместно, не способствует ни формированию инструментальных компетенций будущих инженеров, ни надежному усвоению базовых математических научных знаний. По-видимому, внутрипредметные ресурсы вузовской учебной дисциплины «Математика» давно исчерпаны. Существующие учебники по высшей математике для втузов либо копируют классические математические учебники, либо являются сборниками определений и рецептов решения типовых задач. И если придерживаться принципа надежности, то на данном этапе состояния научных и прикладных знаний следует не просто преподавать математику с элементами ее приложения к физике, а «вживлять» компьютерные технологии в тело каждой преподаваемой математической дисциплины. Отделившуюся когда-то от математики информатику следует вернуть назад, точнее, уже на новом уровне нужно объединить эти две дисциплины, присоединив к ним, по возможности, введение в специальность. Учебное время, потраченное на малопродуктивные однообразные тренировки по технике дифференцирования, интегрирования, матричных вычислений и пр. можно было бы употребить на изучение удобных для применения вычислительных пакетов в применении к решению практических математических задач [8].

Запоминание основных теорем и свойств вовсе не является гарантом успешного инженерного образования. Конкретное содержание учебных материалов (типы решаемых задач) это не цель, а важное, но не единственное средство формирования навыков. Чтобы содержание работало, нужно его применять. Например, если мы говорим о термине или методе, то его надо обсуждать и использовать в аналитических и компьютерных вычислениях, а не заучивать стандартное определение или конкретный образец решения. Использование компьютера при решении математических задач даже на стадии еще не полного понимания и усвоения теории вызывает интерес, выстраивает логические связи, надежно сцепляя в сознании научные термины и реальные физические ситуации [13, 14]. Для реализации принципа надежности требуется не только перестройка программ по математике и информатике, но и создание новых (по существу и по структуре) учебников. Это задача коллективов преподавателей - математиков, программистов, физиков, инженеров.

Но пока каноны построения программ математических дисциплин и классические учебники, написанные в эпоху царствования громоздких аналитических методов и вычислений на логарифмической линейке, лишь способствуют непродуктивному обучению. Обилие техник и постоянное решение задач, которые многие студенты и так умеют решать, лишают всех драгоценного времени. Пассивное прочитывание конспекта и просмотр образцов решения создают иллюзию понимания, но не приближают студентов к уровню надежного овладения математическим аппаратом.

Выводы