Вербально-визуальный метод при обучении булевой алгебре в курсе информатики для старшей школы

Размещено на http://allbest.ru

Вербально-визуальный метод при обучении булевой алгебре в курсе информатики для старшей школы

О.М. Корчажкина

Аннотация

В статье излагается вербально-визуальный метод при обучении булевой алгебре в курсе информатики для старшей школы. Приведены примеры, иллюстрирующие интерпретацию знаков и выражений булевой алгебры в высказываниях (намерениях), когда истинность/ложность высказывания измеряется содержательной стороной и степенью понимания ее собеседником.

Ключевые слова: булева алгебра; диаграмма Эйлера - Венна; логическое высказывание; логическое мышление; обучение информатике; информационная культура школьника.

Символический метод вывода логических заключений, описанный британским математиком и логиком Джорджем Булем (1815-1864) в фундаментальном труде «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» [1], послужил началом нового взгляда на чистую математику как на область знаний, лежащую в основе логики мышления.

Согласно теории Дж. Буля, получившей название алгебра логики, или булева алгебра, и нацеленной на изучение операций над высказываниями на естественном языке с точки зрения их истинности и ложности, все высказывания могут быть переданы математическими символами, а операции над высказываниями -- с помощью алгебраических формул. Причем доказательность истинности или ложности высказывания не носит субъективного характера, а может быть обоснована законами булевой алгебры и представлена в виде строгих математических выкладок.

Развитие логического мышления, в основе которого лежит умение строить взаимоувязанные и обоснованные высказывания согласно законам логики, является необходимым компонентом формирования информационной культуры современного школьника.

При изучении предметов естественно-математического и гуманитарного цикла логика используется как инструмент, средство для решения учебных задач.

Тогда как в курсе информатики и ИКТ логика выступает также и как цель обучения, которая достигается с помощью соответствующих разделов школьной программы «Элементы формальной логики» и «Элементы математической логики» (8 кл.), «Логические основы устройства ЭВМ» (9 кл.), «Булева алгебра» (10-11 кл.) [1].

Если рассматривать процесс понимания при усвоении знания в его классической интерпретации, то есть как обратимый перевод абстрактно-логических форм информации в ее наглядно-образные формы, то знакомство учащихся 10-11-х классов с математическими инструментами булевой алгебры при анализе логических отношений целесообразно производить путем привлечения материала, который был ими освоен на средней ступени в курсе математики и информатики, а именно естественного языка (в виде развернутых высказываний) и теории множеств (в виде диаграмм Эйлера - Венна). информационный логика алгебра конъюнкция и дизъюнкция

Сочетание этих двух взаимосвязанных способов анализа логических рассуждений может явиться дополнительным стимулом к «очеловечиванию» выражений в терминах булевой алгебры и источником многочисленных учебных ситуаций, которые учитель может предложить учащимся для обсуждения.

Рабочий аппарат алгебры логики достаточно гибок, что позволяет применять его не только для проверки истинности или ложности единичного высказывания -- традиционного материала булевой алгебры, но и для проверки истинности или ложности единого речевого акта, когда имеются оба субъекта, участвующие в акте коммуникации, -- сам говорящий и человек, которому адресовано высказывание, т е. слушающий. Причем если высказывание принимает форму интенции (намерения, желания, предпочтения), то такое высказывание считается истинным, если оно правильно распознано (прочтено) собеседником.

Проиллюстрируем на простых моделях, как можно наглядно и жизненно интерпретировать основные знаки булевой алгебры \, Л, V, - и Д, устанавливающие логические отношения между высказываниями в ситуации, когда вы пригласили в гости своего друга и предлагаете ему на выбор три напитка: черный кофе, молоко или кофе с молоком¹.

В ответ ваш друг высказывает желание выбрать один из трех напитков (черный кофе, молоко, кофе с молоком), любые два напитка, все три напитка или выражает намерение вообще отказаться от угощения.

Для решения задачи примем следующие обозначения: пусть высказывание Ф (греческая буква «фи») выражает желание или намерение друга выпить кофе (Я хотел бы выпить кофе); а высказывание X (греческая буква «хи») -- его желание или намерение выпить молоко (Я хотел бы выпить молока) В примерах ниже будут иллюстрироваться различные ситуации, при которых ваш друг выбирает кофе и молоко в виде одного напитка «кофе с молоком», и кофе и молоко как два разных напитка, которые он может попеременно пить из разных чашек. Множества Ф и X на рисунках ниже представлены в виде окружностей внутри универ-сального множества U, обозначенного прямоугольником..

Покажем связь этих знаков с синтаксическим значением высказываний на естественном языке:

*\ -- знак строгой логической дизъюнкции, логической операции вычитания одного из другого, по смыслу максимально приближенной к предлогу «без» (одно без другого); соединяет сущности, находящиеся в отношениях синтаксического взаимоисключения;

• Л -- знак конъюнкции (пересечения), логической операции умножения одного на другое, по смыслу максимально приближенной к сложному союзу «и ..., и ...» (и одно, и другое вместе); соединяет сущности, находящиеся в отношениях синтаксической равнозначности, равноправности;

• V -- знак дизъюнкции, или нестрогой логической дизъюнкции (объединения), логической операции сложения одного и другого, по смыслу максимально приближенной к сложному союзу «или ... , или ..., или оба» (или одно, или другое, или оба вместе); соединяет сущности, находящиеся в отношениях синтаксического объединения;

• - -- знак инверсии, или логической операции отрицания, по смыслу максимально приближенного к частице «не», предлогу «кроме» (все, кроме ...); позиционирует сущности, находящиеся в отношениях синтаксического противопоставления;

• Д -- знак симметрического вычитания, логической операции вычитания умноженного одного на другое без их объединения; по смыслу она максимально приближена к сложному союзу «или ... , или ..., без обоих вместе» (или одно, или другое, но не оба вместе); соединяет сущности, находящиеся в отношениях синтаксической альтернативы.

Исходя из значения истинности высказываний, в которых могут использоваться знаки \ , Л , V , - и Д, а также в соответствии с аксиоматикой булевой алгебры возможны семь вариантов развития ситуации (в скобках даны ссылки на соответствующие рисунки с диаграммами Эйлера - Венна):

Друг -- любитель кофе предпочитает пить только кофе (рис. 1 а). Намерение, выступающее как Ф \ X, означает выбор строго условия Ф. Друг -- любитель кофе ответит: Я хотел бы выпить кофе без Я хотел бы выпить молока = = Я хотел бы выпить только кофе (черный кофе).

Друг -- любитель молока предпочитает пить только молоко (рис. 1 б). Намерение, выступающее как X \ Ф, означает выбор строго условия Х. Друг -- любитель молока ответит: Я хотел бы выпить молока без Я хотел бы выпить кофе = = Я хотел бы выпить только молоко.

Рис. 1. Выражение операций вычитания Ф \ X (а) и X \ Ф (б) через множества Ф и X

Привередливый друг предпочитает пить кофе только с молоком (рис. 2 а). Намерение, выступающее как Ф Л X, означает выбор обоих условий одновременно: Я хотел бы выпить кофе и Я хотел бы выпить молока = Я хотел бы выпить кофе с молоком.

Неприхотливый друг предпочитает оба напитка или их комбинацию (рис. 2 б). Намерение, выступающее как Ф v X, означает выбор хотя бы одного из трех условий: Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить молока или Я хотел бы выпить кофе с молоком. Неприхотливый друг ответит: Можно кофе с молоком, а можно кофе и молоко по отдельности.

Рис. 2. Выражение операций конъюнкции (а) и дизъюнкции (б) через множества Ф и X

Друг -- противник кофе предпочитает любые напитки, кроме кофе (рис. 3 а). Намерение, выступающее как - Ф, означает неприятие условия: Я хотел бы выпить кофе. Друг -- противник кофе -- ответит: Я хотел бы выпить любой напиток, только не кофе.

Друг -- противник молока предпочитает любые напитки, кроме молока (рис. 3 б). Намерение, выступающее как - Х, означает неприятие условия: Я хотел бы выпить молока. Друг -- противник молока ответит: Я хотел бы выпить любой напиток, только не молоко.

Друг -- гурман не любит пить кофе с молоком, хотя любит и кофе, и молоко по отдельности (рис. 3 в). Намерение, выступающее как Ф A X, означает выбор строго одного из двух условий: Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить молока.

Рис. 3. Выражение операции дополнения (отрицания) (а, б) и симметрической разности (в) через множества Ф и X

Приведенные простейшие логические отношения для иллюстрации истинности/ложности высказываний о намерении могут явиться моделью, по которой учащиеся подобным же образом могут интерпретировать любые другие актуальные для них вербальные ситуации на основе аксиом булевой алгебры. Подобным же образом -- в рамках ситуации угощения друга кофе с молоком -- могут быть интерпретированы приведенные ниже основные законы булевой алгебры.

1. Закон коммуникативности конъюнкции (переместительный): Ф л X = = X л Ф означает, что ситуация Я хотел бы выпить кофе и Я хотел бы выпить молока равнозначна ситуации Я хотел бы выпить кофе с молоком (рис. 2 а).

2. Закон коммуникативности дизъюнкции (переместительный): Ф v X = = X v Ф означает, что ситуация Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить молока равнозначна ситуации: Мне подошел бы любой из трех напитков в любом сочетании (рис. 2 б).

3. Первый закон поглощения: при конъюнкции Ф и X и дизъюнкции с Ф получаем Ф: Ф v (Ф л X) = Ф. То есть выражение Я хотел бы выпить черный кофе или (Я хотел бы выпить черный кофе и Я хотел бы выпить молока) означает, что И черный кофе, и кофе с молоком для меня приемлемы (рис. 4 а).

4. Второй закон поглощения: при дизъюнкции Ф и X и конъюнкции с X получаем X: X л (Ф v X) = X. То есть выражение Я хотел бы выпить молока и (Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить молока) означает, что И кофе с молоком, и одно молоко для меня приемлемы (рис. 4 б).

Рис. 4. Иллюстрация первого (а) и второго (б) законов поглощения через множества Ф и X

5. Первый закон де Моргана (общей инверсии): отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний: - (Ф Л X) = - Ф V - X. Высказывание Неверно, что Я хотел бы выпить кофе и Я хотел бы выпить молока означает, что Я не хочу пить ни кофе, ни молоко, ни кофе с молоком (рис. 5 а).

6. Второй закон де Моргана (общей инверсии): отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний: - (Ф V X) = - Ф Л - X. Высказывание Неверно, что Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить молока означает, что Я не хочу пить кофе с молоком (рис. 5 б).

7. Закон идемпотентности дизъюнкции: Ф V Ф = Ф. Высказывание Я хотел бы выпить кофе и Я хотел бы выпить кофе означает, что Я хотел бы выпить кофе (рис. 5 в).

Рис. 5. Иллюстрация первого (а) и второго (б) законов де Моргана через множества Ф, X и законов идемпотентности конъюнкции и снятия двойного отрицания (в)

8. Закон идемпотентности конъюнкции: Ф Л Ф = Ф. Высказывание Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить кофе означает, что Я хотел бы выпить кофе (рис. 5 в).

9. Закон снятия двойного отрицания: - - Ф = Ф. Высказывание Неверно, что Я не хочу пить кофе означает, что Я хотел бы выпить кофе (рис. 5 в).

10. Первый закон отрицания (дополнения): Ф Л - Ф = 0. Высказывание Я хотел бы выпить кофе и Я хотел бы выпить любой напиток, кроме кофе является ложным (высказывание непонятно, поскольку такая ситуация невозможна ни при каких обстоятельствах) (рис. 6 а).

11. Второй закон отрицания (дополнения): Ф V - ф = 1. Выражение Я хотел бы выпить кофе или Я хотел бы выпить любой напиток, кроме кофе является истинным (высказывание понятно, поскольку такая ситуация возможна при любых обстоятельствах) (рис. 6 б).

Рис. 6. Иллюстрация первого (а) и второго (б) законов отрицания через множества Ф

12. Первый закон склеивания (исключения): (Ф Л X) V (ф л ) = ф. Высказывание Я хотел бы выпить кофе с молоком или Я хотел бы выпить черный кофе означает Я хотел бы выпить черный кофе (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация первого закона склеивания через множества Ф и X

13. Второй закон склеивания (исключения): (Ф V X) Л (Ф V ) = Ф. Высказывание Я хотел бы выпить любой напиток -- кофе с молоком, черный кофе, одно молоко и Я хотел бы выпить кофе, но не хочу пить молоко означает Я хотел бы выпить черный кофе (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация второго закона склеивания через множества Ф и X

Для иллюстрации трехкомпонентных, то есть более сложных, законов булевой алгебры -- сочетательного и распределительного -- к прежним высказываниям Ф и X приобщим еще одно, которое обозначим греческой буквой Y (ипсилон): Я хотел бы съесть мороженое.

14. Закон ассоциативности дизъюнкции (сочетательный): Ф v (X v Y) = = (Ф v X) v Y означает: Я хотел бы выпить кофе, молоко и съесть мороженое -- в любом сочетании: черный кофе, молоко, мороженое, кофе с молоком, кофе-глясе (черный кофе с мороженым), молочный коктейль (молоко с мороженым), кофе с молоком и мороженым (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация закона ассоциативности дизъюнкции через множества Ф, X и Y

15. Закон ассоциативности конъюнкции (сочетательный): Ф Л (X Л Y) = = (Ф Л X) Л Y означает: Я хотел бы выпить кофе с молоком и мороженым (самая темная область на рис. 10).

а) Ф л (X л Y)б) (Ф л X) л Y

Рис. 10. Иллюстрация закона ассоциативности конъюнкции через множества Ф, X и Y

16. Закон дистрибутивности дизъюнкции относительности конъюнкции (распределительный): Ф v (X Л Y) = (Ф v X) Л (Ф v Y) означает, что возможны

пять вариантов: 1) Я хотел бы выпить черный кофе; 2) Я хотел бы выпить кофе с молоком; 3) Я хотел бы выпить молочный коктейль; 4) Я хотел бы выпить кофе-глясе; 5) Я хотел бы выпить кофе с молоком и с мороженым (рис. 11 а, б).

а) Ф v (X л Y) б) (Ф v X) л (Ф v Y)

Рис. 11. Иллюстрация закона дистрибутивности дизъюнкции относительности конъюнкции через множества Ф, X и Y

17. Закон дистрибутивности конъюнкции относительности дизъюнкции (распределительный): Ф л (X v Y) = (Ф л X) v (Ф л Y) означает, что возможны три варианта: 1) Я хотел бы выпить кофе с молоком; 2) Я хотел бы выпить кофе-глясе; 3) Я хотел бы выпить кофе с молоком и с мороженым (рис. 12 а, б).

а) Ф л (X v Y)б) (Ф л X) v (Ф л Y)

Рис. 12. Иллюстрация закона дистрибутивности конъюнкции относительности дизъюнкции через множества Ф, X и Y

В заключение отметим, что обращение к естественно-языковым основам булевой алгебры на этапе изучения логических операций, аксиом и законов, положенных в ее основу, а также использование изобразительной наглядности в виде диаграмм Эйлера - Венна позволяет учащимся глубже осознать строение сложных логических высказываний и соотнести способы установления их истинности / ложности с помощью алгебраических и лингвистических методов применительно к учебным ситуациям, реальным ситуациям общения.

Литература

1. Сергеев А. В. Преподавание основ логики в курсе информатики основной школы // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»: сайт. URL: https:// urok.1sept.ru/articles/211504 (дата обращения: 15.03.2020).

2. Boole G. An investigation of the Laws of Thought on which are pounded // The Mathematical theories of logic and probabilities. London: Walter and Maberly, Cambridge: MacMillan and Co, 1854. 424 p.

Literatura

1. Sergeev A. V. Prepodavanie osnov logiki v kurse informatiki osnovnoj shkoly' // Festifal' pedagogicheskix idej «Otkry'ty'j urok»: sajt. URL: https://urok.1sept.ru/ articles/211504 (data obrashcheniya: 15.03.2020).

2. Boole G. An investigation of the Laws of Thought on which are pounded // The Mathematical theories of logic and probabilities. London: Walter and Maberly, Cambridge: MacMillan and Co, 1854. 424 p.

Abstract

The Verbal and Visual Method when Teaching Boolean Algebra within Advanced Computer Science Course in Secondary School

O. M. Korchazhkina

The article describes a verbal and visual method for teaching Boolean algebra in a computer science course for high school. Examples are given that illustrate the interpretation of Boolean algebra signs and expressions in statements of intent, when the truth/falsity of a statement is measured by the content side and the degree of understanding of it by the interlocutor.

Keywords: Boolean algebra; Euler - Venn diagram; logical utterance; logical thinking; computer science training; student's information culture.

Размещено на Allbest.ru