Развитие беглости и оригинальности мышления старшеклассников при решении задач, связанных с числами Фибоначчи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Развитие беглости и оригинальности мышления старшеклассников при решении задач, связанных с числами Фибоначчи

Ростовцев Андрей Сергеевич

Аспирант кафедры теории и методики обучения математике и информатике института математики и информатики Московского педагогического государственного университета

Аннотация

На основе требований современной действительности с ее экономическими, культурными и социальными проблемами существенно меняются основные концепции современного образования. Школе в современном обществе необходимо ориентироваться на личность обучающегося, на его всестороннее развитие. Разнообразные и сложные процессы, которые протекают в современном обществе, требуют обучать, воспитывать и развивать людей, которые будут способны к нестандартному решению проблем, то есть будут обладать творческим или, как сейчас чаще можно услышать, креативным мышлением, основными параметрами которого выступают беглость, оригинальность и гибкость мышления. Для развития беглости и оригинальности мышления необходимо расширять кругозор, предлагая интеграцию учебных предметов с различными сторонами окружающей нас действительности.

В последнее время задания ЕГЭ по математике содержат задачи по теории вероятностей и комбинаторике. Поэтому необходимо обучать старшеклассников решению таких задач.

Задачи, связанные с числами Фибоначчи, содержат многие популярные издания по математике, их разбирают на занятиях школьных математических кружков, они входят в комплекс заданий на математических олимпиадах.

Ключевыеслова: креативное мышление, беглость, оригинальность, комбинаторика, числа Фибоначчи.

Abstract

DEVELOPING FLUENCY AND ORIGINALITY IN SENIOR CLASS STUDENTS' THINKING WHEN SOLVING PROBLEMS RELATED TO FIBONACCI NUMBERS

Rostovtsev Andrey S.

Post-graduate student at the Department of theory and methods of teaching mathematics and informatics, Institute of Mathematics and Informatics, Moscow Pedagogical State University (MPGU)

On the basis of the requirements of modern reality with its economic, cultural and social problems, the basic concepts of modern education are changing significantly. School in modern society must focus on the personality of the student, on their holistic development. Various and complex processes that take place in modern society, require to teach, educate and develop people who will be able to solve problems in a non-standard way, i.e. will have inventive, or, as now more often said, creative thinking, the main parameters of which are fluency, originality and flexibility of thinking. To develop fluency and originality of thinking, it is necessary to broaden horizons, offering the integration of academic subjects with the various aspects of reality around us. These days the tasks of the USE in Mathematics contain problems in probability calculus and combinatorics. Therefore, it is necessary to train high school students to solve such problems. The problems associated with Fibonacci numbers contain many popular publications in mathematics, they are analysed in the classroom of school mathematical circles, they are included in the set of tasks for mathematical Olympiads.

Keywords: creative thinking, fluency, originality, combinatorics, Fibonacci numbers.

Современная действительность отличается социальными, культурными и экономическими проблемами, что говорит о необходимости воспитывать и обучать в подрастающем поколении такие личности, которые будут готовы жить и работать в новых социально-экономических условиях, будут способны осуществлять непрерывное образование.

На основе таких требований существенно меняются основные концепции современного образования. Школе в современном обществе необходимо ориентироваться на личность обучающегося, на его всеостороннее развитие. Ученику необходимо научиться понимать и переживать все изменения, которые вокруг него происходят, чему вполне может помочь вариативное образование. Сегодня мало предоставлять ученику информацию, необходимо обучить его методам самостоятельного ее получения, необходимо научить его анализировать и прогнозировать происходящее. Для этого учащийся должен обладать развитым мышлением.

Проблема развития мышления всегда была актуальной для системы образования, и современное образование не исключение. Разнообразные и сложные процессы, которые протекают в современном обществе, требуют обучать, воспитывать и развивать людей, которые будут способны к нестандартному решению проблем, то есть будут обладать креативным мышлением. Для обнаружения проблем и поиска решения для их разрешения необходимо креативное мышление. В Большом психологическом словаре понятие «мышление» трактуется как «наиболее обобщенная и опосредованная форма психического отражения, устанавливающая связи и отношения между познаваемыми объектами» [1].

Что же такое креативное мышление? С. Ю. Головин, практический психолог, судит о креативности как о «способности порождать необычные идеи, отклоняться от традиционных схем мышления, быстро решать проблемные ситуации» [2]. Изучением структуры креативности изначально занимался Джой Пол Гилфорд, который составил список составляющих креативного мышления:

• беглость (число идей, которое появляется за определенный промежуток времени);

• гибкость (умение переключаться с одной идеи на другую);

• оригинальность мышления (умение предлагать идеи, которые отличаются от предполагаемых);

• любознательность (высокая чувствительность к вопросам, которые для других не интересны);

• иррелевантность (логическая независимость реакций от стимулов) [3].

Подобные параметры креативности описывает в своих исследованиях Г.М. Коджаспирова, а именно: беглость, гибкость, четкость, оригинальность, чувствительность к проблемам, конструктивность при их решении и другие [4]. В своих работах В.Н. Козленко отмечает, что креативные люди отличаются беглостью, гибкостью и оригинальностью мышления [5]

Так как данная статья посвящена развитию беглости и оригинальности мышления, остановимся подробнее именно на этих составляющих креативного мышления.

Беглость мышления -- это богатство и разнообразие идей, ассоциаций, которые возникают по причине любого стимула, а также возможность включения предмета в разные непредполагаемые связи, число которых и определяется беглостью мышления.

Оригинальность мышления выражается в самостоятельности, необычности, остроумности решения (по отношению к стимулу или традиционным способам решения). Беглость и оригинальность мышления - два основополагающих компонента в составе креативности, наряду с гибкостью.

Многие исследования доказывают, что люди с высокой беглостью мышления могут порождать много разнообразных идей, причем они могут иметь отношение как к одной области знаний или деятельности, так и к разным, могут отличаться как оригинальностью, так и стандартностью. Таких людей заботит лишь количество ответов, о качестве они могут и не задумываться. Гибкость мышления позволяет давать ответы из разных областей, знакомых и малоизученных, что говорит о широком кругозоре. Иными словами, для развития беглости и оригинальности мышления необходимо расширять кругозор, предлагая интеграцию учебных предметов с различными сторонами окружающей нас действительности [6; 7].

Согласно ФГОС и разработанным на их основе типовым документам - Основной образовательной программе и Рабочей программе по математике, на уроках математики в старшей школе необходимо изучать не только основные математические объекты (числа, геометрические фигуры, алгебраические и аналитические модели), но и «формировать представления о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления» [8]

Для реализации данной цели программа по математике для старшей школы включает в себя элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. В последнее время задания ЕГЭ по математике содержат задачи по теории вероятностей и комбинаторике. Поэтому необходимо обучать старшеклассников решению таких задач.

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и комбинаторные принципы применяются в теории вероятностей, чтобы подсчитать вероятности случайных событий и получить законы распределения случайных величин. Также комбинаторика затрагивает сложнейшие области математики. По мнению гениального математика Пала Эрдеш, комбинаторные задачи с первого взгляда можно принять за элементарные, с которыми справится даже ребенок, однако на деле понимаешь, что решение их невозможно найти. В любом случае комбинаторика дает возможность лучше понять реальность, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, правильно понимать статистические закономерности, которые проявляются в природе и технике.

Комбинаторика включает в себя много задач, часто трудных и интересных, не имеющих отношение к чьему-то имени. Каждая такая задача содержит в себе «маленькую математическую теорию», у которой есть своя история, своя проблематика и свои методы [9]. В качестве такой теории выступает теория чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи - одна из наиболее увлекательных глав элементарной математики. Задачи, связанные с числами Фибоначчи, содержат многие популярные издания по математике, их разбирают на занятиях школьных математических кружков, они входят в комплекс заданий на математических олимпиадах [10].

Впервые последовательность чисел описал итальянский купец и математик Леонардо из Пизы, который был больше известен по прозвищу Фибоначчи, в своей «Книге об абаке» в 1202 г. В книге была представлена задача, при решении которой получился ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597. Задача содержала вопрос: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Дальше в задаче есть разъяснение, что по своей природе кролики очень быстро и продуктивно размножаются со второго месяца, как появляются на свет. Спустя месяц пара кроликов производит на свет другую пару и т. д. (рис. 1).

Что же особенного в последовательности чисел Леонардо Фибоначчи? Каждое следующее число в ряду Фибоначчи - это сумма двух предыдущих чисел. У чисел Фибоначчи есть интересные и важные свойства. Через четыреста лет после открытия ряда чисел Фибоначчи И. Кеплером было установлено, что отношение рядом стоящих чисел с ростом п (Ип + 1/Ип) стремится к одному и тому же числу. Действительно,

Рис. 1. Решение задачи о кроликах в виде таблицы

U2/U1 = 1; U3/U2 = 2; U4/U3 = 1,5; U5/U4 = 1,66; U6/U5 = 1,6; U7/U6 = 1,625; U8/U7 = 1,615;

U9/U8 = 1,619; U10/U9 = 1,6176; U11/U10 = 1,61818; U12/U11 = 1,61897 ит. д. (2)

Иными словами, отмечается колебание полученных отношений около постоянной величины, происходит уменьшение разницы между соседними величинами. Отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к величине, близкой 1,618. Обозначим ее через Ф, то есть

Ф = limUn + 1/Un = 1,618. (3)

Рассмотрим некоторые задачи, связанные с числами Фибоначчи, которые можно использовать на уроках математики в старшей школе.

Задача о прыгуне

Прыгун может прыгать в одном направлении вдоль разделенной на клетки полосы, перемещаясь при каждом прыжке в соседнюю клетку либо через клетку. Сколькими способами (способы прыгания считаются одинаковыми, если в ходе каждого из них прыгун побывает в одних и тех же клетках) он может сдвинуться на (n - 1) клетку, и в частности переместиться из первой клетки в n-ю?

Решение. Построим информационную модель задачи (рис. 2), позволяющую найти способ ее решения.

Рис. 2. Информационная модель задачи о прыгуне

Обозначим через п - номер клетки, через х_п - искомое число способов (количество И); строками ниже отметим знаком х те клетки, в которых побывал прыгун, заливкой ячейки - возможные варианты попадания в п-ю клетку, знакомИ - различные варианты попадания в п-ю клетку. Переход из первой клетки в первую (будем обозначать 1--1) осуществляется единственно возможным способом - отсутствием прыжка, поэтому х_г = 1. Переход во вторую клетку осуществляется также единственно возможным способом - прыжком из первой клетки: 1--2, поэтому х₂ = 1. Переход в третью клетку осуществляется двумя способами: 1--2--3 и 1-->3, поэтому х₃ = 2. Переход в четвертую клетку осуществляется тремя способами: 1--2--3--4, 1--2--4, 1--3--4, поэтому х₄ = 3. Переход в пятую клетку осуществляется пятью способами: 1--2--3--4--5, 1--2--3--5, 1--2--4--5, 1--3--4--5, 1--3--5, поэтому х₆ = 5.

Итак, если целью прыгуна является достижение п-й клетки, то общее число способов удовлетворяет рекуррентному соотношению: х_п = х_{п -} + х_{п - 1}, то есть последовательность х₄, х₂, х₃, ..., х_п совпадает с последовательностью Фибоначчи.

мышление математика числа фибоначчи

Треугольник Паскаля

Проведите через числа треугольника Паскаля линии, идущие под углом 45° к его строкам - восходящим диагоналям треугольника Паскаля. Найдите сумму чисел 10-й, п-й восходящей диагонали треугольника Паскаля.

Покажем, что сумма чисел, лежащих на некоторой восходящей диагонали, есть число Фибоначчи, используя для этого информационную модель, представленную на рис. 3. Ответ: сумма чисел 10-й восходящей диагонали треугольника Паскаля равна 55; сумма чисел п-й восходящей диагонали треугольника Паскаля равна п-му числу Фибоначчи.

Рис. 3. Информационная модель задачи о треугольнике Паскаля

Рис. 4. Геометрическая модель задачи о спиральной последовательности квадратов

Задача о спиральной последовательности квадратов

Найти сумму площадей пквадратов, построенных по алгоритму: на стороне единичного квадрата строится другой квадрат, на большей стороне получившегося прямоугольника строится новый квадрат. На рис. 4 представлена геометрическая модель задачи о спиральной последовательности квадратов: по указанному алгоритму построены первые 7 квадратов, стороны которых образуют последовательность чисел Фибоначчи.

Следовательно, для того чтобы найти сумму площадей п квадратов спиральной по - следовательности, необходимо умножить два соседних числа Фибоначчи с номерами п и (п + 1). Таким образом, сумма площадей 7 квадратов спиральной последовательности равна 273.

Не менее интересны будут на уроках математики примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи. Природа дает нам многочисленные примеры расположения предметов, описываемых числами Фибоначчи.

• Расположение чешуек сосновых шишек: чешуйки в шишках «упакованы» по спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем их количество всегда выражается соседними числами Фибоначчи. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей, на ананасе обычно их бывает 8 и 13.

• Ананасовые колючки расположены в виде двух спиралей: 8 спиралей идут по часовой стрелке, а 13 - против часовой стрелки.

• Листья на ветках деревьев расположены по спирали. Выяснилось, что в том, как листья располагаются на ветке (филлотаксис - листорасположение), количество оборотов на стебле, количество листьев в цикле - все это ряд чисел Фибоначчи. Расстояния между листьями и ветками соотносимы с числами Фибоначчи; примыкание черешков листьев к стеблю спиралевидно. Эта спираль находится между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота - у орешника, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополя и груши, 5/13 - у ивы.

Расположение семян подсолнечника. Распределение семян в корзинке также спиралевидно. Они растут по часовой и против часовой стрелки от центра корзинки (рис. 5). Количество этих спиралей - это два числа, идущие подряд в последовательности Фибоначчи - 21 и 34 или 34 и 55. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семянок в крупных корзинках. Их число в каждом из направлений может достигать 55 и 89.

Рис. 5. Числа Фибоначчи в расположении семян подсолнечника в корзинке

Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, проявляются и в строении человеческого тела.

Рассмотрим это подробнее. У человека есть части тела в единственном экземпляре: туловище, голова, сердце. Однако есть части тела, которые расположены парами: руки, ноги, глаза, почки. Ноги, руки, пальцы рук представлены тремя частями. На руках и ногах по пять пальцев, а в составе руки вместе с пальцами восемь частей.

Можно рассмотреть части тела и с другой стороны. У каждого из нас 2 руки, каждый палец, кроме большого, состоит из 3 фаланг. На каждой руке находится по 5 пальцев, только 8 пальцев трехфаланговые. Все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

В составе человеческого позвоночника 34 позвонка. Судя по представленному перечислению составляющих человеческого тела, при его делении на части можно проследить все числа Фибоначчи от 1 до 34.

Сложив все кости скелета, можно получить число, приближенное к 233, которое также является числом Фибоначчи.

Числа Фибоначчи можно обнаружить и в крови у человека. Если всех людей разгруппировать по трем группам крови, то получится числовое отношение 8/21/34.

Доля сокращения сердечной мышцы равна примерно 0,618 от ее изначальной длины, при нарушении этого числа при сокращении возникают заболевания сердца. А это число отражает одно из свойств чисел Фибоначчи.

В результате математической обработки экспериментальных медицинских данных, появились отношения чисел, характеризующих сердечный цикл: 0,050; 0,081; 0,131; 0,210; 0,340. Мы видим, что они отражают последовательность ряда чисел Фибоначчи 5, 8, 13, 21, 34.

В строении человеческого лица и кисти существуют и иные воплощения ряда Фибоначчи. Этот ряд получается, если провести измерения длин фаланг пальцев и расстояний между различными частями лица (рис. 6).

При помощи подобных задач учитель имеет возможность создать на уроке проблемные ситуации и активизировать самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего и происходит развитие беглости и оригинальности, а значит, и креативного мышления. Для обеспечения развития беглости и оригинальности мышления учащихся необходима оптимальная последовательность ситуаций, их определенная система.

Рис. 6. Числа Фибоначчи в строении человеческого тела

Комбинаторика по своей природе является такой системой. Задачи с использованием чисел Фибоначчи помогут развить математические способности, сообразительность, укрепить память. Чтобы решать подобные задачи, учащимся потребуется проявить и волю, и упорство, и настойчивость в достижении цели, что позволит достичь высоких показателей по беглости, гибкости и оригинальности. В итоге с помощью комбинаторных задач, в том числе и с применением чисел Фибоначчи, возможно воспитать людей с высокой скоростью мыслительных операций, способных порождать разнообразные идеи, имеющие отношение к разным сферам и областям, являющиеся по своей сути интересными и необычными.

Список литературы

1. Зинченко В.П. Большой психологический словарь / ред. Б. Мещеряков, В. Зинченко. М.: АСТ, 2009. 816 с.

2. Словарь психолога-практика / сост. С.Ю. Головин. 2-е изд., пер. и доп. Минск: Харвест; М.: АСТ, 2001. 976 с.

3. Гилфорд Дж. Три стороны интеллекта // Психология мышления. М., 1965. С. 433-456.

4. Коджаспирова Г.М., Коджаспиров А.Ю. Словарь по педагогике. М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д.: Изд. центр «МарТ», 2010. 448 с.

5. Козленко В.Н. Проблема креативности личности // Психология творчества: общая, дифференциальная, прикладная / под ред. Я. А. Пономарева. М.: Совершенство, 1990. С. 131-148.

6. Деза Е.И., Ростовцев А.С. Модель формирования и развития математической креативности старшеклассников при обучении элементам теории специальных чисел // ModernHumanitiesSuccess/ Успехи гуманитарных наук. 2019. № 4. С. 144-149.

7. Ростовцев А.С. О формировании и развитии математической креативности старшеклассников с использованием многоуровневой системы математических задач // Современное педагогическое образование. 2019. № 9. С. 113-117.

8. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования. Утвержден приказом Минобрнауки РФ от 17 мая 2011 г. № 413. URL: https://fgos.ru/LMS/wm/wm_fgos.php?id=sred(дата обращения: 24.07.2019).

9. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: МЦНМО, 2006. 400 с.

10. Яковлев И. В. Комбинаторика для олимпиадников. М.: МЦНМО, 2016. 80 с.

References

1. ZinchenkoV. P., Meshcheryakov B. (ed.) Bolshoypsikhologicheskiyslovar. Moscow: AST, 816 p.

2. Golovin S. Yu. (comp.) Slovarpsikhologa-praktika. Minsk: Kharvest; Moscow: AST, 2001. 976 p.

3. Guilford J. Tri storonyintellekta. In: Psikhologiyamyshleniya. Moscow, 1965. Pp. 433456. (in Russian)

4. Kodzhaspirova G.M., Kodzhaspirov A.Yu. Slovarpopedagogike. Moscow: IKTs "MarT"; Rostov-on-Don: Izd. tsentr "MarT", 2010. 448 p.

5. Kozlenko V.N. Problemakreativnostilichnosti. In: PonomarevYa. A. Psikhologiyatvorchestva: obshchaya, differentsialnaya, prikladnaya. Moscow: Sovershenstvo, 1990. Pp. 131-148.

6. Deza E.I., Rostovtsev A.S. Model formirovaniyairazvitiyamatematicheskoykreativnostistarsheklassnikovpriobucheniielementamteoriispetsialnykh chisel. Modern Humanities Success / Uspekhigumanitarnykhnauk. 2019, No. 4, pp. 144-149.

7. Rostovtsev A.S. O formirovaniiirazvitiimatematicheskoykreativnostistarsheklass- nikov s ispolzovaniemmnogourovnevoysistemymatematicheskikhzadach. Sovre- mennoepedagogicheskoeobrazovanie. 2019, No. 9, pp. 113-117.

8. Federalnyygosudarstvennyyobrazovatelnyystandartsrednegoobshchegoobra- zovaniya. UtverzhdenprikazomMinobrnauki RF ot 17.05.2011 No. 413. Available at: https://fgos.ru/LMS/wm/wm_fgos.php?id=sred (accessed: 24.07.2019).

9. Vilenkin N.Ya. Kombinatorika. Moscow: MTsNMO, 2006. 400 p.

10. Yakovlev I.V. Kombinatorikadlyaolimpiadnikov. Moscow: MTsNMO, 2016. 80 p.

Размещено на Allbest.ru