Использование информационных и коммуникационных технологий при изучении фрактальных множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Обучение элементам современной математики с помощью информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) имеет огромное значение для развития креативности студентов. Ярким примером может служить исследование фрактальных множеств на комплексной плоскости, которые находят применение в физике и других науках [1]. Фрактальные множества на комплексной плоскости были описаны в начале XX века французским математиком Гастоном Жюлиа. Он указал свойства исследуемых множеств, но построить их не смог в виду огромного числа итерационных процессов. В 1918 году Жюлиа получил премию Французской Академии за проведенные им исследования. Однако было отмечено, что труд Жюлиа написан на высоком уровне, но в нем невозможно обнаружить какие-то изображения. Как указывает А. Д. Морозов [2]: «Работа Жюлиа игнорировалась в течение полувека, однако теперь она оказалась в центре внимания. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено во времена Жюлиа. «Визуальные результаты превзошли все ожидания». Следует отметить, что независимо от Жюлиа основополагающие статьи в данном исследовании были написаны и Пьером Фату.

Мандельброт впервые построил фрактальное множество на мониторе компьютера, тесно связанное с множествами Жюлиа и Фату. Позднее это множество было названо Дауди множеством Мандельброта. В 70-х годах XX века Мандельброт ввел понятие фрактал, объединив тем самым все множества в одну математическую структуру по важнейшему характеристическому свойству - дробной размерности Хаусдорфа - Безиковича, которая строго больше топологической размерности. В отличие от отрезков, квадратов, кругов и других, хорошо нам известных еще с средней школы фигур, фрактальные множества имеют «изрезанную» границу, что делает невозможным их построение мелом на доске или карандашом на листе бумаги. В настоящее время фрактальная геометрия является бурно развивающимся направлением современной математики. Обучение данному предмету без использования ИКТ практически невозможно. Именно преподавание фрактальной геометрии опровергает мнение некоторых преподавателей математики, что использование компьютера при обучении математике мало эффективно и носит второстепенную вспомогательную роль.

Покажем, как ИКТ позволяют строить и создавать художественные композиции с помощью множеств Жюлиа. Важно отметить, что данные множества уже нашли применение в физике.

Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного , обозначаемое , определяется как , где граница области притяжения бесконечности, а .

Рассмотрим квадратичную функцию комплексного переменного , где - произвольный параметр.

Точки, которые являются пределами последовательностей (в зависимости от выбора параметра функции ), называют аттракторами. Исходя из определения, граница, которая разделяет точки притяжения аттрактора , называется множеством Жюлиа. Эта граница имеет, как правило, дробную фрактальную размерность. Интересный тип множеств представляют заполняющие множества Жюлиа. Эти множества особенно привлекательны и красивы. Заполняющее множество Жюлиа состоит из точек орбиты которых ограничены, в отличие от границы этого множества, являющейся настоящим множеством Жюлиа. Дополнение к заполняющему множеству Жюлиа мы будем называть заполняющим множеством Фату. Исследование математических свойств множеств Жюлиа упрощается после их построения. Однако построить данные множества на доске, как скажем куб или цилиндр, невозможно, ибо нужно произвести огромное число итераций, что доступно только компьютеру.

Построение заполняющего множества Жюлиа с помощью компьютерной программы базируется на следующей теореме теории функций комплексного переменного.

Теорема. Предположим, что Пусть и пусть для Если существует такое что то имеет место , то есть орбита стремится к бесконечности и z не принадлежит как множеству Жюлиа , так и заполняющему множеству Жюлиа.

Следует отметить, что заполняющие множества Жюлиа для функции обладают большим разнообразием в зависимости от выбора параметра . При одних значениях множества Жюлиа связны (граница заполняющего множества Жюлиа рис 1.); при других - множества Жюлиа рассыпаются в «пыль» (рис. 2, 3). Определить вид множества Жюлиа позволяет множество Мандельброта (рис. 4). Множество Мандельброта состоит из большой кардиоиды (главной) и бесконечного числа ее ответвлений-почек. Будем обозначать множество Мандельброта буквой По определению - множество всех точек , для которых орбита точки ограничена. То есть множество ограничено на комплексной плоскости.

f(z)=z²+0,4+0,2i

Рис. 1 f(z) = z²+ i

· обуславливает актуализацию знаний студентов и обеспечивает включение их в самостоятельный поиск алгоритмов, нацеленных на решение нестандартных задач;

· способствует интеграции модальностей восприятия студентов;

· способствует формированию эстетических и нравственных качеств студентов;

· создает благоприятные условия для развития креативности студентов посредством формирования системы креативных качеств, адекватных специальным видам творческой деятельности (математической, информационной, художественной);

· способствует формированию толерантности к инновационной деятельности студентов.

В качестве примера построим в среде Mathcad множество Жюлиа. Опишем шаги построения множеств Жюлиа:

1) (задаются числа +1 и -1);

2) (указывается функция, с помощью которой организуется процесс итерирования);

3) . (вычисление отталкивающей периодической точки; см. [5]);

4) ,

, где принимает значения +1 или -1 (задаются количество итераций и цикл; в зависимости от значения функции перед корнем берется знак + или - ;

5) (задается диапазон изменения переменных).

Как уже отмечалось, с множествами Жюлиа тесно связано множество Мандельброта (рис. 4).

Строится множество Мандельброта поэтапно: сначала определяются размеры области построения, затем осуществляется проверка на принадлежность точки с множеству Мандельброта и, наконец, осуществляется построение множества Мандельброта (см., например, [3] или [5]).

С=0,531+0,202i

Рис. 3

Рис. 4

Строится множество Мандельброта поэтапно: сначала определяются размеры области построения, затем осуществляется проверка на принадлежность точки с множеству Мандельброта и, наконец, осуществляется построение множества Мандельброта (см., например, [3] или [5]).

Множества Жюлиа и множество Мандельброта являются красивыми математическими объектами. Укажем краткое описание создания художественных композиций, с помощью заполняющих множеств Жюлиа и множества Мандельброта. Первая композиция «Дракон» (рис. 5) получена наложением двух множеств: классического фрактала "Снежинка Коха" и заполняющегося множества Жюлиа, полученного при итерировании функции . Построение композиции происходит с помощью среды программирования Delphi и растрового редактора Adobe Photoshop (см. [3]) в несколько этапов:

в среде Delphi строятся с помощью соответствующих программ каждый из вышеуказанных фракталов (снежинка Коха и множество Жюлиа);

с помощью Adobe Photoshop данные фракталы налагаются друг на друга (работу с Adobe Photoshop можно найти в справочной литературе).

Вторая композиция «Спрут» рис. 6 получена также с помощью Delphi и Adobe Photoshop по следующей схеме:

Рис. 5. Дракон

Рис. 6. Спрут

1. повторяет построение первого пункта в предыдущем примере;

2. заполняющее множество Жюлиа, полученное при итерировании функции , поворачивается на ;

3. полученные три фрактала с помощью Adobe Photoshop налагаются друг на друга (рис. 6).

Рис. 7. Божьи коровки

фрактальный геометрия информационный студент

Использование ИКТ при построении указанных множеств дает возможность визуализировать математические объекты, которые в большинстве случаев невозможно построить без компьютерных средств. Укажем краткий алгоритм создания с помощью Adobe Photoshop композиции «Божьи коровки» (рис. 7) и «Фрактальный туз» (рис. 8).

Для построения композиции «Божьи коровки» строим множество Мандельброта и «Снежинку Коха» (см., например [4]); используя богатый инструментарий графического редактора Adobe Photoshop, получаем искомую композицию.

При создании композиции «Фрактальный туз» также используется множество Мандельброта и графический редактор Adobe Photoshop.

Литература

Пайтген Х.О. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем / Х.О. Пайтген, П.Х. Рихтер. пер. с англ. под ред. А.Н. Шарковского. - М.: Мир, 1993.

Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск, 2002.

Секованов В.С., Зобов А.Ю. Развитие креативности студента при изучении множеств Жюлиа и множества Мандельброта с помощью компьютерных средств.// Вест. КГУ им. Н.А. Некрасова, № 5. 2004.

Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. Кострома: изд-во КГУ им. Н.А. Некрасова. 2006.

Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2006.

Размещено на Allbest.ru