Методичні рекомендації до навчання математичному моделюванню майбутніх інженерів під час аудиторних занять з теорії випадкових процесів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методичні рекомендації до навчання математичному моделюванню майбутніх інженерів під час аудиторних занять з теорії випадкових процесів

О.О. Чумак

Донбаська державна машинобудівна академія

Обґрунтовано важливість формування в майбутніх інженерів уміння математичного моделювання під час навчання теорії ймовірностей та випадкових процесів. Розглянуто поняття математичного моделювання та основних його етапів під час навчання студентів технічних ВНЗ математичним дисциплінам. Проаналізовано труднощі, що виникають у студентів під час побудови моделей до професійно орієнтованих та практичних завдань. Запропоновано використання прийомів евристичної діяльності на першому етапі моделювання професійно орієнтованих завдань. Наведено приклад побудови моделі під час лекції до професійно орієнтованого завдання, що ілюструє марковський випадковий процес.

Ключові слова: теорія ймовірностей та випадкових процесів, математичне моделювання, майбутні інженери, професійно орієнтовані завдання, лекція.

Чумак Е. А. Методические рекомендации к обучению математическому моделированию будущих инженеров во время аудиторних занятий по теории случайных процессов

В статье обосновывается важность формирования у будущих инженеров умения математического моделирования при обучении теории вероятностей и случайных процессов. Автором рассматриваются понятия математического моделирования и основных его этапов при обучении студентов технических вузов математическим дисциплинам. Анализируются трудности, возникающие у студентов при построении моделей во время решения профессионально ориентированных заданий. В работе приводится пример построения модели во время лекции к профессионально ориентированному заданию, иллюстрирующему марковский случайный процесс.

Ключевые слова: теория вероятностей и случайных процессов, математическое моделирование, будущие инженеры, профессионально ориентированные задания, лекция.

Chumak E. Guidelines for mathematical modeling training of future engineers during classroom studies on the theory of stochastic processes

The importance of formation of the mathematical modeling ability during the study of the theory of probability and stochastic processes by future engineers is substantiated. The notion of mathematical modeling when teaching the students of technical universities to the mathematical disciplines is examined.

The study displays one of the ways of teaching students to the «art of modeling», namely the implementation of its development as the ability of students to «see different in the same and the same in differences».

Key words: probability theory and stochastic processes, mathematical modeling, future engineers, professionally oriented tasks, lecture.

Постановка проблеми

Зростаючі темпи розвитку науково-технічного прогресу на підприємствах вимагають від сучасного інженера володіння вмінням математичного моделювання. Широкі можливості для його формування під час навчання студентів технічних спеціальностей має дисципліна теорія ймовірностей та випадкових процесів (ТЙ та ВП). її навчальний матеріал, з одного боку, базується на математичних моделях курсу вищої математики, а, з іншого, лежить в основі подальшого навчання профільним дисциплінам майбутніх інженерів. У такому аспекті безапеляційної актуальності набуває питання навчання математичному моделюванню ймовірнісних явищ, випадкових подій та інженерних процесів.

Аналіз актуальних досліджень

Питання навчання студентів математичному моделюванню розглядаються в роботах таких сучасних науковців-математиків, як К. В. Власенко [2], Т. В. Крилова [3], Л. І. Нічуговська [4], Т. М. Хмара і Т. М. Задорожня [6], В. О. Швець [7] та ін. Вони відзначають необхідність розвитку в студентів ВНЗ та учнів загальноосвітніх шкіл уміння математичного моделювання та його використання в різних галузях науки і техніки. Крім того, у працях сучасних дослідників моделювання розглядається і як метод навчання, і як метод наукового дослідження. Але оволодіння майбутніми інженерами цим умінням описується науковцями здебільшого під час навчання вищої математики.

У роботах, що відображають математичне моделювання в ході навчання теорії ймовірностей майбутніх економістів, цей процес розглядається або досить фрагментарно, або під час розв'язування професійно спрямованих економічних завдань. Також слід зазначити, що майже не існує такої методики навчання математичному моделюванню студентів, що передбачала б можливість її застосування в курсі теорії випадкових процесів.

Тому, метою статті є обґрунтування важливості формування в майбутніх інженерів уміння математичного моделювання під час навчання ТЙ та ВП і розробка методичних рекомендацій щодо управління їхньою навчально-пізнавальною діяльністю під час побудови моделі, що відображає марковський випадковий процес із дискретним станом і неперервним часом.

математичне моделювання навчання

Виклад основного матеріалу

Проаналізуємо визначення поняття математичного моделювання, що пропонується в науково-методичній літературі.

Так, Т. В. Крилова [3] під математичним моделюванням процесу чи об'єкта розуміє вивчення їхніх властивостей на спрощеній моделі, у якості якої може виступати певний математичний об'єкт, зокрема вектор, функція, графік, рівняння, система рівнянь, нерівність, похідна, інтеграл тощо.

З цим погоджується і К. В. Власенко [2, 321], яка, спираючись на О. А. Ляпунова, під моделюванням розуміє опосередковане практичне або теоретичне дослідження об'єкта у випадку, коли безпосередньо вивчається не сам об'єкт, що цікавить, а деяка допоміжна штучна або природна модель: яка знаходиться в деякій об'єктивній відповідності з об'єктом, що досліджується; здатна заміщати його в певних відносинах; уможливлює отримання в процесі дослідження підсумкової інформації про сам об'єкт моделювання.

У більшості сучасних досліджень математиків-методистів вважається, що процес математичного моделювання в ході розв'язування прикладних або професійно орієнтованих завдань поділяється на етапи: 1) математичне формулювання завдання (первинний збір даних; постановка задачі; обґрунтування основних припущень); 2) створення математичної моделі; 3) дослідження математичної моделі; 4) інтерпретація отриманих математичних результатів, їх аналіз та корекція.

Аналіз науково-методичної літератури [5; 6; 7] та досвід автора [1] свідчать про те, що найбільш складним для студентів є перший та другий етапи, оскільки універсального алгоритму формалізації реальних проблем не існує.

Так, Т. М. Хмара та Т. М. Задорожня [6, 88], розглядаючи стохастичне моделювання, відзначають, що найбільш проблематичним під час розв'язування ймовірнісно-стохастичних завдань для студентів є побудова всіх можливих наслідків стохастичного експерименту з розподілом ймовірностей, що і утворює математичну модель випадкового експерименту. На думку авторів, одним із шляхів навчання студентів «мистецтву моделювання» є реалізація його розвитку як здібності студентів «бачити різне в однаковому і однакове в різному». Проте умови організації такого розвитку під час навчання студентів теорії ймовірностей авторами не відображено.

Інша позиція науковців представлена, зокрема, у працях К. В. Власенко [1], О. І. Скафи [5], В. О. Швеця [6], які для уникнення труднощів студентами пропонують на першому етапі моделювання використовувати евристичні запитання, евристичні підказки, евристичні приписи, спеціальні евристики, що застосовуються для вивчення конкретного навчального матеріалу.

Як відзначає О. І. Скафа [5], завдяки неодноразовому застосуванню певної евристики до розв'язання низки схожих завдань відбувається поступова автоматизація цього вміння, втрачається новизна застосування евристики в даних обставинах. У такий спосіб виявлення евристики втрачає притаманну раніше оригінальність і новизну, тобто формується евристична діяльність.

Отже, ми вважаємо доцільним залучення евристичного компоненту в процес навчання математичному моделюванню майбутніх інженерів.

Покажемо, як на прикладах навчального матеріалу модуля «Теорія випадкових процесів» відбувається демонстрація побудови математичних моделей випадкових процесів найбільш відомих в інженерній практиці.

Продемонструємо під час лекції побудову моделі, що відображає марковський випадковий процес з дискретним станом і неперервним часом.

Під час такої лекції слід звернути увагу студентів на те, що процеси, в яких перехід з одного стану системи в інший відбувається у фіксовані моменти часу, мало застосовуються в інженерній практиці. Більш розповсюдженими є процеси, в яких переходи відбуваються у випадкові моменти часу. Такі процеси називають марковськими процесами з дискретним станом та неперервним часом. З метою демонстрації моделі студентам пропонується завдання 1.

Завдання 1. Верстат із програмним управлінням може знаходитись у трьох станах: S₁ - працює безвідмовно, S₂ - не працює, ведеться пошук несправності, S₃ - ремонтується. Відомо, що зі стану S₁ система може переходити у стан S₂ з інтенсивністю Л₁₂, із S₂ вона може переходити у стан S₃ з інтенсивністю Л₂₃, з якого вона або повертається до S₂ з інтенсивністю Л₃₂, або переходить до S₁ з інтенсивністю Л₃₁. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу t система перебуватиме у стані S₁.

На початку побудови моделі доцільно нагадати студентам етапи моделювання. Слід звернути їх увагу на те, що в даному випадку ми починаємо одразу з постановки навчальної задачі і обґрунтування основних припущень моделі.

Побудова моделі, яку ми розглядаємо, ґрунтується на наступних гіпотезах:

1) перехід одного стану S_t в інший S_} відбувається у випадковий момент часу під впливом пуассонівських потоків подій з інтенсивністю Л (середнє число переходів із стану S_t у стан S_} за одиницю часу);

2) процес, який ми розглядаємо, є однорідним, тобто інтенсивності Л_г] не залежать від часу t.

Почнемо складання моделі. Покажемо, як у ході побудови моделі викладач може залучити студентів до активної співбесіди. Для цього запис викладача на дошці має супроводжуватися відповідним діалогом зі студентами, що наведено нижче.

Діалог викладача зі студентами

Викладач. Позначимо р_г (t) - ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться у стані S_t (і = 1,2,3).

Запис на дошці

р_г (t) - ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться у відповідному стані S_t (і = 1,2,3).

Очевидно, що для будь-якого моменту часу t сума таких ймовірностей дорівнює 1, оскільки події, що полягають у знаходженні системи в станах S₁, S₂, S₃ у момент часу t несумісні та утворюють повну групу.

Надамо часу t малий приріст At. Позначимо, як А, подію, що полягатиме у знаходженні системи в момент часу t + At у стані S₁.

Подія В - система в момент часу t знаходилась у стані S₁ і за проміжок часу At не вийшла з цього стану.

Подія С - система в момент часу t знаходилась у стані S₃ і за проміжок часу At перейшла у стан S₁.

Розглянемо більш раціональне зображення графу системи, та з'ясуємо, за яких умов може відбутися подія А з урахуванням умови завдання?

Студенти. Подія А, яка полягає в тому, що в момент часу t + At система буде перебувати у стані S₁ може відбутись двома способами, що відповідають різним подіям:

1) система в момент часу t знаходилась у стані S₁ і за проміжок часу At не вийшла з цього стану (подія 6);

2) система в момент часу t знаходилась у стані S₃ і за проміжок часу At перейшла у стан S₁ (подія С).

Викладач. Правильно. Позначимо вказані події. З'ясуємо залежність подій В та С.

Студенти. Події В та С є несумісними.

Викладач. Правильно. Скажіть, як пов'язана подія А з подіями В та С?

Студенти. Оскільки подія А полягає в тому, що відбудеться чи подія В, чи подія С, то А є сумою подій В та С.

Викладач. Правильно. Знайдемо ймовірність події А. Оскільки події є несумісними, то виконується теорема додавання несумісних подій.

Викладач зауважує, що задача Коші визначається в залежності від того, в якому початковому стані знаходилася система.

Враховуючи, що лекція розрахована на майбутніх інженерів, висновок про загальний вигляд системи диференціальних рівнянь для випадку S_n станів може бути сформульований на основі дедукції.

Крім цього, слід пояснити студентам, як легше запам'ятати структуру побудови моделі.

Зауваження: похідна ймовірності будь-якого стану системи дорівнює сумі потоків ймовірностей, що переводять систему в цей стан, без суми усіх потоків ймовірностей, що виводять її з цього стану.

У випадку, коли необхідно знайти тільки граничні ймовірності, то можна уникнути розв'язування досить громіздкої проблеми Коші. Для досить великих значень t, якщо t, ймовірності прямують до своїх граничних значень. Отже, ймовірності постійні і їх похідні дорівнюють нулю.

Після цього, в якості домашнього завдання можна запропонувати студентам конкретизувати завдання 1 та отриману до нього математичну модель, а його перевірку організувати під час наступного практичного заняття.

Така навчальна діяльність, що полягає в побудові й дослідженні моделі випадкового процесу, сприяє кращому усвідомленому засвоєнню даної теми студентами, формуванню їхнього уявлення про єдність деяких розділів вищої математики, теорії випадкових процесів та зв'язку з реальними інженерними дослідженнями. На наступних лекційних заняттях мають бути розглянуті:

1) модель, що описує процес загибелі та розмноження в ході дослідження різноманітних технічних систем;

2) модель, що описує процес резервування технічного пристрою;

3) модель, що описує процес Ерланга на прикладі обслуговування технічних пристроїв.

Одну з перелічених моделей можна запропонувати студентам в якості домашнього завдання чи для самостійного розгляду на практичному занятті під керівництвом викладача. Роль викладача в організації самостійної роботи студентів полягатиме у формулюванні й роз'ясненні завдання, інструктажі, спостереженні за роботою, роз'ясненні питань студентів, корекції роботи, перевірці й аналізі отриманих результатів.

Висновки та перспективи подальших наукових розвідок

Робота з математичною моделлю реального інженерного процесу сприяє підвищенню мотивації до навчання дисципліни, відображає зв'язок між ТЙ і ВП, вищою математикою та спеціальними дисциплінами, унаслідок чого студенти активно опановують уміння, що є необхідними для майбутньої професійної діяльності. Питання навчання побудові та дослідженню математичних моделей до інших випадкових процесів може стати об'єктом подальших розвідок у цьому напрямі.

Література

1. Власенко К. В. Математичне моделювання майбутніми інженерами в ході навчання теорії ймовірності та випадкових процесів / К. В. Власенко, О. О. Чумак // Вісник національного технічного університету «ХПІ»: зб. наук. праць. Тем. випуск: Нові рішення в сучасних технологіях. - Харків: НТУ «ХПІ» - 2012. - № 1. - С. 38-43.

2. Власенко К. В. Теоретичні й методичні аспекти навчання вищої математики з використанням інформаційних технологій в інженерній машинобудівній школі: монографія / К. В. Власенко; Науковий редактор д.пед.н., проф. О. І. Скафа. - Донецьк: «Ноулідж» (донецьке відділення), 2011. - 410 с.

3. Крилова Т. В. Проблеми навчання математики в технічному ВНЗ: монографія / Т. В. Крилова. - К.: Вища школа,1998. - 437 с.

4. Нічуговська Л. І. Математичне моделювання в системі економічної освіти: монографія / Л. І. Нічуговська. - Полтава: РВВ ПУСКУ, 2003. - 289 с.

5. Скафа Е. И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология: монография / Е. И. Скафа. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.

6. Хмара Т. М. Стохастичні моделі як засіб розвитку мислення учнів / Т. М. Хмара, Т. М. Задорожня // Педагогічні науки: теорія, історія, інноваційні технології. - Суми: СумДПУ ім. А. С. Макаренка, 2010. - № 2 (4) - С. 86-93.

7. Швець В. О. Математичне моделювання як змістова лінія шкільного курсу математики / В. О. Швець // Дидактика математики: проблеми і дослідження: міжнар. зб. наук. робіт. - Вип. 32. - Донецьк: Фірма ТЕАН, 2009. - С. 16-23.

Размещено на Allbest.ru