Задачи на доказательство в геометрии и методика их решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Курсовая работа

«Методика обучения и воспитания (математика)

На тему «Задачи на доказательство в геометрии и методика их решения»

Направление подготовки-44.03.01 Педагогическое образование

Профиль подготовки-Математика

Выполнил студент: Неизвестная В.И.

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы обучения решению геометрических задач

1.1 Геометрическая задача: понятие, структура, решение

1.2. Классификации геометрических задач

Глава 2. Методические особенности обучения решению геометрических задач на доказательство

2.1 Методика обучения решению геометрических задач на доказательство

2.2 Конспекты уроков

Список литературы

Введение

Обучение решению задач на доказательство - одна из основных целей преподавания геометрии в школе. Начинать это обучение желательно с самого начала изучения систематического курса геометрии. Для этого необходима серия тренировочных задач на доказательство, решение которых состоит из одного или двух шагов.

Даже решение задач на непосредственное применение изученных свойств и теорем требует выработки определенных навыков. Нужно уметь выбрать нужное свойство или теорему, необходимую для использования при решении задачи; проверить выполнимость всех условий; провести дополнительные построения; сделать выводы.

Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит задачи на доказательство, использующие самые первые свойства и теоремы геометрии, среди которых признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника, соотношения между сторонами и углами треугольника.

Решение этих задач позволяет лучше освоить теоретический материал и научиться применять его при решении задач. Оно не только способствует выработке соответствующих умений и навыков, но, что более важно, развивает логическое мышление, учит рассуждать, анализировать, аргументировать, обосновывать, доказывать.

Утверждения, сформулированные в пособии в виде задач на доказательство, могут быть использованы при решении различных вычислительных задач, а сами доказательства при этом будут являться частью их решений.

Все задачи сопровождаются рисунками, помогающими лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, при необходимости провести дополнительные построения, наметить план доказательства.

Глава 1. Теоретические основы обучения решению геометрических задач

1.1 Геометрическая задача: понятие, структура, решение

Одной из важнейших характеристик овладения математикой на том или ином уровне является умение решать задачи, причем не только стандартные, но и «требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности» [17 с 16.].

Говоря о геометрической задаче, напомним некоторые положения общей теории задач в обучении математике, конкретизируя их, где это возможно и целесообразно, на задачах геометрического характера.

Примем следующее понятие задачи: задача - это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче, и/или учитывая их, [23 С. 6]. Тогда математическая задача - это задача, сформулированная на математическом языке, а геометрическая задача - это задача, сформулированная на геометрическом языке.

Заметим, что иногда задача формулируется на житейском, бытовом или профессиональном языке нематематической отрасли знаний, но решается математическими (геометрическими) средствами. Тогда прежде чем решать, ее надо перевести на математический (геометрический) язык. Такого рода задачи очень важны в процессе формирования компетенций. Однако они очень редко встречаются в учебниках математики (геометрии) или в сборниках математических (геометрических) задач.

Из данного выше определения задачи следует, что ее структура в самом общем плане включает в себя условие задачи (совокупность утверждений) и требование задачи. В задаче обычно присутствует не одно условие, а несколько независимых элементарных (т.е. нерасчленимых далее) условий. Требований в задаче также может быть не одно.

Пример. Задача. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см. и 12 см. Найти катеты треугольника.

В этой задаче можно выделить такие элементарные условия:

1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;

2) в этот треугольник вписана окружность;

3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;

4) длина одного из этих отрезков равна 5 см.;

5) длина другого отрезка равна 12 см.

Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных:

1) найти длину одного катета треугольника;

2) найти длину другого катета треугольника.

Понятие «решение задачи» используется в нескольких основных смыслах:

- решение задачи как план (способ, метод) осуществления требований задачи;

- решение задачи как процесс выполнения плана, реализации требования;

- решение задачи как результат выполнения плана решения.

1.2 Классификации геометрических задач

В методической литературе приняты следующие условные классификации геометрических задач.

1. По специфике языка. В курсе геометрии основной школы часто решаются текстовые задачи, т.е. те задачи, условие которых представлено преимущественно на естественном языке. Примером такого рода задачи из задач, рассмотренных в предыдущем пункте, может служить задача о хордах круга. Как видно из этого примера, кроме естественного здесь может использоваться и геометрический язык.

Иногда решаются и сюжетные геометрические задачи, то есть те, в которых присутствует фабула. В них описан «некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) …» [22. С. 3]. Чаще всего это геометрические задачи с практическим содержанием. Таковой является, например, последняя задача предыдущего пункта.

Сюжетные геометрические задачи играют значительную роль в процессе обучения, т.к. при их решении решается одна из важнейших задач всего курса математики - обучение методу моделирования и, в первую очередь, перевод естественного языка на язык математический, что иногда представляет значительную трудность.

Абстрактные задачи (с использованием только геометрического языка) встречаются гораздо реже. Иллюстрацией такого рода задач могут служить две задачи на готовых чертежах в первом из рассмотренных в предыдущем пункте примере.

2. По характеру рассматриваемых в геометрической задаче объектов они подразделяются на чисто геометрические задачи и практические задачи.

В чисто геометрических задачах речь идет только о геометрических фигурах вне связи их с конкретными объектами окружающего мира. Именно такие задачи составляют основное содержание задачного материала современных учебников геометрии. Приведенные в предыдущем пункте задачи, кроме последней, являются чисто геометрическими.

В практических задачах основными объектами являются предметы окружающего мира. Например, последняя задача предыдущего пункта относится к практическим. Эти задачи помогают учащимся узнавать в предметах окружающего мира знакомые геометрические фигуры, использовать те или иные свойства этих фигур и тем самым осознавать возможности практического применения геометрии. Более того, практические задачи играют большую роль в формировании общих компетенций. Задач с практическим содержанием в учебниках обычно недостаточно. Большую помощь в насыщении курса планиметрии такого рода задачами может оказать пособие для учителя [Апанасовы].

3. По отношению к теории [23. Оборот титула] или по уровню проблемности [11. С. 102] геометрические задачи делятся на стандартные и нестандартные задачи.

Геометрические задачи, для решения которых в школьном курсе имеются готовые алгоритмы или эти алгоритмы непосредственно следуют из определений или теорем, называют стандартными.

Примеры. Первый пример. Стандартными являются геометрические задачи, в которых теоремы могут служить алгоритмами решения. Так, теорема о средней линии трапеции служит алгоритмом для решения задач нахождения длины средней линии трапеции по ее основаниям. Последовательность шагов алгоритма для решения таких задач проста:

1) устанавливаем длину оснований трапеции;

2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.

Второй пример. Все так называемые элементарные задачи на построение являются стандартными.

4. Наиболее распространенная классификация, которая обычно используется и в работе с учащимися, - это классификация, основанием которой является характер требований задачи. В соответствии с этим основанием геометрические задачи условно классифицируются на задачи: 1) на вычисление, 2) на доказательство, 3) на построение (конструктивные задачи).

Заметим, что эта классификация, несмотря на очень широкое ее распространение, достаточно условна: задача на вычисление часто является и задачей на доказательство, так как требует обоснования; одним из очень существенных этапов решения задачи на построение является доказательство; во многих задачах сочетается построение, вычисления и измерение. Все же эта классификация облегчает рассмотрение особенностей каждого вида геометрических задач.

5. В методической литературе специально выделяются так называемые “задачи на готовых чертежах”. Далее мы кратко их охарактеризуем. Функции этих задач не столько математические, сколько методические.

6. Методический характер носит и классификация, основой которой является характер использования задачи на уроке. В соответствии с этой классификацией можно выделить:

- подготовительные задачи,

- задачи на раскрытие содержания новых понятий,

- задачи на применение отдельной теоремы, формулы и др.;

- комбинированные задачи: на применение нескольких теорем, формул и т.д.

Глава 2. Методические особенности обучения решению геометрических задач на доказательство

2.1 Методика обучения решению геометрических задач на доказательство

Задачи на доказательство - наиболее трудный вид геометрических задач. Но так как задача на доказательство по сути дела является теоремой, то для нее практически сохраняются все особенности методики обучения доказательству теорем. Поэтому мы не будем повторять основные положения этой методики, ограничившись примером работы над задачей на доказательство.

Пример. Задача. В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А1 - прямые, BD и B1D1 - биссектрисы. Докажите, что треугольники равны, если угол В равен углу В1 и BD=B1D1. [4. С.85].

Таблица 1. 1 ЭТАП. Анализ условия задачи и построение чертежа

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Какого типа эта задача? 2. Какие фигуры участвуют в задаче? 3. К какому виду относятся эти треугольники? 4. Какие элементы этих треугольников заданы? 5. Каковы эти биссектрисы?	Геометрическая задача на доказательство. Треугольники АВС и А1В1С1. Треугольники прямоугольные, В= =В1. В этих треугольниках из вершин В и В1 проведены биссектрисы. Эти биссектрисы равны.
6. Сделайте чертеж и нанесите данные
7. Что требуется доказать? 8. Запишите кратко условия и требование задачи.	Дано ?АВС= ?А1В1С1 Доказано: ?АВС= ?А1В1С1

Таблица 2. 2 ЭТАП. Поиск путей доказательства

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. В задаче требуется доказать, что треугольники равны. Какими теоремами пользуемся для доказательства того, что треугольники равны?	Признаками равенства треугольников
2. Что нужно найти в этих треугольниках, чтобы доказать их равенство?	Нужно найти равные элементы.
3. Сколько пар равных элементов необходимо найти в этих треугольниках, почему?	Две пары, так как треугольники прямоугольные.
4. Какие равные элементы мы имеем по условию задачи?	Угол В равен углу В1.
5. Каких равных элементов нам не хватает, чтобы применить один из признаков?	Равенства гипотенуз, или равенства катетов.
6. Попробуем доказать равенство катетов АВ и А1В1. Как мы доказываем равенство отрезков?	Доказываем через равенство треугольников.
7. Чтобы доказать равенство катетов АВ и А1В1, какие треугольники следует рассмотреть?	Рассмотреть ?АВС и ?А1В1С1
8. Определите вид треугольников.	Они прямоугольные.
9. Сколько пар равных элементов нам следует найти в этих треугольниках?	Две пары.
10. Что известно об этих треугольниках по условию?	BD=B1D1, 1=2 (как половины равных углов)
11. Итак, какой вывод можно сделать о треугольниках ABD и A1B1D1?	АВD=А1В1D1 по катету и острому углу.
12. Зачем мы рассматривали эти треугольники?	Чтобы доказать равенство отрезков АВ и А1В1.
13. Значит, какой вывод можно сделать из равенства треугольников?	АВ=А1В1.
14. Зачем мы рассматривали равенство отрезков АВ и А1В1?	Чтобы доказать равенство АВС и А1В1С1.
15. Итак, какой вывод можно сделать о АВС и А1В1С1? 16. В итоге наметим план решения задачи: a) Рассмотрим АВD и А1В1D1 и докажем их равенство. Сделаем вывод о равенстве сторон АВ и А1В1 b) Рассмотрим АВС и А1В1С1 и установим их равенство	АВС= А1В1С1 по катету и острому углу.

Поиск путей решения (анализ) и составление плана удобно сопровождать схемой, заменяя стоящие знаки вопроса на знаки равенства при синтезе ( см далее схему).

3 ЭТАП. Оформление решения.

Доказательство:

1. Рассмотрим АВD и А1В1D1. Они прямоугольные, т.к.:

BD=B1D1 (по условию),

ABD=A1B1D1 (как половины равных углов), так как В=В1 (по условию) и ЅВ=ЅВ1 .

Следовательно, АВD= А1В1D1.

2. Рассмотрим АВС и А1В1С1. Они также прямоугольные, т.к.:

АВ=А1В1 (по доказанному),

В=В1 (по условию).

Следовательно, АВС=А1В1С1 (по катету и острому углу), что и требовалось доказать.

Рис. 1

2.2 Конспекты уроков

Определение подобных треугольников

Назначение параграфа - ввести понятие пропорциональных отрезков и, опираясь на него, дать определение подобных треугольников.

Материал параграфа рекомендуется распределить по урокам следующим образом: пропорциональные отрезки, свойства биссектрисы треугольника (задача №535) и определение подобных треугольников -1 урок; теорема об отношении площадей подобных треугольников - 1 урок.

Урок №1

Определение подобных треугольников

Цели: образовательные - ввести определение пропорциональных отрезков и подобных треугольников; рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и показать его применение в процесс решения задач;

развивающие - развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; в целях развития эмоций учащихся обеспечить в ходе урока ситуации эмоциональных переживаний; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, а также бережное отношение к школьным принадлежностям.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного (дежурный учащийся указывает дату, количество отсутствующих на уроке и домашнее задание предыдущего урока);

· сообщить тему урока и сформулировать образовательные цели.

2. Подготовка учащихся к восприятию нового материала. Провести в форме беседы:

Ш Что называют отношением двух чисел? Что показывает отношение?

Ш Отношение АВ к СD равно 2/7. О чем это говорит? Найдите отношение CD к АВ.

Ш В АВС АВ : ВС : АС = 2 : 4 : 3, Р_АВС = 45дм. Найдите стороны АВС.

Ш Что называют пропорцией? Верны ли пропорции 1,5 : 1,8 = 25 : 30; 18 : 3 = 5 : 30?

Ш В пропорции a : b = c : d укажите крайние и средние члены. Сформулируйте основное свойство пропорции.

Ш Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три верные пропорции: 12 : 0,2 = 30 : 0,5.

Ш Найдите неизвестный член пропорции:

а) 7х : 4,2 = 12,3 : 6; б) х : АВ = MN : КР.

3.Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие отношения отрезков.

2. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

Например:

АВ = 5см, CD = 7см, А₁В₁= 7,5см, С₁D₁=10,5см, АВ : CD = А₁В₁ : С₁D₁, т.е. отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁.

Отрезки АВ, CD, MN пропорциональны отрезкам А₁В₁, C₁D₁ и M₁N₁. Найдите C₁D₁ и MN, если АВ = 5см, А₁В₁= 20см, CD = 6см, M₁N₁= 8см.

3. Ввести понятие подобных фигур (два круга, два квадрата, два мяча разных размеров, изображения на кинопленке и на экране, на фотопленке и на фотографии и т.д.)

Используя готовый плакат, объяснить, какие фигуры называются подобными, если его нет, то начертить на доске два квадрата или два круга разной величины.

4. Ввести понятие подобных треугольников.

Воспроизвести на доске треугольники, как на рисунке 188 учебника (с.134), по данному чертежу записать в тетради соответственные углы и сходственные стороны треугольников.

Определение подобных треугольников записать знаками: АВС~АВС, если А = А, В = В, С = С,

.

Записать, как находится коэффициент подобия:

k = .

4.Закрепление нового материала.

После введения понятия пропорциональных отрезков можно решить задачи 533 (устно), 534 (а, б), а затем рекомендуется разобрать в классе задачу 535 и показать применение рассмотренного свойства биссектрисы треугольника на примере задач 536 (а), 538, 540, а также решить задачу 541.

5.Итоги урока.

Предложить учащимся ответить на вопросы:

· Что называется отношением двух отрезков?

· В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам AB и CD?

· Для какого числа отрезков вводится понятие пропорциональности?

· На какие отрезки биссектриса треугольника делит противоположную сторону?

· Какие стороны в треугольниках называются сходственными?

· Какие треугольники называются подобными?

· Чему равен коэффициент подобия?

Прокомментировать работу учащихся в течение урока и оценить самых активных.

6.Домашнее задание: п.56, 57, вопросы 1, 2 и 3 (с.153); №534(в), 536(б), 537, 542.

Урок№2

Отношение площадей двух подобных треугольников

Цели: образовательные - закрепить понятия пропорциональных отрезков и подобных треугольников; совершенствовать навыки решения задач на применение свойства биссектрисы треугольника и определения подобных треугольников; рассмотреть теорему об отношении площадей подобных треугольников и показать ее применение в процессе решения задач;

развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, трудолюбие, целеустремлённость, а также бережное отношение к школьным принадлежностям.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного;

· сообщить тему урока, сформулировать образовательные цели.

2.Актуализация знаний учащихся.

Один ученик у доски готовит доказательство свойства биссектрисы треугольника. Ответ заслушивается , после фронтального опроса.

Ответить устно на вопросы:

1. Что называется отношением двух отрезков?

2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам AB и CD?

3. Какие два треугольника подобны?

3.Решение задач по готовым чертежам с целью подготовки к восприятию нового материала.

1. Повторить теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Записать её для данного рис.1, на котором AD - биссектриса АВС.

рис.2

2. На рис.2 AN = BN, СМ = 5см, МВ = 2см. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BMN равна 7см.

рис.3

3. На рис.3 S_АВС : S_MNK = 3 : 7. Найдите MN.

рис.4

4.Изучение нового материала.

a) Распределить учащихся по творческим группам и предложить обсудить в группах задачу: «Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Найти отношение их площадей».

b) Заслушать варианты решений, выбрать из предложенных наиболее удачный, и решение записать в тетрадях учащихся и на доске.

Вывод: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

5.Закрепление нового материала.

1. Рекомендуется решить в тетради задачи № 542, 544, 545.

2. Работа в группах по решению задач №547, 548 (обсудить принцип решения задач, варианты решений заслушать всем классом).

При наличии времени можно провести самостоятельную работу обучающего характера:

Вариант I

В подобных треугольниках АВС и KMN равны углы В и М, С и N, АС = 3см, KN = 6см, MN = 4см, А = 30. Найдите: а) ВС, К; б) отношение площадей треугольников АВС и КMN.

Вариант II

В подобных треугольниках АВС и PQR равны углы В и Q, С и R, PQ = 3см, PR = 4см, AB = 6см, А = 40. Найдите: а) AС, P; б) отношение площадей треугольников АВС и PQR.

6.Итоги урока.

Предложить учащимся ответить на вопрос: какое отношение равно квадрату коэффициента подобия?

Прокомментировать работу учащихся в течение урока и отметить более активных учащихся.

6.Домашнее задание: п.56 - 58, вопросы 1 - 4 (с.153); 543, 546, 549.

В качестве творческого задания можно предложить учащимся вырезать из цветной бумаги или картона, какие - нибудь подобные фигуры (например, это могут быть как подобные круги, квадраты, треугольники с заданным коэффициентом подобия, так и какие - либо зайчики, чебурашки, цифры и более сложные фигуры также с изначально, заданным учителем, коэффициентом подобия).

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать определения пропорциональных отрезков и подобных треугольников, теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойство биссектрисы треугольника (задача 535); уметь применять их при решении задач типа 534 - 538, 541, 542, 544 - 548.

геометрический доказательство треугольник

Литература

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. Пробный учебник для 8-9 кл. средней школы. М. 1991.

2. Апанасов Л.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. - М.: Просвещение. 1987.

3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. средней школы. - М. 1995.

4. Базовые методики обучения математике: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов и педуниверситетов Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А. и др. - Брянск: Изд-во БГПУ, 2001.

5. Бескин Н.М. Методика геометрии. М. 1947.

6. Дробышева И.В., Дробышев Ю.А. Лабораторный практикум по теории и методике обучения математике. - Калуга: КГПУ, 2003.

7. Дробышева И.В., Дробышев Ю.А., Малахова Е.И. Теоретические основы методики обучения математике. Тексты лекций. Часть 1. - Калуга: КГПУ, 2012.

8. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М. 1979.

9. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей пединститутов / Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

10. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск. 1982.

11. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / Под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005.

12. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под общей редакцией С.Е. Ляпина. - М.: Просвещение, 1965.

13. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика/ Составители Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М. 1985.

14. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. - М. 1987.

15. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 5-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1988.

16. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М. 1987.

17. Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.

18. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5-11 класс. - М.: Дрофа, 2012.

19. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия: Пробный учебник для 7-9 классов средней школы. М. 2012.

20. Саврасов С.М., Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. - М. Просвещение, 1987.

21. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Педагогика, 1977.

22. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. - М.: Школа-пресс, 2012.

23. Фридман Л.М. , Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.

24. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1959.

25. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Дрофа, 2010.

Размещено на Allbest.ru

...