Содержание логико-понятийной компетенции общего математического образования (методико-математические основы)

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание логико-понятийной компетенции общего математического образования (методико-математические основы)

В.И. Горбачев

Аннотация. В содержании общего математического образования логические, психолого-дидактические закономерности системно-понятийного представления учебной предметной теории составляют общепредметные основы логико-понятийной компетенции. Наряду с общепредметными, в содержании логико-понятийной компетенции выделены и методико-математические основы ее становления. В предметно-математическом плане в качестве базовой представлена методико-математическая адаптация психолого-дидактических закономерностей становления системы субъектного предметного знания. Ее дополняют специфические методико-математические закономерности становления абстрактного математического мышления и его компонентов; структурного формирования пространственного и теоретико-пространственного типов мышления; анализа системы математического знания в содержании учебной математической теории; интеграции математического языка, математической речи и математического мышления; понятийно-категориальной интеграции учебных математических теорий.

Ключевые слова: методика обучения математике, компетентностный подход в общем образовании, предметные компетенции учебной математической деятельности, содержание логико-понятийной компетенции, методико-математические основы.

CONTENTS OF THE LOGICAL-CONCEPTUAL COMPETENCE OF GENERAL MATHEMATICAL EDUCATION (methodological and mathematical basis). I. Gorbachev.

Abstract. In the content of general mathematical education, the logical, psychological-didactic laws of the system-conceptual representation of the educational subject theory constitute the general subjective bases of the logical-conceptual competence. Along with the general subject, in the content of the logical-conceptual competence, the methodological and mathematical foundations of its formation are also singled out. In object-mathematical terms, the methodological-mathematical adaptation of the psychological-didactic regularities of the formation of the system of subject-based knowledge is presented as a basic method. It is supplemented by specific methodological and mathematical patterns: the formation of abstract mathematical thinking and its components; structural formation of spatial and theoretical-spatial types of thinking; analysis of the system of mathematical knowledge in the content of the educational mathematical theory; integration of mathematical language, mathematical speech and mathematical thinking; conceptual-categorial integration of educational mathematical theories.

Keywords: methodology of teaching mathematics, competence approach in general education, subject competencies of educational mathematics, content of logical-conceptual competence, methodological and mathematical foundations.

Фундаментальные в общем образовании закономерности предметной адаптации логического метода познания, системно-понятийного представления учебных теорий в содержании категорий общей культуры и субъектного мировоззрения, развития субъекта в системе концептуальных положений деятельностной теории учения внешне характеризуют логико-понятийную компетенцию в качестве общепредметной [1, с. 24], реализуют в учебном предмете «Математика» дидактические цели. Однако не предметная реализация дидактических целей системно-понятийного представления учебных теорий определяет содержательную сущность логико-понятийной компетенции.

Во-первых, сугубо абстрактный идеализированный характер объектов математических пространств, логико-содержательные средства установления закономерностей, не затушеванных физическим содержанием учебных математических теорий, содержательная очерченность процесса их логического построения позволяют утверждать, что потенциально дидактические закономерности логико-понятийной компетенции первично формируются в учебной математической деятельности, вне опоры на иную учебно-предметную деятельность (Н. Х. Розов [2]).

Во-вторых, логические, дидактические закономерности становления логико-понятийной компетенции проявляются в содержательной учебно-математической форме и «действуют» не изолированно от предметно-математических закономерностей, а в системном единстве с ними. Значит, учебная математическая деятельность выступает и средой развертывания логических, психолого-дидактических основ, и источником специфически предметных (математических) закономерностей становления системы предметного знания.

Следует отметить, что научная математическая деятельность в историческом плане развивалась в единстве с исследованием логических средств анализа, построения математического знания, аккумулируя богатый интеллектуальный, логико-символический потенциал в содержании учебных математических теорий. Именно в развитой форме содержания учебной математической теории следует выделять математические закономерности логико-понятийной компетенции, логические средства анализа математических предложений, выводов, на их основе - фиксировать, проектировать методико-математические основы формирования.

Методологически важным является акцентирование внимания Г. В. Дорофеевым на следующих предметно-математических задачах становления логико-понятийной компетенции в содержании учебных математических теорий:

• формирование и развитие абстрактного математического мышления, прежде всего его дедуктивной составляющей как специфической для математики;

• формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному человеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности, формирования эвристического и алгоритмического мышления;

• формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей;

• ознакомление с природой научного знания, с принципами построения научных теорий в единстве и противоположности математических и естественных наук [3, с. 3].

Не менее значимыми в плане формирования логико-понятийной компетенции выступают взгляды А. Д. Александрова о взаимной связи образного и логического мышления, И. С. Якиманской о механизме развития пространственного мышления в геометрическом пространстве, А. Н. Колмогорова о важности функционирования правильной математической речи. Вместе с тем нужно согласиться со следующим высказыванием Н. Х. Розова: «Конечно же, школьная математика в определенной степени действительно вносит свой вклад в развитие у учащихся умения рассуждать, делать правильные выводы, обосновывать утверждения. Ведь она неотделима от логических математических построений, подспудно опирается на "общелогические" законы. Но с сожалением заметим: это специально никогда явно не акцентируется, не объясняется и не рассказывается - ни на уроках, ни в учебниках» [2, с. 144].

Методико-математические основы логико-понятийной компетенции.

Методико-математическая адаптация психолого-дидактических закономерностей становления системы субъектного предметного знания. В дидактическом плане учебная математическая деятельность выступает разновидностью учебной предметной деятельности, реализует в специфических формах (абстрактной, идеализированной, знаковой) и методах (логико-понятийном, логико-процессуальном, теоретико-модельном) общелогические, психолого-дидактические закономерности становления системы субъектного предметного знания:

• в овладении субъектом интеллектуальным опытом абстрактной, логико-содержательной математической деятельности человечества в содержании системы математического знания и его теоретического обоснования достигаются задачи усвоения определенного уровня образованности, становления учебной методологии, математико-мировоззренческих представлений, составляющих значимый пласт культуры личности, деятельности, социального взаимодействия;

• в понятийно-категориальном обогащении математического знания, в углублении абстрактно-алгоритмических представлений конкретного математического пространства абстрактно-дедуктивным исследованием его свойств в соответствующей теории, в категориально выраженной интеграции теорий формируется учебная математическая картина мира - базовый компонент субъектного мировоззрения;

• в пространственно-теоретическом подходе, выступающем методологией субъектного присвоения учебной математической теории, в специфической для каждой из учебных теорий форме конкретизируются объективные закономерности деятельностной теории учения, осуществляется формирующее теоретический тип мышления восхождение от абстрактного к конкретному, обеспечивается общепредметный подход в становлении субъектного развития.

В значительной степени за пределами частно-предметной дидактики находятся важные в истории отечественного общего математического образования концепции классических учебников А. Н. Колмогорова, А. Д. Александрова, А. Г. Мордковича, направленные на трансляцию интеллектуального потенциала выработанных в историко-математической практике научных математических теорий. Раскрытие развивающего потенциала учебных математических теорий, выраженного в методических понятиях «математический язык», «математическая речь», «абстрактное математическое мышление», «логико-математическая культура», категориях «конечное - бесконечное», «дискретное - непрерывное», «аксиома - теорема», «теория - модель», «пространство - теория» классической математики, составляет содержание проектируемой методикой обучения математике учебной математической деятельности.

Методическая закономерность формирования абстрактного математического мышления в пространственно-теоретическом подходе. Абстрагирование и идеализация (точнее, построение во внутреннем плане идеальных образных, понятийных конструкций), выступающие средством создания математических объектов во внутреннем плане субъекта, в своем единстве характеризуют математический метод отражения явлений, свойств материального мира для цели его исследования. Многоплановая по своему содержанию (создание абстрактных объектов и пространства в целом, теоретическое исследование их свойств), спектру отражаемых свойств и отношений реального мира (числовые, порядковые, пространственные, функциональные, предикатные, равновесия и сравнения, вероятностные) деятельность абстрагирования и идеализации имеет фундаментальный целевой характер. На этапе математического отражения различных отношений, свойств реального мира его результатом выступают адекватные процессу отражения типы содержательных абстрактных объектов со специфическими способами образного и понятийного представления, оперирования, системами свойств. Включенность мышления в процесс математического абстрагирования приводит к развертыванию математических абстракций средствами идеального конструирования, выделения способов сравнения, оперирования, соответствия, создания интегрального представления - пространства абстрактных математических объектов, характеризующего соответствующий способ отражения. В деятельности математического отражения, идеального конструирования создаются соответствующие различные математические пространства: числовое, геометрическое, векторное, функциональное, предикатное, вероятностное.

Задача исследования свойств каждого из математических пространств, недостаточность для ее решения содержательных образов пространственных объектов обосновывают необходимость построения дедуктивной теории пространства - с новым, понятийным уровнем абстрагирования и конструирования объектов, формализацией свойств понятий, логико-математическим методом их доказательства.

В последовательности этапов абстрагирования, конструирования, теоретического исследования в каждом математическом пространстве формируется адекватное пространственное мышление, в интеграции пространств и теорий создается характеризующее учебную деятельность абстрактное математическое мышление.

Методическая закономерность структурного представления, формирования пространственного и теоретико-пространственного типов мышления. В направленном на формирование абстрактного математического мышления пространственно-теоретическом подходе учебная математическая деятельность формируется вначале как деятельность представливания и затем как теоретико-пространственная - в общей закономерности для каждого из математических пространств (числового, геометрического, векторного, функционального, предикатного, вероятностного). В деятельности представливания осуществляются представление конкретного пространства математических объектов в целом, классов объектов в их взаимосвязи, классификация объектов и их свойств, формируется пространственное воображение в условиях преобразований, комбинирования объектов. В теоретико-пространственной деятельности реализуется системное представление теории, осуществляется выявление фундаментальных связей, закономерностей математического пространства, обоснование установленных и открываемых в исследовании свойств, становление теоретико-модельных и теоретико-прикладных представлений.

Деятельности представливания в каждом из математических пространств соответствует формирующийся в ней пространственно-числовой, пространственно геометрический, пространственно-функциональный, пространственно-векторный, пространственно-предикатный, пространственно-стохастический типы мышления. В теоретико-пространственной деятельности осуществляется становление теоретико-числового, теоретико-геометрического, теоретико-функционального, теоретиковекторного, теоретико-предикатного, теоретико-стохастического типов мышления.

Анализ деятельности представливания в каждом из математических пространств позволяет в структуре пространственного (пространственно-числового, пространственно-геометрического и т. д.) мышления выделить отдельные, имеющие в учебной математической деятельности фундаментальный характер виды (уровни) - абстрактно-алгоритмическое мышление и системно-структурное мышление. Абстрактно-алгоритмическое мышление - результат субъектного восприятия идеализированных объектов и их конструкций во взаимосвязи реального и математического пространств, создания содержательных образов объектов, классов объектов в интуитивной, аналитической, знаковой формах, становления процедур оперирования образами, выявления свойств образов, отношений, операций. Системно-структурное мышление соответствует содержательному понятийному представлению математического пространства, анализу его фундаментальных свойств, систематизации и субъектной ориентации в классах объектов, операциях и отношениях пространства, создания новых классов объектов и их пространственных образов, выделения базовых классов задач для установления обобщенных способов деятельности.

В имеющей логико-понятийный характер теоретико-пространственной деятельности соответствующий теоретико-пространственный тип мышления структурируется составляющими его абстрактно-дедуктивным, аналитико-синтетическим, методологическим видами мышления. Абстрактно-дедуктивное мышление формируется в содержании задачи построения теории для исследования закономерностей математического пространства в дедуктивном подходе - в системе первичных и определяемых понятий, доказуемых логико-содержательными средствами суждений о понятийных свойствах и закономерностях пространства. Аналитико-синтетическое мышление соответствует деятельности определения, систематизации понятий теории, представления теории в системе теорем и их логического анализа, выделения базовых и пространственно-специфических методов доказательства теорем, структурирования теории в классах задач с адекватными обобщенными способами решения. Методологическое мышление выступает результатом поэтапного анализа взаимных связей реального пространства и математического пространства с соответствующим типом отражения и абстрагирования, классов объектов пространства и абстрактных понятий теории, системного представления теории во взаимосвязи определений, теорем, методов доказательства, обобщенных способов исследования классов задач.

В пространственно-теоретическом, видовом структурировании мышления, в конкретном для математической теории содержании учебной математической деятельности, соответствующей определенному виду мышления, проявляется общая для теорий методология формирования абстрактного математического мышления.

Методическая закономерность логико-математического представления, субъектного анализа системы математического знания в содержании учебной математической теории. Логическими категориями представления системы математического знания на уровне теории выступают: определение как логическое средство точного описания понятия учебной математической теории; теорема как форма фиксации определенной понятийной закономерности теории; доказательство как объективная процедура установления закономерности теории; теория как объективная форма выделения, систематизации математического знания.

Определения, теоремы, помимо выделенного предметного содержания, характеризуются задающей этап развития теории логической структурой (логико-символической формой представления) - содержательно закамуфлированной и, вне направленного логического анализа, недоступной сознанию субъекта. Доказательства также внешне представлены субъекту образным и предметным содержанием последовательности предложений, однако процесс выстраивания предложений (содержательно истинных в математическом пространстве) задается фундаментальными логическими средствами - формализованными правилами логического вывода, также отсутствующими в субъектном опыте. Естественная для математической теории логико-математическая формализация математических предложений (определений, теорем), последовательности их выстраивания в логических рассуждениях (доказательствах) и составляют сущность аналитико-синтетического мышления. На закономерность опосредования аналитико-синтетического мышления адекватными видами логико-математической деятельности указывает Т. А. Иванова: «Понимание школьником математического содержания невозможно без осознания им логических конструкций определения математических понятий, формулировок теорем, методов доказательства, построения силлогизмов» [4, с. 56]. Попытки формирования аналитико-синтетического мышления в спектрах определений, теорем, доказательств вне соответствующего аппарата логико-математических средств анализа не выводили субъекта за пределы содержательного пространственного мышления.

Абстрактно-дедуктивное мышление, выступающее исключительно математическим в системе предметного знания, соответствует построению, анализу математической теории в дедуктивном подходе:

• в содержании аксиоматического метода в базовых теориях числового, геометрического, векторного пространств;

• в опосредованном исследовании производных теорий функционального, предикатного, вероятностного пространств на основе закономерностей базовых теорий;

• в условиях «сознательного ограничения» предметного содержания в предложениях теории (первичные термины, определения, аксиомы, теоремы) с опорой на логические средства, формализацию в построении теории;

• с выделением понятия «метод доказательства», обобщающего содержательный смысл процедуры доказательства в конкретной математической теории.

Логико-математическая деятельность понятийно-категориального структурирования теории, систематизации методов доказательства и обобщенных способов исследования в классах задач, системно-структурного анализа учебной теории в схемах «математическое пространство - математическая теория», «базовая математическая теория - производная математическая теория», «математическая теория - модель математической теории» позволяет обеспечить становление методологического мышления.

В анализе взаимной связи теоретико-пространственного мышления и соответствующей логико-математической деятельности (анализ определений, теорем, доказательств, логическое структурирование теории) фактически подтверждается отмеченная Г. В. Дорофеевым закономерность: «Необходимой компонентой абстрактного мышления является логическое мышление - как дедуктивное, в том числе аксиоматическое, так и продуктивное - эвристическое и алгоритмическое» [5, с. 60].

Методическая закономерность становления алгоритмической, эвристической, творческой форм деятельности, мышления в системе математического знания. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования в предметной области «Математика и информатика» в качестве одной из ведущих выделяет цель сформированности основ логического, алгоритмического и математического мышления, интегрируемых в содержании абстрактного математического мышления, однако в системе целостного предметного знания представленных и формируемых в качестве самостоятельных типов.

В деятельности представливания базовыми видами алгоритмической деятельности выступают:

• оперирование математическими объектами (числами, векторами, геометрическими фигурами, функциями, уравнениями) в интуитивной, образной, понятийной формах в представлении конкретных математических пространств;

• установление свойств, связей математических объектов на базе свойств математического пространства, обеспечивающих субъектную ориентацию в пространстве;

• классификация, систематизация объектов, отношений в процессе целостного представления математического пространства;

• выделение обобщенных способов исследования в классах задач математических пространств, создания новых классов объектов и выявления их свойств.

В образном, понятийном и знаковом представлении теории математического пространства алгоритмическая деятельность структурируется процедурами определения понятий, доказательства свойств понятий и адекватных им классов математических объектов, выделения и обоснования обобщенных способов деятельности в классах задач теории, субъектного становления методов доказательства.

Внутренней математической закономерностью субъектной алгоритмической деятельности является ее формирование в сочетании обобщения и конкретизации: расширение алгоритмической деятельности в переходе от объекта пространства к классу объектов позволяет выделить обобщенную алгоритмическую схему деятельности, ее конкретизация в исследовании новых объектов позволяет уточнить как спектр особенностей составляющих способ действий, так и сферу приложения схемы.

Алгоритмичность мышления в учебной математической деятельности, в целостной системе предметного знания в качестве своего продолжения имеет такое качество субъектной деятельности, как включение в эвристическую деятельность, сознательное использование эвристических действий, расширяющих адекватный деятельности класс задач. Разложение многочлена с действительными коэффициентами в произведение линейных и квадратных сомножителей - пример эвристического действия расширения алгоритмической схемы решения уравнений первой и второй степеней на класс всех целых рациональных уравнений. Равносильный переход от иррационального уравнения стандартного вида к системе рациональных уравнения и неравенства - эвристическое действие, которое обобщенный способ решения в классе рациональных уравнений расширяет до обобщенной схемы исследования в классе иррациональных уравнений. Действие мысленного переноса геометрической фигуры из геометрического пространства в абстракцию трехмерного евклидова пространства позволяет расширить аналитико-синтетический метод исследования свойств геометрической фигуры векторным методом.

Рефлексия класса задач учебной математической теории и соответствующей ему обобщенной алгоритмической схемы, расширение алгоритмической схемы и класса задач в спектре осознаваемых эвристических действий позволяет составить целостную структуру учебной деятельности в каждом из математических пространств. Действие применения свойств одной математической теории (монотонности элементарной функции) для изучения объектов математического пространства другой теории (уравнений с обратными тригонометрическими функциями) позволяет создавать обобщенные алгоритмические схемы интегрированного плана, структурирующие целостную математическую деятельность.

Сложившаяся система заданий учебной математической деятельности конкурсного, олимпиадного типа насыщена разнообразными сочетаниями алгоритмических схем и расширяющих их эвристических действий. Методическая рефлексия учебной математической деятельности принципиально позволяет ее выстраивать в направленном сочетании алгоритмических действий, их теоретического обоснования и расширения в системе эвристик, однако как в конкретной учебной теории, так и в их интеграции создание методической системы формирования алгоритмически-эвристической деятельности остается открытой проблемой.

Методическая закономерность интеграции математического языка, математической речи, математического мышления. Схема поэтапного формирования, по П. Я. Гальперину, выступает общей методологией становления учебного предметного мышления из направленно проектируемой внешней предметной речи субъекта.

Абстрактное математическое мышление, как одна из разновидностей предметного мышления, несомненно, наследует дидактическую закономерность поэтапного формирования понятий (Н. Ф. Талызина), обобщенных способов деятельности (В. В. Давыдов), способностей (В. Д. Шадриков), опосредовано схемой «материализованные действия в интеграции с речевыми - обобщенные внешнеречевые действия - обобщенные сокращенные речевые действия - рефлексируемые действия в умственной форме».

Центральная роль в углубляющейся до уровня мышления учебной математической деятельности отводится математической речи - «последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению» (А. Н. Колмогоров).

Объективно, учебная математическая речь - вид субъектной учебной речи, отражающей процесс социализации личности, базовое средство познавательной деятельности, диагностируемый индикатор развития мышления субъекта. Вместе с тем учебная математическая речь - специфический вид учебной предметной речи:

• создается на базе образных содержательных средств в представлении математических пространств, обогащается логико-понятийными формами в построении теории, далее расширяется знаково-символическими средствами теоретического обоснования, исследования, приложения теории;

• развивается согласно этапам абстрактной субъектной деятельности отражения отношений реального мира, идеального конструирования соответствующих математических объектов, создания представлений каждого из математических пространств, разработки дедуктивной теории пространства, исследования закономерностей пространства в содержании теории;

• характеризуется интегральным математическим языком, структурируемым из языка математического пространства, языка математической теории, имеющих специфическую форму для каждого из пространств, а также общего в учебной математической деятельности языка математической логики в его содержательной форме;

• формируется в процессе субъектного управления исполнительскими, обосновывающими, сокращаемыми действиями, их внешнего озвучивания в конкретной и обобщенной формах.

Образная, понятийная, логико-символическая формы учебной математической речи, создаваемой в содержании структурно интегрированного математического языка (пространства, теории, логики), указывают на закономерность выделения, проектирования деятельности, направленной на усвоение языковых средств субъектной речи и соответствующего математического аппарата. Методологическая схема «математический язык - математическая речь - математическое мышление» обосновывает выделение Г. В. Дорофеевым в качестве цели общего математического образования формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей.

Выделенная схема взаимной связи подчеркивает не только формирование языка, речи и мышления в их органической взаимосвязи, но и адекватность их уровней (видов):

• абстрактно-алгоритмическому и системно-структурному видам пространственного мышления соответствуют опосредующие субъектное предметное знание математический язык и математическая речь, выстроенные в системе образных содержательных представлений конкретного математического пространства;

• абстрактно-дедуктивный, аналитико-синтетический, методологический виды теоретико-пространственного мышления востребуют математический язык и математическую речь другого уровня абстракции, логического оперирования понятиями в системе их признаков, сокращения речи логико-символическими средствами.

В соответствии видов мышления, адекватных им видов учебной математической деятельности, с одной стороны, и уровней математического языка, математической речи - с другой стороны, появляется возможность проектирования единой технологии формирования системы понятий, их признаков в содержании конкретной учебной математической теории, в интеграции теорий.

Методическая закономерность понятийно-категориального представления системы математических теорий. В содержательном смысле система понятий, признаков всего спектра учебных математических теорий не охватывает целостного субъектного математического знания, поскольку в рамках одной конкретной теории категориальный характер ее фундаментальных понятий, их взаимные связи в полной мере субъектным сознанием не отслеживаются. В теории числовых систем понятие числа - фундаментальное, такое же, как и понятие геометрической фигуры в теории геометрического пространства. Однако во взаимодействии теорий геометрического, трехмерного евклидова пространства и числовых систем понятие числа приобретает категориальный математический характер - модели геометрического и векторного пространств строятся на базе системы действительных чисел, непротиворечивость геометрических теорий опосредована непротиворечивостью теории натуральных чисел.

Закономерность систематизации понятий, свойств в их взаимной связи и обусловленности в рамках конкретной математической теории объективно продолжается в системном понятийно-категориальном представлении целостной учебной математической деятельности, в интеграции математических теорий.

Анализ развития понятий и их свойств в рамках конкретного пространства, определенной теории, опосредование закономерностей производной теории системой понятий базовой теории позволяет в интеграции учебной математической деятельности выделить следующие уровневые категории, структурирующие субъектную математическую картину мира:

• «число», «функция», «геометрическая фигура», «вектор», «равносильность», «вероятность» - в теоретическом представлении закономерностей конкретных математических пространств;

• «конечность-бесконечность», «дискретность-непрерывность», «размерность» - в обобщенном представлении совокупности математических пространств;

• «математическое пространство», «дедуктивная теория пространства», «модель теории», «аксиома», «теорема», «доказательство», «истина» - в интеграции представлений учебных математических теорий.

Литература

методический математический предметный

1. Горбачев В. И. Содержание логико-понятийной компетенции общего математического образования (общепредметные основы) // Наука и школа. - 2018. - № 5. - С. 23-34.

2. Розов Н. Х. Логика и школа // Наука и школа. - 2016. - № 1. - С. 143-150.

3. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. - 1990. - № 6. - С. 2-7.

4. Иванова Т. А., Горчаков А. С. Дидактические условия развития математической речи школьников // Ярославский педагогический вестник. - 2010. - № 4. - Т. II (Психолого-педагогические науки). - С. 55-59.

5. Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. - № 4. - С. 59-66.

References

1. Gorbachev V. I. The content of logical and conceptual competence of general mathematical education (general subject bases). Nauka i shkola. - 2018. - No. 5. - pp. 23-34.

2. Rozov N. H. Logika i shkola / / Nauka i shkola. - 2016. - No. 1. - pp. 143-150.

3. Dorofeev G. V. On the principles of selecting the content of school mathematical education // Math at school. - 1990. - No. 6. - p. 2-7.

4. Ivanova T. A., Gorchakov A. S. Didactic conditions for the development of mathematical speech of schoolchildren / / Yaroslavl Pedagogical Bulletin. - 2010. - No. 4. - Vol. II (Psychological and pedagogical sciences). - pp. 55-59.

5. Dorofeev G. V. Humanitarian-oriented course-the basis of the educational subject "Mathematics" in a comprehensive school. - 1997. - No. 4. - pp. 59-66.

Размещено на Allbest.ru