Компьютерные технологии при изучении теории вероятностей и математической статистики

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Саратовский государственный технический университет им. Ю.А. Гагарина

Кафедра «Прикладная математика и системный анализ»

Компьютерные технологии при изучении теории вероятностей и математической статистики

Харламова И.Ю., к.т.н., доцент

г. Саратов

Аннотация

Рассматривается необходимость использования компьютерных технологий при изучении курсов «Теории вероятностей» и «Математическая статистика» в средней и высшей школе. Приводятся примеры организации занятий по отдельным разделам данного курса.

Ключевые слова: компьютерные технологии, теория вероятностей, статистика.

Abstract

Computer technologies in studying theory of probability and mathematical statistics

Ir.Yu. Kharlamova, PhD (Technical), Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Systems Analysis, Saratov State Technical University named after Yu. A. Gagarin (Saratov).

The necessity of using computer technologies in the study of the Theory of Probability and Mathematical Statistics in secondary and higher education is considered. Examples of the organization of classes for individual sections of this course are given.

Key words: computer technologies, probability theory, statistics.

Трудно не согласиться с афоризмом из бессмертного труда Ильфа и Петрова - «статистика знает все». Слово «статистика» и производные от него выражения - «статистическая отчетность», «статистические данные» и т.п. в последнее время встречаются все чаще и чаще. Широкому внедрению методов статистики немало способствовало появление персональных компьютеров. Если раньше эти методы рассматривались главным образом как инструмент научных исследований, то, начиная с середины 1980-х годов, основными покупателями статистических пакетов на Западе стали уже не научные, а коммерческие организации, правительственные и медицинские учреждения. В западных странах основам статистки обучают практически всех студентов, включая студентов-гуманитариев; основы теории вероятностей и статистики преподаются в старших классах средней школы. В случае затруднений можно обратиться за консультацией в специализированные фирмы [2, c. 5].

В нашей стране ситуация несколько другая. Основы теории вероятностей с недавнего времени преподаются практически во всех школах и вузах. Но до серьезного статистического анализа дело доходит редко. Хотя многие методы статистического анализа, при условии использования прикладных программных пакетов, очень доступны и весьма полезны, особенно в научно-исследовательской работе.

Автор считает, что назрела необходимость введения в средней школе спецкурса по теории вероятностей и математической статистике (ТВ и МС), хотя бы для тех учащихся, которые занимаются или собираются заниматься научно-исследовательской работой. Причем, по мнению автора, часть занятий, как в вузах, так и в школах, должна быть построена с использованием компьютерных технологий. В этом случае, методы статистической обработки данных становятся доступными и наглядными, что позволяет раскрыть основу многих понятий и фактов ТВ и МС. При использовании специализированных программ для статистической обработки данных (в частности, легкодоступного пакета Microsoft Excel) отпадет необходимость в трудоемких расчетах по сложным формулам, в построении вручную таблиц и графиков, значительно сокращается время.

Так, занятие по изучению дискретных случайных величин можно построить следующим образом. Первоначально решить несколько задач «вручную». Затем с помощью встроенных функций MS Excel, таких как: = БИН0МРАСП (число успехов; число испытаний; вероятность успеха; интегральная), = ПУАССОН (x; среднее; интегральная) решить «громоздкие», но более интересные задачи. Например, использование данных функций, позволяет наглядно продемонстрировать, при каких значениях параметров формула Пуассона дает хорошее приближение к вероятностям, рассчитанным по формуле Бернулли [4, c. 297].

Заполнение шаблонов встроенных функций при решении большого количества задач, помогает учащимся изучить структуру формулы, выработать навык выделения из условия задачи параметров, необходимых для вычислений. компьютерный технология теория вероятность статистика

Примером могут служить следующие задачи.

Задача 1 (так называемая задача Шевалье де Мере) [1, c. 80]. Эта задача стала классическим примером. Азартный игрок спросил себя: стоит ему ставить на выпадение двух шестерок одновременно при бросании двух костей 24 раза или нет? Он посчитал, что стоит, ибо его собственные вычисления показали, что вероятность данного события больше 1/2. Однако он постоянно оказывался в проигрыше! Оскорбленный де Мере во всем обвинил статистику. И только знаменитый Паскаль указал ему на заблуждение: оказывается, вероятность данного события 0,49, следовательно, в длинной серии игр, состоящих в 24 подбрасываниях двух костей, выигрыш происходит лишь в 49%, а не в более чем 50% игр, как рассчитывал де Мере.

С помощью самых простых средств MS Excel данная задача решается «мгновенно». Для этого необходимо создать таблицу из двух столбцов. В первый из них ввести значения от 1 до 24 (число успехов). Во второй - функцию =БИНОМРАсП (Число успехов; Число испытаний; Вероятность успеха; ЛОЖЬ) (число испытаний в задаче шевалье равно 24, вероятность выпадения шестёрок при бросании двух костей равна 1/36). Так как шевалье де Мере интересовало, стоит ли ему ставить на выпадение двух шестерок одновременно при бросании двух костей 24 раза или нет, нам нужно вычислить вероятность выпадения по крайней мере одной пары шестерок. Следовательно, все полученные вероятности нужно сложить. Сделав это с помощью функции X, получим ответ в классической задаче - 0,49140.

Таким образом, в длинной серии игр, состоящих из 24 бросаний пары костей, игрок, ставящий на выпадение двух шестерок одновременно, в среднем устойчиво проигрывает.

Легко убедиться, что увеличение числа бросков всего на один делает игру уже выигрышной.

Задача 2 (еще одна задача игрока) [1, с. 83]. Некогда один англичанин по имени С. Пепайс послал Ньютону письмо, в котором спрашивал, на что лучше ставить:

- на выпадение одной шестёрки при бросании кости 6 раз;

- на выпадение двух шестёрок при бросании кости 12 раз;

- на выпадение трёх шестёрок при бросании кости 18 раз;

- на выпадение четырёх шестёрок при бросании кости 24 раза?

Число бросаний различно, и условия пари также различны. Решение данной задачи «вручную» потребовало бы значительных временных затрат. Покажем, как можно было бы решить данную задачу с помощью пакета MS Excel [3].

Задача решается абсолютно аналогично предыдущей, меняются только значения числа успехов (1-6; 2-12; 3-18; 4-24), числа испытаний (6, 12, 18, 24) в каждом из четырёх случаев. Вероятность успеха равна 1/6.

Полученные значения вероятностей: 0,665, 0,619, 0,597, 0,584.

Автор считает целесообразным применение пакета MS Excel и при изучении законов распределения непрерывных случайных величин. Использование встроенных функций: =НОРМРАСП; среднее; стандартное откл; интегральная), =ЭКСПРАСП (x; лямбда; интегральная) существенно облегчает построение графиков функции распределения и плотности вероятностей, что, в свою очередь, способствует лучшему усвоению влияния параметров распределения на вид графика. Так, задавая различные параметры нормального закона и два или три стандартных отклонения, нетрудно убедиться, что правила 20 и 30 действительно имеют место [3].

Как показывает опыт, отсутствие необходимости в трудоёмких расчетах, позволяет учащимся за короткое время усвоить практическую составляющую изучения законов распределения случайных величин: они понимают «для чего считать» (а не только «как считать», что часто происходит, когда задачи решаются исключительно «вручную»).

В рамках изучения математической статистики автор предлагает построить занятие по корреляционному и регрессионному анализам в виде следующей деловой игры. Перед учащимися ставится задача: на основании представленных статистических данных оценить криминогенную ситуацию в регионе и внести предложения по ее улучшению. Учащимся представляются следующие статистические данные за десять лет: в качестве зависимого параметра рассматривается показатель количество преступлений по линии уголовного розыска (УР) на 10 тыс. нас. (Y); в качестве независимых - доля городского населения (Xi); доля несовершеннолетних в возрасте 14-17 лет (X2); количество ранее судимых в регионе на 10 тыс. населения (X3); количество трудоспособных, не работающих и не учащихся, на 100 тыс. нас. (X4); количество выявленных наркоманов на 100 тыс. нас. (X5); количество иммигрантов на 1 тыс. нас. (X6); потребление алкоголя на душу населения (литры) (X6); объем выпуска промышленной продукции на 1 чел. (млн. руб.) (X7); объём выпуска сельхоз. продукции на 1 чел. (млн. руб.) (X8).

На первом этапе учащиеся с помощью инструмента Корреляция (надстройка Анализ данных MS Excel) строят корреляционную матрицу, на основании которой выделяют наиболее криминогенные факторы. Вычисление восьми коэффициентов корреляции вручную потребовало бы больших трудовых и временных затрат, тогда как использование MS Excel позволяет уделить значительное время прикладному аспекту.

Далее, перед учащимися ставятся различные игровые задачи, требующие использования знаний по регрессионному анализу. Например: в связи с открытием нового предприятия в регионе ожидается увеличение рабочих мест и в связи с этим уменьшение показателя X4 (количество трудоспособных, не работающих и не учащихся, на 100 тыс. нас) до 116; или, в связи с амнистией, в регионе ожидается увеличение показателя Хз (количество ранее судимых, проживающих в регионе на 10 тыс. населения) до 182 и т.д. Определить, как это скажется на росте преступности. Инструмент Регрессия (надстройка Анализ данных MS Excel) делает решение такого рода задач доступным для понимания. За небольшое количество времени строятся различные регрессионные модели, оценивается их адекватность.

Присоединюсь к рекомендациям [2, с. 10] и добавлю свои для тех, кто собирается преподавать или применять в своей профессиональной деятельности статистический анализ:

1. Использовать (если нет очень веских причин поступать иначе) отечественные, а не западные статистические пакеты - они, как правило, гораздо проще в использовании, снабжены понятной документацией и средствами интерпретации результатов. Для решения простых статистических задач, можно обойтись и анализом данных в MS Excel. Очень часто использование статистических пакетов помогает понять назначение метода и его свойства лучше и быстрее, чем изучение классической математической литературы.

2. Читать книги, рассчитанные на прикладных специалистов, а не на профессиональных математиков.

Библиографический список

1. Афифи, А. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ / А. Афифи, С. Эйзен. - М.: Мир, 1982. - 488 с.

2. Гайдышев, И. Анализ и обработка данных. Специальный справочник / И. Гайдышев. - СПб.: Питер, 2001. - 752 с.

3. Дюк, В.А. Обработка данных на ПК в примерах / В.А. Дюк. - СПб: Питер-пресс, 1997. 231 с.

4. Справочник по прикладной статистике. Т. 1: [В 2 т.] / под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана; пер. с англ. под ред. Ю.Н. Тюрина. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 508 с.

5. Тюрин, Ю.Н. Анализ данных на компьютере: учебное пособие / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. М.: МЦНМО, 2016. - 367 с.

6. Боровиков, В.П. Популярное введение в современный анализ данных в системе Statistica / В.П. Боровиков. М.: Горячая линия-Телеком, 2013. - 288 с.

7. Халафян, А.А. Теория вероятностей, математическая статистика и анализ данных: основы теории и практика на компьютере. Statistica. Excel: более 150 примеров решения задач: учебник / А.А. Халафян, В.П. Боровиков, Г.В. Калайдина. - М.: Ленанд, 2017. - 317 с. - ISBN 978-5-9710-3040-9.

8. Карлберг, К. Бизнес-анализ с помощью Excel / К. Карлберг; пер. с англ. - М.: Вильямс, 2015. - 576 с.

9. Макарова, Н.В. Статистика в Excel: учебное пособие / Н.В. Макарова, В.Я. Трофимец. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 368 с.

10. Потемкин, В.Г. Вычисления в среде MATLAB / В.Г. Потемкин. - М.: Диалог-МИФИ, 2004. - 720 с.

References

1. Боровиков, В.П. Популярное введение в программу STATISTICA. - М.: КомпьютерПресс, 1998. - 267 с.

2. Тюрин, Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров; под ред. В.Э. Фигурнова. М.: ИНФА-М, 1998. 528 с.

3. Харламова, И.Ю. Законы распределения случайных величин [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей / И.Ю. Харламова. Электрон. текстовые дан. - Саратов: СГТУ, 2013. - 42 с.

4. Харламова, И.Ю. Применение пакета Microsoft Excel при изучении законов распределения случайных величин / И.Ю. Харламова // XXI Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование»: докл. М.: Dynamics, 2014. - С. 297.

5. Borovikov, V.P. (1998). Populjarnoe vvedenie v programmu STATISTICA [Popular introduction to the program STATISTICA]. Moscow. Kompjuter Press. 267 p.

6. Tjurin, Yu.N., Makarov, A.A. (1998). Statisticheskij analiz dannyh na kompjutere [Statistical analysis of the data on the PC]. Moscow. INFA-M. 528 p.

7. Harlamova, I.Yu. (2013). Zakony raspredelenija sluchajnyh velichin [Laws of distribution of random variables. Textbook on the subject «Probability theory and mathematical statistics» for students of all specialties]. Saratov. SGTU. 42 p. State registration No. 0321303307 (FSUE STC Informregister).

8. Harlamova, I.Yu. (2014). Primenenie paketa Microsoft Excel pri izuchenii zakonov raspredelenija sluchajnyh velichin [Application of Microsoft Excel package in the study of the laws of distribution of random variables]. XXI Mezhdunar. konf. «Matematika. Kompjuter. Obrazovanie». Tez. dokl. Moscow. R&C Dynamics. P. 297.

Размещено на allbest.ru