Использование комбинаторных задач в процессе развития мышления младших школьников на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В жизни часто приходится составлять всевозможные совокупности объектов разной природы, причем с таким видом работы встречаются не только взрослые, но и дети. Например, когда формируют столовые или чайные наборы из разных предметов (тарелок, вилок, ложек, ножей, салфеток или чашек, блюдец, ложек), костюмы из разных деталей одежды (юбки, кофты, накидки; сарафана, кофты, косынки; платья, пояса, украшения; брюк, рубашки, жилета, пиджака; куртки, головного убора и др.), библиотечки из книг и в других ситуациях. Часто такие переборы предметов осуществляются хаотически, без какого-либо порядка. При этом случается, что некий набор называется дважды, а какой-то бывает упущен. Между тем, в жизни (в том числе, при решении различных задач) бывает необходимо получить все совокупности, не повторившись и не пропустив ни одной. Поэтому уже учащихся начальной школы следует обучать грамотному применению метода перебора. Учителю начальной школы необходимо уметь грамотно объяснить учащимся, что из себя представляет метод перебора.

Предмет: процесс обучения математике в начальной школе

Объект: комбинаторные задачи, решаемые методом перебора.

Цель исследования: определить методические пути обучения младших школьников методу перебора.

Задачи:

1. Определить сущность понятия «комбинаторная задача» в литературе.

2. Рассмотреть возрастные особенности мышления младшего школьника.

3. Выявить методические пути обучения младших школьников методу перебора.

4. Рассмотреть реализацию использования метода перебора при решении комбинаторных задач.

1. Теоретические основы использования комбинаторных задач на уроках математики с целью развития мышления младших школьников

1.1 Понятие «комбинаторная задача» в научной литературе

Составление совокупностей - часто встречающаяся задача во всех областях человеческой деятельности. Получить весь набор совокупностей, не пропустив ни одной и не повторившись, не всегда является легкой задачей. Нередко на искомые совокупности накладываются разные условия, и тогда первоначальная задача усложняется. Теоретическое обоснование этой задачи рассматривается в разделе математики, называемом комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в 16 веке. В то время широкое распространение в обществе получили азартные игры и лотереи. Поэтому первоначальные задачи комбинаторики касались именно этих сторон жизни людей, как правило, состоятельных. И нередко игроки нанимали математиков, чтобы те составили задачи на игровые сюжеты и решили их математическими методами, а потом рассказали бы, как игроку следует поступить, чтобы выиграть в лотерее или в азартной игре (например, в карты или в лото).

Комбинаторика играет значительную роль и в чисто математических вопросах (теории групп, оснований геометрии, теорией графов, теорией вероятностей, неассоциативных алгебр, теорией чисел и др.) и в прикладных (транспортные задачи, составление и декодирование шифров, задачи статистики и т. д.)

Учащихся целесообразно познакомить с историей развития комбинаторных знаний, с именами математиков, внесших вклад в развитие комбинаторики, и сделать это тоже лучше посредством выступлений школьников. Это может быть и неплохой исследовательской работой учащихся. Имена итальянцев Джероламо Кардано, Николо Тартальи, французов Блеза Паскаля и Пьера Ферма (математически решивших проблему знатного друга Б. Паскаля шевалье де Мере - азартного игрока), швейцарца Якоба Бернулли, немца Готфрида Лейбница, швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера, американцев Монти Холла, Джона Риордана, советских и российских ученых-математиков (Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, известного российского математика и замечательного популяризатора Н.Я. Виленкина и др.) убедят детей в интернациональном характере науки. Знакомство с жизнью математиков приблизит в сознании учащихся абстрактную науку к жизни. Школьникам интересно узнать о некоторых событиях в жизни этих людей, и самое главное - они поймут, что математику создают живые люди со своими достоинствами и человеческими слабостями. Кстати, термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Г. Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Знаменательно, что математики называли комбинаторику искусством. Комбинаторные задачи - это задачи, требующие перебора всех возможных вариантов решения или определения числа таких вариантов.

1.2 Возрастные особенности мышления младшего школьника

Младший школьный возраст - начало школьной жизни. В этот период у ребенка появляется внутренняя позиция школьника, учебная мотивация. Ведущей деятельностью становится учебная. На этом этапе у ребенка развивается теоретическое мышление; он получает новые знания, умения, навыки, которые составляют необходимую базу для последующего обучения [2, с. 280].

Период поступления в школу является очень важным в жизни любого ребенка: меняется режим, один вид деятельности (игровая) сменяется другим (учебная), начинает складываться новый тип отношений с окружающими людьми (авторитет взрослого постепенно утрачивает свое значение, большее значение для ребенка начинают приобретать сверстники).

Несмотря на то, что ведущей деятельностью младших школьников является учебная деятельность, они увлекаются игрой, в которой велика роль воображения. Их увлекает мир фантазии и сказки. Поэтому детям младшего школьного возраста очень интересны задания, где нужно что-то придумать, проявить свою фантазию.

Характеризуя особенности личности младшего школьника, нельзя забывать о физиологических особенностях этого возраста.

Ребенок младшего школьного возраста - это далеко ещё не сформировавшийся представитель человеческого рода. Костная система младшего школьника ещё находится в стадии формирования - окостенение позвоночника, грудной клетки, таза, конечностей ещё не завершено, в костной системе ещё много хрящевой ткани. Процесс окостенения кисти и пальцев в младшем школьном возрасте также ещё не заканчивается полностью, поэтому мелкие и точные движения пальцев и кисти руки затруднительны и утомительны.

Работоспособность младших школьников сохраняется только на непродолжительные промежутки времени. Эта особенность объясняет необходимость введения элементов игры на уроке. Невысоки возможности саморегуляции младшего школьника, то есть осуществления действий, необходимых для достижения цели. Поэтому учебный материал должен вызывать по преимуществу непосредственный интерес.

В младшем школьном возрасте происходит функциональное совершенствование мозга - развивается аналитико-систематическая функция коры; постепенно изменяется соотношение процессов возбуждения и торможения: процесс торможения становится всё более сильным, хотя по-прежнему преобладает процесс возбуждения, и младшие школьники в высокой степени возбудимы и импульсивны [4, с. 66-73].

С поступлением в школу происходят изменения и в психической сфере ребенка.

Психика детей характеризуется своей неустойчивостью. Она развивается на основе ведущей для них учебной деятельности. Включение в учебную деятельность способствует постепенному подчинению ее требованиям, а выполнение этих требований ведет к появлению новых качеств психики, которые отсутствовали у детей дошкольного возраста. Новые качества психики развиваются у младших школьников по мере того, как формируется учебная деятельность.

Исследования Л.С. Выготского и его учеников показывают‚ что в период младшего школьного возраста все психические процессы и функции начинают приобретать внешне опосредованный характер. Для того‚ чтобы владеть своими психическими процессами нужны некоторые внешние средства‚ которые дают ему опору при организации этих процессов. Речь является одним из таких внешним средств‚ на которое опирается младший школьник‚ при организации своего мышления. Поэтому младшие школьники используют рассуждения вслух при организации мыслительных операций. Развитие познавательных психических процессов в младшем школьном возрасте характеризуется тем‚ что из действий непроизвольных они превращаются в самостоятельные виды психической деятельности [2, с. 280-283].

Организовать урок в классе учитель может лишь тогда, когда все дети одновременно слушают учителя, выполняют его указания. Поэтому каждый ребенок с первых дней посещения школы приучается управлять своим вниманием согласно требованиям учителя. Управление своим поведением способствует формированию у детей произвольности как особого качества всех психических процессов. Произвольность проявляется в умении управлять своим поведением, сознательно ставить цели действия, искать и находить средства их достижения, преодолевая трудности.

Основным фактором развития произвольности у школьника является появление в его жизни учебного труда‚ который отличается от игровой деятельности дошкольника‚ так как игровая деятельность не предполагает в качестве результата возникновение объективно значимого продукта‚ вследствие этого она носит непроизвольный характер.

Выполняя задания учителя на уроке, младшие школьники сравнивают способы выполнения задания, выбирают оптимальные из них, планируют этапы выполнения задания, средства, т.е. контролируют выполнение задания. Осуществление контроля и самоконтроля в учебной деятельности, а также ряд других ее особенностей создают благоприятные условия для формирования у младших школьников способности к планированию и выполнению действий про себя, во внутреннем плане.

Осуществление учебной деятельности требует от детей умения обосновать свои действия, справедливость своих высказываний. Умение как бы со стороны рассматривать и оценивать собственные мысли и действия лежит в основе рефлексии. Рефлексия ? умение человека осознавать то, что он делает и аргументировать, обосновывать свою деятельность.

По словам В.В. Давыдова, основными новообразованиями ребенка младшего школьного возраста являются произвольность, внутренний план действия и рефлексия [3, с. 69-101].

Мышление младшего школьника носит конкретно-образный характер, так как при решении мыслительных задач дети опираются на конкретные предметы или их заместители. В процессе обучения происходит быстрое развитие абстрактного мышления, особенно на уроках математики, где от действий с конкретными предметами или их заместителями ученики переходят к умственным операциям с числами. С началом школьного обучения у детей начинает быстрее, чем до школы, развиваться понятийное мышление, в процессе которого ребенок оперирует понятиями [3, с. 137].

Вывод: Комбинаторные задачи рассматриваются в литературе как задачи, требующие перебора нескольких вариантов. Комбинаторные задачи способствуют развитию абстрактного мышления младшего школьника.

2. Практические аспекты использования метода перебора при решении комбинаторных задач в начальной школе

2.1 Метод перебора как основной метод решения комбинаторных задач в начальной школе

Умение осуществлять решение комбинаторных задач методом перебора позволяет справиться с любой задачей подобного вида. Целесообразно показать учащимся необходимость наличия у них такого умения. С этой целью можно подготовить выступления учащихся с примерами из понятных им жизненных ситуаций, в которых нужно получить всевозможные комбинации из конечного (небольшого) количества объектов. Выступления одноклассников лучше воспринимаются школьниками, чем рассказ учителя. Далее предложить учащимся две-три задачи, решаемых методом перебора вариантов. Учащиеся наперебой будут давать ответы, а учитель будет их записывать на доске. Когда на доске появится достаточное количество ответов, учитель предложит их проанализировать. И вот тут школьники увидят, что некоторые варианты повторяются, а каких-то, возможно, не будет вовсе, и учитель на это обратит внимание учащихся. Так проблема окажется поставленной. Учителю нужно лишь ее сформулировать. Перед учащимися - вполне понятная задача: научиться так составлять все варианты из данных объектов, чтобы не было ни одного пропущенного и ни один бы не повторился, т. е. рационально. Совокупность упражнений, задач, заданий, направленная на достижение определенной цели, должна удовлетворять некоторым требованиям, связанным с учетом возрастных особенностей обучающихся, с одной стороны, и со спецификой изучаемого материала, с другой. Кроме того, нецелесообразно отказываться и от устоявшихся требований к системам задач.

В качестве особенностей возраста младших школьников выделим доминирование интуитивно-образного мышления, что определяет необходимость развития у них абстрактно-логического мышления, их постепенного введения в мир логики и абстракций. Особенностями предлагаемого материала являются возможность конечного представления и целостного обозрения содержания и решения задачи. Следует учесть и то обстоятельство, что окружающий мир един, а человечество разделило его описание на количественные отношения и пространственные формы, поэтому следует как-то сгладить это разделение.

В соответствии со всем сказанным, выделяем следующие требования к системам задач на усвоение учащимися метода перебора.

1. Среди первоначальных задач представлены задачи с ясным для школьников сюжетом, взятым из повседневной жизни.

2. Первоначальные задачи должны иметь немного вариантов результата (ответа на вопрос задачи).

3. Включены задачи не только с арифметико-алгебраическим, но и с геометрическим сюжетом.

4. Постепенное усложнение задач должно определяться наложением дополнительных условий на объекты задачи, от одного простого сначала до нескольких и посложнее в конце.

5. При решении задач использовать имеющиеся у школьников математические знания (состав числа, признаки геометрических фигур и др.) [29].

2.2 Практическая реализация использования метода перебора при решении комбинаторных задач в начальной школе

Начать знакомство учащихся с методом перебора целесообразно с задачи, подобной приведенной ниже. Она доступна и первокласснику.

Задача 1. Сколько различных костюмов можно составить из брюк и двух рубашек, если костюм должен состоять из брюк и одной рубашки?

При ее решении можно использовать изготовленные из цветной бумаги плоские проекции одних брюк и двух рубашек, например, красной и синей. Не испытывая затруднений, школьники составляют костюм из брюк и красной рубашки, а затем - из брюк и синей рубашки, и отвечают на вопрос задачи, что можно составить два костюма. Важно подвести учащихся к выводу, что они объединяют в костюм имеющиеся единственные брюки с каждой из данных рубашек.

Задача 2. На столе три блюдца и две чашки. Сколько комплектов «блюдце - чашка» можно из них составить?

При решении этой задачи можно также использовать наглядность.

Уже при решении этой задачи учащиеся составляют комплекты хаотически: первое блюдце со второй чашкой, второе с третьей чашкой и т. д., т. е. в выборе комплектов не прослеживается никакого порядка. В результате они начинают повторяться, а какие-то комбинации не называют. Учитель все их решения записывает на доске, и когда учащиеся исчерпали свои возможности, начинает с ними анализировать полученные записи. Он подчеркивает то, что встречается несколько раз, и приводит комплект, который никто из детей не назвал (если такой имеется). Предлагает им подумать, как организовать свою работу по составлению комбинаций, чтобы избежать таких «промахов». Совместными усилиями вырабатывается алгоритм: взять первое блюдце и скомбинировать с каждой из чашек, затем второе блюдце и с ним проделать то же самое, а затем то же сделать с третьим блюдцем. В результате учащиеся получают, что общее число комбинаций: 2 + 2 + 2 = 6.

Учитель спрашивает, можно ли решить иначе, т. е. иначе выстраивать комбинации. Школьники отвечают утвердительно: можно выбирать чашку, а затем каждую выбранную чашку комбинировать с каждым из блюдец.

Далее учитель предлагает сделать вывод-обобщение: чтобы получить все комбинации, нужно каждый объект из первой совокупности скомбинировать с каждым объектом второй совокупности.

Задача 3. На гору ведут три дороги. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее?

В этой задаче учащиеся сталкиваются с тем, что имеют две одинаковые совокупности, которые они сначала воспринимают как одну. Учитель предлагает пронумеровать дороги, и тогда школьники записывают комбинации: 1-1, 1-2, 1-3, 2-1, 2-2, 2-3, 3-1, 3-2, 3-3. Всего 9.

Учитель спрашивает: можно ли узнать число комбинаций, не составляя их? Учащиеся, подумав, высказывают предположение: надо число объектов первого типа умножить на число объектов второго типа. Учитель предлагает проверить предположение, обратившись к рассмотренным задачам: 1· 2 = 2 в первой, 3 · 2 = 6 во второй, 3 · 3 = 9. Догадка учащихся подтвердилась, а учитель говорит учащимся, что этот факт действительно верен, он доказан учеными-математиками. (По сути, учащиеся «открыли» правило произведения комбинаторики).

Учитель несколько изменяет задачу 3. Он дополняет условие тем, что подъем и спуск происходят по разным дорогам, и получает задачу 4.

Задача 4. На гору ведут три дороги. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск происходят по разным дорогам?

При решении этой задачи учащиеся идут двумя путями. Некоторые дети из результата задачи 3 исключают не удовлетворяющие условию новой задачи три варианта и получают: 9 - 3 = 6 (комбинаций. Другие дети исходят из того, что в первом множестве объектов их 3, а во втором - 2, и тогда согласно сделанному выводу: 3 · 2 = 6 (комбинаций).

Задача 5. В сборочный цех поступило 50 ведер и 60 ручек к ним. Сколько готовых ведер можно из них сделать?

В этой задаче учащиеся усваивают, что каждому ведру нужна 1 ручка, и потому только 50 готовых ведер можно сделать. Здесь же происходит пропедевтика понятия взаимно однозначного соответствия. Из 60 ручек используются только 50 (по числу ведер), остальные 10 ручек останутся без применения.

Задача 6. Расплатившись за купленную книгу, Юра получил сдачу 6 руб. Укажите все возможные наборы монет, которые мог получить Юра.

Эта задача с жизненной ситуацией, в какой могут находиться и школьники. Поэтому задача их заинтересовывает. Кроме того, они узнают или вспоминают (т. е. происходит актуализация знаний), какого достоинства монеты имеют хождение. Существуют монеты достоинством в 1 руб, 2 руб., 5 руб. Поэтому

6 = 1 + 5 = 1 + 1+ 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

т. е. Юра мог получить 1-рубевую и 5-рублевую монеты, две 1-рублевых и две 2-рублевых монеты, четыре 1-рублевых и одну двухрублевую монеты, шесть 1-рублевых монет.

Предлагаются школьникам задачи и с геометрическим содержанием.

Задача 7. Мальчик вырезал 6 кругов и треугольников. Сколько кругов и сколько треугольников мог вырезать мальчик? Нарисуй все случаи.

Учащиеся начинают хаотически называть и рисовать какие-то варианты. Учитель предлагает им организовать этот процесс. Самое маленькое количество треугольников, которое мог вырезать мальчик, это один треугольник. Тогда легко найти количество вырезанных мальчиком кругов. Увеличивая на единицу число треугольников, будем получать все комбинации треугольников и кругов, без повторений и пропусков, при этом дети получают и красивый рисунок.

Рис. 1

При решении этой задачи уместно повторить состав числа и переместительный закон сложения: 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1. Варианты 6 = 0 + 6 = 6 + 0 не удовлетворяют условию задачи, так как мальчик вырезал круги и треугольники, значит, хотя бы одна фигура каждого вида была вырезана мальчиком. Итак: 5 комбинаций фигур.

Задача 8. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится большой круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом. И предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Первое место по условию задачи занято большим кругом. Значит, маленький круг может занять только третье место. А квадраты - большой и маленький занимают второе и последнее (четвертое) места, безразлично, в каком порядке. Таким образом, учащиеся получают комбинации: большой круг, маленький (большой) квадрат, маленький круг, большой (маленький) квадрат.

Следующая задача является более сложной, так как в ней фигуры трех форм и двух цветов.

Задача 9. Расставь модели фигур так, чтобы рядом не было одинаковых по форме или цвету:

Рис. 2

.

Учитель просит учащихся назвать изображенные фигуры и охарактеризовать их. Происходит анализ задачи. Дети называют: треугольник - белый и черный, круг - белый и черный, шестиугольник - белый.

Для решения этой задачи можно изготовить бумажные модели фигур, определенных условием задачи (принять участие в изготовлении фигур могут сами дети). В результате манипуляций с фигурами дети находят следующие комбинации: белый круг, черный треугольник, белый шестиугольник, черный круг, белый треугольник или белый треугольник, черный круг, белый шестиугольник, черный треугольник, белый круг.

Действия детей здесь также можно упорядочить. Поскольку белый шестиугольник - не парная фигура и увеличивает число белых фигур, то его помещаем в центр комбинации, по разные стороны от него - черные фигуры - круг и треугольник, а по краям - белые треугольник и круг соответственно.

То обстоятельство, что при решении предлагаемых задач учащиеся могут работать с бумагой и ножницами и рисовать карандашами, развивая мелкую моторику рук, очень важно в обучении младших школьников.

Задача 10. Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок.

При решении этой задачи надо обратить внимание учащихся на то, что искать разные варианты в расположении бус легче, если начинать с тех бус, которых меньше. Это две большие бусины. Они в колечке могут находиться рядом, через одну маленькую бусинку, через две маленькие бусинки (в этом случае по другую сторону от больших бусин находятся три маленькие бусинки). Других вариантов нет. Учащиеся изображают эти комбинации на бумаге.

Рис. 3

Задача 11. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного парка к другому кратчайшим путем, т. е. не нужно идти в обход. Покажи, какие дорожки будут сделаны.

Рис. 4

Чтобы упорядочить действия детей, сделать их рациональными, следует вспомнить с ними вывод, который они сделали вместе с учителем, составляя комбинации: каждый объект соединяется с каждым, т. е. сначала они проводят все дорожки от одного выбранного пруда ко всем остальным, а потом действия продолжали таким же образом. Решение таково: от одного пруда дорожки прочерчивают к каждому из оставшихся трех, от второго - к каждому из оставшихся двух (третьему и четвертому), от третьего - к оставшемуся четвертому. Всего 6 дорожек.

Задача 12. Начерти прямоугольники с периметром 20 см. Найди их площадь. Начерти все известные тебе случаи.

Сначала учащимся надо вспомнить геометрический материал. Понятие периметра поможет найти им полупериметр, равный 10 см. Дальнейшее решение этой задачи связано с понятием состава числа. Все случаи целесообразно представить в виде таблицы.

Табл. 1

Сторона	1	2	3	4	5
Смежная сторона	9	8	7	6	5
Площадь а ·b	9	16	21	24	25

Далее учащиеся вспоминают, как находится площадь прямоугольника и вычисляют ее величину в каждом случае. Учащиеся изображают в тетради все возможные прямоугольники. Проанализировав результаты, школьники могут сделать полезный вывод о том, что наибольшую площадь из всех прямоугольников с одним и тем же периметром 20 см имеет квадрат.

Задача 13. Число 25 представьте в виде суммы пяти различных нечетных слагаемых. Сколько надо взять слагаемых, чтобы представить аналогичным образом число 81?

Прежде всего, учащиеся вспоминают понятие нечетного числа. Учащиеся начинают с начала последовательности нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Последовательным сложением они находят, что

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

При ответе на второй вопрос задачи учитель обращает внимание детей на то, что слагаемых не может быть два, так как сумма двух нечетных чисел есть число четное, а 81 - нечетное число. Значит, три нечетных числа. Берем 41 и добавляем 40 в виде суммы двух нечетных чисел, что согласуется с нашим выводом. А 40 можно представить как 1 + 39, 3 + 37, 5 + 35, 7 + 33, 9 + 31, 11 + 29, 13 + 27, 15 + 25, 17 + 23, 19 + 21. Тогда: 1 + 39 +41, 3 + 37 + 41, 3 + 37 + 41, 5 + 35 + 41, 7 + 33 + 41, 9 + 31 + 41, 11 + 29 + 41, 13 + 27 + 41, 15 + 25 + 41, 17 + 23 + 41, 19 + 21+ 41. Представить одно из нечетных слагаемых в виде суммы двух нечетных слагаемых невозможно согласно сделанному выше выводу. Значит, можно представить число 81 в виде суммы трех нечетных чисел. А пяти? Можно; например: ! + 39 + 41 = 1 + 3 + 7 + 29 + 41, т. е. представляя каждое из нечетных чисел каждой записи из трех нечетных слагаемых в виде суммы снова трех нечетных слагаемых. Тогда получим 5 нечетных слагаемых числа 81. Далее учащиеся приводят свои примеры.

Задача 14. Найди все пары чисел (a, b), для которых верно неравенство: 0 < a·b < 5.

Эта задача представляет собой усложнение предыдущих ситуаций. Однако она вполне доступна младшим школьникам. Для получения результата следует рассмотреть всевозможные произведения чисел от 1 до 4, так как по условию даны строгие неравенства. Учитель предлагает учащимся упорядочить их перебор пар: сначала 1 умножить на возможные натуральные числа, чтобы произведение было заключено в заданных границах (это пары : (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)), затем аналогично поступить с числом 2 (пары (2,1) (2,2)), и наконец с числами 3 и 4, получив пары (3,1) (4,1). Задача решена. Получен ответ: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4), (2,1) (2,2), (3,1) (4,1).

Следующая задача благодаря своему сюжету несет элемент занимательности.

Задача 15. В комнате 10 живых существ - людей, собак и мух. У них вместе 46 ног (у мухи 6 ног). Как это могло получиться? Найди все варианты.

Один из рациональных способов решения состоит в следующем. У человека - 2 ноги, у собаки - 4 ноги, у мухи - 6 ног. Начинаем рассуждения с наблюдения, что у трех разных cуществ (человек, собака, муха) 12 = 2 + 4 + 6 ног. По условию в комнате 46 ног. Близкое число к 46 - это 48, если будет в комнате по 4 особи каждого вида. Но 48 - 46 = 2 (ноги) лишние, значит, надо вместо одной собаки поместить в комнату человека, или вместо мухи - одну собаку. Получаем два решения: 4 человека, 5 собак, 3 мухи или 5 человек, 3 собаки, 4 мухи. Учащиеся делают проверку: 4 · 2 + 5 · 4 + 3 · 6 = 46, 5 · 2 + 3 · 4 + 4 · 6 = 46. Ищем другие решения. Для этого анализируем полученные результаты. Запишем их в виде таблицы.

Табл. 2

Число мух	Число собак	Число человек
3	5	4
4	3	5

Видим, что добавив одну муху во второй строке, т. е. 6 ног, мы должны убрать одно существо из оставшихся. Если уберем собаку, то уберем лишь 4 ноги, а если уберем человека, то количество ног уменьшится на 2. Убрать собаку и человека (4 + 2 = 6 ног) нельзя, так как останется только 11 живых существ, тогда как их должно оставаться 12.

Значит, надо убрать 2 собаки (8 ног) и добавить 1 человека (2 ноги), т. е. уберем 6 ног. Будем менять число мух. Добавив 1 муху (6 ног), убираем 2 собаки и добавляем 1 человека (согласно только что проведенным рассуждениям: 6 = 4 · 2 - 2 · 1).

Табл. 3

Число мух	Число собак	Число человек
5	1	6

Поскольку число собак уменьшать на 2 больше нельзя (их просто нет), то попробуем уменьшить число мух на одну и обратить наши рассуждения. Уменьшив число мух на одну, мы должны увеличить число собак на 2, и уменьшить число человек на 1.

Табл. 4

Число мух	Число собак	Число человек
2	7	3

Повторив этот процесс, получим:

Табл. 5

Число мух	Число собак	Число человек
1	9	2

Далее этот процесс продолжаться не может (нет мух). Таким образом, найдены все варианты:

Табл. 6

Число мух	Число собак	Число человек
1	9	2
2	7	3
3	5	4
4	3	5
5	1	6

К каждому варианту ответа делается проверка (подсчитываются число живых существ (12) и число ног (46)

Можно начать рассуждения с числа людей (с наименьшим числом ног у человека из рассматриваемых живых существ).

Задача 16. Шура нарисовала рисунок, описывающий необходимое время на различные пути. От дома до моря Шура шла 80 минут. По какому пути она могла бы пройти? Закрась эту тропинку цветным карандашом. Подпиши время и сложи.

Рис. 5

При решении этой задачи (как и предыдущих)у школьников развивается вариативность мышления. По сути, учащимся нужно составить комбинации из чисел 40, 30, 10, 10, 25, 10, 20, 15, 15, 40, 5 так, чтобы сумма их была равна 80. При этом они должны следить за тем, чтобы выбранные числа определяли отрезки, прокладывающие путь от дома до моря. Так, варианты 40 + 30 + 10, 15 + 25 + 40, 40 + 10 + 10 + 20 отвечают условию задачи и включаются в ее ответ, а вариант 40 + 15 + 5 + 10 + 10 не образует пути от дома до моря, хотя и составляет число 80.

Задача 17. Используя числа 3 и 7, запиши четыре трехзначных числа в порядке убывания.

Анализируя эту задачу, учащиеся приходят к выводу, что самое большое число будет начинаться с цифры 7 - это 777. Затем вводим в запись цифру 3, получаем две записи: 773, 737. Следующее число с учетом требования убывания начнется с цифры 3, а на второе место следует поставить одну из имеющихся цифр, а именно ту, которая определяет большее однозначное число, это 7. Тогда учащиеся получают, например, число 373. Итак, ответ на требование задачи: 777, 773, 737, 373, и он неоднозначен. Например, можно на последнем месте поместить ближайшее число 377, но в задаче нет такого требования (можно поместить и число 337 или 333).

Задача 18. 1) Напишите наименьшее двузначное число. Напишите наименьшее двузначное число, в котором цифры будут различны;

2) Напишите наименьшее трехзначное число. Напишите наименьшее трехзначное число, в котором цифры будут различны;

3) Напишите наименьшее четырехзначное число. Напишите наименьшее четырехзначное число, в котором цифры будут различны;

4) Напишите наименьшее пятизначное число. Напишите наименьшее пятизначное число, в котором цифры будут различны;

5) Напишите наименьшее шестизначное число. Напишите наименьшее шестизначное число, в котором цифры будут различны;

6) С помощью цифр 3, 6, 2, 4 записать наименьшее четырехзначное число.

По аналогии с рассуждениями, примененными при решении предыдущей задачи, младшие школьники записывают наименьшее двузначное число: 10; это и наименьшее двузначное число, в записи которого использованы разные цифры.

Наименьшее трехзначное число должно начинаться с 1 (с нуля числа не начинаются), это 100. Здесь две цифры одинаковые. Чтобы написать трехзначное число с разными цифрами, надо использовать цифры 0 и 2, причем в более старшем разряде поставить 0, получено число102.

Аналогично рассуждая, дети получают четырехзначные числа 1000 и 1023, пятизначные - 10000 и 10234, шестизначные - 100000 и 102345.

После этих упражнений школьники без труда отвечают на последний вопрос задачи: 2346, так как знают, что для записи наименьшего числа цифры должны идти в порядке возрастания однозначных чисел, которые они определяют. Этот вывод получен учащимися опытным путем, затем обобщен на случай чисел с любым количеством знаков (цифр) в записи числа и подкреплен при этом обоснованием: разряды уменьшается в направлении слева направо в записи чисел (…, разряд тысяч, разряд сотен, разряд десятков, разряд единиц), поэтому более старшие разряды числа должны содержать меньшее количество единиц, чтобы это число было наименьшим из всех чисел с заданным количеством цифр в его записи [29].

Вывод: грамотное обучение методу перебора при решении комбинаторных задач способствует развитию абстрактного мышления.

Заключение

Рассмотренные задачи представляют класс важных для обучения поиску их решения задач. Такие задачи учат школьников таким необходимым при поиске пути решения задачи методам исследования, как наблюдение, проведение опыта, развивают такие мыслительные операции, как анализ, сравнение (сопоставление и противопоставление), обобщение, формируют такие умения как выделение общих и отличительных свойств объектов, их существенных и несущественных свойств, нахождение разных способов решения задачи, формулирование выводов, и в целом, способствуют развитию нелинейного мышления учащихся. Овладение школьниками рациональными методами перебора, составления комбинаций станет основой успешного освоения комбинаторных понятий в следующих классах, т. е служит и пропедевтической цели. В силу разнообразия и практической направленности задачных сюжетов работа с учащимися над серией задач, решаемых методом перебора, вызывает у них интерес к учебе, в том числе, и к занятиям математикой.

Литература

комбинаторный школьный учебный

1. Аммосова Н.В. Общие проблемы развития творческой личности школьника 5-6 классов при обучении математике: Метод. рекомендации / Астрахань: Изд-во Астрах. обл. ин-та усовершенствования учителей, 2005. - 32 с.

2. Выготский Л.С. Воображение и творчество в школьном возрасте. - М., 1990.

3. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. - М., 1986.

4. Лейтес, Н.С. Умственные способности и возраст / Н.С. Лейтес. - М.1971. - С.133-162

5. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М., 1981.

6. Лернер И.Я. Проблемное обучение. - М., 1974.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М., 1985.

8. Педагогическая энциклопедия. - М., 1968.

9. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия // Вопросы психологии.-1966. - № 4.

10. Пойа Д. Как решать задачу. - М., 1961.

11. Рубинштейн С.Л. Проблема способностей и вопросы психологической теории // Вопросы психологии. - 1960. - № 3.

12. Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии. - М., 1973.

13. Румянцев Н.Е. Педагогическая психология. - Пг., 1918.

14. Рыдник В. От ромашки до антимира. - М., 1971.

15. Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе (на основе экспериментальной программы) / Под ред. П.Я. Гальперина. - М., 1975.

16. Селье Г. От мечты к открытию. - М., 1987.

17. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. - М., 1984.

18. Скрипченко А.В. Умственное развитие младших школьников: Автореф. дисс. д-ра психол. наук. - Л., 1971.

19. Сластенин В.А. Формирование личности учителя советской школы в процессе профессиональной подготовки. - М., 1976.

20. Спиркин А.Г. Сознание и самосознание. - М., 1972.

21. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. - М., 1975.

22. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир. - М, 1982.

23. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека. - М., 1969.

24. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. - М., 1979.

25. Ушинский К.Д. Собрание сочинений. - М.-Л., 1948. - Т. 2.

26. Фетисов А.И. Ориентация в пространстве // Математика в школе.-1971. - №6.

27. Фролов И.Т. и др. Введение в философию. - М., 1989. - Т. 2.

28. Хинчин А.Я. Педагогические статьи / Под ред. Б.В. Гнеденко.- М, 1983.

29. Черкасова А.М., Аммосова Н.В. Обучение младших школьников методу перебора. - метод. рекомендации.- Астрахань, 2017.- 18 с.

30. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. - М., 1982.

Размещено на Allbest.ru

...