О проведении практических занятий по топологии в педагогическом вузе
Особенности практических занятий по топологии. Общая характеристика задач, призванных оказать студентам педагогических вузов помощь в приобретении практических навыков. Знакомство с основными признаками непрерывных отображений топологических пространств.
Рубрика | Педагогика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 07.08.2020 |
Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
О проведении практических занятий по топологии в педагогическом вузе
Данная статья посвящена роли курса топологии для подготовки будущих учителей математики. Здесь рассматриваются различные аспекты педагогической направленности указанного курса. Особое внимание уделяется профессионализации обучения на практических занятиях по топологии. В статье приведены примеры задач, призванных оказать студентам педагогических вузов помощь в приобретении практических навыков, проиллюстрировать идеи и методы топологического исследования, обеспечить тем самым целостное усвоение всего материала.
Раздел «элементы топологии» играет весьма значительную роль для подготовки математиков вообще и учителей математики в частности. Вряд ли можно построить курсы математического анализа, дифференциальной геометрии, теории функций, отвечающие современному состоянию этих дисциплин, без привлечения топологических понятий. Кроме того, с ними постоянно приходится иметь дело в курсе элементарной геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело и его поверхность и т.п. Точное определение этим понятиям в школе, как правило, не дается, однако учитель должен иметь возможность обсудить их с учащимися старших классов на доступном уровне. Преподавать элементы топологии школьникам можно в рамках специального элективного курса, целесообразность проведения которого обусловлена следующими факторами: расширение кругозора учащихся; стимулирование интереса к математике в целом; повышение уровня строгости курса; развитие логического и абстрактного мышления; осуществление пропедевтики вузовского курса высшей математики. Необходимо также отметить большое прикладное значение топологических исследований, поэтому в процессе знакомства даже с простейшими топологическими структурами, учащиеся приходят к осознанию единой естественно-научной картины мира. Таким образом, топологию нужно изучать на различных уровнях математического образования:
- в школе на элективном курсе по наглядной топологии;
- в бакалавриате на различных спецкурсах;
- в магистратуре как базовый курс;
- в аспирантуре или на курсах повышения квалификации.
Нам представляется весьма актуальным, чтобы у школьников уже была сформирована база для топологического восприятия мира, а студенты - будущие учителя могли решать эту задачу. Основные направления для такой профессиональной ориентации вузовского курса топологии мы видим в явном выделении его методологической составляющей, в усилении внимания к различным приложениям топологии, а также в осуществлении пропедевтической линии, владение которой важно для учителя.
В итоге, цель курса топологии педагогического вуза состоит в освоении фундаментальных понятий и фактов соответствующего раздела геометрии, а также демонстрации их приложений к школьному курсу элементарной математики. Достижение этой цели предполагает решение следующих задач: сформировать систему базовых знаний по общей топологии; выработать навыки их практического применения в учебной или профессиональной деятельности; ознакомить с основными концепциями и направлениями развития современной геометрии; развить представления о топологической структуре окружающего мира.
Большим потенциалом для усиления для усиления профессионально-педагогической направленности обучения обладают практические занятия по топологии. Профессионализация обучения здесь может осуществляться через применение различных методов обучения; разбор примеров из школьных учебников по теме, связанной с текущим практическим занятием; моделирования ситуаций будущей профессиональной деятельности учителя.
На практические занятия по разделу «элементы топологии» традиционно выносятся следующие темы:
1. Метрические пространства.
2. Топологические пространства.
3. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
4. Отделимость, компактность и связность.
5. Топологические многообразия.
Остановимся на каждом из этих вопросов подробнее:
1. Студенты должны знать определение и примеры метрических пространств (числовое пространство Rn с естественной метрикой). Уметь доказывать, что пространство является метрическим, т.е. проверять выполнение аксиом метрического пространства в каждом конкретном случае.
Знать определение открытых подмножеств метрического пространства, уметь доказывать их свойства.
Знать определение и признак непрерывного отображения метрических пространств.
2. Знать определение и примеры топологических пространств (топология порожденная метрикой; дискретная и антидискретная топологии; примеры топологий на множестве из двух элементов).
Знать определения открытого и замкнутого множества; окрестности точки и множества; внутренней, внешней и граничной точек; внутренности, замыкания и границы множества. Уметь оперировать этими понятиями, строить соответствующие примеры, а также доказывать простейшие свойства типа:
дополнение замыкания множества совпадает с внутренностью дополнения этого множества;
замыкание множества есть объединение его внутренности с границей;
множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью;
множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу и т.п.
Знать определение подпространства топологического пространства. Уметь строить топологию, индуцированную на подмножестве из пространства.
3. Знать определение и признаки непрерывных отображений топологических пространств. Уметь проверять является ли данное отображение непрерывным или нет; доказывать непрерывность композиции непрерывных отображений и ограничения непрерывного отображения на подпространство.
Знать определение гомеоморфизма топологических пространств. Иметь представление о предмете топологии, как науки, изучающей свойства пространств, сохраняющиеся при гомеоморфизмах (или топологические инварианты).
4. Знать определение таких топологических инвариантов, как отделимость, компактность и связность. Уметь проверять их наличие или отсутствие для конкретных пространств.
5. Знать определение двумерного топологического многообразия и связанных с ним понятий: клеточного разложения, ориентируемости и эйлеровой характеристики.
Знать примеры многообразий (диск, сфера) и способ получения новых многообразий при помощи операции склеивания (лист Мебиуса, ручка, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость). Уметь определять ориентируемо или нет каждое из построенных многообразий и подсчитывать их эйлерову характеристику. Иметь представление о классификации многообразий.
Практические занятия по топологии строятся, в основном, на решении задач, тщательный подбор которых играет важнейшую роль, особенно на уровне первоначального знакомства с этой дисциплиной. Дело в том, что строгие определения многих топологических понятий весьма громоздки, а содержательные теоремы появляются только после большой предварительной работы. Поэтому при разработке курса «элементы топологии» постоянно приходится решать вопросы, касающиеся отбора материала, зачастую ограничиваясь минимально необходимыми сведениями. В частности, на практических занятиях можно использовать лишь несколько сравнительно простых примеров топологических пространств и с их помощью проиллюстрировать все изученные теоретические факты. В результате одни и те же пространства становятся объектами серий задач, примеры которых приведены ниже.
Задача 1. Множество X состоит из трех элементов:
. Под открытыми множествами будем понимать пустое множество, множество X и его подмножества
1. Доказать, что тем самым на множестве X задана топология ф.
2. Найти все замкнутые множества топологического пространства (X, ф)
3. Указать множества, которые являются одновременно открытыми и замкнутыми в X
4. Найти границу, внутреннюю и внешнюю части множества , а также замыкания множеств .
5. Является ли непрерывным отображение
6. Является ли пространство X отделимым или связным.
Решение. Оформим результаты выполнения операций объединения и пересечения элементов совокупности t в виде таблицы:
Таким образом, совокупность t замкнута относительно указанных операций, а значит, является топологией на множестве X.
Замкнутыми множествами являются пустое множество, само множество X, а также множества При этом множества O2 и O4 одновременно открыты и замкнуты.
Множество открыто, а всякая окрестность точки c имеет с ним непустое пересечение, поэтому:
Замыкание множества есть наименьшее содержащее его замкнутое множество. В ходе решения задания 2) мы нашли все замкнутые множества пространства X. Теперь можно сразу записать, что:
Отображение а) является непрерывным, поскольку прообразы открытых множеств, открыты в X. Аналогично доказывается, что отображение б) не является непрерывным.
Пространство X можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств, поэтому оно является несвязным. Далее, любая окрестность точки c содержит точку a, поэтому у этих точек не существует непересекающихся окрестностей и пространство X не является отделимым.
Задача 2. Дана евклидова плоскость E2, на которой выбрана прямоугольная декартова система координат. Подмножество плоскости назовем открытым, если оно является пустым или вместе с каждой своей точкой содержит открытый круг , которому принадлежит точка.
1. Доказать, что тем самым на плоскости задана топология (она называется концентрической)
2. Доказать, что концентрическая топология обладает счетной базой.
3. Выяснить, какие из множеств являются открытыми, какие замкнутыми, а какие ни открытыми, ни замкнутыми:
4. Найти , если множество:
5. Пусть на плоскости E2 даны три точки Найти все открытые множества пространства , топология которого индуцирована концентрической.
6. Выяснить, является ли непрерывным отображением: а) поворот вокруг начала координат; б) гомотетия с центром в начале координат; в) осевая симметрия, ось которой проходит через начало координат; г) параллельный перенос на ненулевой вектор.
7. Пусть на плоскости E2 даны два луча . Будет ли подпространство связным?
Решение. Из условия следует, что пустое множество и вся плоскость E2 являются открытыми множествами. Рассмотрим произвольную совокупность открытых множеств и точку . Тогда M0 принадлежит некоторому множеству из рассматриваемой совокупности. По определению открытого множества, найдется открытый круг со свойством: . Но , поэтому . Таким образом, множество O вместе со своей точкой M0 содержит открытый круг , т.е. является открытым. Возьмем любые два открытых множества O1 и O2. Рассмотрим точку . Так как множества O1 и O2 открыты, то каждое из них вместе с точкой M0 содержит открытый круг соответственно. Пусть . Тогда . Таким образом, множество открыто.
Ясно, что концентрическая топология обладает счетной базой, которая состоит из всех открытых кругов рационального радиуса r.
Задание 3) решим в случаях б) и г). Обозначим . Рассмотрим произвольно точку и содержащий ее открытый круг с центром в начале координат. Тогда , следовательно, . Для любого такого r0 множество не содержится во множествах . Таким образом, множество и его дополнение не открыто и не замкнуто. Ответы для остальных пунктов задания 3): множество а) открыто; множество д) замкнуто, а множество в) не открыто и не замкнуто.
Пусть . Ясно, что все точки открытого круга являются внешними точками множества A, так как в качестве их окрестности, содержащейся в , можно взять . Таким образом, . Рассмотрим произвольно точку и ее окрестность O. Найдется открытый круг со свойством . В этом случае , следовательно, , а значит . Окончательно имеем: . Ответы для остальных пунктов задания
Точки B и C находятся на одинаковом расстоянии, равном единице, от начала координат A. Поэтому любое открытое множество, содержащее точку B, содержит также точки A и C. Далее, открытый круг с центром в начале координат и радиусом, меньшем единицы, содержит точку A, но не содержит точек B и C. Таким образом, открытыми множествами пространства X являются .
При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k прообразом открытого круга радиуса r является открытый круг радиуса . Поэтому прообраз каждого открытого множества открыт и указанная гомотетия является непрерывным отображением. Ответы для остальных пунктов задания 6): отображения а), в) являются непрерывными; отображение г) не является непрерывным.
Ясно, что точки принадлежат всякому непустому открытому в L множеству, поскольку оно содержит пересечение множества L и открытого круга с центром в начале координат радиуса . Таким образом, любые два непустые открытые в L множества имеют непустое пересечение, поэтому пространство L связно.
Задача 3. Пусть X есть бесконечное множество. Его подмножество назовем открытым, если оно либо пустое, либо совпадает с X, либо его дополнение до X является конечным множеством.
1. Доказать, что тем самым на множестве X задана топология (она называется топологией Зарисского).
2. Доказать, что в случае несчетного множества X, топология Зариского не имеет счетной базы.
3. Для открытого в X множества A найти .
4. Доказать, что всякое непрерывное отображение пространства X на прямую E1 является постоянным.
5. Доказать, что пространство X является компактным, но не отделимым.
Решение. Возьмем любые два открытых множества O1 и O2. Если одно из этих множеств пустое, то их пересечение этих пусто. Пусть теперь данные множества непустые. Тогда множество либо конечно, либо пусто, если . В любом случае заключаем, что множество открыто в X. Рассмотрим произвольную совокупность открытых множеств. Без ограничения общности рассуждений, будем считать хоть одно из этих множеств непустым. Тогда множество конечно или пусто, а значит множество открыто.
Пусть множество X несчетно. Доказательство утверждения из задания 2) проведем методом от противного: предположим, что в есть счетная база в X. Выберем произвольно точку и определим множество . Если существует отличная от x точка , то для открытого множества найдется такое множество , что . Это значит, что все множество M, а стало быть и точка y содержатся в V, что противоречит построению этого множества. Таким образом доказано, что . Рассмотрим теперь дополнение и заметим, что в правой части этого равенства стоит счетное множество (как счетное объединение конечных множеств вида ), тогда как слева имеется несчетное множество .
В ходе решения задания 1), мы видели, что любые два непустые открытые в X множества имеют непустое пересечение. Учитывая это замечание и свойства указанных в задании 3) операций, получаем: .
Предположим, что найдутся две различные точки и обозначим . Тогда е - окрестности точек M и N не пересекаются, поэтому их прообразы при отображении f представляют собой непустые непересекающиеся открытые в X множества. С другой стороны, в пространстве с топологией Зариского любые два непустые открытые множества пересекаются. Таким образом, множество состоит из одной точки, а само отображение f является постоянным.
Рассмотрим произвольное открытое покрытие Щ пространства X и множество . Тогда множество является конечным: . Обозначим через Oi такой элемент покрытия Щ, что . Тогда есть конечное подпокрытие покрытия Щ.
Список литературы
топологический студент педагогический
1.Атанасян С. Л. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для студентов III - IV курсов физико-математических факультетов педагогических вузов. В 2 ч. Ч. 2. / С. Л. Атанасян, Н. В. Шевелева, В. Г. Покровский. - М.: ЭКСМО, 2008. - 320 с.
2.Атанасян С. Л. Геометрия 2: учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков. - М.: БИНОМ, 2015. - 544 с.
3.Глизбург В. И. Гуманитарный потенциал обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики: Монография / В.И. Глизбург. - М.: МГСУ, М.: МГПУ, 2009. - 335 с.
4.Ушаков А. В. Элементы топологии: методическое пособие для студентов 5 курса математического факультета / А.В. Ушаков. - М.: МГПУ, 2005. - 30 с.
5.Ушаков А. В. Элементы топологии и дифференциальной геометрии: учебное пособие / А. В. Ушаков. - М.: МГПУ, 2010. - 144 с.
6.Ушаков А. В. Из опыта проведения практических занятий по топологии со студентами педагогических вузов / А.В. Ушаков // Педагогические науки. - 2005. - № 5 (15). - С. 152-156.
7.Ушаков А. В. О роли примеров на лекциях по топологии в педагогическом вузе / А. В. Ушаков // Педагогические науки. - 2012. - № 3 (54). - С. 74-84.
8.Ушаков А. В. О роли примеров на лекциях по дифференциальной геометрии в педагогическом вузе / А. В. Ушаков // Педагогические науки. - 2014. - № 3 (66). - С. 31-34.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сущность и место правовых дисциплин в системе высшего образования, методические требования к содержанию практических занятий по правовым дисциплинам. Изучение методических аспектов разработки содержания практических занятий по правовым дисциплинам в вузе.
дипломная работа [206,6 K], добавлен 28.05.2019Анализ различных методик проведения занятий, способов и приемов обучения в ВУЗах. Роль и дидактические цели лабораторно-практических занятий в овладении студентами профессиональных знаний и навыков. Технология организации лабораторных практикумов.
реферат [42,2 K], добавлен 03.07.2009Цели практического занятия. Формы проведения практических занятий. Фронтальная, групповая, индивидуальная формы работы. Основные виды практических занятий в высшей школе. Обобщение и систематизация знаний. Лабораторные занятия инженерного профиля.
презентация [1,8 M], добавлен 22.01.2016Оптимальные методы формирования практических умений в профессиональном обучении дизайнера. Система практических занятий по проектированию, обеспечивающих формирование навыков студентов. Достоинства дизайнерского образования в зарубежных заведениях.
курсовая работа [5,5 M], добавлен 01.12.2015Характеристика основных форм и методов обучения. Педагогические основы практических занятий. Приемы активизации познавательной деятельности слушателей на практическом занятии. Испытание насоса на герметичность. Формирование профессиональных навыков.
курсовая работа [90,8 K], добавлен 23.02.2015Общая характеристика учебной деятельности в вузе. Основные особенности вузовского обучения. Роль практических занятий в выработке навыков применения полученных знаний. Психологическая структура учебной деятельности. Контролирование и оценивание знаний.
реферат [20,2 K], добавлен 08.02.2013Методика подготовки и проведения занятий по дисциплинам: криминалистика, уголовный процесс, гражданский процесс, арбитражный процесс. Отдельные положения, используемые при планировании содержания лекций о праве и проведении практических занятий.
реферат [27,3 K], добавлен 18.08.2011Основы формирования практических умений и навыков при обучении технологии. Методика формирования практических умений и навыков по деревообработке в условиях неполной комплектации мастерской оборудованием. Анализ результатов педагогического эксперимента.
дипломная работа [69,6 K], добавлен 22.06.2009Практическое занятие как элемент профессиональной подготовки слушателей учебных центров ФПС. Особенности проведения занятий на огневой полосе и в учебно-тренировочном комплексе. Методика проведения занятий в учебно-тренировочном комплексе ПТС "Лава".
курсовая работа [138,5 K], добавлен 23.02.2015Технология обучения химии. Особенности группового способа обучения и его преимущества. Семинар как форма учебного процесса, его структура и разновидности. Проведение практических занятий с помощью методики Ривина-Баженова. Организация лабораторных работ.
реферат [29,2 K], добавлен 22.12.2011Психологические особенности студенческого возраста. Анализ и выбор технологий, форм, методов и средств преподавания темы "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник", разработка планов-конспектов лекций и практических занятий по изучению темы.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 16.06.2011Развитие умений у учащихся во время лабораторных и практических работ на уроках биологии. Методика развития и формирования у учащихся практических умений по работе с микроскопом и приготовления временного микропрепарата в условиях обучающего эксперимента.
дипломная работа [440,2 K], добавлен 16.05.2017Теоретические основы обучения студентов методами лабораторно-практических работ по технологии. Этапы выполнения лабораторно-практических работ. Возрастные особенности студентов. Разработка плана-конспекта занятия по технологическому практикуму.
курсовая работа [65,7 K], добавлен 30.10.2008Проблема формирования навыков безопасного поведения на природе учащихся 6-х классов в процессе обучение курсу "Основы безопасности жизнедеятельности", характеристика практических методов и приемов. Методика оптимизации методики обучения учащихся.
курсовая работа [114,9 K], добавлен 03.05.2015Обзор основных видов организации обучения в профессиональных школах. Анализ особенностей аудиторной работы. Описания лабораторных, практических занятий и семинаров. Курсовое и дипломное проектирование. Место учебной практики в системе подготовки инженера.
реферат [16,6 K], добавлен 25.08.2013Освоение графических редакторов как проблема методики преподавания информатики в старших классах. Элективные курсы профильного обучения как форма организации учебной деятельности. Условия формирования практических навыков работы в графическом редакторе.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 20.02.2012Изучение темы "Электронные таблицы" в школьном курсе информатики. Обзор учебников и пособий, основные понятия и термины. Метод решения практических задач. Разработка технологических карт уроков на примере заданий к основному государственному экзамену.
курсовая работа [5,7 M], добавлен 09.04.2019Особенности составления плана-конспекта, заполнения журнала и проверки дневников. Планирование урока по времени. Анализ психолого-педагогической деятельности учителя технологии. Подбор основного материала и средств наглядности для проведения урока.
отчет по практике [106,2 K], добавлен 05.10.2012Психологический портрет учеников младшего школьного возраста. Исследование формирования практических умений и развитие памяти у детей. Понятие экскурсионного обслуживания. Составление программы тура для младших школьников: "Знакомство с Петербургом".
реферат [26,0 K], добавлен 11.11.2013Формы организации учебного процесса в ВУЗе. Методика проведения практического занятия "Расчёт показателей количественной оценки трудовых ресурсов и производительности труда". Проведение деловой игры "Книжная фабрика". Подсчёт производительности труда.
курсовая работа [39,3 K], добавлен 01.04.2015