Оптимізаційні задачі в структурі освітнього процесу закладів вищої освіти з фізичної культури та спорту

компетентність фахівець моделювання туристичний

Михаил Родионенко

Оптимизационные задачи в структуре образовательного процесса высших учебных заведений физической культуры и спорта

Ключевые слова: туризм, маршрут, построение, оптимизация, информационные технологии, задача, коммивояжер.

Byshevets Nataliya, Honcharova Nataliya, Yakovenko Olena, Rodionenko Mykhailo

The Research Relevance. It is proved that the implementation of professional activities by contemporary specialists at a high professional level in terms of advanced information environment provides free possession of information and communication technologies in solving professionally-oriented tasks. The scientific and pedagogical community is focused on the issue of forming information and technological competence of applicants of physical culture and sports higher education institutions. The Research Aims to develop methods of forming of information and technological competence of applicants of physical culture and sports higher educational institutions on the example of future tourism specialists in the process of modeling tourist flows. The Research Methods: study, analysis, and systematization of literary sources and generalization of advanced pedagogical experience have been conducted to outline the importance of forming in applicants of higher education abilities to apply information and communication technologies to solve practice-oriented tasks; methods of mathematical programming were used in the process of optimization tasks development. The Research Results. It is proposed to improve the content of professional training of higher education applicants by forming the competence to solve professionally-oriented tasks in the process of modelling tourist flows. The idea of the method is considered in the course of solving a classic problem of a salesman, which lies in finding a minimum length closed route, which connects all points of a tourist network. The Conclusions. The proposed approach is realized in the form of lectures and practical classes. The lecture covers the role and place of information and communication technologies in the service sector of consumers of tourist services, ways of their use to compile tourist routes, review of typical optimization tasks, formulation of a salesman's task and presentation of diverse methods of finding its solutions. The practical lesson offers the collective discussion of the walking route and identification of possible ways to move, the algorithm for solving the task with the help of the Solver Add-in in Excel, where the distance matrix is also built using a Google map and images of the found route.

Key words: tourism, route, construction, optimization, information technologies, task, salesman.

Невпинний розвиток технологій, засилля інформації, що постійно продукується й оновлюється, суспільне середовище, котре динамічно змінюється, - усе це породжує необхідність підготовки кадрів нової формації, здатних до миттєвої реакції на глобальні виклики сьогодення в умовах розвиненого інформаційного суспільства [12]. Відтак, з огляду на прискорений розвиток технологій та розширення інформаційних потоків, інформаційно-технологічну компетентність фахівців, незалежно від напряму підготовки, треба розглядати як основу їхньої професійної компетентності [10]. Тому до першочергових завдань закладів вищої освіти (ЗВО) з фізичної культури й спорту потрібно віднести підготовку висококваліфікованих фахівців, спроможних відстежувати інновації, творчо осмислювати передовий досвід і знаходити власні шляхи розв'язання проблем, які виникають у процесі професійної діяльності, використовуючи сукупність технічних пристроїв, а отже, таких, що вільно володіють навичками та вміннями застосовувати інформаційно-комунікаційні технології (ІКТ) для виконання практично орієнтованих завдань.

Вивчаючи проблему формування інформаційно-технологічної компетентності здобувачів закладів вищої освіти з фізичної культури й спорту на прикладі майбутніх фахівців туристичної індустрії, ми помітили, що наукова спільнота зосереджена на проблемі кадрового забезпечення туристичної галузі, досліджує теоретико-методологічні засади формування професійної компетентності майбутніх фахівців туристичної індустрії, переймається питаннями орієнтованості на практичну підготовку здобувачів вищої освіти з урахуванням кращих світових стандартів і запитів роботодавців [1]. Нині вчені досліджують напрями вдосконалення процесу підготовки майбутніх фахівців із туризму, котрі будуть супроводжувати туристів на маршрутах гірсько-пішохідного туризму [7], пропонують методи застосування ІКТ під час складання маршруту туристських мандрівок [2], намагаються віднайти способи інженерного обґрунтування й проектування нових туристичних маршрутів [11].

Цікавим професійно орієнтованим завданням, виконання якого спрямоване на формування професійної компетентності майбутніх фахівців із туризму розробляти маршрути й застосовувати здобуті знання в практичних ситуаціях, є задача комівояжера, сутність якої полягає в знаходженні шляху одноразового обходу всіх пунктів призначення мінімальної довжини з визначеного пункту та повернення до нього, якщо відомі відстані між ними, іншими словами - знаходження замкненого маршруту мінімальної довжини, що зв'язує всі пункти туристичної мережі [8].

Завдання комівояжера привертає багато уваги дослідників, оскільки до такого класу задач формально зводиться значна кількість прикладних завдань ефективної маршрутизації потоків, у тому числі сировини, інформації, енергоресурсів тощо [9; 17; 19].

Загальна задача комівояжера полягає в побудові в транспортній мережі найкоротшого замкненого маршруту без обмеження в однократному відвідуванні кожного пункту [ 9]. Однак зазвичай у туристів немає потреби багаторазово відвідувати той чи інший об'єкт, тому в практиці діяльності туристичних підприємств увагу привертає насамперед класична (гамільтонова) задача комівояжера.

Вивчаючи й узагальнюючи напрацювання фахівців із питань виконання завдання комівояжера, ми звернули увагу, що за збільшення чисельності об'єктів процес розв'язання задачі зростає, а якщо об'єктів понад 15 - то взагалі її можливо розв'язати лише наближеними методами [18]. Причому дотепер науковці намагаються знайти найбільш зручні способи її виконання й указують на складність пошуку оптимального її розв'язку [5]. Серед різноманіття методів знаходження розв'язку задачі комівояжера виокремлюють повний лексичний перебір, метод найближчого сусіда, метод гілок і меж, метод генетичних алгоритмів, алгоритм мурашиної колонії тощо [8]. Водночас фахівці пропонують розв'язувати задачу, використовуючи рекурентну нейронну мережу або хмарні технології Google Drive [4; 10; 13].

Потрібно звернути увагу, що формування професійної компетентності майбутніх фахівців із туризму до розробки маршрутів засобами ІКТ доцільно починати з практичних завдань із невеликою кількістю об'єктів, розв'язання яких засобами MS Excel детально представлено в літературі [15; 20]. Незважаючи на те, що завдання комівояжера стало звичайною вправою в освітніх програмах з інженерного програмування [16], вивчається майбутніми економістами й менеджерами та, попри окремі напрацювання [2; 7], її потенціал допоки не повною мірою використано для формування інформаційно-технологічної компетентності здобувачів ЗВО з фізичної культури й спорту, зокрема в процесі підготовки кадрів для туристичної галузі.

Отже, нині постала необхідність збагатити зміст підготовки майбутніх фахівців туристичної індустрії завданнями оптимізації й розробити методику формування в них інформаційно-технологічної компетентності в процесі розробки туристичних маршрутів на основі досягнень сучасної науки та техніки.

Мета дослідження - розробити методику формування інформаційно-технологічної компетентності здобувачів закладів вищої освіти з фізичної культури й спорту на прикладі майбутніх фахівців із туризму в процесі моделювання туристичних потоків.

Методи дослідження - вивчення, аналіз і систематизація літературних джерел та узагальнення передового педагогічного досвіду, що проводились із метою окреслення важливості формування в здобувачів вищої освіти вміння застосовувати інформаційно-комунікаційні технології для виконання практично орієнтованих завдань; методи математичного програмування застосовували в процесі розробки задач оптимізації.

Результати дослідження

Унаслідок дослідження розроблено методику формування інформаційно-технологічної компетентності здобувачів ЗВО з фізичної культури та спорту в процесі роз - в'язання професійно орієнтованих задач на прикладі формування в майбутніх фахівців із туризму здатності розробляти туристичні маршрути з використанням ІКТ. Із цією метою відібрано цикл завдань оптимізації, які можуть бути корисними для досягнення поставленої цілі.

Розкриємо сутність методики на прикладі задачі комівояжера.

Насамперед на лекційному занятті потрібно не лише якнайбільш широко висвітлити можливості ІКТ як потужного інструменту підвищення конкурентоспроможності туристичного підприємства й засобу спрощення розробки маршрутів і їх оптимізації, але й формувати мотивацію до застосування ІКТ під час виконання професійно орієнтованих завдань. Із цією метою доцільно використовувати наочні засоби навчання, зокрема інтерактивну дошку, що надає можливість продемонструвати процес конструювання маршруту, створює сприятливу атмосферу для діалогу, спонукаючи до обговорення об'єктів відвідування, і тим самим сприяє активізації пізнавальної активності слухачів.

На практичному занятті запропоновано безпосередньо перейти до виконання завдання. Зали - шаючи осторонь побудову математичної моделі задачі комівояжера, правила розбиття множини маршрутів, а також обґрунтування системи обмежень [20], ми зупинилися на відомому алгоритмі пошуку розв'язку класичної задачі комівояжера при невеликій кількості об'єктів відвідування засобами MS Excel [10].

Відомо, що ця задача має значну обчислювальну складність, яка, незважаючи на зростання потужності й продуктивності ІКТ, накладає обмеження на розмір вхідних даних [ 9]. Нині за допомогою стандартного програмного забезпечення, що застосовується в освітньому процесі, існує можливість знаходити замкнений контур для обходу між 10-12 пунктами, причому процес пошуку розв'язку триває до 15-20 хв [9]. Вочевидь, указаної кількості об'єктів цілком достатньо для задоволення потреби туристичних підприємств, тому в практику підготовки здобувачів ЗВО з фізичної культури та спорту, які навчаються за спеціальністю «Туризм», як завдання прикладного спряму - вання під час викладання дисципліни «Інформатика та інформаційні технології в фізичній культурі і спорті» доцільно включати задачу комівояжера розмірності, що допускає знаходження розв'язку засобами MS Excel. Крім того, на нашу думку, це завдання є корисним для бакалаврів спеціальності 017 «Фізичне виховання і спорт» та магістрів спеціальності 242 «Туризм», але воно повинно бути адаптоване до моделі професійної діяльності майбутнього фахівця з дотриманням основного алгоритму побудови туристичного маршруту.

Водночас цікавим виявився досвід застосування задач лінійного програмування під час розробки інтерактивного атласа Києва, який можна запозичити для практичного застосування в процесі підготовки майбутніх фахівців [8].

Зважаючи на те, що під час постановки завдання треба пропонувати не лише задачі професійного спрямування, але й такі, що можуть бути корисними в реальному житті, на практичному занятті запропоновано побудувати оптимізований маршрут пішохідної прогулянки, точкою початку якої є станція метро Театральна, а під час прогулянки планується відвідати сім пам'яток і повернутися назад.

На цьому етапі за картою Google визначаємо об'єкти, що розміщені в досяжній відстані від станції метро Театральна, й обираються ті пам'ятки, які бажано відвідати під час пішохідної прогулянки для подальшого їх унесення до маршруту. Потрібно звернути увагу, що, застосовуючи Google-карти, можемо не лише переглянути маршрут, але й визначити його довжину.

Практичне заняття складається з двох частин - колективного розв'язання задачі комівояжера з демонстрацією цього процесу викладачем за допомогою SMART-дошки та індивідуального завдання, аналогічного до попереднього.

Постановка задачі - розробити маршрут прогулянки містом, який починається й закінчується на станції метро Театральна та включає відвідування таких пам'яток, як Володимирський кафедральний собор, Золоті ворота, Пейзажна алея, пам'ятник Володимиру Великому, пам'ятник Богдану Хмельницькому, Михайлівський золотоверхий монастир й Андріївська церква таким чином, щоб план обходу був мінімальним, причому кожну пам'ятку відвідати один раз.

У нашому випадку після внесення пунктів відвідування з'ясувалося, що пішохідний маршрут, прокладений на Google-карти, становить 11 км. Причому запропонований шлях пересування відмічаємо на Google-Карті синім кольором.

Далі запропонуємо алгоритм розрахунку оптимального маршруту за допомогою надбудови «MS Excel Пошук рішення» та акцентуємо увагу на обмеженнях, відповідно до яких виконується умова зв'язності й умови щодо відвідування однієї пам'ятки лише один раз [5; 6; 15].

Алгоритм розв'язання

1. Проілюструвати всі можливі переміщення за списком локацій та довести до відома, що схематичне зображення всіх можливих маршрутів між об'єктами називається графом, де вершини - об'єкти відвідування, а ребра - відстані між ними.

Так, на рисунку (див. рис. 1 а) зображено можливий вибір початку обходу. Як бачимо, відповідно до запланованих для відвідування місць існує сім варіантів того, як розпочати прогулянку (рис. 1 б). Отже, для того щоб розв'язати задачу методом перебору, потрібно розглянути 7! (усього 5040) допустимих розв'язків. Тут наголосимо, що застосування ІКТ робить цю процедуру здійсненною. Сформувати матрицю відстаней у таблиці MS Excel.

Рис. 1. Схематичне зображення можливих маршрутів, де а - можливі варіанти початку прогулянки; б - усі можливі варіанти

2. Знайти відстані між об'єктами за допомогою Google-Карти й заповнити вихідні дані. Зауважимо, що скомпоновані в таблицю первинні дані, які містять інформацію щодо взаємного

розміщення зазначених об'єктів, називаються матрицею відстаней, а шуканий замкнений маршрут - гамільтоновим циклом [8].

3. Головну діагональ матриці заповнити довільними великими значеннями, наприклад 999, що забезпечує виключення з припустимого маршруту ділянок, які відповідають відсутнім ділянкам доріг між пам'ятками, а на перетині рядків і стовпців відповідна відстань, як-от відстань між метро Театральна й Володимирським кафедральним собором, при пересуванні пішки становить 0,9 км.

Зазначимо, що відстані зручно шукати послідовно та результати зразу вносити в таблицю, пам'ятаючи, що матриця відстаней є симетричною, тобто її елементи симетричні відносно головної діагоналі й кожен показник (визначена відстань) записується як у рядку, так і в стовпці (табл. 1).

Таблиця 1 Матриця (таблиця) відстаней між пам'ятками

4. Сформувати шукану матрицю обходу пам'яток (порожня таблиця, що містить назви рядків і стовпців).

5. У комірках «Виходять» та «Входять» розрахувати суми елементів за рядками й стовпцями.

6. Сформувати допоміжну матрицю обмежень та внести відповідні формули в комірки.

7. Внести формулу в комірку для цільової функції, яка містить сумарну довжину маршруту за допомогою вбудованої функції СУУПРОИЗВ (матриця відстаней; матриця обходу).

8. Застосувати надбудову «Пошук рішення», указуючи обмеження й зазначаючи такі параметри пошуку, як лінійна модель, невід'ємні значення.

Під час унесення обмежень звертаємо увагу на такі вимоги (рис. 2 б):

- булевий тип даних шуканої матриці обходу пам'яток, елементи якої х^ можуть приймати лише два значення:

- суми вхідних і вихідних діапазонів значень матриці обходу по рядках і стовпцях дорівнюють 1 (умова однократного відвідування кожної пам'ятки);

- обмеження, яке виключає можливість розпадання маршруту на підцикли, тобто забезпечує неможливість розриву контуру:

де п - кількість усіх пунктів перебування, уключаючи пункт виходу й повернення,

^2і, ^і - додаткові змінні, що дають підставу сформулювати умову зв'язності маршруту.

Унаслідок розрахунків отримаємо матрицю обходу, заповнену одиницями й нулями. При цьому на перетині рядка та стовпця отримаємо 1 у випадку, якщо треба рухатися з об'єкта і до у, а 0 - в іншому випадку.

Із рисунка (рис. 2 а) зрозуміло, що починати прогулянку варто, рухаючись від станції метро Театральна до Володимирського собору, потім - до Пейзажної алеї, далі - до пам'ятника Володимиру Великому, Андріївської церкви й т. д. (рис. 2 г).

Рис. 2. Результати розрахунків,

де а - план прогулянки; б - реалізація обмежень у надбудові «MS Excel Пошук рішення»; в - результатзнаходження довжини оптимального маршруту; г - замкнений контур мінімальної довжини

Потрібно наголосити, що в ході обчислення мінімальної довжини маршруту формується контур, який охоплює об'єкти відвідування проти годинникової стрілки. Зрозуміло, що на практиці ми так само можемо рухатися за годинниковою стрілкою й подолаємо при цьому маршрут установленої довжини.

Як бачимо, отриманий маршрут, представлений у комірці Цільова, - функція, що становить 8,25 км, що на 2,75 км менше, порівняно з маршрутом, визначеним за допомогою Google-карти.

Для закріплення знань корисно запропонувати виконати аналогічне завдання, наприклад додати до маршруту відвідування собору Святого Олександра й побачити, як зміниться план прогулянки. За результатами застосування Google-карти в цьому випадку пішохідний маршрут становитиме 11,2 км.

Після знаходження оптимального маршруту отримаємо план відвідування визначених пам'яток й установлюємо, що маршрут дорівнюватиме 8,4 км, тобто вже на 2,8 км менше, порівняно із запропонованим (рис.

Рис. 3. Схема маршруту пішохідної прогулянки з метою відвідування пам 'яток Києва, де а - маршрут 1; б - маршрут 2

Потрібно додати, що перша частина практичного завдання призначена для колективного розв'язання, а друга - для індивідуальної роботи під керівництвом викладача, у той час як для са - мостійного опрацювання студентам пропонується розбитися на групи, розробити власний маршрут і перевірити його тривалість, відвідуючи визначені пам 'ятки.

Дискусія. Перед ЗВО з фізичної культури й спорту постає завдання формування інформаційно - технологічної компетентності майбутніх фахівців. Так само підготовка кадрів із туризму, які можуть швидко реагувати на світові вимоги ринку праці, адаптуватися до змін у професійному середовищі [3], передбачає їх озброєння теоретичними знаннями та практичними навичками виконувати професійну діяльність на високому професійному рівні, використовуючи ІКТ.

Ураховуючи зростаючу значущість інформаційно-технологічної компетентності майбутніх фахівців із фізичної культури та спорту, що передбачає здатність застосовувати ІКТ під час роз - в'язання практично орієнтованих завдань і практичної значущості задачі комівояжера в роботі туристичних підприємств, ми запропонували поряд з іншими окремими задачами математичного програмування (задача про найкоротший шлях, задача про потік мінімальної вартості), застосовувати її в практиці підготовки майбутніх фахівців із туризму.

У ході дослідження нами запропоновано методику формування інформаційно-технологічної компетентності здобувачів закладів вищої освіти з фізичної культури та спорту на прикладі майбутніх фахівців із туризму в процесі моделювання туристичних потоків. Потрібно акцентувати на тому, що важливим аспектом запропонованої методики є зосередження на практичній стороні завдання, залишаючи поза увагою теоретичне обґрунтування пошуку розв'язку задачі. Тобто в процесі розв'язання задачі формули повідомляються без переобтяження навчального матеріалу відомостями з математичного програмування, закцентувавши увагу на булевому типі даних шуканої матриці, необхідності одноразового відвідування кожної пам'ятки й дотриманні умови зв'язності.

Також, на нашу думку, цікава ідея - це використання можливостей карти Google. Дійсно, досвід показав, що унаочнення процесу складання списку локацій значно активізує пізнавальну активність студентів, сприяє їх залученню до обговорення можливого маршруту, заохочує до подальшого вивчення запропонованої теми й застосування отриманих знань на практиці.

Звичайно, залежно від освітньо-кваліфікаційного рівня підготовки здобувачів завдання для практичних робіт потрібно модифікувати й ускладнювати. Так, для здобувачів, котрі навчаються за освітньо-кваліфікаційним рівнем «бакалавр» за напрямом підготовки «Туризм» доцільно пропонувати спрощені завдання з готовим набором вихідних даних. Водночас для магістрів, які навчаються за освітньо-професійною програмою «Туристично -екскурсійне обслуговування», треба використовувати Google-тренди для вибору об'єктів, які мають найбільшу туристичну привабливість, Google-карти для визначення матриці відстаней між об'єктами, пропонувати творчі завдання.

На нашу думку, ефективність процесу формування інформаційно-технологічної компетентності майбутніх фахівців із туризму вимагає дотримання таких умов: застосування інтерактивної дошки для колективного вибору об'єктів, запланованих для відвідування, нехтування математичними викла - деннями на користь практичного аспекта розв'язання задачі, наочне представлення маршруту, самостійне розв'язання здобувачами подібних задач із доданням одного чи кількох об'єктів до переліку локацій і порівняння результатів маршрутів пересування залежно від планів відвідування тих чи інших пам'яток, а також застосування отриманих знань під час розробки власного маршруту.

Потрібно звернути увагу, що додання одного об'єкта до маршруту, який знайдено під час колективного розв'язання задачі, та визначення того, як зміниться шлях пересування після цього, не лише сприяє закріпленню знань і формуванню навички пошуку розв'язку задачі комівояжера, але й стимулює майбутніх фахівців туристичної індустрії до подальшого творчого застосування знань у практичній діяльності.

Висновки

Сучасна система освіти орієнтована на компетентнісний підхід та передбачає підготовку здобувачів ЗВО з фізичної культури й спорту до продуктивної діяльності в умовах розвине - ного інформаційного суспільства, а отже, спрямована на формування в них здатності використовувати ІКТ для виконання завдань, що можуть виникати під час професійної діяльності.

Формування в майбутніх фахівців із туризму інформаційно-технологічної компетентності є важливим кроком для підвищення рівня підготовки кадрів для туристичної галузі.

У зміст підготовки майбутніх фахівців сфери туризму потрібно включити окремі задачі математичного програмування, зокрема задачу комівояжера, причому для практичних завдань корисно відбирати задачі з невеликою кількістю об'єктів.

Запропоновано методику формування інформаційно-технологічної компетентності здобувачів ЗВО з фізичної культури й спорту на прикладі формування в майбутніх фахівців із туризму здатності застосовування ІКТ під час моделювання туристичних маршрутів у ході розв'язання задачі комівояжера з допустимою чисельністю об'єктів, кількість яких дає змогу використовувати надбудову «Пошук рішень MS Excel».

Залежно від освітньо-кваліфікаційного рівня підготовки завдання доцільно модифікувати й ускладнювати, пропонуючи спрощені завдання з готовим набором вихідних даних для здобувачів, котрі навчаються за освітньо-кваліфікаційним рівнем «бакалавр» за напрямом підготовки «Туризм», або використовувати Google-тренди для вибору об'єктів, котрі мають найбільшу туристичну привабливість, і Google-карти для визначення матриці відстаней та розробляючи творчі завдання для магістрів, які навчаються за освітньо-професійною програмою «Туристично-екскурсійне обслуговування».

Подальше дослідження заплановано спрямувати на застосування оптимізаційних задач із метою забезпечення спадкоємності рівнів вищої освіти в процесі формування професійної компетентності майбутніх фахівців із фізичної культури та спорту.

Джерела та література

1. Аніщенко А.П., Зайцева М.М. Підготовка кадрів туристичної індустрії. Збірник наукових праць Хмельницького інституту соціальних технологій Університету «Україна». 2015. № 11. С. 39-43.

2. Блистів Т., Сергієнко К., Бишевець Н. Використання інформаційних технологій при складанні маршруту туристських мандрівок. Проблеми активізації рекреаційно-оздоровчої діяльності населення: матеріали VII Всеукр. наук.-практ конф. з міжнар. участю. Львів, 2010. С. 329-335.

3. Генкал С. Формування професійно-педагогічної компетентності майбутніх учителів біології. Педагогічні науки: теорія, історія, інноваційні технології. 2018. № 9 (83). С. 208-218. URL: http://dx.doi.org/ 10.24139/2312-5993/2018.09/208-218.

4. Данилевич С. Б. Решение оптимизационных задач средствами таблиц Google. Технологический аудит и резервы производства. 2015. № 6/6(26). С. 12-15. URL: http://dx.doi.org/10.15587/2312-8372.2015.55642

5. Данчук В. Д., Сватко В. В. Оптимізації пошуку шляхів по графу в динамічній задачі комівояжера методом модифікованого мурашиного алгоритму. System Research & Information Technologies. 2012. № 2. С. 78-86.

6. Додонов О. Г., Кузьмичов А. М. Оптимізаційні моделі еволюційного програмування в MS Excel: розв'язанні задачі комівояжера з обмеженнями alldifferent. Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2011. № 3 (13). С. 3-16.

7. Зігунова І. С. Сутність інноваційної системи професійної підготовки інструкторів гірсько-пішохідного туризму в університеті. Молодий вчений. 2018. № 4.2 (56.2). С. 122-125.

8. Іксанов О. М., Полоцький С. В., Голубцов О. Г. Застосування задач лінійного програмування при розробці інтерактивного атласу Києва. Фізична географія та геоморфологія. 2016. Вип. 4(84). С. 117-120.

9. Левченко А. Ю. Методи прискорювання обчислень в задачах оптимальної маршрутизації: дис... канд. техн. наук: 01.05.02/Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2013. 20 с.

10. Лодатко Є. Інформаційно-технологічна компетентність як основа підготовки майбутніх інженерів- педагогів до розвитку технічної творчості учнів. Молодь і ринок. 2015. № 7. С. 13-16.

11. Матвійчук Л. Ю., Лепкий М. І., Костенко С. А. Шляхи модернізації та вдосконалення туристичних маршрутів за допомогою новітніх технологій. Науковий вісник Мукачівського державного університету. Гуманітарні і суспільні науки. 2016. № 21(16). С. 69-76.

12. Муромець В. Г. Розвиток загальних компетентностей студентів магістратури як об'єкт наукових досліджень. Освітологічний дискурс. 2016. № 1 (13). С. 121-130.

13. Тарков М. С. Решение задачи коммивояжера с использованием рекуррентной нейронной сети. Сиб. журн. вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2015. № 3 (18). С. 337-347.

14. Тимофієва Н. К. Про деякі властивості множини розв'язків задачі комівояжера. Управляющие системы и машины. 2018. № 5. С. 3-12. URL: http://dx.doi.Org/https://doi.org/10.15407/usim.2018.05.003

15. Fylstra D., Lasdon L. Design and Use of the Microsoft Excel Solver. INTERFACES. 1998. Vol. 28, № 5. Р. 29-55.

16. Gayev Y., Kalmikov V. The travelling salesman problem in the engineering education programming curriculum. Proceedings of the National Aviation University. 2017. № 3(72). Р. 90-98.

17. Kabadi Santosh N. New polynomially solvable classes and a new henristic for the travelling salesman problem and its generalization. Discrete Appl. Math. 2002. № 1-2 (119). P. 149-167.

18. Oda Yoshiaki. An asymmetric analog of van der Veen conditions and the traveling salesman problem. II. Eur. J. Oper. Res. 2002. № 1 (138). С. 43-62.

19. Jonsson Hakan. The travelling salesman problem for lines in the plane. Inf. Process. Lett. 2002. № 3 (82). P. 137-142.

20. Pataki G. Teaching Integer Programming Formulations Using the Traveling Salesman Problem. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2003. № 1(45). Р. 116-123. URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/-viewdoc/ download? -doi=10.1.1.34.7256&rep=rep 1 &type=pdf