Использование линейных диофантовых уравнений на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование линейных диофантовых уравнений на уроках математики

The use of linear diophantine equations in math class

Загидуллина А.Ф.

Башкирский государственный университет

Стерлитамакский филиал

Личность Диофанта представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни его предшественники, которые работали бы в той же области. Его труды подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет 500 лет. Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н.э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка.

Французский историк науки Поль Таннери, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что «учёнейший Анатолий, после того как собрал наиболее существенные части этой науки (речь идёт о введении степеней неизвестного и об их обозначениях), посвятил их своему другу Диофанту». Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки из которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и Евсевий. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н.э. и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина III века н.э. [4]

Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена «достопочтенному Дионисию», который, как видно из текста «Введения», интересовался арифметикой и её преподаванием. Хотя имя Дионисий было в то время довольно распространённым, Таннери предположил, что «достопочтенного» Дионисия следует искать среди известных людей эпохи, занимавших видные посты. И вот оказалось, что в 247 году епископом Александрии стал некий Дионисий, который с 231 года руководил христианской гимназией города! Поэтому Таннери отождествил этого Дионисия с тем, которому посвятил свой труд Диофант, и пришёл к выводу, что Диофант жил в середине III века н.э.

Если время жизни Диофанта предположительное, то место жительства хорошо известно ? знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира. После распада огромной империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н.э. достался его полководцу

Птолемею Лагу, который перенёс столицу в новый город - Александрию. Вскоре этот многоязыкий торговый город сделался одним из прекраснейших городов древности. Этот город стал на многие века научным и культурным центром древнего мира. Птолемей Лаг основал Музейон, храм Муз, нечто вроде первой Академии наук, куда приглашались наиболее крупные учёные, причём им назначалось содержание, так что основным делом их были размышления и беседы с учениками.

При Музейоне была построена знаменитая библиотека, которая насчитывала более 700 000 рукописей. Неудивительно, что учёные и жаждущие знаний юноши со всего мира устремились в Александрию, чтобы послушать знаменитых философов, поучиться астрономии и математике, иметь возможность в прохладных залах библиотеки углубиться в изучение уникальных рукописей.

Музейон пережил династию Птолемеев. В первые века до н.э. он пришёл во временный упадок, связанный с общим упадком дома Птолемеев в связи с римскими завоеваниями (Александрия была окончательно завоевана в 31 году до н.э.), но затем в первые века н.э. он снова возродился, поддерживаемый уже римскими императорами. Александрия продолжала оставаться научным центром мира. Рим никогда не был в этом отношении её соперником, поскольку там не были развиты естественные науки.

И если в III-II веках до н.э. Музейон блистал именами Евклида, Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, то в I-III веках н.э. здесь работали такие учёные как Герон, Птолемей и Диофант.

Сохранилось дошедшее до нас стихотворение-загадка о личности Диофанта:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н.э.

Задачи Диофанта можно использовать в школьном курсе математики.

Продемонстрируем фрагмент урока для 8-го класса:

План урока:

1.Рассказ учителя об известном ученом - математике Диофанте и его уравнениях.

2. Распределение заданий для подготовки к уроку.

3.Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов.

1. Актуализация знаний.

Рассмотрим задачу: «В клетке находится x фазанов и у кроликов.

Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62».

Общее число ног можно записать с помощью уравнения 2х+4у=62 (*)

Это равенство, которое мы составили по условию задачи, как вы знаете, называют уравнением с двумя переменными. Более того, данное уравнение мы называли линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Напомним основные положения, связанные с этим понятием.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и у - переменные, а, b и с - некоторые числа.

Однозначно определить из уравнения (*) значения x и y нельзя. Даже если ограничиться только натуральными значениями переменных, здесь могут быть такие случаи: 1 и 15, 3 и 14, 5 и 13 и т. д.

Определение. Пара чисел (a, b) называется решением уравнения с двумя переменными, если при замене x на а и y на b получаем истинное равенство.

Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т. е. множество, состоящее из всех пар чисел (a, b), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y, которые могут принимать неизвестные x и у, то надо брать лишь такие пары (a, b), для которых а принадлежит Х и b принадлежит Y.

Пару чисел (a, b) можно изобразить на плоскости точкой М= М (a, b). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя неизвестными, получим некоторое подмножество плоскости. Его называют графиком уравнения.

Можно доказать, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, является прямая линия. Для построения графика этого уравнения достаточно взять две точки с координатами и провести через них прямую.

Два уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называются равносильными. Например, равносильны уравнения х+2у=5 и 3х+6у=15 - любая пара чисел, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и второму.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

С помощью линейных уравнений с двумя переменными можно решать различные текстовые задачи, которые сводятся обычно к нахождению целых (натуральных) решений уравнения, причем часто коэффициенты при переменных в этих уравнениях являются целыми числами.

2. Изучение нового материала

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Решая различные текстовые задачи, часто сводим их к решению некоторого уравнения или системы уравнений. При этом стремимся составить по условиям задачи столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. Но бывают и такие задачи, для которых это сделать невозможно: число независимых уравнений, которые можно составить по условию задачи, меньше числа неизвестных. Однако может случиться, что условие задачи накладывает какие-то другие дополнительные ограничения на неизвестные, которые вместе с полученными уравнениями позволяют найти значения неизвестных (напр., из условия следует, что искомые целые числа заключены в заданных пределах). Такая ситуация присутствует в задаче про кроликов и фазанов.

Таким образом, диофантовы уравнения 1-ой степени с двумя переменными являются линейными уравнениями с двумя переменными, которые присутствуют в курсе алгебры.

Рассмотрим задачи, которые сводятся к решению диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными:

линейный диофантовый уравнение

ах+by=c (1),

где a, b, c - целые коэффициенты. Основной метод решения таких задач ? перебор вариантов.

В способе перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Применим этот способ в следующих задачах:

Задача 1. Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 руб. И высчитывают 2 руб. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 руб. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х руб. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у руб. Имеем уравнение 10х - 2у =180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у, х=18+у:5.

Так как x целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случаи:

1) у=0, х=18, т. е. решением является пара - (18, 0);

2) у=5, х=19, (19, 5); 3) у=10, х=20, (20, 10); 4) у=15, х=21, (21, 15).

Задача №2. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?

Решение.

Пусть x - количество двухрублевых монет, у - количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х+5у=23; 2х=23-5у;

x = (23 - 5у):2; x =(22+1 - 5у):2, почленно поделим 22 на 2 и (1 - 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 - 5у):2.

Так как x и y натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 - 5у) нацело делилось на 2.

Осуществим перебор вариантов.

1) y=1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9;

2) у=2, при этом выражение (1 - 5у) не делится нацело на 2;

3) у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4;

4) при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

Учащиеся познакомились с методом решения диофантовых уравнений 1ой степени, которые присутствуют в олимпиаде по математике.

Используемые источники

1. http://www.tutoronline.ru/blog/zadacha-diofanta

2. http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00174673_0.html

3. http://www.diofant.ru/

4. http://www.people.su/36606

Размещено на Allbest.ru